JenisJenis--jenisjenis fungsifungsi dandanfungsifungsi linierlinier

HafidhHafidh MunawirMunawir

Diskripsi Mata KuliahMemperkenalkan unsur-unsur fungsi ialah variabelbebas dan variabel terikat, koefisien, dankonstanta, yang saling berkaitan satu sama lain dalahubungan yang dapat dijelaskan secara ateatisyaitu hubungan yang linier. Fungsi-fungsi yangbersifat linier tersebut dapat saling berhimpit,bersifat linier tersebut dapat saling berhimpit,sejajar atau bahkan berpotongan. Untuk mencariperpotongan dua fungsi yang linier digunakanmetode eliminasi, substitusi atau dengan caradeterminan.

2

Teori FungsiFungsi yaitu hubungan matematis antara suatu

variabel dengan variabel lainnya.Unsur-unsur pembentukan fungsi yaitu variabel,Koefisien dan konstanta.Yang dimaksud dengan variabel ialah unsur yangsifatnya berubah-ubah dari satu keadaan ke keadaansifatnya berubah-ubah dari satu keadaan ke keadaanlainnya. Dalam suatu fungsi, Penggolongan variabeldibedakan menjadi variabel bebas dan variabelterikat.

Variabel, Koefisien, & Konstanta

Variabel bebas yaitu variabel yang menerangkanvariabel lain, sedangkan variabel terikat yaitu variabelyang diterangkan oleh variabel lain.Koefisien ialah bilangan atau angka yang diletakkantepat di depan suatu variabel, terkait dengan variabelyang bersangkutan.Konstanta atau Intersep sifatnya tetap dan tidak terkaitKonstanta atau Intersep sifatnya tetap dan tidak terkaitdengan suatu variabel apa pun.secara umum jika dikatakan bahwa y adalah fungsi darix maka ditulis y = f(x), dimana x adalah variabel bebasdan y adalah variabel terikat

Bentuk Umum

Secara umum jika dikatakan bahwa y adalah fungsi dari xmaka ditulis y = f(x), dimana x adalah variabel bebas dany adalah variabel terikat.Contoh : 3y = 4x – 8,

y adalah variabel terikaty adalah variabel terikatx adalah variabel bebas 3 adalah koefisien ( terletak didepan variabel y)4 adalah koefisien ( terletak didepan variabel x) -8 adalah konstanta

JenisJenis--jenisjenis fungsifungsiFungsi

Fungsi Fungsi

Fungsi non-aljabar (transenden)Fungsi aljabar

6

F.PangkatF. PolinomF. LinierF. KuadratF. KubikF. Bikuadrat

Fungsi rasional

Fungsi irrasional

F. EksponensialF. LogaritmikF. TrigonometrikF. Hiperbolik

Jenis-jenis Fungsi

a. Fungsi LinierBentuk umum : Y = a0 + a1x1

Contoh : Y = 1 + 2x1

b. Fungsi KuadratBentuk umum : Y = a + a x1 + a x2Bentuk umum : Y = a0 + a1x1 + a2x2

Contoh : Y = 1 - 2x1 - 3x2

7

Lanjutannya …

Jenis-jenis Fungsi

c. Fungsi EksponenBentuk umum : Y = nx

Contoh : Y = 2x

d. Fungsi LogaritmaBentuk umum : Y = n log xBentuk umum : Y = n log xContoh : Y = 4 log x

8

Fungsi LinierFungsi linier adalah fungsih polinom yang

variabel bebasnya memiliki memilikipangkatpaling tinggi adalah satu.

Misal : Y = a0 + a1x1 , dimana Y disebut variabelterikat dan x disebut variabel bebas.

9

terikat dan x disebut variabel bebas.

a0 konstanta, nilainya positif, negatif, atau nola1 Koefisien, nilainya positif, negatif atau nol

Gradien Garis Lurus (m)Fungsi linier Y = a0 + a1x1, jika digambarkan

maka grafiknya berupa garis lurus. Koefisienx, yaitu a1 menunjukkan nilai kemiringan garisatau gradien.

Jika sebuah garis lurus melalui dua titik A(x1, y1)

10

Jika sebuah garis lurus melalui dua titik A(x1, y1)dan B(x2, y2), maka nilai gradiennya (m),adalah sebagai berikut :

Grafik Fungsi

a. Y = 4 + 2x

(0, 4)

Y X 0

Y 0

11

(-2, 0)

0X

b. Y = 4 - 2x

(0, 4)

YX 0

Y 0

12

(2, 0)0X

Lanjutannya …

b. Y = - 4 + 2x

Y

X

X 0

Y 0

13

(0, -4)

(2, 0)0X

Lanjutannya …

6. Hubungan Dua Fungsi LinierAda dua fungsi linier dimana fungsi linier pertama yaitu : Y = a0 + a1 x dan fungsi linier yang kedua yaitu : Y’ = a0’ + a1’ x.

Kedua Fungsi Linier tersebut berada dalam berbagai keadaan:

14

berbagai keadaan:

Lanjutannya …

Karena berhimpit, maka a0 = a0’ dan a1 = a1’Contoh :

0

Y

X

1. Berimpit

Y = a0 + a1xY’ = a’0 +a’1x

Contoh : Fungsi linier Pertama : Y = 4 + 2x , intersep 4, gradien 2Fungsi linier kedua : 2Y = 8 + 4x , intersep 8/2 = 4 , gradien 4/2 = 2

15

Lanjutannya …

Karena sejajar, maka a0 ≠ a0’ dan a1 = a1’Contoh :

0

Y

X

2. Sejajar

Y = a0 + a1xY’ = a’0 +a’1x

Contoh : Fungsi linier pertama : Y = 4 + 4x , intersep 4, gradien 4Fungsi linier kedua : Y = 2 + 4x , intersep 2, gradien 4

16

Lanjutannya …

Karena Berpotongan, maka dan a1 ≠ a1’untuk kondisi seperti pada gambar a0 = a0’Contoh :

0

Y

X

3. Berpotongan

Y = a0 + a1x

Y’ = a’0 +a’1x

Contoh :Fungsi linier pertama Y = 4 + 4x , intersep 4, gradien 4Fungsi linier kedua : Y = 2 – 4x , intersep 2, gradien –4

17

Lanjutannya …

Karena Berpotongan, maka dan a1 . a1’= -1untuk kondisi seperti pada gambar a0 = a0’Contoh :

0

Y

X

4. Berpotongan Tegak Lurus

Y = a0 + a1x

Y’ = a’0 +a’1x

Contoh :Fungsi linier pertama : Y = 4 + 4x, intersep 4, gradien 4Fungsi linier kedua : Y = 2 – 1/ 4x, intersep 2, gradien –1/4

18

7. Titik Potong Dua Fungsi Linier

Ada dua fungsi linier dimana fungsi linierpertama yaitu : Y = a0 + a1 x dan fungsi linieryang kedua yaitu : Y’ = a0’ + a1’ x.Untuk fungsi linier yang saling berpotongan,maka untuk mencari titik potongnya dapatdilakukan dengan cara :

19

dilakukan dengan cara : Eliminasi Substitusi Elisusi (Campuran) Determinan

Lanjutannya … Contoh …

MetodeMetode EliminasiEliminasi

Prinsip yang digunakan untuk menghilangkansuatu variabel adalah mengurangkan ataumenjumlahkannya. Untuk menghilangkan suatu variabel, koefisien

dari variabel tersebut pada kedua persamaanharus sama. Jika belum sama, masing-masingpersamaan dikalikan dengan bilangan tertentupersamaan dikalikan dengan bilangan tertentusehingga variabel tersebut memiliki koefisiensama.

Jika variabel yang akan dihilangkan bertandasama, dua persamaan dikurangi, dan jikamemiliki tanda yang berbeda, dua persamaanditambah.

Contoh 1Tentukan himpunan penyelesaian dari sistempersamaan :

Penyelesaian

2...23y4x-1...112y3x

PenyelesaianUntuk mencari variabel y berarti variabel xdieliminasi :

+y = 38

2...23y4x-

1...112y3x

69y12x

448y12x

x3

x4

Untuk mencari variabel x berarti variabel ydieliminasi :

+x = 29

Jadi himpunan penyelesaian dari sistem

2...23y4x-

1...112y3x46y8x

336y9x

x2

x3

Jadi himpunan penyelesaian dari sistempersamaan linear tersebut adalah {(29,38)}

PenyelesaianUntuk mencari variabel y maka variabel x dieliminasi

204y2x

145y3x

Contoh 2

--22y = 88

y = -4

204y2x

145y3x6012y6x

2810y6x

x3

x2

Untuk mencari variabel x maka variabel y dieliminasi

+22x = -44

x = -2

204y2x

145y3x1002010

562012

yx

yx

x5

x4

x = -2

Jadi himpunan penyelesaian dari sistem persamaanlinear tersebut adalah {(-2, -4)}

Metode Substitusi

Substitusi artinya mengganti ataumenyatakan salah satu variabel denganvariabel lainnya.

Contoh 1Tentukan himpunan penyelesaian dari sistemTentukan himpunan penyelesaian dari sistempersamaan :

2...234x-

1...11y23x

y

Penyelesaian

Misalkan yang akan disubstitusi adalah variabel xpada persamaan (2), maka persamaan (1)dinyatakan dalam bentuk :3x – 2y = 11

3x = 2y + 11

2...234x-

1...11y23x

y

3x = 2y + 11

…(3)

Substitusikan nilai x pada persamaan (3) kepersamaan (2), sehingga :

3

112yx

-4x + 3y = -2

-4 + 3y = -2(x3)

-4(2y + 11) + 9y = -6-8y – 44 + 9y = -6-8y + 9y = -6 + 44

y = 38

3

112y

Untuk mendapatkan nilai x, substitusikan y = 38 kepersamaan (3)

= = = 29

Jadi himpunan penyelesaian dari sistempersamaan linear tersebut adalah {(29, 38)}

3

112yx

3

112.38

3

87

Contoh 2

Coba Anda selesaikan contoh 2 di atas dengan carasubstitusi, apakah hasilnya sama seperti dengan caraeliminasi, karena contoh 1 kita peroleh penyelesaianyang sama (untuk cara eliminasi dan substitusi)

204y2x

145y3x

yang sama (untuk cara eliminasi dan substitusi)

Metode Gabungan (EliSusi)

Metode Gabungan yaitu penggunaan duametode yaitu eliminasi dan substitusi.

Contoh 1Tentukan himpunan penyelesaian dari sistempersamaan :

1...11y23x

2...234x-

1...11y23x

y

Penyelesaian

Untuk mencari variabel y berarti variabel xdieliminasi :

+y = 38

Nilai y = 38 disubstitusikan ke persamaan (1) :3x – 2y = 11

69y12x

448y12x

x3

x4

2...23y4x-

1...112y3x

3x – 2y = 113x – 2(38) = 11

3x – 76 = 113x = 11 + 763x = 87x = 29

Jadi himpunan penyelesaian dari sistempersamaan linear tersebut adalah {(29, 38)}

Contoh 2

Coba Anda selesaikan contoh 2 di atas dengan caragabungan, apakah hasilnya juga sama dengan caraeliminasi dan substitusi !

204y2x

145y3x

Metode Determinan

Metode Determinan yaitu penggunaandeterminan pada matriks.

Contoh 1Tentukan himpunan penyelesaian dari sistempersamaan :

1...11y23x

2...234x-

1...11y23x

y

Penyelesaian Untuk mencari variabel x :

Untuk mencari variabel y :

2989

433

)2)(4(3.3

)2).(2(3.11

34

23

32

211

x

Jadi himpunan penyelesaian dari sistem persamaanlinear tersebut adalah {(29, 38)}

3889

446

)2)(4(3.3

11).4()2.(3

34

23

24

113

y

Contoh 2

Coba Anda selesaikan contoh 2 di

204y2x

145y3x

Coba Anda selesaikan contoh 2 diatas dengan cara gabungan,apakah hasilnya juga sama dengancara determinan !

8. Penamaan Fungsi Linier

A(x1, y1)

B(x2, y2)

Contoh

Carilah garis yang melalui A(2, 5)dan (6, 17) !

Penyelesaian

8. Penamaan Fungsi Linier

A(x1, y2)

Contoh

Carilah garis yang melalui A(2, 5)dengan kecondongan sebesar 3 !

Penyelesaian

SELAMAT MENGERJAKANDAN BERDISKUSIDAN BERDISKUSI