Post on 16-May-2019
1
MATEMATIKA I(FIS 6111, Wajib, 3 SKS)
Kompetensi UmumSistem bilangan real, fungsi, barisan dan deret bilangan real, Limit dan keontinuan,turunan dan penggunaannya, interpretasi derivatif. Teorema Rolle, Teorema Nilai rata-rata, Teorema L€Hospital, Teorema Taylor dan penggunaannya.
Acuan1.Purcell dan Varberg; Kalkulus dan Geometri Analitis (terjemahan), Erlangga 19922.Leithold; Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik (terjemahan), Erlangga 1992
18
SATUAN ACARA PERKULIAHAN
Mata Kuliah : Matematika I
Kode : FIS 6111
Bobot SKS : 3 (Tiga)
Pokok Bahasan : Sistem bilangan real
Sub Pokok Bahasan: Aksioma lapanganAksioma urutanAksioma kelengkapanGaris bilanganSistem koordinatPetaksamaanNilai Mutlak
Alokasi Waktu : 3 x (3 x 50) Menit
I. Tujuan PembelajaranUmum
Mahasiswa diharapkan dapat :Memahami Sistem bilangan real serta mampu menerapkanya dalam masalah-masalah nyata
II. Tujuan Pembelajaran Khusus
Mahasiswa diharapkan dapat :a. Menjelaskan Sistem bilangan reala. Menjelaskan sifat-sifat bilangan nyatab. Menggunakan sifat-sifat bilangan nyata dalam teknik-teknik manipulasi
aljabarc. Mengurutkan dua bilangan nyata sebarangd. Menggunakan sifat urutan bilangan nyata untuk memanipulasi bentuk-
bentuk aljabare. Menyatakan himpunan bagian dari R dalam notasi selang atau sebaliknyaf. Menentukan himpunan penyelesaian pertaksaman aljabar dengan garis
bilangang. Menentukan himpunan penyelesaian ketaksamaan yang memuat nillai
mutlak dengan sifat-sifat nilai mutlakh. Menentukan himpunan penyelesaian nilai mutlak dengan pengkuadratan
III. Pokok-pokok materi
Sifat-sifat lapangan:
19
1. Sifat komutatif. x + y = y + x dan xy = yx2. Sifat Assosiatif. x + (y + z) = (x + y) + z dan x(yz) = (xy)z3. Sifat distributif. x(y + z) = xy + xz4. Elemen-elemen identitas. Elemen 0 memenuhi sifat 0 + x = x + 0 = x
untuk setiap bilangan x. 0 disebut identitas terhadap penjumlahan.Elemen 1 memenuhi sifat x.1 = 1.x = x untuk setiap bilangan x.Elemen 1 disebut elemen identitat terhadap perkalian.
5. Elemen balikan Setiap bilangan x mempunyai balikan aditif • x, yangmemenuhi sifat x + (-x) = 0. Juga setiap bilangan x kecuali 0mempunyai balikan perkalian x-1, yang memenuhi sifat xx-1 = 1.
Sifat-Sifat urutan :1. Trikotomi. Jika x dan y adalah bilangan-bilangan, maka pasti satu
diantara yang berikut berlaku :X < y atau x = y atau x> y
2. Ketransitipan. x < y dan y < z x < z3. Penambahan. x < y x + z < y + z4. Perkalian. Bilangan z positif, x < y xz < yz : Bilangan z negatif, x
< y xzyz
Nilai mutlak suatu bilangan real x, dinyatakan oleh x , didefinisikansebagai
x
xx
jikajika
00
xx
Nilai mutlak dikenalkan melalui konsep jarak pada garis bilangan. Sifat-sifat nilai mutlak
1. baab
2.ba
ba
3. baba (ketaksamaan segitiga)
4. baba
Ketaksamaan yang menyangkut nilai mutlak1. ax -a < x < a
2. ax x < -a atau x > a.
3. yx x2 < y2
IV. Strategi Pembelajaran
a. Metode : Ceramah, diskusi dan penugasan baik di kelas maupun dirumah yang hasilnya segera dikembalikan pada mahasiswa
b. Alat : Spidol, penghapus, papan tulis.c. Bahan/.acuan : Kalkulus dan Geomeri Analitik, Purcell, edisi kelima,
Bab I
20
d. Tugas Terstruktur : Soal-soal Bab I
V. Evaluasi
Tugas di kelas dan di rumah serta Quiz
Mata Kuliah : Matematika I
Kode : FIS 6111
Bobot SKS : 3 (Tiga)
Pokok Bahasan : Fungsi
Sub Pokok Bahasan: Pengertian fungsi (Domain dan Range)Jenis-jenis fungsi (konstan, linear, polinom, rasional)Kesimetrian (fungsi ganjil dan genap)Aljabar fungsiGrafik fungsiFungsi komposisiFungsi inversFungsi Trigonometri
Alokasi Waktu : 2 x 3 x 50 Menit
I. Tujuan Pembelajaran Umum
Mahasiswa diharapkan dapat :Memahami fungsi dan grafiknya serta mampu menerapkannya dalammasalah-masalah nyata
II. Tujuan Pembelajaran Khusus
Mahasiswa diharapkan dapat :a. Menjelaskan pengertian fungsib. Mengidentifikasi suatu fungsi melalui grafikc. Menentukan daerah definisi dan daerah hasil suatu fungsid. Menentukan rumus dari hasil jumlahan, pengurangan, perkalian
dan emagian fungsi-fungsi serta perpangkatan fungsi beserta daerahdefinisi dan daerah hasilnya
e. Menentukan rumus fungsi dari hasil perkalian fungsi dengan skalarbeserta daerah definisi dan daerah hasilnya
f. Menggambar grafik fungsi yang diberikan dengan cara merajah titik-titikyang memenuhi rumus fungsi yang diberikan
g. Menggambar grafik fungsi melalui konsep pergeseran, pencerminan danperbesaran
21
III. Pokok-pokok materi
Suatu fungsi f adalah suatu aturan pengawanan yang menghubungkantiap obyek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal, dengantepat satu nilai dari himpunan kedua. Himpunan nilai yang diperolehsecara demikian disebut daerah nilai (jelajah) fungsi tersebut.
Fungsi genap dan fungsi ganjilJika f(-x) = f(x), maka garafik simetri terhadap sumbu y. Fungsi yangdemikian disebut fungsi genap. Jika f(-x) = -f(x), grafik simetri terhadaptitik asal. Fugsi yang demikian disebut fungsi ganjil
Grafik fungsiBilamana daerah asal dan daerah nilai sebuah fungsi merupakan bilanganreal, kita dapat membayangkan fungsi itu dengan menggambarkangrafiknya pada suatu bidang koordinat. Grafik fungsi f adalah himpunansemua titik (x,y) yang memenuhi persamaan y = f(x).Prosedur penggambaran grafik :1. Dapatkan kordinat-koordinat beberapa titik yang memenuhi
persamaan2. Rajah titik-titik tersebut di bidang3. Hubungkan titik-titik tersebut dengan sebuah kurva mulus.
Pergeseran grafik melalui fungsi y = f(x-a) + b Yang perlu diperhatikan pada aljabar fungsi adalah daerah asal dari
fungsi-fungsi tersebut.
IV. Strategi Pembelajaran
a. Metode : Ceramah, diskusi dan penugasan baik di kelas maupun dirumah yang hasilnya segera dikembalikan pada mahasiswa
b. Alat : Spidol, papan tulis, penghapusc. Bahan/.acuan : Kalkulus dan geomeri analitik, Purcell, edisi kelima, Bab
II.d. Tugas Terstruktur : Soal-soal Bab II bagian 2.1 • 2.3.
V. Evaluasi
Tugas di kelas dan di rumah serta Quiz
22
Mata Kuliah : Matematika I
Kode : FIS 6111
Bobot SKS : 3 (Tiga)
Pokok Bahasan : Limit dan Kekontinuan
Sub Pokok Bahasan: Pengertian limit secara intuisiImit di satu titikLimit sepihakTeorema limitTeorema ApitLimit tak hingga dan di takhinggaKekontinuan fungsiFungsi-fungsi yang kontinu
Alokasi Waktu : 3 x (3 x 50) Menit
I. Tujuan Pembelajaran Umum
Mahasiswa diharapkan dapat :a. Memahami pengertian limit fungsib. Memahami pengertian fungsi kontinu
II. Tujuan Pembelajaran Khusus
Mahasiswa diharapkan dapat :a. Menjelaskan pengertian limit, termasuk limit-limit sepihak, secara intuisi
pada suatu titik melalui contohfungsi sederhana dengan memakai tabelnilai fungsi atau grafik fungsi
b. Menggunakan teorema limit untuk menentukan limit fungsic. Memeriksa eksistensi limit fungsi pada suatu titik dengan menggunakan
limit sepihakd. Menjelaskan pengertian kekontinuan fungsi di suatu titik dengan definisi
limit fungsie. Memeriksa kekontinuan fungsi di suatu titik dengan definisi limit fungsif. Menjelaskan kekontinuan suatu fungsi di suatu titik hasil dari operasi
fungsi • fungsi dengan teorema kekontinuan fungsig. Memeriksa kekontinuan suatu fungsi pada selang
III. Pokok-pokok materi
Pengertian limit secara intuisi : Untuk mengatakan bahwa bahwa
cxLxf
)(lim berarti bahwa bilamana x dekat tetapi berlainan dengan c,
maka f(x) dekat ke L.
23
Limit sepihak.
cxLxf )(lim berarti bahwa bilamana x dekat dan di
sebelah kanan c, maka f(x) dekat ke L.
cxLxf )(lim berarti bahwa x
dekat dan di sebelah kiri c, maka f(x) dekat ke L.
cxLxf
)(lim jika dan hanya jika
cxxf )(lim =
cxLxf )(lim
Teorema limit utamaAndaikan n bilangan positif, k konstanta, dan fdan g adalah fungsi-fungsiyang mempunyai limit di c, maka1. kk
cx
lim
2. cxcx
lim
3. )(lim)(lim xfkxkfcxcx
4. )(lim)(lim)]()([limcx
xgxfxgxfcxcx
5. ))(lim)((lim()]()([limcx
xgxfxgxfcxcx
6.)(lim
)(lim
)()(lim cx
xg
xf
xgxf
cxcx
asalkan 0)(lim
xg
cx
7. n
cx
n
cxxfxf )](lim[)]([lim
8. ncx
ncx
xfxf )(lim)(lim
asalkan 0)(lim
xfcx
bilamana n genap.
Fungsi f dikatakan kontinu di c jika ada selang terbuka disekitar c yangterkandung dalam daerah asal f dan memenuhi
)c(f)x(flimcx
Teorema-teorema yang menyangkut kekontinuan fungsi, termasukkekontinuan fungsi sebagai hasil operasi fungsi-fungsi
Fungsi polinom, fungsi rasional kontinu disetiap bilangan real c dalamdaerah asalnya, kecuali dimana penyebutnya nol.
IV. Strategi Pembelajaran
a. Metode : Ceramah, diskusi dan penugasan baik di kelas maupun dirumah yang hasilnya segera dikembalikan pada mahasiswa
b. Alat : tidak adac. Bahan/.acuan : Kalkulus dan geomeri analitik, Purcell, edisi kelima, Bab
IId. Tugas Terstruktur : Soal-soal Bab II bagian 2.4 • 2.7.
25
Mata Kuliah : Matematika I
Kode : FIS 6111
Bobot SKS : 3 (Tiga)
Pokok Bahasan : Turunan
Sub Pokok Bahasan: Fenomena turunan (dua masalah dengan satu tema)Definisi turunan sekaligus notasi LeibnizTurunan sepihakTurunan pada selangAturan mencari turunanAturan rantaiTurunan tingkat tinggiTeorema nilai rata-rataTeorema L€HospitalTurunan fungsi implisitHampiranLaju yang berkaitan
Alokasi Waktu : 4 x (3 x 50) Menit
I. Tujuan Pembelajaran Umum
Mahasiswa diharapkan dapat :Memahami pengertian turunan serta mampu menginterpretasikannya dalamberbagai masalah nyata
II. Tujuan Pembelajaran Khusus
Mahasiswa diharapkan dapat :a. Menjelaskan konsep turunan dengan menggunakan fenomena laju
pertumbuhan populasi, gradien garis singgung dan kecepatan sesaatb. Menentukan turunan pertama, gradien garis singgung dan kecepatan
sesaat suatu fungsi di suatu titik dengan menggunakan definisi turunanpertama
c. Memeriksa kaitan antara turunan pertama dengan kekontinuan fungsi disuatu titik
d. Menggunakan aturan-aturan turunan untuk menentukan turunan fungsi disuatu titik, termasuk aturan turunan fungsi eksponen dan logaritma asli,dan aturan turunan sinus dan kosinus uttuk menentukan fungsitrigonometri yang lain
e. Menyajikan aturan rantai baik dalam notasi fungsional maupun notasiLeibnitz untuk turunan fungsi komposisi
f. Menggunakan aturan rantai untuk menentukan turunan suatu fungsi yangdiperolehdari komposisi dua fungsi atau lebih
26
g. Menjelaskan pengertian turunan tigkat tinggi dari suatu fungsih. Menentukan turunan tingkat tinggi (kedua, ketiga, dst.) dari sutu fungsii. Menggunakan turunan tingkat tinggi dalam menentukan kecepatan dan
percepatan gerak suatu bendaj. Menjelaskan fungsi implisit dan eksplisitk. Menentukan turunan fungsi implisit dengan menngunakan aturan rantai
III. Pokok-pokok materi
Fenomena turunan : Dua masalah satu tema (gradien garis singgung dankecepatan sesaat)
Definisi turunan : Turunan fungsi f adalah fungsi lain (dibaca ‚f aksenƒ)yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah
hcfhcfcf
h
)()(lim)('0
asalkan limit ini ada. Aturan mencari turunan
1. Aturan fungsi konstanta2. Aturan fungsi identitas3. Aturan pangkat4. Aturan kelipatan konstanta5. Aturan jumlah6. Aturan selisih7. Aturan hasil kali8. Atturan hasil bagi(Yang sederhana boleh dibuktikan)
Turunan fungs-fungsi y = sin x, y = cos x, y = ex dan y = ln x langsungdiberikan tanpa pembuktian.
Aturan rantai : Andaika y = f(u) dan u = g(x) menentukan fungsikomposit y = f(g(x)) = (f·g)(x). Jika g terdifferensial di x dan fterdifferensialkan di u = g(x), maka fg terdifferensialkan di x dan(f·g)(x) = f€(g(x) g€(x)yakni,Dxy = Dyu Dxu
IV. Strategi Pembelajaran
a. Metode : Ceramah, diskusi dan penugasan baik di kelas maupun dirumah yang hasilnya segera dikembalikan pada mahasiswa
b. Alat : tidak adac. Bahan/.acuan : : Kalkulus dan geometri analitik, Purcell, edisi kelima,
Bab IIId. Tugas Terstruktur : Soal Bab III bagian 3.1 • 3.11
28
Mata Kuliah : Matematika I
Kode : FIS 6111
Bobot SKS : 3 (Tiga)
Pokok Bahasan : Penggunaan Turunan
Sub Pokok Bahasan: Keujudan maksimum dan minimumTeorema titik kritisKemonotonan fungsiKecekungan fungsiMaksimum dan minimum (lokal dan global)Limit-limit di ketakhinggaan, limit-limit tak hinggaMenggambar grafik canggih
Alokasi Waktu : 2 x (3 x 50) Menit
I. Tujuan Pembelajaran Umum
Mahasiswa diharapkan dapat :Memahami penggunaan turunan
II. Tujuan Pembelajaran Khusus
Mahasiswa diharapkan dapat :a. Menjelaskan pengertian maksimum dan minimum (lokal dan global) dari
suatu fungsib. Menentukan titik-titik kritis suatu fungsic. Menentukan nilai ekstrim global dengan membandingkan nilai fungsi di
titik-titik kritisnyad. Menjelaskan pengertian fungsi naik, turun dan monoton murnie. Menentukan selang kemonotonan suatu fungsi dengan memeriksa
turunan pertamanyaf. Menjelaskan pengertian kecekungan suatu fungsig. Menentukan selang kecekungan dan titik balik suatu fungsi dengan
memeriksa turunan keduanyah. Menjelaskan pegertian maksimum dan minimum lokal dari suatu contoh
masalah sederhanai. Menentukan nilai ekstrim lokal dari suatu fungsi dengan menggunakan
contoh ilustrasi sederhanaj. Menentukan nilai ekstrim lokal dari suatu fungsi yang diberikan dengan
menggunakan uji turunan pertama dan kedua
29
k. Menentukan limit-limit di ketakhinggaan dan limit takhingga untukfungsi-fungsi sederhana
l. Menggunakan limit di ketakhinggaan dan limit tak hingga untukmenentukan asimtot (datar, tegak, miring) suatu fungsi
m. Merumuskan dan menyelesaikan masalah-masalah praktis yang berkaitandengan masalah nilai ekstrim.
III. Pokok-pokok materi
Andaikan S daerah asal f memuat titik c. Kita katakan bahwa :1. f(c) adalah nilai maksimum f pada S jka f(c) f(x) untuk semua x di
S2. f(c) adalah nilai minimum f pada S jka f(c) f(x) untuk semua x di S3. f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau
nilai minimum Keujudan maksimum dan minimum : jika f kontinu pada selang tertutup
[a,b], maka f mencapai nilai maksimum dan minimum Teorema titik kritis : Andaikan f didefinisikan pada selang I yang
memuat titik c. jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslahsuatu titikkritis; yakni c berupa salah satu :1. Titik ujung dari I2. Titik stationer dari f (f€(c) = 0)3. Titik singular dari f (f€(c) tidak ada)
Teorema kemonotonan : Andaikan f kontinu pada selang I dan dapatdidefferensialkan pada setiap titik dalam dari I.1. Jika f€(x) > 0 untuk semua titik dalam I, maka f naik pada I.2. Jika f€(x) < 0 untuk semua titik dalam I, maka f turun pada I.
Teorema kecekungan : Andaikan f terdifferensial dua kali pada selangterbuka (a,b).1. Jika fƒ(x) > 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung ke atas pada
(a,b).2. Jika fƒ(x) < 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung ke bawah
pada (a,b). Andaikan S daerah asal f yang memuat c. Kita katakan bahwa
1. f(c) nilai maksimum lokal f pada selang (a,b) yang memuat csedemikian sehingga f(c) adalah nilai maksimum f pada [a,b] S.
2. f(c) nilai minimum lokal f pada selang (a,b) yang memuat csedemikian sehingga f(c) adalah nilai minimum f pada [a,b] S.
3. f(c) adalah nilai ekstrim lokal f jika ia berupa nilai maksimum lokalatau minimum lokal
Limit tak hngga dan limit di tak hingga langsung dengan contoh-contoh.
IV. Strategi Pembelajaran
30
a. Metode : Ceramah, diskusi dan penugasan baik di kelas maupun dirumah yang hasilnya segera dikembalikan pada mahasiswa
b. Alat : tidak adac. Bahan/.acuan : Kalkulus dan geomeri analitik, Purcell, edisi kelima, Bab
IVd. Tugas Terstruktur : Soal-soal Bab IV bagian 4.1-4.9
V. Evaluasi
Tugas di kelas dan di rumah serta Quiz