Post on 09-Mar-2019
Matematika Dasar· Teori Himpunan· Relasi & Fungsi· Graph & Tree
© Imam Bukhari, S.Kom, M.M.
anggota dari himpunan S, kita tulis x ∈ S,
kita tulis y ∉ S.
Teori HimpunanHimpunan adalah kumpulan dari obyek. Contoh :kumpulan dari 4 huruf a,b,c dan d merupakanhimpunan, dimana ditulis sbb:
L = { a, b, c, d }
Untuk mengindikasikan bahwa x merupakan
sedang y bukan merupakan anggota himpunan S,
© Imam Bukhari, S.Kom, M.M.
Cara Penulisan Himpunan· Mendaftarkan semua anggotanya
Contoh:- A = {a,e,i,o,u}- B = {2,3,5,7,11,13,17,19}
· Menyatakan sifat yang dimiliki anggotanyaContoh:- A = Himpunan vokal dalam abjad latin- B = Himpunan bilangan prima yang kurang dari 20
· Menggunakan notasi pembentuk himpunanContoh:- P = {x | x himpunan bilangan asli antara 7 dan 15}
(Maksudnya P = {8,9,10,11,12,13,14})- Q = { t | t biangan asli}
(Maksudnya Q = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…}© Imam Bukhari, S.Kom, M.M.
Definisi-definisi pada Teori Himpunan· Himpunan Universal ( Semesta )
A = { 1, 2, 3, 4, 5 }
Himpunan Universal :seluruh elemen yang mungkin adaU = { 1 , … , 10 }
© Imam Bukhari, S.Kom, M.M.
Definisi-definisi pada Teori Himpunan· Himpunan bagian (subset)
Jika setiap anggota himpunan A juga merupakananggota dari himpunan B, maka dapat dikatakan bahwaA merupakan ‘himpunan bagian’ dari B, maka ditulis
A ⊆ B.Contoh : A = {1,3,5} dan B = {0,1,2,3,4,5,6}. Maka A⊆B.
© Imam Bukhari, S.Kom, M.M.
Definisi-definisi pada Teori Himpunan· Himpunan disjoint
Jika setiap anggota himpunan A bukan merupakananggota dari himpunan B, maka dapat dikatakanbahwa A bukan merupakan ‘himpunan bagian’ dari B
Contoh : A = {1,2,3} dan B = {5,6}. Maka A ∩ B = ∅
© Imam Bukhari, S.Kom, M.M.
anggota, dilambangkan dengan “∅” atau { }
Definisi-definisi pada Teori Himpunan· Himpunan Kosong
Merupakan himpunan yang tidak mempunyai
S ∪∅ = S
∅ =
{ }
S ∩ ∅ = ∅ ∅ = Universal SetS- ∅ = S∅ -S =
©Imam Bukhari, S.Kom∅
Definisi-definisi pada Teori Himpunan· Cardinalitas Himpunan
Untuk himpunan yang mempunyai nilai akhirA = { 2, 5, 7 }
|A| = 3
(ukuran set/himpunan)
© B.Very Christioko, S.Kom
Definisi-definisi pada Teori Himpunan· Powersets
Powerset adalah Himpunan dalam himpunanS = { a, b, c }
Powerset dari S = himpunan dari seluruh subsets Ss
Observasi:© Imam Bukhari, S.Kom, M.M.
2{Ø, {a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c},{a, b, c}}
2 2 2 8
s 2 3
Gabungan himpunan A dan B ditulis dengan A ∪ B adalah suatu
Jadi A ∪ B = { x | x ∪ A atau x ∪ B }
A = {1,2,3} dan B = {2,3,4,5}. Maka A ∪ B = {1,2,3,4,5}
Operasi Himpunan· Gabungan (Union)
himpunan yang anggotanya berada di A atau berada di B.
Contoh:
© Imam Bukhari, S.Kom, M.M.
Operasi Himpunan· Irisan (Intersection)
Irisan himpunan A dan B ditulis dengan A ∩ B adalah suatuhimpunan yang anggotanya berada di A dan juga berada di B.Jadi A ∩ B = { x | x ∩ A dan x ∩ B }Contoh:A = {1,2,3} dan B = {2,3,4,5}. Maka A ∩ B = {2,3}
© Imam Bukhari, S.Kom, M.M.
Jadi A-B = { x | x ∈ A atau x ∉ B }
Operasi Himpunan· Selisih (Difference)
Selisih himpunan antara himpunan A dan himpunan B ditulisdengan A–B, dimana himpunan yang terdapat pada himpunan Atetapi tidak terdapat pada himpunan B.
Contoh :A = {1,2,3} dan B = {2,3,4,5}. Maka A-B = {1}
© Imam Bukhari, S.Kom, M.M.
Jadi = { x | x ∈ S, x ∉ A }
Operasi Himpunan· Komplemen
Komplemen dari A ditulis dengan “ A “ adalah himpunanyang anggotanya berada dalam himpunan semesta tetapi bukanberada di A.
AU={1,2,3,...7}. Jika A = {1,2,3} maka A = {4,5,6,7}
© Imam Bukhari, S.Kom, M.M.
Pasangan berurutan (Ordered Pair)Pasangan berurutan berisi dua obyek yangmempunyai urutan yang telah tetap. Pasanganberurutan memperhatikan urutan obyek, makadua pasangan berurutan sama apabilamemenuhi aturan berikut:
( x, y) (u, v) (( x u) dan ( y v))
( x, y, z) (u, v, w) (( x u) dan ( y v) dan ( z w))
© Imam Bukhari, S.Kom, M.M.
Cartesian Product
Perkalian antar himpunan
A = { 2, 4 } B = { 2, 3, 5 }
A X B = { (2, 2), (2, 3), (2, 5), ( 4, 2), (4, 3), (4, 5) }
|A X B| = |A|.|B| 2 . 3 6
© Imam Bukhari, S.Kom, M.M.
▫ s ∈ S ( s anggota dari S)▫ t ∈ T
Relasi· Relasi antar himpunan S dan T adalah
himpunan dari pasangan berurutan (s,t)dimana:
▫ Himpunan dari elemen pertama disebut“DOMAIN” dari relasi.
▫ Himpunan dari elemen kedua disebut “RANGE”dari relasi.
© Imam Bukhari, S.Kom, M.M.
· Misal S={a,b,c,d,e} danT={w,x,y,z}
· Relasi yang terjadi:R={(a,y),(c,w),(c,z),(d,y)}
© Imam Bukhari, S.Kom, M.M.
Fungsi· Misalkan setiap elemen S dengan tepat
mempunyai 1 pasangan di elemen T (menjadielemen pertama dari pasangan berurutan). Relasiini disebut dengan “FUNGSI”.
S Tf(a)=x
f:S T© Imam Bukhari, S.Kom, M.M.
Graph & Tree· Graph G terdiri dari himpunan hingga V dari
obyek disebut “Vertices/titik/node”, himpunanhingga E dari obyek disebut “Edges/tepi/garis”,dan fungsi γ yang memetakan setiap edge subset{v,w}, dimana v dan w adalah vertices.
· Dapat ditulis:
© Imam Bukhari, S.Kom, M.M.
G {V , E, }
Macam Graph· Ditinjau dari arahnya, graph dibagi menjadi 2, yaitu:
1. Graph berarah (directed graph)
1. Graph tidak berarah (undirected graph)
© Imam Bukhari, S.Kom, M.M.
Contoh Graph· Misalkan :
V {1,2,3,4}dan E {e1, e2 , e3 , e4 , e5}
dengan γ didefinisikan sbb:
(e1) (e5 ) {1, 2} (e2 ) {4, 3} (e3 ) {1, 3} (e4 ) {2, 4}
© Imam Bukhari, S.Kom, M.M.
· Graph untuk G {V , E, } sbb:
e5
e1
© Imam Bukhari, S.Kom, M.M.
e3
e2
e4
Definisi-definisi dalam Graph· Derajat dari node: derajat dari suatu node
dihitung dari jumlah busur yang terhubung dengannode itu.Contoh derajat node 1 adalah 3.
· Grap terhubung: jika setiap pasang simpul x dany, terdapat lintasan dari simpul x ke simpul y.
· Panjang lintasan: banyaknya sisi yang dilaluilintasan tsb.
© Imam Bukhari, S.Kom, M.M.
Definisi-definisi dalam Graph· Lintasan: urutan node, atau sisi yang dibentuk dari
satu simpul ke simpul yang lain (rangkaian node yangterhubung dengan busur).
Lintasan: (e, d), (d, c), (c, a)© Imam Bukhari, S.Kom, M.M.
Definisi-definisi dalam Graph· Path: lintasan dimana tidak ada node yang
diulang
© Imam Bukhari, S.Kom, M.M.
Definisi-definisi dalam Graph· Sirkuit/cycle: lintasan yang memiliki node awal
dan node akhir yang sama (lintasan yangkembali ke node awal).
© Imam Bukhari, S.Kom, M.M.
Contoh Soal :· Temukan seluruh path sederhana
© Imam Bukhari, S.Kom, M.M.
Jawab:· Langkah 1
(c, a)(c, e)
© B.Very Christioko, S.Kom
· Langkah 2
(c,(c,(c,(c,(c,
a)a), (a, b)e)e), (e, b)e), (e, d)
© Imam Bukhari, S.Kom, M.M.
· Langkah 3
(c,(c,(c,(c,(c,(c,
a)a), (a, b)a), (a, b), (b, e)e)e), (e, b)e), (e, d)
© Imam Bukhari, S.Kom, M.M.
· Langkah 4
(c,(c,(c,(c,(c,(c,(c,
a)a), (a, b)a), (a, b), (b, e)a), (a, b), (b, e), (e,d)e)e), (e, b)e), (e, d)
© Imam Bukhari, S.Kom, M.M.
Tree· Tree: graph terhubung yang tidak memiliki
Sirkuit/cycle. Tree terdiri dari Root (akar),dan leave (daun)
© Imam Bukhari, S.Kom, M.M.
Definisi-definisi dalam Tree· Root/akar: simpul tertinggi dalam Tree.· Leaf/daun: simpul yang tidak memiliki anak
lagi.· Branch/cabang: simpul-simpul selain daun.· Dalam sebuah Tree berlaku:
n = s + 1dimana:n = banyaknya simpuls = banyaknya sisi
© Imam Bukhari, S.Kom, M.M.
Kedalaman suatu Tree
© Imam Bukhari, S.Kom, M.M.
Binary Tree / Pohon biner· Tree yang setiap cabangnya paling banyak
memiliki dua anak
© Imam Bukhari, S.Kom, M.M.