MKPK Metode Kuantitatif untuk Pengambilan Keputusanremediasi plus

By Andriyastuti Suratman, SE., MM

FUNGSI

• MERUPAKAN BENTUK HUBUNGAN MATEMATIS

YANG MENYATAKAN HUBUNGAN FUNGSIONAL

ANTARA SATU VARIABEL DENGAN VARIABEL

LAIN

Fungsi dalam matematika menyatakan hubungan formal antara dua himpunan data. eq:

Data konsumsi tahunan/ bulanan dengan pendapatan keluarga

Penjualan dan pendapatan dari proyek bangunan

Biaya produksi kue Keuntungan konser Dll

Macam Fungsi

F ungsi L inear

F ungsi Kuadr at

F ungsi Kubik

F ungsi Bikuadr at

F ungsi Polinom F ungsi Pangkat

F ungsi Rasional F ungsi I r r asional

F ungsi A lj abar

F ungsi Eksponensiil

F ungsi Logar it mik

F ungsi T r igonomet r ik

F ungsi H iper bolik

F ungsi N on A lj abar

F ungsi

Fungsi non linear ( fs dimana pangkat tertinggi dari variabel bebasnya lebih dari satu)

Macam Fungsi

F ungsi L inear

F ungsi Kuadr at

F ungsi Kubik

F ungsi Bikuadr at

F ungsi Polinom F ungsi Pangkat

F ungsi Rasional F ungsi I r r asional

F ungsi A lj abar

F ungsi Eksponensiil

F ungsi Logar it mik

F ungsi T r igonomet r ik

F ungsi H iper bolik

F ungsi N on A lj abar

F ungsi

Fungsi non linear ( fs dimana pangkat tertinggi dari variabel bebasnya lebih dari satu)

Fungsi polinom : fungsi yang mempunyai satu atau banyak suku dan variabel bebas.

y = a0 + a1x + a2x2 + ….. + anxn

untuk n = bilangan bulat positif Fungsi linier : fs polinom yg variabel

bebasnya hanya sampai derajat satu. Bentuk umumnya: y = ax + b

Fungsi kuadrat : fs polinom yang variabel bebasnya berderajat dua. y = ax2 + bx + c

Fungsi kubik & fs bi kuadrat : fs polinom yg pangkat tertinggi variabel bebasnya adalah 3 dan empat.

y = ax3 + bx2 + cx + dy = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e

UNSUR PEMBENTUK FUNGSI

1. VARIABEL : UNSUR PEMBENTUK FUNGSI YANG MENCERMIN

KAN FAKTOR TERTENTU, TERDIRI DARI VARIABEL BEBAS

DAN VARIABEL TERIKAT

2. KOEFISIEN : BILANGAN YANG TERKAIT PADA DAN TERLETAK

DI DEPAN SUATU VARIABEL DALAM SEBUAH FUNGSI.

3. KONSTANTA : BILANGAN YG KADANG-KADANG TURUT

MEMBENTUK SEBUAH FUNGSI. BILANGAN INI BERDIRI

SENDIRI TIDAK TERKAIT PADA SUATU VARIABEL TERTENTU

• BENTUK UMUM FUNGSI :

Y = f (X) , Y merupakan fungsi dari X

y = ax + b

PENYAJIAN FUNGSI DENGAN KURVA (GRAFIK)

• Fungsi selain disajikan dalam bentuk formula atau

rumus dapat juga disajikan dalam bentuk grafik.

• Penyajian fs dalam bentuk grafik menggunakan analisis

sistem koordinat bujur sangkar• Menggunakan 2 macam garis lurus yang saling

berpotongan tegak lurus. Garis vertikal disebut dg sumbu ordinat (grs y) dan garis horizontal disebut dg sumbu absis (grs x).

• Perpotongan kedua sumbu membagi bid datar menjadi 4 bagian yg disebut kuadran. Dlm analisis ekonomi yang digunakan adalah kuadran pertama.

BIDANG KOORDINAT/ CARTESIUS 4 KUADRAN

Y

(x,y)

Kuadran I

Kuadran IV

Kuadran II

Kuadran III

X

(-x,y)

(-x,-y) (x,-y)

Pengenalan fungsi, secara :

1. Notasi matematis (lambang)linier: y = 4x + 7non linier: y = x2 – 4x + 1

2. Daftar (lajur)Linier x 0 1 2 3 4 5

6y 7 …. … … … … …

Non linier x 0 1 2 3 4 5y 1 … … … … …(kerjakan..)

3. Penggambaran (grafik)4. Subtitusi 5. Eliminasi

Contoh soal : y = 3x + 9 y = 8x + 5 y = x2 – 2x – 8 y = x2 – 7x + 12 1. gunakan cara daftar 2. gunakan cara matematis

Fungsi linier Kemiringan suatu garis/ grafik

tergantung pada nilai a (koefisien arah) a = positif, kiri bawah ke kanan atas a = negatif, kiri atas ke kanan bawah

Misal (untuk membuktikan koefisien

arah): y = 3x + 2 y = -3x + 2 y = 3x -2 y = 3x

Menentukan Persamaan Garis

a. Metode dua titik (dwi koordinat)b. Metode titik potong sumbuc. Metode kemiringan garis dan titik d. Metode kemiringan garis dan titik

potong sumbu

a. Metode dua titik

Pembentukan persamaan linier dari dua buah titik yang diketahui

Misal titik A (x1, y1) dan titik B (x2, y2)

(y - y1) = (x - x1)

(y2 - y1) (x2 - x1)

Y Y1 B Y2 A D C E x1 x2 x

Pembentukan persamaan garis lurus…

Soal :

a. Persamaan garis lurus yang melalui titik A (1,3) dan B (2,4)

b. Dua buah titik dari suatu persamaan linier A(2,1) dan B(4,5)

Bentuklah persamaan linier tersebut!

b. Metode titik potong sumbu Kasus khusus bila titik-titik tersebut

merupakan titik potong sumbu (baik x / y) Bentuk penggal garis

(a,0) penggal sb.x (0,b) penggal sb.y

x + y = 1,a ba adl absis titik pd sumbu x pd (x,0), dan b adalah ordinat titik pd sb y pada (0,y)

Contoh soal : (0,5) dan (2,0)

Pembentukan persamaan garis lurus…

Kerjakanlah :

Jika diketahui titik A (1,0) dan B (0,3), serta C (-4,0) dan D (0,8).Bentuklah persamaan linier dari AB dan CD!

c. Metode kemiringan garis dan titik Bila diketahui titik A (x1, y1)dan dilalui

oleh suatu garis lurus yang memiliki kemiringan m

(y - y1) = (y2 - y1) (x - x1)

(x2 - x1)

Sedangkan m = (y2 - y1) , (x2 - x1)

Maka, y – y1 = m(x – x1)

Atau y = m(x – x1) + y1

Misal, persamaan garis melalui titik (4,2) dan kemiringan -3Pembentukan persamaan garis lurus…

Soal : Buatlah persamaan linier yang

melalui titik A (4,5) dan mempunyai lereng garis fungsi 4.

d. Metode kemiringan garis dan titik potong sumbu

Bila terdapat titik berkoordinat (0, b) dengan sumbu y sebuah garis lurus yang memiliki garis m

y - y1 = m(x – x1)

y - b = m(x – 0)

y - b = mx

y = mx + b

Pembentukan persamaan garis lurus…

Contoh :Apabila suatu garis memiliki titik potong dg sumbu y pada (0,-4) dan kemiringannya 5, bgmna persamaan liniernya?

y = ax + ba = 5, b = -4

y = 5x - 4

Hubungan antar garis lurus

4 kemungkinan :1. Dua garis saling berimpit2. Dua garis saling sejajar3. Dua garis saling berpotongan4. Dua garis saling berpotongan

tegak lurus

1. Dua garis saling berimpit Terjadi bila persamaan garis

yang satu merupakan kelipatan dari persamaan garis yang lain

Contoh . Persamaan garis pertama y = 3x

+ 4Persamaan garis kedua 2y = 6x

+8

y1=a1x+b1

y2=a2x+b2 x

y

2. Dua garis saling sejajar

Terjadi bila kemiringan garis (gradien) kedua garis tersebut sama besarnya

Misal :Persamaan garis pertama: y = 3x

+ 4Persamaan garis kedua: y = 3x - 2

y

x

y1=a1x+b1

y2=a2x+b2

Hubungan antar garis lurus

3. Dua garis saling berpotongan Terjadi bila kemiringan kedua

garis tersebut berbeda atau tidak sama besarnya

Misal :Persamaan garis pertama: y = 2x

+ 6Persamaan garis kedua: y = x + 5

y

x

y1=a1x+b1

y2=a2x+b2

4. Dua garis saling berpotongan tegak lurus Terjadi apabila kemiringan

kedua garis tersebut saling berkebalikan dengan tanda berlawanan

Misal :Persamaan garis pertama: y = 2x

+ 8Persamaan garis kedua: y = -1/2x

+ 5

x

y y1=a1x+b1

y2=a2x+b2

Hubungan antar garis lurus

Pengenalan fungsi, secara :

1. Notasi matematis (lambang)linier: y = 4x + 7non linier: y = x2 – 4x + 1

2. Daftar (lajur)Linier x 0 1 2 3 4 5

6y 7 …. … … … … …

Non linier x 0 1 2 3 4 5y 1 … … … … …(kerjakan..)

3. Penggambaran (grafik)4. Subtitusi 5. Eliminasi

Metode substitusi1. Pilih salah satu variabel dalam satu

persamaan, buat koefisien variabel tersebut menjadi 1

2. Subtitusikan persamaan tadi ke dalam persamaan kedua

3. Carilah nilai variabel yang tidak dipilih dg cara matematis

4. Subtitusikan kembali nilai variabel yang didapat ke dalam persamaan mula untuk mendapat nilai variabel yang dipilih

Contoh metode subtitusiterdapat 2 persamaan:(1) 3x- 2y = 7 dan (2) 2x + 4y = 10

Variabel yg dipilih untuk dijadikan nilai 1 koefisiennya adalah persamaan (2)

2x = 10 – 4yx = 5 – 2y

subtitusikan persamaan (2) ke persamaan (1)3(5 – 2y)–2y = 7

Carilah nilai variabel yang tidak dipilih secara matematis

15 – 6y – 2y = 7-8y = -8y = 1

Subtitusikan nilai y ke dalam persamaan semula (bisa pilih)

3x – 2 (1) = 73x = 9x = 3

jadi didapatkan himpunan penyelesaian untuk 2 persamaan tersebut yaitu (3,1)

Metode eliminasi1. Pilih salah satu variabel yang akan

dieliminasi (sementara)2. Kalikan kedua persamaan dengan nilai

konstanta tertentu sehingga koefisien pada variabel yang dipilih akan menjadi sama

3. Apabila kedua koefisien variabel memiliki tanda yang sama maka dikurangkan, namun bila memiliki tanda berbeda maka jumlahkan

4. Cari nilai variabel yang tersisa (tidak dipilih) dan subtitusikan pada persamaan awal untuk menentukan nilai variabel lainnya.

Contoh metode eliminasiterdapat 2 persamaan:(1) 3x- 2y = 7 dan (2) 2x + 4y = 10

Variabel yang akan dielimiasi adalah variabel y Tiap persamaan Kalikan konstanta agar hasil koefisien variabel yang

dipilih menjadi sama(3x-2y=7) x2, menjadi 6x-4y=14(2x+4y=10) x1, menjadi 2x+4y=10

Kedua tanda koefisien dari variabel y berbeda maka jumlahkan, cari nilai variabel x

6x-4y =14 2x+4y=10 +8x = 24, maka didapat nilai x = 3

Subtitusikan nilai x = 3 ke dalam persamaan semula3 (3) – 2y = 7

-2y = -2y = 1

jadi didapatkan himpunan penyelesaian untuk 2 persamaan tersebut yaitu (3,1)