Post on 04-Feb-2018
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 1/82
Dosen Mata KuliahAndhy Setiawan, M.Si
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 2/82
Menu Utama
Pendahuluan
Persamaan Maxwell
Pandu Gelombang
Pemantulan dan Pembiasan GelombangElektromagnetik
Gelombang Elektromagnetik dalam Medium
Persamaan Gelombang ElektromagnetikTransversalitas Gelombang Elektromagnetik
Vektor Poynting dan Kekekalan Energi
Gelombang dalam Medium Konduktif
Elektron bebas dalam Konduktor dan Plasma
Hukum nelliusPersamaan !resnel
Pandu Gelombang dengan Penam"ang egi Em"at
Pandu Gelombang #alur Transmisi Koaksial
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 3/82
Energi dan Momentum gelombang elektromagnetik dibawaoleh medan listrik E dan medan magnet B yang menjalarmelalui vakum.
Sumber gelombangnya berupa muatan-muatan listrik yangberosilasi dalam atom, molekul, atau mungkin juga dalamsuatu antene pemancar radio.
Untuk medan listrik E dan medan magnet B yang berubahdengan waktu, keberadaan E selalu disertai B, dansebaliknya. eterkaitan antara E dan B dituangkan dalampersamaan Ma!well yang mendasari teori medan magnetik.
A. PENDAHULUAN
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 4/82
B. PERSAMAAN MAXWELL
"ersamaan Ma!well dirumuskan dalam besaran medan
listrik E dan medan magnet B. Seluruh persamaan
Ma!well terdiri dari # persamaan medan, yang masing-masing dapat dipandang sebagai hubungan antara medandan distribusi sumber, baik sumber muatan ataupunsumber arus.
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 5/82
t
D J xH b
∂∂+=∇
→
→
"ersamaan-persamaan Ma!well
0. =∇ B
0. =∇ E
t
B xE
∂∂
−=∇
t
E xB o ∂
∂=∇ 0ε µ
VakumMedium
b D ρ =∇ →
.
0. =∇ B
t
B xE
∂∂
−=∇
$%
&%
'%
(%
)li*k angka untuk mengetahui "enurunan rumus masing+masing
"ersamaan di atas
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 6/82
Persamaan Maxwell pertama merupakan ungkapan dari
hukum Gauss, yang menyatakan bahwa:
“ Jumlah garis gaya medan listrik yang menembus suatu
permukaan tertutup, sebanding dengan jumlah muatan yang
dilingkupi permukaan tersebut.”
Secara matematis Hukum Gauss dituliskan dengan:
∫ ∑=∧→
o
qdAn E ε
..
∫ ∫ =
∧→
dqdAn E
oε
1..
∫ ∫ =• ∧→
dV dAn E o
ρ ε
1.
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 7/82
( )∫ ∫ +=∧→
dV dAn E b f
o
ρ ρ ε
1..
( )∫ ∫ +•∇−=• ∧→ dV P dAn E b
o
ρ ε
1.
∫ ∫ =
•∇+
•∇
→→
dV dv P E bo ρ ε
D E P E o ==+ →→→ε ε
b D ρ =•∇ →
"ersamaan Ma!well $%& dalam Medium
( )∫ ∫ +•∇−=•∇ dV P dV E b
o ρ ε
1
'ari teorema divergensi ∫ ∫ •∇=• ∧→
dV E dAn E .
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 8/82
Untuk ruang vakum, karena tidak ada sumber maka0= ρ
sehingga(
0ε
ρ b E =•∇
0=•∇ →
E
"ersamaan Ma!well $%& untuk ruang vakum,
tanpa sumber muatan
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 9/82
Persamaan Maxwell kedua merupakan )ukum *aussmagnetik, yang menyatakan +luks medan magnetik yangmenembus suatu permukaan tertutup sama dengan nol,
tidak ada sumber medan berupa muatan magnetik. taudengan kata lain, garis gaya medan magnet selalutertutup, tidak ada muatan magnet monopole.
Melalui teorema *auss, persamaan Ma!well kedua dapat
dituliskan dalam bentuk integral(
∫ == ∧→
0. dAn B Bφ
'ari teorema divergensi dV BdAn B∫ ∫ →∧→
∇= .. maka
∫ =∇ →
0. BdV
0. =∇ →
B "ersamaan Ma!well $/& dalam medium dan vakum
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 10/82
Persamaan Maxwell ketiga merupakan ungkapan )ukum0araday-1en2, yang menyatakan bahwa +pengaruh medanmagnet yang berubah dengan waktu.
Secara matematis dituliskan(
t ∂∂
−= φ
ε
dAn Bt
dl E ∧→→
∫ ∫ ∂∂
−= ..
'ari teorema Stokes ∫ ∫
∧→→
∇= dAn E xdl E ..
∫ ∫ ∧→∧→
∂∂
−=∇ dAn Bt
dAn E x ..
t
B E x
∂
∂−=∇
→
→ "ersamaan Ma!well $3& dalam medium
'an vakum.
∫ ∧→
= dAn B .φ dengan
karena dl E .
∫
→
=ε maka
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 11/82
Persamaan Maxwell keem"at merupakan )ukum mpere(
∫ =→
I dl B µ .
∫ = I dl H .
dAn J J dl H f b ..∧
∫ ∫
+=
( ) dAnt
E J dAn xH b ..
∧
→→
∧
∫ ∫
∂∂
+=∇ ε
t
E J xH b
∂∂+=∇
→→
ε
t
D J xH b
∂
∂+=∇
→→
"ersamaan Ma!well $#& dalam medium
→→
= H B
µ dAn J I ∫
→∧
= .dengan
f b J J J →→→
+=
4
dan
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 12/82
I dl B 0. µ =∫ →
dAn B xl d B ∧→→ ∫ ∫ ∇= ..
dAn J dAn B x→→∧→
∫ ∫ =∇ .. 0 µ
→→
=∇ J B x 0 µ
t
E B x
∂∂
=∇→
→
00ε µ
Untuk persamaan Ma!well $#& dalam vakum, yaitu(
'ari teorema Stokes maka
"ersamaan Ma!well $#& dalam 5akum,6anpa sumber muatan
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 13/82
t
B E
∂∂
−=×∇
→→
×∇
∂
∂−=
×∇×∇ →→
B
t
E
→→→
∇−
∇∇=
×∇×∇ E E E 2.
B.1. PERSAMAAN GELOMBANG
ELEKTROMAGNETK
ME'7 18S698'ari persamaan Ma!well $3&(
9uas kanan dan ruas kiri dideerensialkan denganoperasi rotasi, maka(
'ari vektor identitas
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 14/82
02
2
00
2=
∂
∂−∇
→→
t
E E ε µ
2
2
00
2
t
E E
∂∂
=∇→→
ε µ
×∇
∂∂
−=∇−
∇∇
→→→
Bt
E E 2.
2
2
00
2
t
E E
∂∂
−=∇−→
→
ε µ
Maka(
'engan 0. =∇ →
E t
E B
∂∂
=×∇→→
00ε µ dan sehingga
dengan00
1
ε µ =c
0
12
2
2
2
=∂
∂
−∇
→
→
t
E
c E
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 15/82
0
12
2
22
2
2
2
2
2
=
∂∂
−∂∂
+∂∂
+∂∂ →
x E t c z y x
01
2
2
22
2
2
2
2
2
=
∂∂
−∂∂
+∂∂
+∂∂ →
y E t c z y x
01
2
2
22
2
2
2
2
2
=
∂∂
−∂∂
+∂∂
+∂∂ →
z E t c z y x
Sehingga persamaan gelombang medan listrikdalam bentuk dierensial(
Solusi paling sederhana(
( ) ( )t kz E t z E ω −= →→
cos, 0
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 16/82
ME'7 M*7E6
'ari persamaan Ma!well $#&(
t
E
xB o ∂∂
=∇ 0ε µ
→→→ ∇−
∇∇=
×∇×∇ B B B 2.
(
t
E B B
∂×∇∂
=∇−
∇∇
→→→ )
. 00
2 ε µ
0. =∇ →
Bt
B
E ∂
∂
−=×∇
→→
t
E
B ∂
×∇∂
=
×∇×∇
→→ )(
00ε µ
'engan operasi rotasi(
arena vektor identitas
'an persamaan Ma!well $/& serta $3&(
dan
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 17/82
01
2
2
2
2 =∂
∂−∇
→→
t
B
c B
2
2
2
2 1
t
B
c B
∂∂
=∇→→
2
2
00
2
t
B B
∂∂
=∇
→→
ε µ
Maka persamaan gelombang medan magnet dalambentuk dierensial(
sehingga
01
2
2
22
2
2
2
2
2
= ∂∂−∂∂+∂∂+∂∂ →
x Bt c z y x
01
2
2
22
2
2
2
2
2
=
∂∂
−∂∂
+∂∂
+∂∂ →
y Bt c z y x
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 18/82
01
2
2
22
2
2
2
2
2
=
∂∂
−∂∂
+∂∂
+∂∂ →
z Bt c z y x
Solusinya( ( ) ( )t kz Bt z B ω −= →→cos, 0
Solusi persamaan gelombang elektromagnet untukmedan 1istrik dan medan magnet merupakan contoh
eksplisit dari gelombang datar $"lan :ave&)( t kz f ω −
k v ω =
Bentuk umum(
ecepatan(
Bentuk muka gelombangnyategak lurus vektor satuan k,maka(
tan. kons z k =→∧
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 19/82
Siat-siat gelombang datar(%. Mempunyai arah jalar tertentu $dalam persamaan, arah 2&./. 6idak mempunyai komponen pada arah rambat.3. 6idak ada komponen E dan B yang bergantung pada koordinat transversal $pada contoh, koordinat transversalnya ! dan y&.
Sehingga solusi persamaan gelombangnya menjadi(
),(),( t z E jt z E i E y x
∧∧→
+=
),(),( t z B jt z Bi B y x
∧∧→ +=
),(),( t x E k t x E j E z y
∧∧→
+=
),(),( t x Bk t x B j B z y∧∧→ +=
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 20/82
B.!. TRANS"ERSALTAS GELOMBANG ELEKTROMAGNETK
t
E B
∂∂=×∇
→→
00ε µ
t
E
y
B
x
B z z y
∂
∂=
∂
∂−
∂
∂ →→→
00ε µ 0),(
=∂
∂ →
t
t z E z
ME'7 18S698Untuk membuktikan siat dari gelomabng datar yaitutransversalitas,dari persamaan Ma!well $%& dan $#&(
E2 tidak bergantung pada 2 $sisi spatial&
Sisi temporal
0. =∇ →
E
0),(),(),( =
∂∂+
∂∂+
∂∂
→→→
z
t z E
y
t z E
x
t z E z y x
0),(
=∂
∂ →
z
t z E z
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 21/82
;ang berarti E2 tidak bergantung pada t
<adi E2 $2,t& = konstan =>, yang berarti arah getardari gelombang medan listrik tegak lurus pada arah
rambatnya, karena medan listrik E hanya mempunyaikomponen-komponen pada arah yang tegak luruspada arah rambat.
0. =∇ →
B
0),(),(),( =∂∂+∂∂+∂∂
→→→
z t z B
yt z B
xt z B z y x
0),(
=∂
∂ →
z
t z B z
ME'7 M*7E6 'ari persamaan Ma!well $/&(
Sisi spatial, yang berarti B2 tidak bergantung
pada 2.
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 22/82
t
B E x
∂∂
−=∇→
→
t
t z B
y
E
x
E z x y
∂∂
=∂
∂−
∂∂ →→→
),(
0),(
=∂
∂ →
t
t z B z
'an dari persamaan Ma!well $3&(
Sisi temporal, yang berarti B2tidak bergantung pada t.
;ang berarti arah getar gelombang medan magnet tegaklurus terhadap arah rambatnya.
'engan demikian maka gelombangElektromagnetik merupakan gelombang transversal.
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 23/82
y x E j E i E ∧∧→
+=
)cos()cos( 00 t kz E jt kz E i E y x ω ω −+−=
∧∧→
y x B j Bi B∧∧→
+=
)cos()cos( 00 t kz B jt kz Bi B y x ω ω −+−= ∧∧→
t B E x∂
∂−=∇→
→
+−−=
−−
∧∧∧∧
yoxoxoy jB Bit kz jE E it kz k 0)sin()sin( ω ω ω
+−= − ∧∧∧∧
yoxoxoy jB Bi jE E ik 0ω
( ) →
−=×− B E k ω
Bk
E ω = cB E =
)ubungan E dan B, misal menjalar dalam arah 2(
B E ⊥
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 24/82
)ubungan vektor propogasi k, medan listrik E,dan medan magnet B ditunjukkan dengan gambar(
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 25/82
B.#. "EKTOR PO$NTNG DAN KEKEKA
ENERG
Energi medan elektromagnetik merupakan jumlah dariEnergi Medan listrik dan energi medan magnet.
E B uuu +=
2
0
2
0 2
1
2
1 E Bu ε
µ +=
t
E E t
B Bdt
du
∂∂
•+∂∂
•=
→→
→→
0
0
1
ε µ
t
B
E x ∂
∂
−=∇
→→
1aju perubahan rapat energi atau perubahan rapat energiterhadap waktu(
'ari persamaan Ma!well $3& dan $#&, maka(
dan t
E B
∂
∂
=×∇
→→
00
ε µ
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 26/82
×∇•+
×∇−•=
→→→→
B E E Bdt
du
00
11
µ µ
( ) ×∇•− ×∇•=ו∇ →→→→
B E E B B E
×∇•−
×∇•−=
→→→
B E E Bdt
du
0
1
µ
( ) B E dt
du ו∇−=
0
1
µ 0=•∇+
→
S dt
du
Sehingga
'ari vektor identitas
maka
( ) B E S
×=→
0
1
µ dengan disebut vektor poynting
)ukum ekekalan Energi
mengungkapkan besarnya energi persatuan
waktu per satuan luas yang dibawa oleh
medan elektromagnetik
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 27/82
%. GELOMBANG ELEKTROMAGNETK DALAM MEDUM
t
D J H
t B E
B
D
b
b
∂∂
+=×∇
∂∂−=×∇
=∇=∇0.
. ρ
ersamaan!persamaan "a#well
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 28/82
%. 1 GEM DALAM MEDUM KONDUKT&
'alam medium kondukti yang bebas sumber, dan dari hubungan B = ? ) dan ' = @ E, persamaan
Ma!well # dapat ditulis(
,)(
),()(
2
2
t
E
t
J E
t
B E dengan
t
E J
t
B
t
t
E J B
t
D J H b
∂∂
+∂∂
=×∇×∇−∂
∂−=×∇
∂
∂+
∂
∂=×∇
∂
∂∂∂
+=×∇∂
∂+=×∇
µε µ
εµ µ
εµ µ
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 29/82
maka
0
0
)).((
2
2
2
2
22
2
22
=∂∂−∂∂−∇
∂∂
+∂∂
=∇+
∂∂
+∂∂
=∇−∇∇−
t E
t E E
t
E
t
E E
t
E
t
E
E E
µσ µε
µε µσ
µε µσ
'engan solusi ( E$2, t& = E> cos $κ 2 - At&
tau dalam bentuk kompleks (E$2, t& = E> e
-i $κ 2 - At &
E J dan E E E σ =∇−∇∇=×∇×∇ 2).()(
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 30/82
Sehingga (
E e E it
E
E ie E it
E
t z i
t z i
2)(
0
22
2
2
)(
0
ω ω
ω ω
ω κ
ω κ
−==∂
∂
==∂
∂
−−
−−
E$2, t& = E> e-i $κ 2 - At & 0
2
22 =
∂∂
−∂∂
−∇t
E
t
E E µσ µε
( ) E e E ie E z
E t z it z i 2)(
0
22)(
02
22 κ κ ω κ ω κ −==
∂∂
=∇ −−−−
-κ /E ?@A/E C ?DiAE = >
κ /E - ?@A/E ?DiAE = >
κ /
= ?@A/
C i?DA
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 31/82
Misal ( κ = a ib
κ / = $a ib&/ = a/ C b/ /abi
'ari pers κ /= ?@A/ C i?DA, maka (
a/ C b/ = ?@A/ dan /ab = - ?D $
222
222
)2(
)2
(
µεω
µσω
µεω µσω
=−
=−−
aa
aa a
b2
µσω −=
kalikan dengan #a/
#$a/&/ C #?@A/a/ C $?DA&/ = >
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 32/82
'engan menggunakan rumus akar kuadrat, diperoleh (
2222
2,1
22222
2,1
2222
2
2,1
22222
2,1
)(12
1)(
2
1)(
2
1)(
2
1)(
)()(2
1
2)(
8
))(4(4)4(4)(
εω
σ ε µω µεω
σ ω ε µω µεω
µσω µεω µεω
µσω µεω µεω
+±=
+±=
+±=
+−±=
a
a
a
a
#$a/&/ C #?@A/a/ C $?DA&/ = >
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 33/82
++=2
22 11)(2
1
εω
σ µεω a
arena a bilangan riil, maka a/ harus positisehingga dipilih(
2222
2,1 )(12
1)(
2
1)(
εω
σ ε µω µεω +±=a
+±=
2
22
2,1 11)(2
1
)( εω
σ
µεω a
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 34/82
++−=
++−=
−
++=
−
++=
222
2
22
2
22
2
2
22
112
12
1
2
1
1121
21
112
1
εω
σ µεω
εω
σ µεω
εω σ µεω
µεω εω
σ µεω
b
b
b
b
a/ C b/ = ?@A/
b/ = a/ - ?@A/
++=
2
22 11)(2
1
εω
σ µεω a
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 35/82
222
22222
222
2
)(1
)(11
2
1)(11
2
1
))((*
εω
σ µεω κ
εω
σ µεω
εω
σ µεω κ
κ κκ κ
+=
++−+
++=
+=
−+==
baibaiba
κ merupakan ungsi dari A. 'an karena k berkaitandengan cepat rambat, maka pada medium kondukti,cepat rambat gelombang bergantung pada rekuensi.Medium tersebut seperti medium dispersi.
Besarnya bilangan gelombang
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 36/82
Untuk medium yang berkonduktivitas tinggi, , --maka
2
2
1
12
1
112
1
22
2
22
222
µσω
εω
σ µεω
εω
σ
µεω
εω
σ µεω
=
=
+=
++=
a
a
a
a
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 37/82
Sehingga (
2
22
2
µσω
µσω
µσω
µσω
−=
−=
−=
b
b
ab
<ika maka µσω δ
2=
δ
1=−= ba
'engan besaran . disebut tebal kulit $skin depth&
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 38/82
<adi
δ κ
)1( iiba
−=+=
merupakan bilangan gelombang untuk mediumdengan konduktivitas tinggi, pada rekuensi rendahmaka solusinya (
[ ]
)(
0
)1(
0
)(
0
),(
),(
),(
t z
i z
t z i
i
t z ibai
ee E t z E
e E t z E
e E t z E
ω δ δ
ω δ
ω
−−−
−
−−
−+−
=
=
=
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 39/82
Untuk medium yang konduktivitasnya rendah$konduktor buruk&, jauh lebih kecil dari /0. MakaSkin depthnya (
++= 2
22 )(11
2 εω
σ µεω a
'iuraikan dengan deret Maclaurin
+−−+−++=+ !3)2)(1(!2)1(1)1(
32 x
nnn
x
nnx x
n
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 40/82
jika 2)(εω
σ = x maka (
..........)12
1(
2
1.
!2
1
2
11)1( 22
1
+−++=+ x x x
........)(
2
11)(1
......))(21(
41)(
211)(1
22
1
2
422
1
2
−+=
+
+−++=
+
εω
σ
εω
σ
εω σ
εω σ
εω σ
12
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 41/82
<adi,
ε
µ σ
ε
µσ
ε
µσ εω
σ µεω
εω
σ µεω
2
4
4
.......)(2
12
2
.......)(2
111
2
2
22
22
2
22
2
=
=
=
+
+=
+
++=
a
a
a
a
a
ε µ σ
2=−= ba dengan
µ ε
σ δ 2=
yang disebut skin depthδ
1=−= ba
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 42/82
'ari solusi persamaan gelombang pada mediumkondukti yaitu (
)(
0),(t
z i
z
ee E t z E ω
δ δ −−−
= yang dapat ditasirkan setelah menempuh jaraksebesar , maka amplitudo gelombang berkurang
menjadi dari amplitudo semula.e
1
<ika 2 1 maka
)1(0
)1(1
0
),(
),(
t i
t i
ee
E t z E
ee E t z E
ω
ω
−−
−−−
=
=
κ
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 43/82
EBωκ
=Medan Magnet :
<adi medan listrik $E& dan medan magnet $B&tidak lagi mempunyai ase yang sama
[ ]t z ibai
o e E
iba
t z B
ω
ω
−+−+
= )(
),(
θ ieiba −=+arena dengan
=+= −
a
bba 122 tandan, θ
maka[ ]θ ω
ω
+−+−+= t z ibai
o e E ba
t z B )(22
),(
[ ]t z ibaie E t z E ω −+−= )(
0),(
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 44/82
2
1
2
22
2
22
2
)(112
)(11
2
)(112
++=
++=
++=
εω
σ
εω
σ
εω
σ µεω
k a
k a
a
dengan kv = /, dan karena a F k , maka kecepatan asepada medium kondukti G v di udaraHnon kondukti
ecepatan ase(
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 45/82
Besarnya vektor poynting untuk mediumkondukti, yaitu (
)(1 B E S
×= µ dengan E Bω
κ =
= )(1
E E S
ω
κ
µ
21 E S κ
µω =
)(22
0)(1 t z ie E ibaS ω κ
µω −−+=
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 46/82
+−+−
+= 2)(2
2
0
22 θ ω
µω
t z ibai
e E ba
S
0aktor
merupakan aktor redaman dalam perambatan energi.
[ ]t z ibaie E iba
S ω
µω
−+−+= )(22
0
)(
Untuk medium kondukti
δ
1=−= ba
+−−−
+= 2
222
0
22 θ ω
δ δ
µω
t z
i z
ee E ba
S
maka
δ
z
e2−
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 47/82
%. ! ELEKTRON BEBAS D DALAMKONDUKTORDAN PLASMA
Elektron bebas di dalam konduktor tidak terikatpada atom dan molekul sehingga dapat digunakanpersamaan Ma!well 3, yaitu (
t
B E
∂
∂−=×∇
t
J
t
E E
∂∂
−∂∂
−=∇− 02
2
00
2 µ ε µ
-
002
2
00
2 =∂
∂−
∂
∂−∇
t
J
t
E E µ ε µ $%&
* k l kt
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 48/82
*erakan elektron :
E q
dt
dv! e= dengan v = kecepatan elektron
9uas kiri dan ruas kanan dikalikan dengan 7Ie
E q "
t
" vq! e
e 2)()(
=
∂
∂
)2........()( 2 E q " t
J ! e=∂
∂
Substitusi persamaan $/& ke persamaan $%&
0)(
2
02
2
00
2 =−∂
∂−∇ E
!
"q
t
E E e µ ε µ
dan < = vIe7, maka (
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 49/82
Sehingga (
0)(
2
02
2
00
2 =−∂∂
−∇ E !
q "
t
E E e µ ε µ
dan )(
0),( t kz ie E t z E
ω −−=
E k e E k i E t kz i 2)(
0
222 −==∇ −− ω
E ie E it
E t kz iω ω
ω ==
∂
∂ −− )(
0
E e E it
E t kzi 2)(
0
22
2
2
ω ω ω −==∂
∂ −−
maka,
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 50/82
0)(
)(2
0
2
00
2=−+− E
!
q " E E k e
µ ω ε µ
!
q " k e
2)(0
2
00
2 µ ω ε µ −=
2
0
2
2
00
2 )(1
ω ε ω ε µ !
q " k e−=
karena00
2 1ε µ =c dan
22
2
1v
k =ω
2
0
2
2
2
00
)(1
1
ω ε ω ε µ !
q " k e−= dengan 22)(
#e
!
q " ω
ε =
−=
2
2
2
2
1
ω
ω #
v
cmaka
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 51/82
Berdasarkan deinisi indeks bias (v
cn =
−=
2
2
2 1ω
ω #n
2
2
1ω
ω #n −= 8ndeks Bias "lasma
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 52/82
Bila ω<ωp maka nilai indeks bias n
berupa bilangan imajiner yang berarti
gelombang di dalam plasma tsb akanteredam.
Bila ω ≥ ωp, maka nilai indeks bias nberupa bilangan nyata (real) sehingga
gelombang akan diteruskan.
D. PEMANTULAN DAN PEMBASAN
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 53/82
D.1 HUKUMSNELLUS6injau untuk kasus 6ransverse Electric $6E&
D. PEMANTULAN DAN PEMBASANGELOMBANG ELEKTROMAGNETK
E1 k1
B1
E2
k2B2
E3
k3
B3
Med1
Med2μ2ε2
μ1ε11α 2α
3α
x
x
x
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 54/82
'ari gambar tersebut diperoleh persamaanuntuk gelombang medan magnet
)(
011011
1
)cos(),(
t k i
e Bt k Bt B
ω
ω
−•
=−•=)(
0220222)cos(),(
t k ie Bt k Bt B ω ω −•=−•=
)(
033033
3)cos(),( t k i
e Bt k Bt B ω ω −•=−•=
dengan
k% = k% J i sin $K%& C j cos $K%&L
k/ = k/ J i sin $K/& j cos $K/&Lk3 = k3 J i sin $K3& C j cos $K3&L
"ersamaan %
"ersamaan /
b k
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 55/82
])cos()sin([
011111),( t y xk ie Bt B ω α α −−
=
])cos()sin([
033333),( t y xk ie Bt B
ω α α −−=
])cos()sin([
022222),(
t y xk ie Bt B ω α α −+= "ersamaan 3
Syarat batas di y = > 4 maka
B%! C B/! = B3!
B% cos K% C B/ cos K/ = B3 cos K3
'an persamaan 3 menjadi (
)sin(
303
)sin(
202
)sin(
101332211 .cos.cos.cos
α α α α α α xk i xk i xk ie Be Be B =−
Substitusi persamaan % ke persamaan /(
"ersamaan
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 56/82
"ersamaan
dapat dipandang sebagai ea! Beb! = ec!
dengan menggunakan deret eksponensial(
++++
++++
+++ .....
!21.....
!21.....
!21
222222 xccx$
xbbx B
xaax A
dengan mengabaikan suku ke tiga, diperoleh (
B =
a! Bb! = c!
a! Bb! = $ B& c!
)sin(
303
)sin(
202
)sin(
101332211 .cos.cos.cos
α α α α α α xk i xk i xk ie Be Be B =−
'alam bentuk matriks (
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 57/82
[ ] [ ]
=
cx
cx B A
bx
ax B A
diperoleh a = b = c
maka k% sin K% = k/ sin K/
arena gelombang datang dan gelombang pantul
berada dalam medium yang sama yaitu medium %maka ( k% = k/
sehingga K% = K/
k% sin K% = k3 sin K3'ari a = c maka
'alam bentuk matriks (
ccω
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 58/82
n
cv
v
cn
vk =⇒=⇒=
ω
nk c
n
n
ck ≈⇒==
ω ω
maka k% dan k3 sebanding dengan n% dan n3
sehingga n% sin K% = n/ sin K3
Persamaan nellius
D ! PERSAMAAN
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 59/82
D.!. PERSAMAAN&RESNELLSetelah memahami tentang hukum Snellius, selanjutnya
akan ditunjukkan perbandingan mplitudo gelombangpantul dan gelombang bias terhadap amplitudo gelombangdatang yang disebut dengan persamaan 0resnell
asus 6ransverse Magnetik $6M&
B1 k1
E1 k2B2
B3*
k3
E3
1
2μ2ε2
μ1ε1
x
E/α α
θ
⋅•
•
'engan memasukkan batas di y = > $berdasarkan gambar&
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 60/82
'engan memasukkan batas di y = > $berdasarkan gambar&
Untuk medan listrik (
E 1x + E 2x = E 3x
( ) ( ) ( )θ α coscos 321 E E E =+
Untuk medan magnet (
B1 – B2 = B3
( ) 3
2
21
1
11 E
v E E
v=−
'engan B=EHc di 5akum atau B= EHv di medium
sehingga dan n=cHv maka %Hv N n
maka n% $E%-E/& = n/ E3
( )
2
2113
n
E E n E
−=
OOO %
OOO /.%
OOO /./
"ersamaan /./ disubstitusikan kedalam
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 61/82
m mpersamaan %,maka akan diperoleh (
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
−=
+
−=+
α θ θ α
θ α
coscoscoscos
coscos
2
11
2
12
21
2
121
n
n E
n
n E
E E n
n E E
Maka diperoleh koeisien releksi yaitu
perbandingan antara medan pantul terhadap medandatang $E/HE%&.
dikali n/
maka
( ) ( )
( ) ( )α θ
α θ
coscos
coscos
2
1
2
1
1
2
+
−==
n
n
n
n
E
E %&
( ) ( )
( ) ( )α θ
α θ
coscos
coscos
21
21
1
2
nn
nn
E
E %& +
−== OOO 3
'ari persamaan /.% kita peroleh persamaan$E E & E
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 62/82
n% $E%-E/& = n/ E3
1
32112
n
E n E n E
−= OO #
"ersamaan # disubstitusikan ke persamaan %, maka (
( ) ( )
( ) ( ) ( )θ α α
θ α
coscoscos2
coscos
33
1
21
3
1
32111
E E nn E
E n
E n E n E
=−
=
−+
dikali n%
maka ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )α θ α
θ α α
coscoscos2
coscoscos2
21311
313211
nn E E n
E n E n E n
+==−
'ari persamaan diatas dapat dicari koeisien transmisi,;aitu perbandingan antara E3HE%
( )
( ) ( )α θ
α
coscos
cos2
21
1
1
3
nn
n
E
E t %& +
==
asus 6ransver Elektrik $6E&
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 63/82
$ &
B1
k1
E1
k2
E2
B3k3
E3
1
2μ2ε2
μ1ε1
x
B/
α α
θ
⋅•
•
Berdasarkan gambar diatas apabila digunakan syarat
batas di y=> Maka akan diperoleh hubungan (Untuk meda magnet
B%!-B/! = B3!
( ) θ α coscos 321 B B B =− OOO %
Untuk medan listrik
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 64/82
E 1 + E 2 = E 3
'ari hubungan E B
ω
κ = B E
κ
ω =
κ
ω =v
v
cn =
maka
v1 (B1 + B2 ) = v2 B3 v N %Hn
....... /.%
( )21
1
2
3
B Bn
n B += ....... /./
( ) 3
2
21
1
11 B
n B B
n=+
%
% % %
E 1 + E 2 = E 3
"ersamaan /./ disubstitusikan ke pesamaan %
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 65/82
θ α
θ α
coscos
coscos
1
2
1
2
1
2
n
nn
n
B B %E
+
−
==θ α θ α
coscoscoscos
21
21
nnnn %E +−=
( ) ( )
α θ θ α
θ α
coscoscoscos
coscos
1
21
1
22
21
1
221
−
=
+−
+=−
n
n B
n
n B
B B
n
n B B
θ α
α θ
coscos
coscos
1
2
1
2
1
2
n
n
n
n
B
B '%E
+
−
=−=
p
Sehingga diperoleh (
maka
'ari persamaan /.% kita peroleh
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 66/82
p p
( ) 3
2
21
11 B
n B B
n=+
13
2
12 B B
n
n B −= ....... 3
"ersamaan 3 disubstitusi ke persamaan %
θ α α
θ α
coscoscos2
coscos
33
2
11
313
2
11
B B
n
n B
B B Bn
n B
=−
=
−−
( )θ α α coscoscoscos2 21312 nn B Bn +=
θ α
α
coscos
cos2
21
2
1
3
nn
n
B
Bt %E +
==
pabila sudut bias 090 maka,
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 67/82
pa a su ut as maka,
'ari hukum Snellius diperoleh hubungan
1
21
211
3211
sin
90sinsin
sinsin
n
n
nn
nn
o
=
=
=
α
α
α α
Sudut datang yang menghasilkan sudut bias 090
sudut kritis
Bila sudut datang lebih besar dari sudut kritis,maka terjadi pemantulan total.
maka n% F n/
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 68/82
pabila o
90=+θ α
dari hukum Snellius diperoleh hubungan(
( )1
2tannn=α
Sudut datang yang menghasilkano90=+θ α
Sudut Brewster
α α
α α
θ α
cossin
)90sin(sin
sinsin
1
2
21
21
n
n
nn
nn
o
=
−=
=
E. PANDU GELOMBANG
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 69/82
Selubung konduktor kosong yangujung-ujungnyadibatasi oleh permukaan disebut rongga $cavity&.
Sedangkan bila ujung-ujungnya tidak dibatasioleh permukaan disebut dengan pandu gelombang
'iasumsikan bahwa pandu gelombang benar-benarkonduktor sempurna Sehingga bahan material
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 70/82
konduktor sempurna, Sehingga bahan materialtersebut berlaku E = > 'an B = >
Misalkan gelombang elektromagnetik merambat denganBentuk ungsi sebagai berikut (
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )t kxi
o
t kxi
o
e z y Bt z y x B
e z y E t z y x E
ω
ω
−
−
=
=
,,,,
,,,,
"ersamaan ini disubstitusikan ke dalam persamaan Ma!well 3dan # ,Maka akan diperoleh (
x
y z Bi
z
E
z
E ω =
∂
∂−
∂
∂
y z x BiikE z
E ω =−
∂∂
z y x BiikE y
E ω −=−
∂
∂
x
y z E c
i
z
B
y
B2
ω −=
∂
∂−
∂∂
OOO %
OOO /./ OOO /.#
OOO /.3OOO /.%
x Ei
ikB B ω
−=−∂
/ P
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 71/82
y z E c
ikB z
2−=−
∂
z y
x E c
iikB
y
B
2
ω =−
∂
∂
'ari persamaan /.%, /./, /.3, /.#, /.P, /.Q, akan menghasilkanSolusi Untuk E y, E2, B y, dan B2 sebagai berikut
( )
∂
∂+∂
∂
−= z
B
y
E k
k c
i E x x y ω
ω 22/
( )
∂∂
−∂
∂−
= y
B
z
E k
k c
i E x x
z ω ω 22/
( )
∂∂−∂∂−=
z E
c y Bk
k ci B x x
y 222/ω
ω
( )
∂
∂+
∂∂
−=
y
E
c z
Bk
k c
i B x x
z 222/
ω
ω
OOO /.P
OOO /.Q
OOO 3.%
OOO 3./
OOO 3.3
OOO 3.#
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 72/82
'engan n̂ adalah vektor satuan normal pada
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 73/82
konduktor, maka akan kita peroleh
E x = 0 'i permukaan
0=∂∂n
B x 'i permukaan
Bila E! = >, disebut gelombang 6E $6ransverse elektrik
Bila B! = >, disebut gelombang6M $6ransverse Mgnetik&,'an E! = > dan B! = >, disebut gelombang 6EM $6ransverse
Electric Magnetik&"ada pandu gelombang yang terselubung, kasus 6EM tidak
pernah terjadi hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut (Bila E! = >, maka menurut hukum gauss haruslah berlaku hukum
0=
∂
∂+
∂
∂
z
E
y
E z y
OOO Q.%
OOO Q./
OOO R
'an bila B! = >, maka menurut hukum 0araday
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 74/82
yBerlaku hubungan
0=∂
∂−
∂
∂
z
E
y
E y x
arena E = > di permukaan logam, maka potensial listrik5 = konstan pada permukaan logam. Menurut hukum *ausstau persamaan 1aplace untuk 5, berlaku pula 5 = konstan
'idalam rongga. 8ni berarti E = > didalam rongga. 'ari"ersamaan
E t
B×∇=
∂∂
−
Berarti B tidak bergantung waktu, dengan demikian tidakada gelombang didalam rongga
OOO
E.1 PANDU GELOMBANG DENGAN
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 75/82
PENAMPANG SEG EMPAT
"ersamaan dierensial dari komponen longitudinal
02
2
2
2
2
2
=
−
+
∂∂
+∂∂
x Bk c z y
ω OOO %
'an syarat batas 0ˆ =⋅ Bn 0ˆ =× Bndan
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 76/82
Maka dengan pemisalan ( B! $y,2& = ; $y& T$2&
Substitusikan ke persamaan %, maka (
0)()(22
2
2
2
2
=
−
+
∂∂+
∂∂ z ( y) k
c z y
ω
02
2
2
2
2
2
=
−
+
∂∂
+∂∂
)( k c z
( )
y
) (
ω
011 2
2
2
2
2
2
=
−
∂∂
+∂∂
k k z
(
( y
)
)
ω
Sehingga 02
2
2
=−
+−− k c ( k ) k ω
dengan
z
y
k z
(
(
k y)
)
2
2
2
22
2
1
1
−=∂∂
−=∂∂
Solusi dari persamaan 3 (
( ) ( ) yk B yk A) y y cossin +=
dibagi ;T
OOO /
OOO3
OOO #
Syarat batas 0=dy
d) di y = > dan di y = a
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 77/82
dy
> = ky , maka = >( ) ( ) yk yBk yk Ak dy
d) y y y y sincos −=
( )ak Bk
y y sin0
= maka, π !ak y = dengan m = >, %, /,O.atau
a
!k y
π =
Untuk solusi z k z
(
(
2
2
21−=
∂∂
yaitu ( ) ( ) ( k B ( k A ( z z cossin +=
Syarat batas 0=dz d( di 2 = >, 2 = b
( ) ( ) ( k Bk ( k Ak dz
d( z z z z sincos −=maka untuk ( )
Ak
( k Ak dz
d(
z
z z
=
=
0
cos
( ) 0cos ≠ ( k z Untuk ( ) ( k Bk dz
d( z z sin= 0≠ Bk z dan k22 = >
Sin k22 = >
b
n
k
nbk
n z k
z
z
z
π
π
π
=
=
=maka dengan n = >, %, /, O.2=b
maka untuk( ) ( )+ (kB(kA( cossin
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 78/82
=
+=
+=
a
y! B
ya
! B
) k B) k A) y y
π
π
cos
cos0
cossin ( ) ( )
=
+=
+=
b
z n
B
b
z n B
( k B ( k A ( z z
π
π
cos
cos0
cossin
Sehingga ( )
⋅
=
b
z n B
a
y! B z y B x
π π coscos,
Untuk mendapat bilangan gelombang k, maka dari
persamaan yang sudah didapat0
2
2
2 =−
+−− k c
( k ) k ω dengan
a
!k y
π = b
nk z
π =dan
maka
222
2222
2
222
0
−
−
=
−
−
=
=−
+
−
−
b
n
a
!
ck
b
n
a
!
ck
k cb
n
a
!
π π ω
π π ω
ω π π
!!ck
221
ω ω −=
22
+
=
b
n
a
!c!! π ω
Untuk mengetahui kecepaatan grup maka dapatdiperoleh dari persamaan
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 79/82
diperoleh dari persamaan
dk
d v g
ω =
dk d v g
/
1
ω =
'ari persamaan ( !!
ck
221ω ω −=
( )
( )
( )
!!
!!
!!
!!
!!
cd
dk
cd
dk
cd
dk
d
d
cd
dk
cd
d
d
dk
22
2
122
2
122
2
122
22
22
11
1
1
ω ω
ω
ω
ω ω ω
ω
ω ω ω ω
ω ω ω ω
ω ω ω ω
−=
−=
⋅−=
−=
−=
−
−
2
2
2
2
2
22
1
−=
−=
−=
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω ω
!! g
!!
g
!!
g
v
v
cv
E.! PANDU GELOMBANG 'ALUR
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 80/82
TRANSMS KOAKSAL
'ari persamaan Ma!well 3 dan # diperoleh (
y z x E
c
iikB
z
B2
ω −=−
∂∂
*ambar diatas memperlihatkan pandu gelombang berupa jalur trandmisi koaksial $coa!ial& transmition line&,terdiri dari kawat panjang yang diselimuti konduktorsilinder. awat panjang itu terletak pada sumbu silinder
z y x E
c
iikB
y
B2
ω =−
∂∂
Untuk medan listrik ( Untuk medan magnet (
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 81/82
0=∂
∂+
∂
∂
z
B
y
B z y
0=∂
∂−∂
∂ z
B
y
B y x
Maka cB2 = E y dan cB y = -E2
0=∂
∂+
∂
∂
z
E
y
E z y
0=∂
∂−∂
∂ z
E
y
E y x
Solusi dengan menggunakan koordinat silinder
E E oo ˆ
1= dan Φ= ˆ1
c
E B oo
'iasumsikan dalam pandu gelombang benar-benar
konduktor sempurna, berlaku E = > dan B = >Sehingga ungsi gelombangnya
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )t kxi
o
t kxi
o
e z y Bt z y x B
e z y E t z y x E
ω
ω
−
−
=
=
,,,,
,,,,
Untuk persamaan (
7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 82/82
( ) ( ) ( )t kxi
o e z y E t z y x E ω −= ,,,,
( ) ( )t kx E it kx E oo ω ω −+−= cosˆcos
Substitusikan
E E oo ˆ
1=
diperoleh ( ) t kx
E E o ˆcos ω −=
Untuk persamaan
( ) ( ) ( )t kxi
o e z y Bt z y x B ω −= ,,,,
( ) ( )t kx Bit kx B oo ω ω −+−= cosˆcos
yang diambil bagian realnya maka,dengan mensubstitusi
Φ= ˆ1
c
E B oo maka ( )
Φ−
= ˆcos
t kx
c
E B o ω