UKURAN PEMUSATANRata-rata, Median, Modus
Oleh: ENDANG LISTYANI
1
Perhatikan pengelompokan data sampel berikut
• Data dalam tabel dist frek
Data dalam tabel distribusi frekuensi
2
Skor Frekuensi
x1
x2
.
.
.xk
f1
f2
.
.
.fk
nfk
ii
1
Skor Frekuensi
a1 - b1
a2 - b2
.
.
.ak - bk
f1
f2
.
.
.fk
nfk
ii
1
• Data tunggal :
nxxx ,,, 21
Ukuran Pemusatan adalah ukuran yang menunjukan pusat segugus data yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar atau sebaliknya. (Rata-rata, Median, Modus)
3
Ukuran Bentuk (Measure of Shape)
4
Kurva negatif Kurva positif
• Rata-rata = 67,3, Mo = 45,2• Me = (Mo + 2 )/3 = (45,2 + 134,6)/3 = 59,9
5
Rata-rata• Rata-rata hitung • Rata-rata harmonis sering digunakan untuk merata-ratakan
kecepatan untuk beberapa jarak tempuh yang sama
• Rata-rata geometrik digunakan untuk merata-ratakan data yang rasio suku-suku berurutannya kira-kira tetap. Sering terjadi pada data yang berupa laju perubahan, rasio, indeks ekonomi, ukuran-ukuran populasi untuk periode waktu yang berurutan.
• Rata-rata terboboti digunakan untuk merata-ratakan k buah nilai dengan menganggap bahwa sebagian lebih penting dari lainnya.
• Rata-rata gabungan
6
Rata-rata Hitung (rata-rata)
• Data tunggal: x1 , x2. ....... , xn
a. data populasi rata-rata populasi μ =
b. data sampel rata-rata sampel
7
N
xN
ii
1
n
xx
n
ii
1
• Data dalam tabel distribusi frekuensi
8
xi fi fixi
x1
x2
.
.
.xk
f1
f2
.
.
.fk
f1x1
f2x2
.
.
.fkxk
n
xfx
k
iii
1
Rata-rata
nfk
ii
1i
k
ii xf
1
• Data dalam tabel distribusi frekuensi
9
Skor fi xi fixi
a1 - b1
a2 - b2
.
.
.ak - bk
f1
f2
.
.
.fk
x1
x2
.
.
.xk
f1x1
f2x2
.
.
.fkxk
nfk
ii
1i
k
iixf
1
n
xfx
k
iii
1
Rata-rata
2ii
iba
x
tanda kelas
Hitunglah nilai rata-rata dari data berikut
10
Nilai fi xi fixi c i f ic i
31 – 4041 – 5051 – 6061 – 7071 – 8081 – 90
91 – 100
43
112133153
35,545,555,565,575,5 = x*85,595,5
-2-101
90
p
xxc ii
*
x*= titik tengah yang dipilihp= panjang/lebar kelas
Jika lebar kelas sama untuk setiap kelas interval
11
Nilai fi xi fixi ci fici
31 – 4041 – 5051 – 6061 – 7071 – 8081 – 90
91 – 100
43
112133153
35,545,555,565,5
75,5*85,595,5
142136,5610,5
1375,52491,51282,5286,5
-4-3-2-1012
-16-9
-22-210
156
90 6325 -47
n
cfpxx
k
iii
1*
278,70 90
6325
1
n
xfx
k
iii
278,7090
47105,75
• No 6
12
80110100120
275.80255.110250.100270.120x
262,073
Masalah
• Rony bersepeda pp dari A ke B yang berjarak 30km. Berangkat dengan kecepatan 30km/jam, pulang dengan kecepatan 20km/jam. Tentukan rata-rata kecepatan bersepeda Rony dari A ke B pp
Tentu jawabnya bukan (30+20)/2 = 25 km/jamDalam hal ini, untuk pergi diperlukan waktu 1 jam, sedangkan untuk pulang diperlukan waktu 1,5 jam, sehingga pergi pulang perlu waktu 2.5 jam, sehingga rata-rata kecepatan pergi-pulang 60/2,5 = 24 km/jam.Jika dihitung dengan rumus untuk rata-rata harmonis
diperoleh:13
Data tunggal Data dalam tabel distribusi frekuensi
Rata-rata Harmonis
14
n
i i
H
x
nx
1
1
k
i i
iH
x
fn
x
1
Contoh penggunaan rata-rata harmonisSeseorang menempuh perjalanan dari kota A ke kota B yang berjarak 300km, pergi pulang. Kecepatan perjalanan dari kota A ke kota B adalah 100 km/jam, sedangkan kecepatan perjalanan dari kota B ke kota A adalah 150 km/jam. Berapakah rata-rata kecepatan pergi-pulang?
Tentu jawabnya bukan (100+150)/2 = 125 km/jamDalam hal ini, untuk pergi diperlukan waktu 3 jam, sedangkan untuk pulang diperlukan waktu 2 jam, sehingga pergi pulang perlu waktu 5 jam, sehingga rata-rata kecepatan pergi-pulang 600/5 = 120 km/jam.Jika dihitung dengan rumus untuk rata-rata harmonis diperoleh:
Jadi rata-rata kecepatan yang dimaksud adalah 120 km/jam.
15
120
150
1
100
12
Hx
• Contoh: Jarak antara kota A dan B 60 km, dari B ke C 80 km, jalan pintas dari C ke A 100km. Ary berangkat dari A ke B dg kec 40 km/jam, dari B ke C 30 km/jam, dan dari C ke A 50 km/jam. Hitunglah rata-rata kec dari A ke C pp
• Data:
= (3 x 600)/47 = 38,297
16
50,30,40 321 XXX
501
301
401
3
Hx
Rata-rata Ukur/Geometrik
17
Data tunggal Data terkelompok
10
log1
log1
1
G
n
iiG
n
n
iiG
x
xn
x
xx
10
log1
log1
1
G
k
iiiG
n
k
i
fiG
x
xfn
x
xx i
Perhatikan data berikut : 8, 17, 33, 67, 136, 275, 560
Rata-rata Ukur = = 67,37
7 560.275.136.67.33.17.8
Rata-rata Ukur
Suatu percobaan jenis makanan yang diberikan pada unggas tertentu memberikan kenaikan berat (dlm gram) pada minggu pertama sampai kelima berturut-turut sbb.
250, 690, 990, 1890, 3790. Tentukanlah kira-kira kenaikan berat unggas rata-rata tiap minggu
= 1041,13
18
5/1)37901890990690250( Ux
Rata-rata Terboboti• Perhatikan kasus berikut!
Penilaian mata kuliah Statistika Elementer meliputiTugas : 10% 95Kuis : 10% 70Ujian Sisipan I : 25% 85Ujian Sisipan II : 25% 80Ujian Akhir : 30% 65Maka nilai akhir (NA) adalah
Misalkan wi bobot xi maka rata-rata terboboti adalah
19
25,77%100
%7725
%30%25%25%10%10
%3065%2580%2585%1070%1095
NA
k
ii
k
iii
w
xwx
1
1
Rata-rata Gabungan
• Bila sampel acak berukuran n1, n2, …, nk yang diambil dari k populasi dengan masing-masing mempunyai rata-rata maka rata-rata gabungannya adalah
20
k
ii
k
iii
n
xnx
1
1
Median
Median adalah nilai yang membagi data menjadi 2 bagian yang sama besar setelah data diurutkan dari yang kecil ke besar.
21
• Median untuk Data tunggal ( sudah diurutkan)• Bila n adalah bilangan ganjil
Bila n adalah bilangan genap
Rumus berikut berlaku untuk n bilangan ganjil dan genap
22
2
1median nx
2median
122
nn xx
Median
• Atau (setelah data diurutkan)Median = skor keContohTentukanlah median dari1) 5, 5, 2, 3, 7, 7, 9, 10, 10, 15, 10, 16, 16Data: 2, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 10, 10, 10, 15, 16, 16Me = skor ke( ) = 9
23
)1(2
1n
72
113
Median
2) 5, 5, 2, 3, 7, 7, 9, 10, 10, 15, 10, 16, 16, 3Data: 2, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 10, 10, 10, 15, 16, 16Me = skor ke ( ) = skor ke 7 + (skor ke 8 – skor ke 7) = 7 + ( 9 – 7) = 8
24
5,72
114
2
1
2
1
Data dalam tabel distribusi frekuensi
3) Data
Me = 60
25
skor fi fkum
4050608095
511101311
516263950
50
MedianData dalam tabel distribusi frekuensi
26
skor fi
30 - 3940 - 4950 - 5960 - 6970 - 79
511101311
50
f
Fn
bMe 2
Rumus Median untuk data dalam tabel distribusi frekuensi
27
f
Fn
bMe 2
b : batas bawah kelas Medianl : lebar kelas MedianF : jumlah frekuensi sebelum kelas Medianf : frekuensi kelas Median
MODUS
• Data tunggal Modus adalah nilai data yang paling sering muncul.
Contoh: 3, 3, 2, 7, 2, 5, 10, 7, 4, 7Mo = 7Data: 5, 4, 6, 4, 6, 8, 9, 12 Mo = 4 dan 6Data : 5, 4, 6, 7, 10, 15 Mo = tidak ada• Data terkelompok
Modus adalah nilai data yang mempunyai frekuensi terbesar
28
ModusData terkelompok
Skor f
30 – 39 2
40 – 49 16
50 – 59 14
60 – 69 5
70 – 79 16
80 – 89 3
56
29
21
1
bb
bbMo
Rumus Modus untuk data dalam tabel distribusi frekuensi
30
21
1
bb
bbMo
b : batas bawah kelas Modusl : lebar kelas Modusb1 : frekuensi kelas Modus – frekuensi kelas tepat sebelumnyab2 : frekuensi kelas Modus – frekuensi kelas tepat sesudahnya
Data dalam tabel distribusi frekuensiskor fi fkum
1 – 1011 – 2021 – 3031 – 4041 – 50
407030
10060
40110140240300
300
31
50
100
frekuensi
0,5 10,5 20,5 30,5 40,5 50,5
240
140
5,31100
140150105,30
Me
Kelas Me : kelas yang memuat x[n/2] = x[300/2]= x[150] 31- 40
l : lebar kelas Mel = 40,5 – 30,5 = 10
modus
• Data tunggal Modus adalah nilai data yang paling sering muncul.
• Data terkelompokModus adalah nilai data yang mempunyai frekuensi paling besar
32
Data dalam tabel distribusi frekuensiskor fi fkum
1 – 1011 – 2021 – 3031 – 4041 – 50
407030
10060
40110140240300
300
33
21
1
2
1 ,
,
bb
b
yx
x
b
b
y
x
makad
y
c
x
b
y
a
x
50
100
frekuensi
0,5 10,5 20,5 30,5 40,5 50,5
a d
b
c
x y
b2
b1
Rumus Modus untuk data dalam tabel distribusi frekuensi
b : batas bawah kelas Modusl : lebar kelas Modusb1 : frekuensi kelas Modus – frekuensi kelas sebelumnya
b2 : frekuensi kelas Modus – frekuensi kelas sesudahnya
34
21
1
bb
bbMo
35
Top Related