Post on 07-Feb-2018
BAB 8 : TABURAN KEBARANGKALIAN
Sesi 1
Taburan Binomial
A. Pembolehubah rawak diskret
Contoh
Jika X ialah satu pembolehubah rawak diskret yang mewakili bilangan hari hujan dalam
seminggu, senaraikan semua nilai yang mungkin bagi X.
Penyelesaian
π = {0,1,2,3,4,5,6,7}
B. Kebarangkalian suatu peristiwa dalam taburan binomial
1. Satu eksperimen yang mempunyai dua kesudahan sahaja iaitu kejayaan atau kegagalan.
2. Kebarangkalian untuk memperolehi r kali kejayaan dalam taburan binomial diberi oleh
P(X = π) = βΏCπpπqnβr
dengan
Contoh 1
Jika sekeping duit syiling dilambung 8 kali, cari kebarangkalian bahawa angka muncul sebanyak
5 kali.
Penyelesaian
n = 8
π = 5
p =1
2 , q =
1
2
P(X = 5) = βΈC5 (1
2)
5
(1
2)
3
= 0.2188
n = bilangan percubaan
p = kebarangkalian kejayaan
q = kebarangkalian kegagalan (dengan p+q=1)
Contoh 2
Syafikah membeli 10 biji oren. Kebarangkalian sebiji oren yang dibeli masam ialah 0.2. Carikan
kebarangkalian bahawa oren itu
(a) tepat sebiji masam,
(b) tidak lebih daripada sebiji oren masam,
(c) sekurang-kurangnya dua biji oren masam.
Penyelesaian
n = 10
p = 0.2 , q = 0.8
(a) P(X = 1) = ΒΉβ°C1(0.2)1(0.8)9
= 0.2684
(b) P(X = 0) + P(X = 1)
= ΒΉβ°C0(0.2)0(0.8)10 + 0.2684
= 0.3758
(c) P(X = 2) + P(X = 3)+. . . . +P(X = 10)
= 1 β [P(X = 0) + P(X = 1)]
= 1 β 0.3758
= 0.6242
Graf Taburan Binomial
Contoh
Sebuah keluarga mempunyai tiga orang anak. Jika X mewakili bilangan anak lelaki,
(a) senaraikan elemen pembolehubah rawak diskret binomial X,
(b) hitungkan kebarangkalian untuk setiap elemen X,
(c) plotkan graf untuk mewakili taburan binomial X.
Penyelesaian
(a) π = {0,1,2,3}
(b) P(X = 0) = Β³C0 (1
2)
0
(1
2)
3
=1
8
P(X = 1) = Β³C1 (1
2)
1
(1
2)
2
=3
8
P(X = 2) = Β³C2 (1
2)
2
(1
2)
1
=3
8
P(X = 3) = Β³C3 (1
2)
3
(1
2)
0
=1
8
(c)
Sesi 2
Min, varians dan sisihan piawai bagi taburan binomial
Min, ΞΌ = ππ
Varians, π2 = πππ
Sisihan piawai, Ο = βπππ
π~π΅(π, π)
Contoh 1
X ialah pembolehubah rawak diskret dengan π~π΅(π, π). Jika min dan sisihan piawai X masing-
masing ialah 9.6 dan 2.4, carikan nilai n.
1
8
2
8
3
8
π(π = π)
0 1 2 3
π = π
Penyelesaian
π = ππ = 9.6
π = βπππ = 2.4
βΉ β9.6π = 2.4
9.6π = 5.76
π =5.76
9.6
= 0.6
βΉ π = 1 β π
= 1 β 0.6
= 0.4
ππ = 9.6
βΉ π(0.4) = 9.6
β΄ π =9.6
0.4
= 24
Contoh 2
Dalam satu peperiksaan percubaan SPM di sekolah, 2 daripada 5 orang pelajar gagal dalam
Bahasa Inggeris.
(a) Jika 6 orang dipilih secara rawak, carikan kebarangkalian tidak lebih daripada 2 orang pelajar
gagal Bahasa Inggeris.
(b) Jika terdapat 200 orang pelajar tingkatan 5 di sekolah itu, carikan min dan sisihan piawai
bilangan pelajar yang gagal Bahasa Inggeris.
Penyelesaian
π =2
5 , π =
3
5
(a) π = 6
P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
= βΆC0 (2
5)
0
(3
5)
6
+ βΆC1 (2
5)
1
(3
5)
5
+ βΆC2 (2
5)
2
(3
5)
4
= 0.5443
(b) π = 200
Min, ΞΌ = np
= 200 (2
5)
= 80
π = βπππ
= β200 Γ2
5Γ
3
5
= 6.928
Contoh 3
Dalam satu kaji selidik, 60% daripada pesakit yang menghidap penyakit tertentu dipulihkan
dengan ubat Y. Jika seorang doktor ingin memberi rawatan kepada 7 orang pesakit yang dipilih
secara rawak dengan ubat Y, apakah kebarangkalian
(a) 4 orang pesakit akan pulih?
(b) lebih daripada 5 orang pesakit akan pulih?
Penyelesaian
π = 0.6 , π = 0.4 , π = 7
(a) P(X = 4) = β·πΆ4(0.6)4(0.4)3
= 0.2903
(b) P(X = 6) + P(X = 7)
= [β·πΆ6(0.6)6(0.4)1] + [β·πΆ7(0.6)7(0.4)0]
= 0.1306 + 0.02799
= 0.1586
Contoh 4
Sebuah kilang menghasilkan komponen elektronik. 10% daripada komponen tersebut adalah
rosak.
(a) Jika seorang juruteknik memilih 100 komponen itu secara rawak untuk diuju, carikan min
dan sisihan piawai bagi komponen yang rosak.
(b) Carikan bilangan komponen yang minimum supaya kebarangkalian memperoleh sekurang-
kurangnya satu komponen rosak melebihi 0.8.
Penyelesaian
π = 0.1 , π = 0.9
(a) π = 100
Min, ΞΌ = np
= 100(0.1)
= 10
Sisihan piawai, π = βπππ
= β10(0.9)
= β9
= 3
(b) P(X β₯ 1) > 0.8
βΉ 1 β P(X = 0) > 0.8
1 β βΏC0(0.1)0(0.9)n > 0.8
βΏC0(0.1)0(0.9)n < 0.2
0.9n < 0.2
nlog10(0.9) < log100.2
n >log100.2
log100.9
n > 15.28
βΉ n = 16
Sesi 3
Taburan Normal Piawai
Kebarangkalian skor-z.
Contoh
Cari nilai bagi setiap yang berikut :
(a) P(Z > 1.92)
(b) P(Z < β1.925)
(c) P(Z β€ 1.925)
(d) P(Z > β2.3)
(e) P(1.0 < Z < 2.0)
(f) P(β2.5 < Z < β1.3)
(g) P(β2.15 β€ Z β€ 0.5)
Penyelesaian
(a)
P(Z > 1.92) = 0.0274
(b)
P(Z < β1.925)
= P(Z > 1.925)
= 0.0271
(c)
π(π§)
1.92 π§
π(π§)
1.925 π§
β1.925
π(π§)
1.925 π§
P(Z β€ 1.925)
= 1 β P(Z > 1.925)
= 1 β 0.0271
= 0.9729
(d)
P(Z > β2.3)
= 1 β P(Z < β2.3)
= 1 β P(Z > 2.3)
= 1 β 0.0107
= 0.9893
(e)
P(1.0 < Z < 2.0)
= P(Z > 1.0) β P(Z > 2.0)
= 0.1587 β 0.0228
= 0.1359
π(π§)
β2.3 π§
π(π§)
2.0 π§
1.0
(f)
P(β2.5 < Z < β1.3)
= P(1.3 < Z < 2.5)
= P(Z > 1.3) β P(Z > 2.5)
= 0.0968 β 0.00621
= 0.09059
(g)
P(β2.15 β€ Z β€ 0.5)
= 1 β P(Z < β2.15) β P(Z > 0.5)
= 1 β P(Z > 2.15) β P(Z > 0.5)
= 1 β 0.0158 β 0.3085
= 0.6757
#NOTA
1. P(|π| < π)
= P(βa < Z < a)
2. P(|π| > π)
= P(Z > a) + P(Z < βa)
π(π§)
2.5 π§
1.3 β2.5 β1.3
π(π§)
π§ 0.5 β2.15
Sesi 4
Contoh 2
Carikan skor-z bagi setiap yang berikut :
(a) P(Z > z) = 0.3974
(b) P(Z < z) = 0.0202
(c) P(Z β€ z) = 0.7
(d) P(Z > z) = 0.9247
(e) P(β1.2 β€ Z β€ π§) = 0.237
Penyelesaian
(a)
P(Z > z) = 0.3974
π§ = 0.26
(b)
P(Z < z) = 0.0202
P(Z > βz) = 0.0202
βz = 2.05
β΄ z = β2.05
π(π§)
π§ π§
0.3974
π(π§)
π§ π§
0.0202
(c)
P(Z β€ z) = 0.7
1 β P(Z > z) = 0.7
P(Z > z) = 0.3
z = 0.524
(d)
P(Z > z) = 0.9247
1 β P(Z < z) = 0.9247
1 β P(Z > βz) = 0.9247
P(Z > βz) = 0.0753
βz = 1.438
z = β1.438
π(π§)
π§ π§
0.7
π(π§)
π§ π§
0.9247
(e)
P(β1.2 β€ Z β€ z) = 0.237
P(βz β€ Z β€ 1.2) = 0.237
P(Z > βz) β P(Z > 1.2) = 0.237
P(Z > βz) β 0.1151 = 0.237
P(Z > βz) = 0.3521
βz = 0.38
z = β0.38
Menukarkan pembolehubah rawak bagi taburan normal, X, kepada pembolehubah
piawai, Z
Z =π β π
π
Contoh
Taburan normal X mempunyai min 15 dan varians 16. Cari skor-z apabila
(a) π₯ = 18
(b) π₯ = 15
(c) π₯ = 12.5
Penyelesaian
(a) Z =18β15
4
=0.75
(b) Z =15β15
4
= 0
(c) Z =12.5β15
4
= β0.625
π(π§)
π§ π§
0.237
β1.2
Mewakilkan kebarangkalian sesuatu peristiwa dengan mengunakan tatatanda set
Contoh
Jisim buah jambu yang dipetik dari sebuah dusun mempunyai taburan nomal dengan min 250 g
dan sisihan piawai 20 g. Wakilkan kebarangkalian jisim buah jambu yang dipilih secara rawak
adalah lebih besar daripada 200 g tetapi kurang daripada 300 g dalam bentuk tatatanda set.
Penyelesaian
π = 250 g
π = 20 g
P(200 < X < 300)
= P (200 β 250
20< Z <
300 β 250
20)
= P(β2.5 < Z < 2.5)
Sesi 5
Menyelesaikan masalah yang melibatkan taburan normal
Contoh 1
Markah sekumpulan pelajar dalam ujian Matematik Tambahan bertabur secara normal dengan
min 55 dan varians 36. Jika seorang pelajar dipilih secara rawak, carikan kebarangkalian
(a) markahnya lebih daripada 75,
(b) markahnya diantara 50 dan 75.
Penyelesaian
π = 55
π2 = 36, βΉ π = 6
(a) P(X > 75)
= P (Z >75 β 55
6)
= P (Z >10
3)
= 0.00043
(b) P(50 < X < 75)
= P (50 β 55
6< Z <
75 β 55
6)
= P(β0.833 < Z < 3.333)
= 1 β P(Z < β0.833) β P(Z > 3.333)
= 1 β P(Z > 0.833) β P(Z > 3.333)
= 1 β 0.2024 β 0.00043
= 0.79717
Contoh 2
Jisim sekeping biskut bertabur secara normal dengan min 7 g dan sisihan piawai 0.2 g.
(a) Carikan kebarangkalian biskut yang dipiih secara rawak mempunyai jisim lebih daripada
7.25 g.
(b) Jika 80% daripada biskut mempunyai jisim lebih daripada t g, carikan nilai t.
Penyelesaian
π = 7 g
π = 0.2 g
(a) P(X > 7.25)
= P (Z >7.25 β 7
0.2)
= P(Z > 1.25)
= 0.1056
(b) P(X > π‘) = 0.8
βΉ P (Z >π‘ β 7
0.2) = 0.8
1 β P (Z <π‘ β 7
0.2) = 0.8
1 β P (Z > β [π‘ β 7
0.2]) = 0.8
P (Z > β [π‘ β 7
0.2]) = 0.2
β [π‘ β 7
0.2] = 0.842
π‘ β 7
0.2= β0.842
β΄ π‘ = 6.8316
Contoh 3
Tinggi sekumpulan ahli kadet yang mengambil bahagian dalam perbarisan Hari Kebangsaaan
bertabur secara normal dengan min 165 cm dan sisihan piawai 8 cm.
(a) Cari kebarangkalian seorang ahli kadet yang dipilih secara rawak mempunyai ketinggian
di antara 157 cm dan 177 cm.
(b) Carikan bilangan ahli kadet yang tinggi mereka di antara 157 cm dan 177 cm, diberi bahawa
terdapat sekumpulan 2000 orang ahli kadet.
Penyelesaian
π = 165, π = 8
(a) P(157 < X < 177)
= P (157 β 165
8< Z <
177 β 165
8)
= P(β1 < Z < 1.5)
= 1 β P(Z < β1) β P(Z > 1.5)
= 1 β P(Z > 1) β P(Z > 1.5)
= 1 β 0.1587 β 0.0668
= 0.7745
(b) P(A) =n(A)
n(S)
0.7745 =n(A)
2000
β΄ n(A) = 0.7745 Γ 2000
= 1549