Post on 19-Jan-2021
Program Perkuliahan Dasar Umum
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
[MA1124] KALKULUS II
Integral Lipat DuaIntegral Lipat Dua
Integral Lipat DuaIntegral Lipat Dua
Z=f(x,y)
z 1. Bentuk partisi [a,b] dan [c,d] menjadi n bagian.
2. Pilih pada setiap sub interval pada [xi, xi-1] dan [yi, yi-1]
3. Bentuk jumlah Riemann.
)y,x( kk
Misalkan z = f(x,y) terdefinisi pada R merupakan suatu persegi panjang tertutup, yaitu : R = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
2
x
y
b
a
R
c d
∆xk∆yk
3. Bentuk jumlah Riemann.
4. Jika n � ∞ (|P|� 0) diperoleh limit jumlah Riemann.
Jika limit ada, maka z = f(x,y) terintegralkan Riemann pada R, ditulis
∑∑= =
∆n
i
n
ikkk Ayxf
1 1
),(
∑∑= =∞→
∆n
i
n
ikkk
nAyxf
1 1
),(lim
∑∑∫∫= =∞→
∆=n
i
n
ikkk
nR
AyxfdAyxf1 1
),(lim),(
)y,x( kk
Integral Lipat DuaIntegral Lipat Dua
Definisi integral lipat dua :
Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R.
∑=
→∆
n
kkkk
PAyxf
10
),(limJika ada, kita katakan f dapat
diintegralkan pada R. Lebih lanjut ∫∫∫∫ = dxdy)y,x(fdA)y,x(f
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
3
diintegralkan pada R. Lebih lanjut ∫∫∫∫ =RR
dxdy)y,x(fdA)y,x(f
=∫∫R
dAyxf ),( ∑=
→∆
n
kkkk
PAyxf
10
),(lim
yang disebut integral lipat dua f pada R diberikan oleh :
=∫∫R
dydx)y,x(f ∑=→
∆∆n
1kkkkk
0Pyx)y,x(flim
atau
Arti Geometri Integral Lipat DuaArti Geometri Integral Lipat Dua
Jika z = f(x,y) kontinu, f(x,y) ≥ 0 pada persegpanjang R,
maka ∫∫R
dAyxf ),( menyatakan volume benda padat yang
terletak di bawah permukaan permukaan z = f(x,y) dan
di atas R.
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
4
di atas R.
Menghitung Integral Lipat DuaMenghitung Integral Lipat Dua
Jika f(x,y) ≥ 0 pada R, maka volume dapat dihitung dengan metode irisan sejajar, yaitu:
(i) Sejajar bidang XOZ
z z= f(x,y)
z
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
5
y
x
ca
b
d
a bx
A(y)
∫=b
a
dxyxfyA ),()(
A(y)
Menghitung Integral Lipat Dua Menghitung Integral Lipat Dua (Lanjutan)(Lanjutan)
∫∫∫ =d
cR
dyyAAdyxf )(),( ∫ ∫
=d
c
b
a
dydxyxf ),( ∫ ∫=d
c
b
a
dydxyxf ),(
Maka
∫∫R
dAyxf ),( ∫ ∫=d
c
b
a
dydxyxf ),(
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
6
∫∫R
∫ ∫c a
Menghitung Integral Lipat Dua Menghitung Integral Lipat Dua (lanjutan)(lanjutan)
(ii) Sejajar bidang YOZ
z z= f(x,y)
c d
z
A(x)A(x)
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
7
y
x
ca
b
d
c dy
∫=d
c
dyyxfxA ),()(
Menghitung Integral Lipat Dua Menghitung Integral Lipat Dua (Lanjutan)(Lanjutan)
∫∫∫ =b
aR
dxxAAdyxf )(),( ∫ ∫
=b
a
d
c
dxdyyxf ),( ∫ ∫=b
a
d
c
dxdyyxf ),(
Maka
∫∫R
dAyxf ),( ∫ ∫=b
a
d
c
dydxyxf ),(
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
8
∫∫R
∫ ∫a c
ContohContoh
1. Hitung integral lipat dua berikut ini : ( )∫∫ +R
dAyx 22 2
dimana R = {(x,y) | 0 ≤ x ≤ 6, 0 ≤ y ≤ 4}
Jawab:
( )∫∫ +R
dAyx 22 2 ( )∫ ∫ +=6
0
4
0
22 2 dxdyyx
6 42
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
9
∫
+=
6
0 0
432
3
2dxyyx
∫
+=6
0
2
3
1284 dxx
0
63
3
128
3
4xx += 544256288 =+=
R
6
4
y
x
ContohContoh
( )∫∫ +R
dAyx 22 2 ( )∫ ∫ +=4
0
6
0
22 2 dydxyx
∫
+=
4
0 0
623 2
3
1dyxyx
Atau,
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
10
( )∫ +=4
0
21272 dyy
0
43472 xx += 544256288 =+=
ContohContoh
2. Hitung integral lipat dua berikut ini : ( )∫∫ +R
dAyxsin
dimana R = {(x,y) | 0 ≤ x ≤π/2, 0 ≤ y ≤ π/2}Jawab:
( )∫∫ +R
dAyxsin ( )∫ ∫ +=2/
0
2/
0
sinπ π
dxdyyx
2/ 2/π π
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
11
R
ππππ/2
ππππ/2
y
x
∫
+−=
2/
0 0
2/
)cos(π π
dxyx
( )∫
+
+−=6
0
cos2
cos dxyyπ
2/
0
2/
0 2sinsin
ππ π
+−= yy
( ) 22
sinsin2
sin =
+−
= πππ
LatihanLatihan
∫ ∫+
1
0
1
0
22
. dxdyexya yx
( )∫ ∫−
2
0
1
1
2. dxdyxyb
∫ ∫ +
1
0
2
0
2 1. dxdy
x
yc
1. Hitung
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
12
2. ( )∫∫R
dydxyxf , untuk fungsi
a. f(x,y)= (x + 2y)2 dengan R = [-1, 2] x [0, 2]
b. f(x,y)= x2 + y2 dengan R = [0, 1] x [0, 1]
c. f(x,y)= y3 cos2x dengan R = [-π/2, π] x [1, 2]
Sifat Integral Lipat DuaSifat Integral Lipat Dua
Misalkan f(x,y) dan g(x,y) terdefinisi di persegipanjang R
1. ( ) ( )∫∫∫∫ =RR
dAyxfkdAyxfk ,,
2. ( ) ( )( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫ +=+RRR
dAyxgdAyxfdAyxgyxf ,,,,
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
13
3. Jika R = R1 + R2 , maka
( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫ +=21
,,,RRR
dAyxfdAyxfdAyxf
4. Jika f(x,y) ≤ g(x,y), maka
( ) ( )∫∫∫∫ ≤RR
dAyxgdAyxf ,,
Integral Lipat Dua atas Daerah Integral Lipat Dua atas Daerah SembarangSembarang
Ada dua tipe
� Tipe I
D = {(x,y) | a ≤ x ≤ b , p(x) ≤ y ≤ q(x) }
� Tipe II
D = {(x,y) | r(y) ≤ x ≤ s(y) , c ≤ y ≤ d }
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
14
D = {(x,y) | r(y) ≤ x ≤ s(y) , c ≤ y ≤ d }
Tipe ITipe I
Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut :
D
q(x)
p(x)
y
∫ ∫∫∫ =b xq
dxdyyxfdAyxf
)(
),(),(
x
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
15
a b x
∫ ∫∫∫ =a xpD
dxdyyxfdAyxf)(
),(),(
D={(x,y)| a≤x≤b, p(x)≤y≤q(x)}
y
Tipe IITipe II
Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut :
∫ ∫∫∫ =d )y(s
dydx)y,x(fdA)y,x(f
x D
c
d
r (y) s (y)
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
16
∫ ∫∫∫ =c )y(rD
dydx)y,x(fdA)y,x(f
D={(x,y)|r(y)≤x≤s(y), c≤y≤d}
y
r (y) s (y)
x
Aturan IntegrasiAturan Integrasi
� Urutan pengintegralan dalam integral lipat dua tergantung dari bentuk D (daerah integrasi).
� Dalam perhitungannya, kadangkala kita perlu merubah urutan pengintegralan. Hal ini dapat disebabkan dengan perubahan urutan pengintegralan akan memudahkan dalam proses integrasinya.
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
17
memudahkan dalam proses integrasinya.
� Oleh karena itu, langkah pertama kita harus dapat menggambarkan daerah integrasidaerah integrasi, selanjutnya kita dapat merubah urutan integrasi dengan mengacu pada sketsa daerah integrasi yang sama.
ContohContoh
1. Hitung ( )∫∫R
x dAey2 ,R dibatasi x= y2, y =1, sumbu y
xR
( )∫∫R
x dAey2 ( )∫ ∫=1
0 0
2
2y
x dydxey
y
x = y21
R = {(x,y)| 0 ≤x≤ y2, 0 ≤ y ≤ 1}
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
18
xR R 0 0
∫=1
00
2
2 dyeyy
x
( )∫ −=1
0
122
dyey y
( ) 2111
0
22
−=−−=−= eeyey
x1
ContohContoh
Atau dibalik urutan pengintegralannya, yaitu:
R
( )∫∫R
x dAey2 ( )∫ ∫=1
0
1
2x
x dxdyey
∫=1
12 dxye
x
x
R = {(x,y)| 0 ≤x≤ 1, √x ≤ y ≤ 1}
y
x = y21
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
19
R ∫0
x
∫ −=1
0
dyxee xx
( ) 1
0
xxx exee +−=y x1
2)11(2 −=+−−= eee
ContohContoh
∫ ∫4
0
2
2
2
.2 dxdyex
y
Daerah integrasinya R = {(x,y)| 0 ≤x≤ 4, x/2 ≤ y ≤ 2}Jawab:
yDiubah urutan pengintegralannya, yaitu:
R = {(x,y)| 0 ≤x≤ 2y, 0 ≤ y ≤ 2}Sehingga
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
20
x R
x
y = x/2
4
2
y
Sehingga
∫ ∫4
0
2
2
2
dxdyex
y ∫ ∫=2
0
2
0
2
dydxey
y
142
0
2
−== eey
∫=2
0
2
0
2
dyxeyy
∫=2
0
2
2 dyey y
x=2y
LatihanLatihan
∫ ∫−
3
1
y3
y
y dydxex.13
∫ ∫π
2
0 0
dxdy
xsin
xcosy.2
∫ ∫−
1
0
1
x
y dxdye.52
∫ ∫4
0
13
.6 dydxey
x
∫ ∫ +
1
0
2
02
dxdy1x
y.3
∫ ∫π π
+2
0
2
0
dydx)yxsin(.4
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
21
0 0 0 y0 0
( )∫ ∫−
+2
0
x4
0
dxdyyx.7
2
∫ ∫π
2
0 0
dxdyxcos
xsiny.8
Integral lipat dalam koordinat kutub/polarIntegral lipat dalam koordinat kutub/polar
Hitung ∫∫+
D
yx dAe22
, D={(x,y)|x2+y2≤4}
Dalam sistem koordinat kartesius, integral ini sulit untuk
diselesaikan.
Sistem Koordinat Kutub
Hubungan Kartesius – Kutub
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
22
θ
rP(r,θ)
x
y
θ=0 (sumbu kutub)
Hubungan Kartesius – Kutubx = r cos θ x2+y2=r2
y = r sin θθ = tan-1(y/x)
22 yxr +=
Transformasi kartesius ke kutubTransformasi kartesius ke kutub
Misalkan z = f(x,y) terdefinisi pada persegipanjang kutub D
D={(r, θ)| a ≤ r ≤ b, α ≤ θ ≤ β}
?),( =∫∫D
dAyxf
θθθθ=ββββ ∆∆∆∆Ak
Pandang satu partisi persegipanjang kutub ∆AkLuas juring lingkaran dengan
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
23
Sumbu Kutub
∆Akr=b
r=a
θθθθ=ββββ
θθθθ=αααα
D
∆∆∆∆Ak
rk-1
rk∆θ∆θ∆θ∆θ
∆ k
Luas juring lingkaran dengansudut pusat θ adalah ½θr2
∆Ak = ½ rk2 ∆ θ- ½ rk-1
2 ∆θ= ½ (rk
2 - rk-12) ∆θ
= ½ (rk + rk-1) (rk - rk-1)∆θ= r ∆r ∆θ
Jika |P|� 0, maka dA = r dr dθ (|P| panjang diagonal ∆Ak)
Transformasi kartesius ke kutubTransformasi kartesius ke kutub
Sehingga
∫∫∫∫ =pk DD
ddrrrrfdAyxf θθθ )sin,cos(),(
Contoh:
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
24
1. Hitung ∫∫+
D
yx dAe22
, D={(x,y)|x2+y2≤4}Contoh:
2. Hitung ∫∫D
dAy , D adalah daerah di kuadran I di dalamlingkaran x2+y2=4 dan di luar x2+y2=1
ContohContoh
∫∫+
D
yx dAe22
.1 dengan D = {(x,y)| x2+y2≤ 4}
D adalah daerah di dalam lingkaran dengan pusat (0,0) jari-jari 2. D = {(r,θ)| 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π}Sehingga
y
Jawab.
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
25
Sehingga
∫∫+
D
yx dAe22
∫ ∫=π
θ2
0
2
0
2
ddrrer
( )14 −= eπ
∫
=
π
θ2
0
2
0
2
2
1der
∫
−=π
θ2
0
4
2
1
2
1de
2
2
x
D r
θθθθ
ContohContoh
∫∫D
dAy.2 dengan D adalah persegipanjang kutubdi kuadran I di dalam lingkaran x2+y2=4di luar x2+y2=1
D = {(r,θ)| 1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π/2}Sehingga
∫∫2/ 2π y
D
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
26
∫∫D
dAr ∫ ∫=2/
0
2
1
sinπ
θθ ddrrr
( )3
7cos
3
7 2/
0=−= πθ
∫
=
2/
0
2
1
3 sin3
1π
θθ dr
( ) ∫−=2/
0
sin183
1π
θθ d
21 x
D
r θθθθ
LatihanLatihan
1. Hitung ∫ ∫−
−−1
0
1
0
22
2
4x
dxdyyx
2. Hitung ∫ ∫−
+1
0
1
0
22
2
)sin(
y
dydxyx
3. Tentukan volume benda pejal di oktan I di bawah
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
27
3. Tentukan volume benda pejal di oktan I di bawah paraboloid z = x2+y2 dan di dalam tabung x2 + y2 = 9dengan menggunakan koordinat kutub.
D daerah sembarang/umumD daerah sembarang/umum
1. D={(r, θ)| φ1(θ) ≤≤≤≤ r ≤≤≤≤ φ2(θ), α ≤≤≤≤ θ ≤≤≤≤ β}2. D={(r, θ)| a ≤≤≤≤ r ≤≤≤≤ b, ψ1(r) ≤≤≤≤ θ ≤≤≤≤ ψ2(r)}
θθθθ=ββββ θθθθ=ψ2(r)
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
28
Sumbu Kutub
r=φ2(θ)
r=φ1(θ)
θθθθ=ββββ
θθθθ=αααα
D
Sumbu Kutub
r=b
r=a
θθθθ=ψ2(r)
θθθθ=ψ1(r)D
Tuliskan daerah integrasi dalam Tuliskan daerah integrasi dalam koordinat polarkoordinat polar
1 2
1 Terlihat bahwa D adalah lingkaran dengan pusat di (1,0) dan berjari-jari 1 DD
Jadi, (x – 1)2 + y2 = 1
x2 – 2x + 1 + y2 = 1
x2 + y2 = 2x
r2 = 2r cos θ
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
29
D={(r, θ)| 0 ≤ r ≤ 2 cos θ ,–π /2 ≤ θ ≤ π/2}
r2 = 2r cos θr2 – 2r cos θ =0r (r – 2 cos θ )=0
r = 0 atau r = 2 cos θUntuk batas θ (dari gambar) θ =–π /2 � θ= π/2Sehingga,
Tuliskan daerah integrasi dalam Tuliskan daerah integrasi dalam koordinat polarkoordinat polar
θ=π/4
1 2 x
y
D
x = 1 � x = 2
y = 0 � y = 22 xx −
y2 = 2x – x2 x2 + y2 – 2x = 0
(x – 1)2 + y2 = 1
ini merupakan lingkaran pusat (1,0), jari-jari 1
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
30
D={(r, θ)| sec θ ≤ r ≤ 2 cos θ ,0 ≤ θ ≤ π/4}
ini merupakan lingkaran pusat (1,0), jari-jari 1
Sehingga koordinat polarnya adalah
Untuk batas r dihitung mulai
x = 1 r cos θ = 1 r = sec θ
Untuk batas θ (dari gambar) θ =0 � θ= π/4hingga r = 2 cos θ
Tuliskan daerah integrasi dalam Tuliskan daerah integrasi dalam koordinat polarkoordinat polar
1
1
2 Terlihat bahwa D adalah lingkaran dengan pusat di (0,1) dan berjari-jari 1
Jadi, x2 + (y – 1)2 = 1
x2 + y2 – 2y + 1 = 1
x2 + y2 = 2y
r2 = 2r sin θ
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
31
D={(r, θ)| 0 ≤ r ≤ 2 sin θ ,0 ≤ θ ≤ π}
r2 = 2r sin θr2 – 2r sin θ =0r (r – 2 sin θ )=0
r = 0 atau r = 2 sin θUntuk batas θ (dari gambar) θ =0 � θ= πSehingga,
Tuliskan daerah integrasi dalam Tuliskan daerah integrasi dalam koordinat polarkoordinat polar
1
1
x = 0 � x = 1
y = 0 � y = x
Untuk batas r
x = 1 r cos θ = 1 r = sec θUntuk batas θ (dari gambar) θ =0 � θ= π/4
DD
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
32
D={(r, θ)| 0 ≤ r ≤ sec θ ,0 ≤ θ ≤ π/4}
Sehingga koordinat polarnya adalah
Untuk batas θ (dari gambar) θ =0 � θ= π/4
ContohContoh
1. Hitung ∫ ∫−
+
2
1
xx2
022
2
dydxyx
1
Jawab: Dari soal terlihat batas untuk x dan y:
x = 1 � x = 2
y = 0 � y = 22 xx −
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
33
y2 = 2x – x2 x2 + y2 – 2x = 0
(x – 1)2 + y2 = 1
ini merupakan lingkaran dengan pusat (1,0), jari-jari 1
θ=π/4
1 2 x
y
D
Koordinat polarnya adalah
D={(r, θ)| sec θ ≤ r ≤ 2 cos θ ,0 ≤ θ ≤ π/4}
Contoh (Lanjutan)Contoh (Lanjutan)
∫ ∫−
+
2
1
2
022
2
1xx
dxdyyx ∫ ∫=
4/
0
cos2
sec
.1
π θ
θ
θddrrr
( )∫=4/
0
cos2
sec
πθ
θθdr ( )∫ −=
4/
0
seccos2π
θθθ d
Sehingga,
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
34
( ) 4/
0tanseclnsin2
πθθθ +−=
∫0
sec θ0
( ) ( ) ( )( )0tan0secln0sin24
tan4
secln4
sin2 +−−
+
−
= πππ
( )1ln12ln22
1.2 +
+−= ( )12ln2 +−=
LatihanLatihan
1. Hitung ∫∫ θS
ddrr , S daerah dalam lingkaran r = 4 cosθdan di luar r = 2
2. Hitung ∫ ∫1
0
12
x
dydxx
3. Hitung ∫∫ −− dAyx 224 , D daerah kuadran I dari
(dengan koordinat kutub)
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
35
3. Hitung ∫∫ −−D
dAyx 224 , D daerah kuadran I darilingkaran x2+y2=1 antaray=0 dan y=x