BAB IKINEMATIKA

Pendahuluan

Mekanika adalah salah satu cabang ilmu fisika yang mempelajari tentang

gerak benda. Persoalan-persoalan mekanika diantaranya mencakup tentang

perhitungan lintasan peluru dan gerak pesawat ruang angkasa yang dikirim keluar

bumi. Jika kita hanya menggambarkan gerak suatu benda, maka kita membatasi

dari pada cabang mekanika yang disebut kinematika. Sedangkan kita ingin

menghubungkan gerak suatu benda terhadap gaya-gaya penyebabnya dan juga

sifat/karakteristika benda yang bergerak tersebut, maka kita menghadapi

permasalahan dinamika. Jadi kinematika zarrah artinya penggambaran gerak suatu

zarrah. Namun sebelum berbicara tentang kinematika, terlebih dahulu membahas

besaran, satuan dan vektor.

1.1. Besaran dan Satuan

Besaran fisika dapat dibagi menjadi tiga bagian yaitu besaran pokok,

besaran turunan dan besaran tambahan.

Besaran pokok adalah suatu besaran yang satuannya ditetapkan secara

standar baku. Besaran pokok dalam satuan internasional (SI) yaitu: panjang,

massa, waktu, suhu, kuat arus, jumlah zat dan intensitas cahaya.

Besaran turunan adalah besaran yang dapat dijabarkan dari besaran-

besaran pokok. Misalnya dengan mengali atau membagi besaran-besaran pokok.

Contoh:

Luaas = panjang × lebar

Muatan = kuat arus × waktu

Besaran Tambahan adalah besaran yang tidak dijabarkan dari besaran-besaran

pokok. Besaran ini hanya ada dua yaitu: besaran sudut datar dan sudut ruang.

Kinematika 1

Sistem Satuan

Pada mulanya satuan-satuan pengukuran hanya dinyatakan dengan perasaan

atau alat-alat organ tubuh manusia, misalnya depah atau langkah kaki untuk

alat atau satuan pengukuran panjang. Sebenarnya metode pengukuran ini

masih sering digunakan didaerah-daerah pedalaman di seluruh dunia. Namun

seiring dengan perkembangan ilmu pengetatahuan teerutama karena

transformasi ilmu semakin meluas dan berkembang pesatnya informasi dan

interaksi sosial maka menjelang abad ke-19 mulailah dipikirkan sistem satuan

dan alat ukur standar.

Standar panjang

Sampai 200 tahun yang lalu, satuan-satuan pengukuran tidak distandarkan, itu

menyebbakan kesulitan komunikasi ilmu pengetahuan. Pengukuran yang

digunakan orang adalah: kubik, kumpulan-kumpulan, tangan dan kaki, tempat

ke tempat, dengan kenyataan itu Standar Inernasional menetapkan meter

standar (disingkat m) ditetapkan oleh Akademi Ilmu Pengetahuan Prancis

dalam tahun 1790. dari hasil pemikian mula-mula Standar satu meter

dinyatakan sepersepuluh juta jarak dari bumi khatulistiwa ke kutub utara, dan

telah dibuat balok platinum yang menunjukkan panjang ini. Pada tahun 1889,

satu meter itu didefinisikan tepat sekali sebagai jarak antara dua garis yang

harus digunakan pada keping emas dekat ujung-ujung batang. Pada tahun

1960 satu meter didefinisikan sebagai 1.650.763,73 panjang gelombang yang

dipancarkan oleh partikel cahaya ungu oleh gas kripton 86. Pada tahun 1983

satu meter telah didefinisikan kembali sebagai panjang lintasan cahaya dalam

ruang vakum selama interval waktu dari dari satu detik.

Standar Massa

Standar SI untuk massa adalah sebuah silinder platinum-iridium yang

disimpan dikotak serves, Prancis, tepatnya di International Bureau of Weight

and Measures, dan berdasarkan perjanjian Internasional disebut sebagai massa

sebesar satu kilogram.

Kinematika 2

Standar sekunder dikirimkan ke Laboratorium standar diberbagai negara dan

massa dari benda-benda lain dapat ditentukan dengan menggunakan teknik

necara berlengan massa.

Standar massa kedua adalah dalam skala atomik, bukan satuan SI, yaitu massa

dari atom C12 yang berdasarkan perjanjian internasional diberikan harga

sebesar 12 satuan massa atom terpadu (disingkat ; 1 = 1,660 × 10-27 kg).

Massa atom lain dapat ditentukan secara teliti dengan menggunakan

spektrometer massa.

Standar Waktu

Standar waktu adalah second (s). Mula-mula satu detik didefinisikan sebagai

dari rata-rata dalam satu hari, waktu yang didasarkan atas rotasi bumi.

Kemudian pada tahun 1955 digunakan jam atomik jenis tertentu yang

didasarkan atas frekuensi karakteristik dari isotop Cs133 di Laboratorium

Boulder di Lembaga Standar Nasional Inggris.

Pada tahun 1967, detik yang didasarkan atas jam cesium diterima sebagai

Standar Internasional oleh Konferensi Umum mengenai Berat dan Ukuran ke

13. satu detik didefinisikan sebagai 9.192.631.770 kali perioda transisi Cs133

tertentu. Hasil ini meningkat ketelitian pengukuran waktu menjadi 1 bagian

dalam 1012, lebih baik sekitar 103 kali daripada ketelitian dengan metode

astromomis.

1.2 Vektor

Jika ditinjau dari sifat atau penciriannya maka besaran-besaran fisika dapat

dibagi atas dua jenis yaitu : besaran skalar dan besaran vektor. Besaran skalar

ialah besaran yang hanya dan cukup dicirikan oleh besar atau harganya saja

disertai dengan satuan yang sesuai, misalnya: besaran panjang, massa, waktu dan

lain-lain. Sedangkan besaran vektor ialah besaran yang penciriannya secara

lengkap dengan besar (harga) dan arahnya, misalnya : vektor posisi, kecepatan,

perpindahan, gaya dan lain-lain.

1.2.1 Gambar dan Lambang sebuah vektor

Kinematika 3Q

P

Gambar (1-1)

Sebuah vektor digambarkan sebagai sebuah anak

panah. Arah anak panah menunjukkan arah

vektor, dan panjang anak panah menyatakan

besarnya vektor ekor anak panah P dinamakan

titik tangkap dan ujung Q dinamakan titik

terminal.

Dalam tulisan, besaran vektor dilambangkan dengan huruf tebal (dicetak

tebal) atau huruf tipis biasa bertanda panah di atasnya, misalnya vektor A ditulis A

atau . Lambang ini ditempatkan di tengah-tengah gambar vektor.

Jika menggunakan dua huruf misalnya

vektor PQ maka lambangnya ditulis dan

gambarnya seperti disamping. Besar atau

harga sebuah vektor ditulis atau A (tanpa

anak panah), misalnya vektor kecepatan

yang

besarnya 50 ms-1 ditulis V = 50 ms-1.

Untuk memisahkan antara besar dan arah vektor, secara umum ditulis

dimana adalah besarnya vektor adalah vektor satuan pada

arah .

Vektor satuan adalah vektor yang nilainya = 1 dengan arah tertentu.

1.2.2 Penjumlahan Vektor

Jika dan adalah dua vektor sebarang, maka jumlah kedua vektor

tersebut + adalah sebuah vektor yang ditentukan secara geometris sebagai

berikut :

a) Impitkan titik tangkap kedua vektor secara pergeseran sejajar.

b) Gambarkan vektor yang setara yang titik tangkapnya pada titik terminal .

c) Panah dari titik tangkap ke titik terminal adalah vektor jumlah.

(1-1)

Kinematika 4

Q

P

A

Gambar (1-2)

B

B

A

AR

B

R

A

A

B

Gambar (1-4)

Vektor jumlah yang sama dapat pula diperoleh dengan

menggambarkan vektor setara yang titik tangkapnya pada titik terminal .

(1-1)

Vektor jumlah ini biasanya disebut vektor resultan

Dari kedua cara penjumlahan vektor resultan ini, dapat disimpulkan bahwa

penjumlahan vektor bersifat komutatif artinya . Cara penentuan

vektor resultan ini disebut metode jajaran genjang.

Dengan metode jajaran genjang, vektor resultan dari jumlah beberapa vektor

digambarkan oleh anak panah yang bertitik lengkap pada titik tangkap. Vektor

pertama dan titik terminalnya pada titik terminal vektor terakhir.

Karena gambar akhir yang diperoleh berbentuk sebuah poligon, maka metode ini

disebut metode poligon.

Kinematika 5

Gambar (1-3)

DC

B

A

R

A B

C

D

Gambar (1-5a) Gambar (1-5b)

1.2.3 Selisih vektor

Jika dan adalah dua buah vektor sebarang, maka selisih antara

keduanya adalah :

(1-2)

Untuk mendapatkan vektor selisih dilakukan langkah-langkah sebagai

berikut :

a) Gambarkan vektor , yaitu suatu yang besarnya sama dengan , tetapi

arahnya berlawanan.

b) Jumlahkan dan dengan menggunakan metode jajaran genjang

Cara lain untuk mendapatkan vektor selisih adalah sebagai berikut :

a) Impitkan titik tangkap dan dengan cara bergeseran sejajar.

b) Anak panah yang titik tangkapnya pada terminal dan titik terminal

adalah vektor selisih

1.2.4 Menentukan Besar dan Arah Vektor Resultan dari dua Vektor

Besar vektor resultan dari dua vektor dapat ditentukan dengan

menggunakan aturan cosinus, yaitu :

R2 = A2 + B2 – 2AB cos (180 - )

Karena cos (180 – ) = -cos maka :

Kinematika 6

B

A

A

B

Gambar (1-6a) Gambar (1-6b)

B

B

A

B

B

A

R

B

180 -

Gambar (1-7)

R2 = A2 + B2 – 2AB cos

jadi

(1-3)

Arah vektor resultan dinyatakan oleh sudut , yaitu arah terhadap salah

satu vektor penyusunnya. Besar sudut dapat ditentukan dengan menggunakan

aturan sinus, yaitu :

karena sin (180 - ) = sin , maka

, jadi sin (1-4)

Dengan demikian maka sudut (arah terhadap ) dapat ditentukan.

Contoh soal

1. Dua buah vektor mempunyai titik tangkap yang berimpit. Besar masing-

masing vektor adalah 6 dan 8 satuan. Hitung besar dan arah vektor resultan

dari kedua vektor itu juga. Sudut apitnya a. 300, b. 600, c. 900, d. 00 dan e. 1800.

Solusi

a) = 300, satuan satuan

Arah vektor resultan

jadi = 17,170.

dengan cara yang sama maka diperoleh

b) = 300 maka = 34,750, c) = 900 maka = 53,130, d) = 00 maka =

00 dan

e) = 1800 maka = 1800.

2. Vektor A dan B membentuk sudut 600. Jika = 3 satuan dan = 4

satuan. Tentukan besarnya vektor resultan ! a) dan b)

Kinematika 7

Solusi

a)

b)

1.2.5 Penjumlahan Vektor dengan cara Analitik

Penjumlahan vektor dengan cara geometri hanya dapat menjumlahkan dua

vektor tiap kali operasi. Cara ini tentu kurang menguntungkan apabila beberapa

vektor yang harus dijumlahkan, karena setiap kali harus menentukan sudut .

Penjumlahan beberapa vektor dapat dikerjakan dengan cara analitis yang

mencakup banyak vektor sekaligus. Cara ini melibatkan uraian vektor ke dalam

komponen-komponen menurut suatu sistem koordinat tertentu. Sistem koordinat

yang sering digunakan adalah sistem koordinat kartesian atau siku-siku.

adalah vektor komponen pada sumbu

x

adalah vektor komponen pada sumbu

y

Arahnya

Langkah-langkah penjumlahan vektor dengan metode analitis

1. Uraikan setiap vektor atas komponen-komponennya pada sumbu-x dan

sumbu-y.

2. Hitung besarnya komponen-komponen dengan persamaan Ax = A cos dan

Ay = A sin .

3. Jumlahkan komponen-komponen pada masing-masing sumbu dengan

persamaan

Kinematika 8

A

yAj

xAiO x

y

Gambar (1-8)

4. Hitung besar dan arah vektor resultan dengan persamaan

(1-5)

1.2.6 Perkalian Vektor

Pada perkalian skalar, dua skalar yang tidak sejenis dapar diperkalikan,

misalnya laju dan waktu. Demikian pula pada perkalian dua vektor yang tidak

sejenis dapat diperkalikan untuk menghasilkan besaran fisika baru. Oleh karena

vektor mempunyai besar dan arah maka perkalian vektor tidak dapat mengikuti

aturan-aturan perkalian skalar.

Ada tiga macam operasi perkalian vektor :

1. Perkalian sebuah skalar dengan sebuah vektor. Hasil kali sebuah skalar (k)

dengan sebuah vektor adalah sebuah vektor yang besarnya ka, dan

Kinematika 9

Contoh soal

Pada gambar 1-9, = 6 N, = 10 N dan = 4 N

1 = 00, 2 = 450 dan 3 = 600. Tentukan besar dan

arah vektor resultan !

Solusi

Gaya Komponen sumbu x Komponen sumbu y

1 = 00

2 = 450

3 = 600

1F

2F

3F

y

2

3

Gambar (1-9)

arahnya sama dengan arah , jika k positif dan berlawanan arah jika k

negatif.

2. Perkalian dua vektor yang menghasilkan sebuah skalar. Hasil kali skalar

dari dua vektor dan dinyatakan dengan adalah

(1-6)

A.B = besar dan , = sudut terkecil antara dan . Karena

bilangan murni maka AB cos adalah skalar. Dengan

memperhatikan gambar 1-11

dapat dikatakan bahwa, hasil kali skalar dari dua vektor adalah hasil kali besar

sebuah vektor, dengan komponen vektor yang lain pada arah vektor yang

pertama.

Hasil kali skalar ini disebut hasil kali dot dari dan dan dibaca “ dot ”.

Perkalian vektor ini sering juga disebut “perkalian titik vektor”.

Misalnya dalam fisika mengenai konsep usaha .

3. Perkalian dua vektor yang menghasilkan sebuah vektor. Hasil kali vektor

dari dua vektor, dan , dinyatakan dengan adalah sebuah vektor

(1-7)

Kinematika 10

A

2A

2A

Gambar 1-10

cosABBA

cosBABA

cosB

cosA B

B

A

A

a

Gambar 1-11a Gambar 1-11b

Besar adalah C = AB sin , A dan B = besar masing-masing dan , =

sudut terkecil antara dan . tegak lurus pada bidang yang dibentuk oleh

dan , yang arahnya sama dengan arah maju sekrup alur kanan, bila diputar

ke .

Perhatikan bahwa, x tidak sama dengan x

- Besar hasil kali x sama dengan besar hasil kali x

- Arah hasil kali ke berlawanan arah hasil kali x

Jadi x = -( x ) (1-8)

Hasil kali vektor ini disebut hasil kali kros dari dan dan dibaca “

kros ”. Perkalian vektor ini sering disebut “perkalian silang vektor”.

Kinematika 11

BAC

ABC

A

A

B

B

Gambar 1-12a Gambar 1-12b

Contoh soal

Perhatikan (gambar 1-13) A = 7,4 satuan B = 5,0 satuan. Tentukanlah

a) Hasil kali skalar b) Hasil kali vektor

Karena tegak lurus maka :

Hasil ini sesuai dengan gambar bahwa

tidak mempunyai komponen pada arah

dan tidak mempunyai komponen pada

arah .

Besar hasil kali vektor adalah

C = AB sin = (7,4)(5,0)(sin 900) = 37

Arah lihat pada gambar.

C

BA

Gambar 1-13

1.2.7 Operasi Penjumlahan, Silisih dan Perkalian Vektor Secara Analitis

a. Penjumlahan

Jika dan

(1-8)

b. Selisih

(1-9)

c. Perkalian

Kinematika 12

Contoh soal

Jika , maka tentukanlah :

a) Besar tiap vektor

b) dan besarnya

c) dan besarnya

Solusi

a) Besar tiap vektor

b) Jumlah vektor

1. Perkalian dengan sebuah skalar (b)

(1-10)

2. Hasil kali skalar (perkalian titik)

(1-11)

Sudut dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan

3. Hasil kali vektor (perkalian silang)

(1-13)

Untuk memudahkan mengingat rumus ini, digunakan determinan sebagai

berikut

Kinematika 13

Contoh soal

Diketahui

Tentukanlah

a) Vektor d)

b) e)

c) Sudut antara

Penyelesaian

a)

b)

c)

d)

e)

e)

SOAL-SOAL LATIHAN

1. Sebutkan 2 ciri pokok dari fisika !

2. Jelaskan metode dalam bidang fisika

3. Masuk daerah apakah pembahasan berikut ini

a) Pembahasan mengenai kapal terbang yang kecepatannya dua kali

kecepatan bunyi.

b) Pembahasan mengenai energi transisi.

c) Pembahasan mengenai energi potensial air terjun.

4. Berikan masing-masing contoh pembahasan yang termasuk daerah fisika dan

daerah fisika modern !

5. Selidikilah dengan analisis dimensi apakah persamaan-persamaan berikut ini ?

a)

b)

c) v = t

d) p = g h

Kinematika 14

6. Selidikilah dengan analisis dimensi apakah besaran-besaran berikut sama

(setara).

a) Usaha dan energi potensial

b) Momentum dan impuls

c) Gaya dan tekanan

7. Tentukan dimensi dan satuan dari besaran-besaran

a) Kalor jenis

b) Daya

c) Debit

d) Konstanta gravitasi

8. Sebuah pesawat udara terbang sejauh 200 km pada lintasan lurus. Arah

U22,50T. Berapa jauh ke utara dan berapa jauh ke timur. Pesawat itu dari

tempat berangkat ?

9. Sebuah mobil berjalan ke timur pada jalan yang datar sejauh 300 m. Pada

simpang empat mobil membelok ke utara dan berjalan sejauh 400 m kemudian

berhenti. Dapatkan resultan perpindahan mobil itu.

10. Tiga vektor terletak pada satu bidang datar dinyatakan dalam sistem koordinat

siku-siku dengan

a) Dapatkan vektor r yang merupakan jumlah ketiga vektor itu

b) Tentukan sudut antara dan

c) Tentukan besar dan arah vektor r

d) Gambar ketiga vektor dan resultannya (pakai kertas grafik)

11. Dua vektor dan

a)

b) Tentukan sudut antara dan

c)

d) Tentukan arah

12. Dua vektor masing-masing dan . Tentukan

Kinematika 15

a)

b) Sudut antara dan

c)

d) Besarnya

1.3 Kinematika dalam satu Dimensi

Pada bagian ini kita hanya memandang benda bergerak dalam satuan garis

lurus dan tidak berotasi. Gerak seperti ini disebut “gerak translasi”. Dalam suatu

kerangka acuan atau sisten koordinat (kartesian), gerak satu dimensi digambarkan

dalam sumbu koordinat-x saja.

a. Kecepatan rata-rata

Seringkali kita tidak dapat membedakan kata “kecepatan” dan “laju”. Ada

perbedaan prinsipil antara “kecepatan” dan “laju”, yakni kecepatan adalah besaran

vektor sedangkan laju belum tentu besaran vektor. Kecepatan sendiri secara

definisi adalah laju, tetapi tidak semua laju adalah kecepatan. Laju didefinisikan

sebagai perubahan “sesuatu” persatuan waktu. “Sesuatu” bisa berarti pergeseran,

kecepatan, massa, energi, volume dan lain-lain.

Kecepatan rata-rata didefinisikan sebagai jarak berpindahan dibagi dengan waktu

yang dibutuhkan untuk menempuh jarak tersebut.

Jarak perpindahan didefinisikan sebagai peerubahan posisi. Misalkan mula-mula

suatu objek berada pada posisi x1, kemudian pada interval wsaktu tertentu telah

berada pada posisi x2 (lihat gambar 1.13). maka perubahan posisi adalah (diberi

simbol x).

Kinematika 16

Gambar 1.13. Perubahan Posisi

y

xx1 x2

x = x2 – x1

waktu yang dibutuhkan objke untuk berpindah dari posisi x1 ke x2

adalah t = t2 – t1. Maka kecepatan rata-rata adalah:

(1-14)

dengan v adalah kecepatan dan tanda garis datar (-) di atas v berarti

rata-rata.

Contoh:

Posisi seorang pelari sebagai fungsi waktu digambarkan

dalam sumbu-x. Selama interval waktu tiga detik, posisi

pelari beerubah dari x1 = 50 m ke x2 = 30,5 m. Berapakahh

kecepatan rata-rata pelari tersebut ?

Jawab:

x = x2 – x1 = 30,5 m – 50,0 m = -19,5 m

t = 3,00 s

b. Kecepatan Sesaat

Kecepatan sesaat didefinisikan sebagai kecepatan rata-rata pada selang waktu

yang sangat pendek. Dalam hal ini persamaan (1-14) dihitung dalam limit t

secara infinitisimal sangat kecil, mendekati nol.

(1-15)

Notasi berarti rasio dihitung dalam limit t mendekatti nol, tetapi tidak

sama dengan nol.

Kinematika 17

Gambar 1.14. Posisi Pelari

c. Percepatan Rata-rata dan Sesaat

Percepatan rata-rata didefinisikan sebagai laju perubahan kecepatan, atau

perubahan kecepatan dibagi dengan waktu yang dibutuhkan selama perubahan

tersebut.

(1-16)

sementara percepatan sesaat didefinisikan sebagai analogi dari kecepatan sesaat:

(1-17)

dengan v menyatakan perubahan kecepatan yang kecil secara infinitisimal

selama selang waktu t yang singkat secara infinitisimal.

Pada umumnya konsep kecepatan dikaitkan dengan kecepatan ataupun laju.

Percepatan yang membuat kecepatan suatu benda atau sistem makin kecil disebut

“perlambatan”.

Contoh:

1. Persamaan gerak suatu zarrah dinyatakan oleh fungsi x(t) = 0,1 t3,

dengan x dlam meter dan t dalam detik. Hitunglah:

a. Kecepatan rata-rata dalam selang waktu t = 3 s sampai t = 4 s.

b. Kecapatan pada saat t = 3 s

c. Peercapatan rata-rata dalam selang wasktu t = 3 s sampai

t = 4 s

d. Percepatan pada saat t = 5 s

Jawab:

a. ,

karena

x (t = 4 s) = 0,1 (4)3 m = 6,4 m, dan x (t = 3 s) = 0,1 (3)3

m = 2,7 m

b.

Kinematika 18

vx (t = 3 s) = 0,3 (3)2 m/s = 2,7 m/s

c.

,

karena

vx (t = 4 s) = 0,3 (4)2 m/s = 4,8 m/s, dan vx (t = 3 s) = 2,7 m/s

d.

2. Sebuah mobil bergerak sepanjang jalan lurus (arah sumbu-x pada

gambar 1.15) dengan kecepatan 15,0 m/s. Kemudian sopir

menginjak rem sehingga setelah 5,0 detik kecepatan mobil turun

menjadi 5,0 m/s. Berapkah percepatan rata-rata mobil ?

Jawab:

d. Gerak Dipercepat Beraturan (Percepatan Konstan)

Pandang suatu objek mula-mula (t1 = 0) berada pada posisi x1 = x0 dengan

kecepatan v1 = v0 pada saat t2 = t1 objek tetap berada pada posisi x2 = x dengan

kecepatan v2 = v. Kecepatan rata-rata percepatan rata-rata objek selama selang

waktu t2 – t1 = t diberikan oleh:

Kinematika 19

Gambar 1.15. Perubahan Posisi Mobil

y

xv1 v2

Posisi pd t = t1 Posisi pd t = t2

(1-18)

(1-19)

atau

x = x0 + vt (1-20)

v = v0 + at (1-21)

Oleh karena kecepatan berubah secara beraturan (uniform), maka kecepatan rata-

rata v adalah setengah dari jumlah kecepatan akhir.

(kecapatan konstan) (1-22)

Jika persamaan (1-22) kita masukan ke dalam persamaan (1-20) diperoleh:

(1-23)

Jika persamaan (1-22) kita masukan ke dalam persamaan (1-23) di peroleh:

(1-24)

Persamaan (1-24) ini dapat diperoleh dengan mengintegralkan persamaan (1-21)

sebagai fungsi waktu. Selanjutnya persamaan (1-19) dapat ditulis sebagai berikut:

dan jika persamaan ini disubtitusikan ke dalam persamaan (1-23) kita peroleh:

atau

v2 = v02 + 2 a (x – x0) (Percepatan konstan) (1-25)

Tanda vektor (huruf tebal) pada v2 dan v02 persamaan (1-25) dihilangkan karena

pada gerak satu dimensi, vektor arah hanya dipengaruhi oleh tanda positif dan

negatif.

Kinematika 20

1.4 Gerak Peluru

Gerak peluru mengambarkan sebuah benda di udara dan membentuk sudut

tertentu terhadap garis horisontal. Contoh bola yang dilemparkan atau ditendang,

peluru yang ditembakkan dari moncong senapan, benda yang dijatuhkan dari

pesawat udara yang sedang terbang, mula-mula v0 = 0. Jika v0 = 0 maka benda

dikatakan jatuh bebas.

Pandang jejak suatu objek yang bergerak di udara dengan kecepatan vo dan

membentuk sudut terhadap sumbu-x (gambar 1.15)

Pada tabel 1.1. disajikan persamaan-persamaan umum kinematika untuk

kecepatan tetap dalam dua dimensi, sedang Tabel 1.2. menyajikan persamaan-

persamaan untuk gerak peluru.

Tabel 1.1. Persamaan-persamaan Umum Kinematika dalam dua dimensi

(a konstan)

Komponen-x (Horizontal) Berdasarkan Persamaan Komponen-y (Vertikal)

 vx = vx0 + ax t

x = x0 + vx0 t + ½ ax t2

(1-.8)

(1-11)

 vy = vy0 + ay t

y = y0 + vy0 t + ½ ay t2

Kinematika 21

v

v

v

0v

vx Vy

y

0

Gambar 1.15. Gerak Peluru.

vx2 = vx0

2 + 2 ax (x – x0) (1-12) vy2 = vy0

2 + 2ay (y – y0)

Tabel 1.2. Persamaan Kinematika untuk gerak peluru (arah x positif, ax = 0,

ay = -g, g = 9,8 m/s2)

Gerak Horizontal Berdasarkan Persamaan Gerak Vertikal

 vx = vx0

x = x0 + vx0

vx2 = vx0

2

(1-.8)

(1-12)

(1-13)

 vy = vy0 - gt

y = y0 + vy0 t - ½ gt2

vy2 = vy0

2 + 2g (y – y0)

Umumnya diambil y – y0 = h untuk gerak peluru dan gerak jatuh bebas. Ingat dari

persamaan vx0 = v0 cos dan vy0 = v0 sin .

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa lintasan peluru adalah parabolik, jika kita

dapat mengandaikan gesekan udara dan menganggap percepatan gravitasi

konstan. Misalkan x0 = y0 = 0, berdasarkan Tabel 1.2. persamaan (1-24) kita

peroleh:

x = vx0 t

y = vy0 – ½ gt2

Dari persamaan pertama kita peroleh dari persamaan ini kita masukkan ke

dalam persamaan kedua, kita peroleh:

Kalau kita masukkan vxo = vo cos o dan vyo = vo sin o, kita dapat juga tulis

atau

Kinematika 22

y = ax – bx2 (1-26)

dengan a = tan o (tangen arah) dan masing-masing adalah

konstan.

Contoh :

Sebuah bola ditendang sehingga memiliki kecepatan awal 20,0 m/s dan

membentuk sudut 37,00, hitung:

a. Tinggi maksimum bola

b. Waktu lintasan bola sehingga menyentuh tanah

c. Jarak hori zontal bola hingga menyentuh tanah

d. Vektor kecepatan pada tinggi maksimum, dan

e. Vektor percepatan pada tinggi maksimum.

Jawab:

Vxo = vo cos 37,00 = (20,0 m/s) (0,799) = 16,0 m/s

Vyo = vo sin 37,00 = (20,0 m/s) (0,602) = 12,0 m/s

a. Pada tinggi maksimum, vy = 0

vy = vyo – gt 0 = vyo – gt

y = vyo – ½ gt2 = (12,0 m/s) (1,22 s) – (½) (9,8 m/s2) (1,22 s)2 = 7,35 m

Dengan kata lain:

b. Pada saat ditendang yo = 0, setelah menyentuh tanah kembali y = 0

y = yo + vyo t – ½ gt2

0 = 0 + vyo t – ½ gt2

Kinematika 23

c. Jarak horizontal x = xo + vxot xo = 0

x = vxo t = (16,0 m/s) (2,45 s) = 39,2 m

d. Pada titik tertinggi, v = vx + vy vy = 0

v = vx = vxo = vo cos 37,00 = 16,0 m/s

e. a = -g = -9,80 m/s2

1.5 Gerak Melingkar Beraturan

Suatu partikel dikatakan bergerak melingkar beraturan jika gerak partikel

dengan laju (besar kecepatan) konstan dan arah kecepatan berubah-ubah terus

menerus. Untuk gerak ini digunakan koordinat polar (r,). Hubungan antara

koordinat polar dan koordinat tegak tegak diberikan oleh persamaan berikut :

(1-27)

atau kebalikannya,

x = r cos dan y = r sin (1-28)

Dalam koordinat tegak, untuk menjelaskan gerak dalam bidang x,y digunakan

vektor satuan dan . Pada sistem koordinat polar didefenisikan dua vektor baru

yaitu dan . Kedua vektor ini juga mempunyai panjang yang sama dengan satu

dan tidak berdimensi.

Di sembarang titik vektor satuan menunjuk ke arah bertambahnya r di

titik itu, jadi berarah keluar dari titik itu. Sedangkan vektor satuan menuju ke

arah bertambahnya di tempat itu, dan selalu menyinggung lingkaran yang

melalui titik dalam arah berlawanan dengan jarum jam (lihat gambar 1-16),

keduanya saling tegak lurus.

Kinematika 24

12 2r

1r 12

O

Gbr. 1-16a Gbr. 1-16b

Pada gambar di atas laju partikel adalah tetap v, bila dituliskan dalam

dan dapat ditulis sebagai persamaan vektor

(1-29)

Persamaan (1-29) menunjukkan bahwa arah vektor sama dengan arah

selalu menyinggung lingkaran dan besarnya selalu tetap sama dengan karena

besar adalah satu.

Percepatan dapat ditulis

(1-30)

Dalam persamaan (2-37) v adalah konstan sedangkan tidak karena selalu

berubah-ubah mengikuti gerak partikel. Pada gambar 1-16, dan bersesuaian

dengan selang waktu gerak partikel t = (t2 – t1). Dalam limit t 0, vektor

berarah radial ke dalam, ke titik pusat lingkaran (sama dengan arah ). Sudut

antara dan adalah . Jadi diperoleh bahwa

(1-31)

Besaran disebut kecepatan sudut partikel yang dilambangkan dengan , yang

besarnya konstan, jadi

(1-32)

dan

Kinematika 25

dengan memasukkan persamaan ini ke persamaan (1-30) akhirnya diperoleh

(1-33)

Dari persamaan (1-32) dapat ditulis menjadi

atau v = r (1-34)

Dari persamaan (1-33) dan (1-34) diperoleh

(1-35)

Persamaan (1-33) menyatakan bahwa besar percepatan gerak melingkar beraturan

adalah dan arahnya berarah radial ke dalam yaitu ke pusat lingkaran.

Percepatan disebut percepatan sentripetal.

1.7. Percepatan Tangensial dalam Gerak Melingkar

Sekarang kita tinjau satu hal yang lebih umum, yaitu gerak melingkar

dengan laju v tidak konstan. Dalam hal ini baik maupun v keduanya berubah

terhadap waktu.

Dari persamaan (1-30) dapat ditulis

(1-36)

Dari persamaan (1-33) dan (1-36) dapat ditulisa menjadi

, (1-37)

dengan aT = dv/dt adalah percepatan tangensial, dan aR = v2/r adalah percepatan

sentripetal. Suku pertama yaitu adalah vektor komponen dari yang

menyinggung lintasan partikel dan timbul sebagai akibat perubahan besar

kecepatan gerak melingkar tersebut. Suku kedua yaitu adalah vektor

komponen yang berarah radial ke dalam menuju pusat lingkaran, dan timbul

karena perubahan arah kecepatan gerak melingkar (lihat gambar 1-17).

Kinematika 26

Besar percepatan sesaatnya adalah

(1-38)

Jika laju v konstan (gerak melingkar beraturan), maka sehingga persamaan

(1-37) kembali menjadi persamaan (1-33). Sedangkan jika laju v tidak konstan,

maka aT 0.

Kinematika 27

Contoh soal

1. Bulan berputar mengelilingi bumi dengan waktu 27,3 hari untuk tiap putaran

penuh. Jika orbitnya dianggap berbentuk lingkaran dengan jari-jari 3,85 x 108 m,

berapakah besar percepatan bulan ke arah bumi ?

Penyelesaian

Diketahui

Waktu untuk menempuh satu putaran penuh (periode) T = 27,3 hari = 27,3 x

24,3600 s = 2,36 x 106 s, r = 3,85 x 108 m.

Untuk satu periode bulan menempuh jarak 2r, maka

Percepatan sentripetalnya

Ta

a

Rar

Gbr. 1-17

y

x

SOAL-SOAL LATIHAN

1. Buktikan bahwa untuk vektor , didefenisikan sebagai

komponen skalarnya diberikan oleh

2. Posisi sebuah partikel yang bergerak sebagai fungsi waktu didefenisikan

oleh

.

a) Tuliskan pernyataan kecepatan dan percepatan sebagai fungsi

waktu.

b) Bagaimanakah bentuk lintasan partikel tersebut ?

3. Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus dan jaraknya ke titik asal

pada tiap saat ditentukan dengan persamaan x = 8t – 3t2. Disini x

dinyatakan dalam cm dan t dalam detik.

Kinematika 28

2. Hitung laju satelit yang mengitari bumi pada ketinggian h = 140 mil di atas

permukaan bumi dimana g = 30 ft/s2. Jari-jari bumi R = 3960 mil.

Penyelesaian

Dik. h = 140 mil g = 30 ft/s2 R = 3960 mil 1 mil = 5280 ft

v = ……..?

Satelit mengalami percepatan gravitasi bumi sehingga ia bergerak melingkar.

= 17386 mil/jam, (1 ft/s = 0,6818 mil/jam)

a) Tentukan kecepatan rata-rata benda itu dalam selang waktu dari t =

0 dan t = 1 detik, dan dari t = 0 sampai t = 4 detik.

b) Carilah rumus kecepatan rata-rata dalam selang waktu dari t

sampai t + t.

c) Berapakah harga limit dari rumus itu jika t mendekati nol.

d) Berapa lama waktu yang diperlukan agar benda itu diam ?

e) Tentuakn rumus percepatan pada setiap saat.

4. Dari puncak sebuah gedung dilemparkan sebuah bola vertikal ke bawah.

Bola meninggalkan tangan pelempar dengan laju 30 ft/s.

a) Berapa jauhkah jatuhnya selama dua detik ?

b) Berapakah kecepatannya setelah jatuh 30 ft.

c) Bila bola itu dilepaskan pada ketinggian 120 ft di atas tanah, maka

berapa detikkah bola akan menumbuk tanah ?

d) Berapakah kecepatan bola waktu menumbuk tanah ?

5. Sebuah pesawat pembom menukik dengan membuat sudut 530 dengan

garis vertikal seraya melepaskan bom pada 2400 ft. Bom itu lalu jatuh di

tanah 5 detik setelah bola itu dilepaskan. (g = 32 ft/s2)

a) Berapakah kecepatan pesawat pembom tadi ?

b) Berapakah jarak mendatar yang dilintasi bom waktu melayang ?

6. Sebuah bola golf dipukul dengan laju 200 ft/s serta membentuk sudut 370

di atas garis mendatar. Bola jatuh dekat lubang yang berjarak 800 ft.

Percepatan gravitasi bumi 32 ft/s2.

a) Berapakah tinggi balok lubang terhadap tempat memukul bola ?

b) Berapakah laju bola ketika sampai di dekat lubang ?

7.

a) Tunjukkanlah bahwa jangkauan peluru yang mempunyai laju awal

v0 dan sudut proyeksi 0 adalah . Kemudian tunjukkan

pula bahwa maksimum dicapai bila sudut proyeksi 450.

b) Tunjukkanlah bahwa tinggi maksimum yang dicapai oleh peluru

adalah

Kinematika 29

c) Tentukan sudut proyeksi yang memberikan jangkauan yang sama

besar dengan tinggi maksimumnya.

8. Menurut model Bohr, elektron atom hidrogen berputar mengitari proton

dengan orbit lingkaran berjari-jari 5,28 x 10-11 m dan laju 2,18 x 106 m/s.

berapakah percepatan elektron dalam atom hidrogen tersebut?

9. Seorang anak memutar-mutar batu dengan tali yang panjangnya 1,2 m

membentuk lingkaran horizontal setinggi 1,8 m di atas tanah. Tiba-tiba

talinya putus dan batu terlontar horizontal dan jatuh di tanah sejauh 9,1 m.

berapakah percepatan sentripetal batu selama gerak melingkarnya?

Kinematika 30