Post on 26-Dec-2015
description
f
.::re
l>f
rap.
ma
•(
'-
J130METPJ1JE ,1J;HpeKTHe H HHp;HpeKTHe H30MeTpHje (234)
A )J;wpeKTHe H HH,n;wpeKTHe H30MeTpwje; ¢wKcHe TaqKe H30MeTpHje (234)
B OcHOBHe TeopeMe o H30MeTpwjaMa ca ,n;Be ¢wKcHe TaqKe (236)
OcHa CHMeTpHja (237)
A 01rnc OCHe CHMeTpHje H OCHOBHe oco5HHe; OCHa CHMeTpHqffOCT
¢wrype (237)
IJ;eHTpairna CHMeTpHja (240)
A Orrwc u;eHTpaiIHe CHMeTpwje H ocHOBHe oco5wHe; u;eHTpaJIHo CHMeTpwrne
¢wrype (240)
CHMeTpHje H npaBHJIHH MHoroyrJioBH (242)
A IlpaBHJIHH MHoroyrnoBH; KapaKTepwcTwqaH Tpoyrao rrpaBHJIHor
MHoroyrna (242)
PoTa~Hja (244)
A Orrwc poTau;wje H ornoBHe oco5wHe (244)
TpaHcJia~uja (246)
A Orrwc TpaHcnau;wje H ornoBHe oco5wHe (246)
KoMH03H~Hje H30MeTpHja paBHH (247)
B K0Mrro3wu;wje H30MeTpwja paBHH (247)
PaBaHcKa CHMeTpuja (249)
A Orrwc paBaHcKe rnMeTpwje H ocHOBHe oco5HHe (249)
~
A Aiocxowa Il4 (crpa.Ha 137}. Hen cy A, B H C rpH pa.3:IH1UITe ra'iKe H ·\ n B1 Ta'IKe npau p TaKBe :ia ·e • .\B :=.\B1.
Ta:ia y no;rypairnn Koja
j e o;wcl)eaa npa.BoM p nocroju je::omcrneHa Ta<nra c. Ta.ICBa ;::ia je
A.C:=.4..C1
uBC:=B1C
1•
rrpe
234
0 H30MeTpHj~ia nm rOBOpIDili Ha noqeTKY
IIOffiaB.iba II09y9apHodU. 0BOM npmnt:KOM neMO
;:i;era.Jbrutje IIpl1Ka3aTif HeKe cneqMjaJIHe BpcTe
U30Merpnja.
~ IlpBO ;:i;ecpHmrmeMO OCHOBifY nop;eJIY
.[{ecpmrnu;Hja H30MeTpHje. 113oMeTpHja I paBHH 7t je
<PYHI<u;Hja I: n-+n TaKBa ,n;a 3a CBaI<e ,n;se TaqKe A H B paBHH 7t
aI<O je I(A) =A' H I(B) =B', oH,n;a
H30MerpHja Ha TilK03BaHe W£PeKTHe J1
HH,JJ;HpeKTHe H30MeTpHje.
jeAB:A'B'.
)];a 8u fomo jaCHHje o Ka.KBoj nop;eJIB je peq, pa3MOTpHheMo jep;aH rrpHMep y Be311 ca
"J130Merpl1'Illml npeMeIIITaiheM TaqaKa paaHM", CJIWiaH OHJ1Ma Koje CMO HaBeJIJ1 Ha
crpaHa.Ma 139-141.
Ilp11Mep I.
TpH )KeTOHa cy nocTaBJbeHa Ha rnaxoBCKJ TaOJIY Kao Ha
CJJKI.µ1 rreBo, a 3aTHM cy p;aa (n;pBeHJ1 ca II03~Hje A 11
nnaBH ca II03~Hje B) npeMernTeHJ1 Ha p;pyry Ta8JIY (pep;oM
Ha II03~e A1
H B1) TaKO p;a je pacTOjalhe Mel)y IDJ1Ma
OCTaJIO HCTO (AB =A1B
1).
fp;e Tpe8a rrocTaBJ1TJ1 Tpen11 )KeTOH (3erreH11 ca rro311u;11je
C) TaKO p;a pacTOjaIDa l13Mel)y cBaKa p;sa )l(eToHa ocTaHy
HenpoMelbeHa (CA=C1A
111 CB=C1~1)?
HHje TeIIIKo yoq11T11 p;a Tpen11 )l(eToH MO)l(eMo rrocTaB11T11
Ha A.Be rro311n;11je. Ha crr11n;11 p;ecHo Te p;Be rro311n;11je cy
03HaqeHe Ca C1
J1 c;.
IIpeMa OCHOBHOj TeopeMH 0 J130MeTp11jaMa (cTpaHa 141), rpojKe (A, B, C) 11 (A
1, B
1, C
1) op;pel)yjy jep;HHCTBeHy
H30Merp11jy I Ta.KBY p;a je 'I(A) =A1, 'I(B) =B1 11 'I(C) = C
1•
TaKol)e, J1 TpojKe (A, B, C) H (Al, Bl, c;) op;pel)yjy
jep;JmCTBeHY H30MeTpHjy I' Ta.KBY p;a je I'(A) =A.1, I'(B) =Bl H'I'(C)=c;.
IIo qeMY ce pa3JIJ1K)'jy l130MeTpHje IHI'? 0CHOBHa TeopeMa 0 H30MeTpHjaMa. AKO cy
AKo IIa)l(JbHBHje norrrep;aMo CJIHKY, yo'Il1lieMo p;a
J130MerpHja I He Mel:ba opHjeHTaqMjy MBC, 3a
pa31IHKJ op; H30MeTpHje I'. TpoyrrroBH ABC 11
A1B1C1 cy HCTe opHjeHrnn;Hje, p;oK cy op11jeHTan;11je
TpoyrnoBa ABC H A IBI c; pa3IDf'D!Te . •
(A, B, C) H (A', B ', C) ,n;Be TpojKe HeKOJIHHeapHHX TaqaKa paBHH 7t
T'}KBe ,n;a je AB :A'B', BC:B'C'H CA:C'A',
OH,n;a IlOCTOjH je,n;HHCTBeHa
H30MeTpHja I paBHH n TaKBa ,n;a je I(A) =A', I(B) =B'H I(C) =C'.
3 3
;n1epaB
_:= Y OBOI
;n1 cpm1
Hje. . \
7tJe ,qa3a BHH 7t
',ott,qa
~ca
I Ha
B:
~ :, reHa llKBa ,qa
ic)=C'.
vfaoMeTpHja I paBHH 7t je .n;upeKTHa aKO qYBa opujeHTau;ajy paBHH, TO jecT aKO
CBaKH Tpoyrao oBe paBHH rrpecrrHKaBa y Tpoyrao HCTe opujeHTalµfje .
I
L
lifaoMeTpuja I paBHH n je HH.n;HpeKTHa aKo Melba opujeHTau;ujy paBHH, TO jecT
aKO CBaKH Tpoyrao OBe paBHH rrpeCJIHKaBa y Tpoyrao c~pOTHe opHjeHTau;Hje.
3a.n;aTaK
y Kaa,n;paTHOj Mpe)KH rrpHKa3aHoj Ha CJIHl.l;H
,n;ecHo, TaqKe A, B H C cy rrpecJIHKaHe
H30MeTpHjOM I y rnqKe A ', B' H C'. )J,a JIH je oBa
H30MeTpuja ,n;upeKTHa HJIH HH,ll;HpeKTHa? Hal)HTe
rnqKe y Koje ce OBOM H30MeTpHjOM rrpeCJIHKaBajy
rrpeocTaJie ,n;aTe rnqKe, rra yrrope,n;HTe
opujeHTau;Hjy MYZ ca opujeHTau;ujoM lbHXOBe
cJIHKe M'YZ '.
A , I 1B
c
x
z
y
C'
3aKJbyqaK ,n;o Kora cMo ,n;oIIIJIH y rrpeTxo,n;HoM rrpHMepy CYIIITHHa je Hape,n;He TeopeMe,
Kojy HeneMo CTporo ,n;oKa3HBaTH.
AKo cy AB HA 'B' ,n;Be rro,n;y,n;apHe ,ll;y)KH paBHH n, oH,n;a rrocrnje rnqHo ,n;Be
H30MeTpHje oBe paBHH Koje A H B rrpecJIHKaBajy y A ' H B', rrpu qeMy je je,n;tta
,n;upeKTHa, a ,n;pyra HH,n;MpeKTHa H30MeTpHja.
IlpHMep2.
IIpHJIHKOM ,,H30MeTpuqHJ1X rrpeMeIIITalba TaqaKa" He Mopajy cBe Ta'!Ke bHTH
rrpeMeIIITeHe.
I '
Ha CJIHl.l;H ,n;ecHo rrpeMeIIITeHH cy caMo :>KeTOHH ca II03Hu;Hja A H B Ha HOBe rro3uu;uje A
1 H B
1, ,n;oK )KeTOH ca II03Hu;Hje C HHje
rroMepaH. TpojKe (A, B, C) H (A1, B1, C) o,n;pel)yjy Hery H30MerpHjy
I. Y OBOM cnyqajy, rro3uu;uja :>KeToHa C rrpe,n;cTaBJba HeIIoKpeTHy
HJIH <PuKcHy~Mernje I. +
~~ B
~ . c '· • "
Bi
<l>HKCHa Ta'IKa H30MeTpHje I: n-+n je CBaKa Ta'!Ka X paBHH n TaKBa ,n;a je I (X) =X.
-
,ne4Jttmnm_ia
"'fo::.Ke ce :tmra3aTu ,qa aKO K30Merpzja
'l}'Ba opajeennmjy jeJJ,Hor TJ>O)fila, oa:;ra 'I)'Ba opujeBTannjy
H CBJiX OCTat"IHX
rpoyr;:mBa..
reopeMa
<l>JIKCHe Ta'l:Ke
1130ArerpHja
Jle¢~!HlfUJl°.1
235
B
TeOpeMa
KouHuuge11uuja je pe"I nanmcKor nopex..1Ia ll 3Ha'IH
iioK..:iaua1t1e,
'.JeiiWgo6Ho 36usa1be.
TeopeMa
IlpeMa OCHOBHOj Teope~m 0 ff30Merpl1ja.'da, aI<O HeKa H30MeTp11ja paBHH HMa
IpU qntKCHe HeKOillrneapHe Ta'll<e, OHAa cy l1 CBe OCTaJie TaqKe Te paBHH cpHKCHe (HenmcpeTHe). 0Ba Jt30MeipJrja w:.'da H noce8aH Ha3HB.
J1aoMeipnja paBHH Koja cBrucy rnqicy Te paBIDI rrpec1111KaBa y ce8e Ha3HBa ce
KO~e~ja Te paBIDL ,UaKJie, KOJ1Hl_\HAeHu;11ja paBHH 7t je rrpeCJIHKaBalbe
£: 7t~7t TaICBO Aa je £(X) =X, 3a CBaicy rnqKy x E 7t. -- ~
y HapeAHOM rrpruiepy paaMorpiffieMO jeAH)' l130MeTp11jy Koja HMa cpHKCHe TaqKe, a Koja
mrje KOifHI.V1,l.J,eHu;Mj a.
Ilp1D1ep 3.
HeKa cy AH B ABe rrpott3BOJbHe TaqKe paBHH rr. ITpeMa TeopeM11 ca rrpeTXOAHe CTpaHe,
rrocTOje Ta'IBO ABe 1.rnoMeTpttje I , H I2
, q11je cy cpHKCHe TaqKe A l1 B: I1(A) =A,
I1(B) =B l1 I
2 (A ) =A, I
2 (B) =B. JeAHa op; lbHX je p;11peKTHa H30MeTp11ja, HeKa je TO I
1,
AOK je APyra I 2 IDi,ll;HpeKTHa.
KoHHu;Hp;eHu;Hja paBHH rr je H30MeTp11ja Kojoj cy CBe rnqKe paBHH rr cp11KcHe, rra cy
crreu;HjaJIHo cp11KcHe 11 AH B, IIITO 3Haq11 p;a I 1, 8yp;ytrn p;a je p;11peKTHa H30MeTp11ja,
Mopa 0l1Tl1 KOl1Hll;l1)l;eHu;11ja.
Haje TeIIIKo 3aKJbyqHTH Aa H30MeTp11ja I 2 cBe TaqKe paBHH rr
Koje H11cy KomrneapHe ca A H B ,,rrpe8au;yje" ca Apyre cTpaHe
rrpaBe AB ,, qyBajyhK" pacTOjalba Te Ta'lKe op; A H B, Kao 11 p;a
cBe Ta'll<e Koje cy KOJIHHeapHe ca A H B ,,He rroMepa': BepyjeMo
Aa rrperro3HajeTe orny cJ.tMeTpHjy. •
IIpen:OAffJi rrpHMep HJiyCTpyje CJieAeha OIIIIITa TBpljelba.
n \1~I2(A)=A
15' <?"'-
c0://-·r --··----~.P I2
( C)
----l~--~2(B)=B i
,UHpeKTHa J130Merp.11ja Koja J1Ma ABe pa3JIJ1qJ1Te cpHKCHe TaqKe je KOl1Hll;l1,ll;eHu;.11ja.
A.Ko JmAHpeKTHa H30MeTp11ja HMa ABe pa3JIH'il1Te cp11KCHe TaqKe, OHp;a cy l1 CBe Ta'-!Ke KOJIJ1HeapHe ca OBHM TaqKaMa TaKol)e cp.11KCHe.
:-IeKa je l
::paBoj .s opM<L'II
3a Ta'!Ke
.:;rueTp
Ha orrm
0BaICB0
HeKa
sje
,l01W3. I
~,( Y) = :-aqaKa
C' •
OCH OBY
- c~, -npaBoj
:\a je S) p(Y, Y1 :i;ecpHHl
Cap;a u i
c11ep;11 ~
3. CJI] .I
(X$ S i
aHa11113
ce
e
:, a Koja
TpaHe,
OL1
,
;y ja,
A)=A
, 0 T2(C)
B)=B
~ja.
Be
OcHa c11MeTp11ja
HeKa je s qni:KrnpaHa npaBa paBHH re. AKo je X Tal.J:Ka paBHH re, Koja He npHna.u;a npaBoj S, HeKa je n HOpMarra Ha S, KOja ca.n;p:>KH Tal.J:KY x. 03HaqJ1Mo ca s IlO)l;HO:>Kje OBe HOpMarre. Ta.n;a nocTOjH je.u;HHCTBeHa Tal.J:Ka X' paBHH re TaKBa .n;a je X-S-X' H XS=SX. 3a Ta"IKe X H X' Ka:>KeMo .u;a cy cHMeTpwrne y op;Hocy Ha npaBy s. Ta"IKe npaBe s CHMeTpH"IHe cy caMe ce8H.
Ha OilHCaHH Hal.J:HH, CBaKoj Tal.J:KH paBHH re .n;o.n;eJbeHa je je.n;HHCTBeHa Tal.J:Ka HCTe paBHH. 0BaKBO npH.u;py:>KHBalbe Ha3HBaMO OCHOM CHMeTpHjOM.
HeKa je s <i>HKCHpaHa npaBa paBHH re. OcHa CHMeTpHja paBHH re y o.n;Hocy Ha npaBy s je npecrrHKaBalhe Ss : re_.re Koje cBaKoj Ta"IKH X paBHH re .n;o.n;eJbyje Ta"IKY X ' HCTe
paBHH Koja je CHMeTpH"IHa ca x y O,D;Hocy Has.
OcHa CHMeTpHja je H30MeTpHja paBHH.
on..~3. Tpe8a .n;oKa3aTH .n;a 3a bHrro Koje .n;Be Tal.J:Ke X H YpaBHH re, aKo je Ss(X) =X' H
Ss( Y) = Y', oH.n;a je XY =X'Y'. Pa3JIHKOBalieMo BHUie crryqajeBa y 3aBHCHOCTH o.u; o.u;Hoca Tal.J:aKa X H Y ca npaBOM s.
l c ./'-ta) AKO X, YE s, OH,D;a je Ss(X) =X H S,(Y) = Y, TO jecT X =X' H Y = Y', na Ha
oCHoBy pe<PrreKCHBHOCTH perraQHje = Ba:>KH XY =X'Y'.
2 c }- l IlpeTnocTaBHMO .n;a je.n;tta o.u; yoqeHmc Ta"IaKa npHna.u;a
npaBoj s, a .n;pyrn He; HeKa je XE s H Y ~ s. IlpHMernMo Hajnpe .n;a je S,(X) =X =X'. 03Hal.J:HMO ca 0 npeceK npaae p(Y, Y') H npaBe s. Ta.n;a je p(Y, Y') .l s H YO= OY' no
.n;e<l>HHHQHjH CHMeTpH"IHe Tal.J:Ke. y 0
s y
Ca.n;a H3 OX =XO, YO= OY' H dOY = < Y'OX, npHMeHOM CTaBa no;i;y.n;apHocrn CYC, crre.n;H .n;a je H XY =X'Y'.
" <.. ' IlpeTnocTaBHMO .n;a HHje.n;tta o.n; yoqeHHX Tal.J:aKa He npHna.u;a npaaoj s (X ~ s H y ~ s). 0Baj crryqaj npenyUITaMO BaMa, y3 HaIIOMetty .n;a j e IlOTpebHO aHaJIH3apHTH crryqajeBe Ka.n;a npaBa Kp03 X H Y ceqe ocy s IDIH joj j e naparre;rna.
\ ,.%~ I / "'\"'"' x X' x .. .: \ X' J I : I L : l
y Is Y' y Is Y' y I~ Y' I.
-
A s
xo
s
xo )(" I I X
xo x= 11 X ox·
A .
.23~
Teope 1a
s =s'
o L X=X'
Axo je Q aeKa paBBa <i>HIYPa u I moMerpuja OI!TOBapajyhe paBHH, ca
I ( Cl>) 03Ha'laBaMO Cl>.l'Il
c."TIIK<l raqaxa H3 Cl>, ro jeer CBJIX raqa.ira I(X),
XE Cl>.
x=I z 2,P)
1 2 3 x
238
HasoJ:piMO HeKOJrnKO OCHOBHHX oco5mrn OCHe c:~1MeTJ'Hje.
Oma CHMeTpHja je KH,n;HpeKTHa H30MeTpHjcKa TpaHc<PopMan;Hja.
OcHOM CKMerpHjoM ce cse Ta'IKe oce rrpernHKaBajy y ce5e. Ba>1<H H o5pHyTo,
axo ocHa CJrnerpHja npecmfKaBa Hery Ta'IKY y ce5e, oH,n;a Ta Ta'IKa rrpHrra,n;a OCH
Clll!eTpMje.
OcHoM cJL.~erpHjoM ce csaKa npasa HOpMaJIHa Ha ocy rrpecJIHKaBa y ce5e.
L AKo je S.(X) =X', mma je S,(X') =X. .>. AKo je S,( <l>) = <D ', oe.n;a je S.( <D ') = <D.
AKo je <D ' = S, ( <D ), Ka.>KeMo .n;a cy <l>Hrype <D H <D' OCHO CKMeTp:wrne y O)l;HOCY Ha rrpasy s.
Ha ornoBy oIIIIITe .n;e<Pmrn:u;Mje no.n;y,n;apHoCTM
J1 'IlflDeID1.ll;e .n;a je OCHa CJ1MeTpHja H30MeTpHja
3aKJbyqyjeMO .n;a cy OCHO CJ1MeTpK'iHe <l>Hrype no.n;y,n;apee.
1. AKo p E p n s Ji S,(p) =p', OH,n;a p E p'. 2. AKo je p II s H S,(p) =p', OH,n;a je Hp' II s.
J{oKaJ.
OmUTa ,n;eqni:mi:QHja no,n;y,n;apHOCTH.
)];Be qmrype Cl> H 'I' cy no,n;y,n;apae, y 03HaQH Cl> ~'I',
aKo nocrojH H30MerpHja I Koja npecJIHKaBa Cl> aa 'I', ro jeer aKo
je I( cI>) ='I'.
1 J.13 p Es CJie)l;H ,n;a je P=S,(P), ,ll;OK H3 p E p CJie,n;H ,n;a S,(P) E s.(p) =p'. )J;aKJie, p E p '.
.., HeKa rrpase pH s HeMajy 3aje)l;ID1tIKe TatIKe. ,1J;oKa3aneMo ,n;a Ta,n;a HH p' HeMa
3aje,n;HJ1'1Ke TatIKe ca s. AKo 5H IIOCTOjana TaqKa P' E p' n S, OH,n;a 5HCMO HMaJIH ,n;a je S,(P') =P'. Mel)yTHM,
KaKO je S,(p') = p, cne,n;H ,n;a P' E p, IUTO je HeMoryhe, jep p H s HeMajy 3aje,n;HH'IKe Ta'll<e.
ITpHMeTMTe ,n;a y cnyqajy .n;a je p =s, HMaMo ,n;a je Hp' =s. •
3 a;i;aTaK
- O.n;pe,n;H KOOp,n;HHaTe raqaxa KOje cy CHMeTpJf'IHe TaqKH P(x, y) y o,n;Hocy Ha
Koop,n;HHaTHe oce.
" O.n;pe,n;H Koop,n;HHaTe TaqaKa Koje cy CHMeTpH'IHe Ta'IKH P(x, y) y o,n;Hocy Ha rrpase
x =a Hy= b, r.n;e cy a H b HeKH <PHKcHpaHM 5pojeBH.
-- ---\
AKO
IIp ' H a CJIHKa
ThHXOB~
IIp
_ yttyTpa
an;HMa
JqHfJie,U,
:ro pernd
:::::ocTyrrlfi
J;oceTKa
:Ja3JIOr 3~
:::-eoMeTp
AKo Ha,n;o
npecJIHKa
o5HM Tpo
Mel)ylh~ cy rrpecell
:o, OCH
a
y :::'¥,
IKoja CTaKo
QYTHM,
'!Ke
1paBe
AKO IIOCTOjH OCHa CHMeTpHja (TO jecT oca) KOjOM ce HeKa qmrypa rrpecJI.HKaBa y
caMy ce8e, oHp;a KCl)f(eMo p;a je Ta cpttrypa ocuo C.HMeTpWIHa.
' IIp1iMep 1.
Ha cnHKaMa HCIIOp; rrpHKa3aHe cy HeKe Il03HaTe OCHO CHMeTp:wIHe cpttrype ca CBHM
lbHXOBHM ocaMa CHMeTpHje.
4&,+ 1
i$$ L.
I IlpHMep 2.
Y YHYTPaIIIlbOCTH KOHBeKCHor yrna aOb p;aTa je rnqKa C. Op;pep;HMO TaqKe A M B Ha
KpaQHMa Oa H Ob p;aTOr yrna TaKO p;a o8HM Tpoyrna ABC 8y;a;e Haj .MaH>H.
Oqttrnep;Ho ,,rroraJ)albeM" (cnyqajH.HM H38opoM) Tpa)KeHHX Ta':IaKa HeheMo .n;oh.H
p;o peIIIelba. YlrraK, cnyqajHH H38opH Ha.M Mory rroMohM .n;a ce p;oceT.HMO KaKO Tpe8a
rroCTyrrHTH.
,,,[J;oceTKa" Koja 8p30 p;OBOAH p;o peIIIelba, a y Be3H je ca OCHOM CKMeTpHjOM, rnamrn je
pa3nor 38or Kora je oBaj 3ap;aTaK rrocTao He3ao8ttna3aH rrpKMep y MHonw YJ,I8eHHWfMa
reoMeTpttje.
o~b b )~ . C"
AKo Hap;oBe)l(eMo cTpattHQe TpoyrnoBa (Koje cMo cnyqajHo 8ttpaJI.H) ca cmu<e mH~,
rrpecJIHKaBajyhtt TaqKy Cy o,11;Hocy Ha KpaKe Oa H Ob y Ta''lKe C ' H C ", yoqaB~10 p;a j e
o8HM Tpoyrna A~,C (i = 1,2) jep;HaK ,!l;y)l(J.fH.H H3JIOMJbeHe JIJ.fHJ.fje CA» C. Hajh.-paha
Me~y lbHMa je cBaKaKo ,!l;y)I( C'C". Cap;a je je,n;HoCTaBHO o.n;peAJ.iTH rpCl)f(eHe Ta<JKe: A H B cy rrpeceQH p;~M C'C" ca Oa H Ob.
CTpor p;oKa3 p;a cy oBaKo KOHCTPYHCaHe Ta':IKe 3aJ1CTa TpCl)f(eHe Ta'!Ke 3acmma ce aa
Hejep;HaKOCTH Tpoyrna. •
c
~
0
C"
239
A x
0
0
s
:~ ~
C' A '
y I I X(J,2) I
I I
-2 -1 1 2 3 x
240
HeKa je S <PuKc:ttpaHa Ta'!Ka paBID11!. YoqKMo rrpoH3BOJbH)' TaqI<y X paBHH n,
pa3IDflilIT)' o;i; s. TaAa IIOCTOjH je,1:vrncTBeHa TaqKa X' paBHH 1! TaKBa p;a je x -S -X' H
XS:=SX'.
Krut<e~o ;i;a cy Ta'!Ke X H X' cHMeTpJ111He y oµ;Hocy Ha yaqicy S. Oqttrnep;Ho, rrpH
OBaKBOj ornerpMjH TaqKa s je CHMeTpHqHa CaMOj ce8H.
Ha OBaj Haq}fff, CBa.KOj Ta~ paBHH 1! p;op;eJbeHa je jep;HHCTBeHa TaqKa Te HCTe paBHH.
0BaKBO IIpH,D;p)')KJ1BaJDe Ha3KBaMO ~eHTpaJIHOM CHMeTpHjOM.
HeKa je S cpMKcMpaHa Ta'!Ka paBHH n. IJ;eHTpa11Ha CHMeTpHja paBHH n y op;Hocy Ha
Taqey S je rrpecIDU<aBalbe S5: n~n, Koje csaKoj rnqKH X paBHH n p;op;elbyje rnqKy X' HCTe paBHH, Koja je CHMeTpHqHa ca X y op;Hocy Ha S. --
lleHTpaJIHa CHMeTpHja je H30MeTpttja.
:Io ·ru. Tpe8a p;oKaJarn: p;a 3a fomo Koje p;Be TaqKe X H YpaBHH n, aKo je S5(X) =X' H
SsCY) = Y', oH,U;a je XY =X'Y'. Pa3mncyjeMo p;Ba crryqaja.
~ c· q.:.; Ta'!Ka S HHje KomrneapHa ca X H Y. KaKo je SX =: SX' H SY= SY', ami: H <XSY =: <X'SY' (jep cy yHaKpcHH yrnoBH
rrop;yp;apirn) , rrpeMa CTaBY CYC, cnep;H p;a je XY =:X'Y', UITO je H
Tpe8ano p;oKa3aTH.
-· c:"1aj. Ta'll<a S je KommeapHa ca X H Y. ~oKa3 y OBOM crryqajy
3aBHCH op; pacrrope.a;a oma: rnqa.Ka. Ha rrpKMep, aKo je S - X - Y, KMaMO p;a je XY =:SY -SX, rra H3 SX =: SX' H SY=: SY' cnep;H p;a je
X'Y' =SY' - SX' =SY - SX =:XY. CJIHqffO ce rrocTyna rrpH ocTaJIHM pacrropep;HMa H Ta
pa3Marp<UDa OCTaBJbaMO BaMa . •
3a;:1.aTaK
Y'
Y' X'
Op;pe.a;H Koop.a;miaTe TaqKe Koja je cKMeTpffqHa TaqKH P(x, y) y op;Hocy Ha
Koopp;H.Hanrn rroqeTa.K.
3a;:1.aTaK
s x
y
Tpoyrao ABC rrpecJIHKaj ~eHTpaJIHoM CHMeTpHjOM y o,n;Hocy Ha lheroso Te)l(HUITe T. ~a JIM. je T Te)l(HUITe H Tpoyrna S/ MBC)?
-X'M '
paBHH.
cytta
1qKyX'
~-
r X'H
y
7 ~X'
"y \_
re T . .D:a
J1cn1qeMo tteKe ocHOBHe ocoforne QeHTpaJIHe cHMeTpHje.
UettTpantta CHMeTpHja je AHpeKTHa H30MeTpHjcKa Tpattc<t>opMaQHja.
- . JeAHHa TaqKa Koja ce QeHTpaJIHOM CHMeTpHjOM npeCJIHKaBa y CaMY ce8e je
QeHTap Te CHMeTpHje.
" IlpaBe Koje CaAp)f(e QeHTap CHMeTpHje cy jeAHHe npaBe Koje ce OBOM CHMeTpHjOM
npecJIHKaBajy y ce8e (norneAajTe CJIHKY AeCHo ).
I. AKo je S5(X) =X', OHAa je SiX') =X.
- AKo je Si<l>) =<1>', OHAa je Si<l>') =<1>.
AKo je <1>' = S5( <1> ), Ka)f(eMo Aa cy <l>Hrype <1> H <1>' QettTpaJIHo cHMeTpH~e y OAffocy
Ha TaqKy s. IlOIIITO je QeHTpaJIHa CHMeTpHja H30MeTpHja, CJieAlf p;a cy QeHTpaJIHO
CHMeTpHqHe <l>Hrype IIOAYAaptte.
AKo S ft.pH Sip) =p', OHAa je p II p'.
/1,.mcaJ. IlpeTIIOCTaBHMO Aa npaBe pH p' HMajy 3ajeAIDPIKe TaqKe. HeKa je p E p n p'. Ilo npernocTaBQH S ft_ p, na je P:t:S. HeKa je P' =S
5(P). TaAa je P:t:P' (jep je Qemap
rnMeTpHje jeAHHa TaqKa Koja ce CJIHKa y ce8e). J13 PE p CJieAJf Aa P'=Ss<P) E S5(p) =p'. TaKol)e, IIOIIITO je p =Ss(p'), npeMa OCObHHH (5), H3 p E p' CJieAlf Aa je
P' = Ss<P) E S5(p ') = p . .D:aKJie, npaBe p Hp' HMajy ABe 3aje)::IJIWIKe TaqKe, mm 3Ha'IJ1 .n;a cy
je.n;ttaKe. To .n;albe 3HaqJf, npeMa ocobHHH (3), .n;a SE p cynpoTHO npernocTaBQlf. •
AKO IIOCTOjH QeHTpaJIHa CHMeTpHja KOjOM ce HeKa <t>Hrypa npeCJilfKaBa y ca..'d)' ce8e,
L--~ ott.n;a Ka)f(eMo p;a je Ta <l>Hrypa ~eeTpaJIHo CHMeTpJ[llJla.
Ilp1111ep 1.
IlapanenorpaM je QeHTpanHo cHMeTp~a <t>Hrypa. HMje TeIIIKo yo'IlH.H .n;a je rrpeceK
p;Hjarottana napanenorpaMa QeHTap CHMeTpHje.
Ha CJIHQH HCIIOA npHKa3aHe cy jom HeKe QeHTpaJIHo cMMeTpH'IHe <t>irrype.
s 0
oco6m1e
a= a'
Teope!!.1
~eQllHKI{lli<l
241
A CHMeTp11je 11 npaBIDIHH MHoroyrrroBH
Ilpm1ep I.
Peq CUMeiilpuja je rp'Il<or nopeKJia H 3HaqH CKllagHociil, cJlaiaHJe. Ha cHMeTpHqHe
08ID1Ke HannaaJfMO cBy,na Ha rrpHMep, y OHJbHOM H )KJIBOTHlbCKOM cBeTy jep;HHKe
ce own1K}iY cnMerpwrnomhy, a Ha BHIIDlM cTyrrlheBHMa pa3soja, peq je rrpe CBera o
cm1erp:uju nese n p;eCHe crpatte, TaK03BaHoj fornaTepaJIHoj CHMeTpHjH. Bpno qeCTo ce
ori;crynalbe og )l(eJbeHe CJiMerpHje TJMaq:11 Kao HecnocoOHOCT jep;HHKe ,u;a ce npasmrno
pa3BJtje H rrpHRarO,lUi CBOM OKpf)l(elhy.
CHe)l(He naxyn,Kne Mory OHTH paaJIHqHTIDC oOJIHKa,
an:u cse noce~jy ,,BHCOK cTeneH" cHMeTpHje.
3am1MJhHBO je ,u;a y oOJIHQHMa naxyn,HQa Hajqemhe
3ana)l(aMo yrnose OJI, 120°, rnTo je nocnep;IDJ;a
q}flbeHKqe ,u;a y MOJieK)'JIY so,u;e aTOMH BO,UOHHKa ca aTOMOM KHCeOHHKa o8paayjy yrao op; 120°.
-· • BepoBaTHo noyqeHH HCKYCTBOM H3 rrpHpo,u;e, aJIH H rrop;cTaKHYTH c:11MeTp:11joM csor
Tena, JbYIUf Te)l(e ,na H OHO IIlTO CTBapajy 8y,u;e neno y CMHCJIY CHMeTpHqHOCTH . •
Cm1erp}fqHJf OOJJ~ He Ca.MO ,u;a neno H3rne,u;ajy, sen rroce,u;yjy J1 ,UOCTa ,,Jierrmc"
ocoOHHa Ta.Ko, Ha rrpHMep, Met)y CBHM TpoyrnoBHMa, je,u;HaKocTpaHJ1qHH Tpoyrnos:11
nocep;yjy HajBel'rn: 8poj oca CHMerp:11je (Tp:11), rra cy rnMe ,,HajrnMeTpHqHHjH
rpoyrnoBH': To je H rnasHH y3poK 8pojHmc crreQHqrnqHOCTH osmc TpoyrnoBa, Koje H11:cy
CBOjCTBeHe OCTaJH1M: TpoyrnosHMa.
TaKolje, IIOIIlTO qeTBopoyrao MO)Ke HMaTH Hajsmne qeTHpH oce CHMeTpHja, KBa,u;paTH
cy ,,HajCIDfeTpJiqHHjH qeTBpoyrnoBH':
3a,llaTa
,Ua ffif je jeAHaKOCTpaHH"'laH Tpoyrao qeHTpanHo c11MeTp:11qatt? 08pa3JIO)KH o,u;roBop.
CffifqHO ce H Met)y OCTaJJHM BpCTaMa MHOroyrnosa J13,IJ;Bajajy OHJ.1 KOjH rroce,u;yjy BHCOK
,,CTeneH CHMerpJiqHOCTJ.1".
L---no,u;yp;apHH Ha3HBa ca npaBHmm MHoroyrao. - --
IlpHMeTHMO ,n;a CaMO y CJI)"lajy Tpoyrnosa H3 je,n;HaKOCTH CTpaHHQa cne,n;H je,n;HaKOCT
yrnosa. PoM5 xojH HHje KBa,n;paT je npHMep qeTBopoyrna xojH HHje rrpasHnaH Haxo cy
CBe l:berose CTpaHHQe je,n;HaKe. Je,n;HOCTaBHO ce KOHCTpymrre rreTOyrao tfl1je cy cTpaHHQe
pa3JIJ1qJ1Te, aJIJ1 cy CBH H>erOBH yrnOBJ1 Mel)yco5Ho je,n;HaKH (no 108°).
CBe cm
::LHOfO
:.:eHrap !HOfO
. .. _"')Kl{
•ret)y
-CKOr
rm·u oa
• illorn
paKTi
ilOIIITO
OHCJP.
0 8jac
.:::(aTaK()
:rop:11c
.,meCT
peq rne
3a
KoHc
e '
f Ke
era o
ecTo ce
lBJ1JIHO
CB Or
ill03J1
oje Hl1CY
APaTJ1
DB Op.
r BHCOK
OBJ1
'-
Ba
FT 1ep
r:o ~e
.. .._,
CBe c11MeTpane cTpatt11n;a 11 cBe CHMeTpane yttyTpamlhHX yrnoBa rrpaBHJIHor
MHoroyrna ceKy ce y je,n;ttoj Ta'IKH Koja ce Ha3HBa u;euTap Tor Muoroyr11a. QettTap rrpaBHJIHor MHoroyrna je, ,n;aKJie, n;ettTap 11 on11catte 11 yrr11catte Kp)')KHHD;e Tor
MHoroyrna.
,[(y:arn Koje crrajajy n;eHTap rrpaBHJIHOr n-TOyrna ca IberoBHM TeMettHMa pa3llaYKY ra Ha
n Mel)yco8tto rro,n;y,n;apttHX je,n;ttaKoKpaKHX TpoyrnoBa. 3aTO ce rrpoyqaBalhe ocoforaa
tteKor rrpaBHJIHor Mttoroyrna yrnaBHOM CBO,n;H Ha rrpoyqaBalbe je,n;ttaKoKpaKor -rpoyrna
Koj11 o8pa3yjy n;ettTap Tor MHoroyrna 11 IheroBa ,n;Ba cyce,n;tta TeMetta.
KapaKTepHCTHqau Tpoyrao rrpaBHJIHor MHoroyrna je Tpoyrao Koj11 o8pa3yjy ,n;Ba
cyce,n;tta TeMeHa 11 n;ettTap MHoroyrna.
KapaKTep11cT11'1aH Tpoyrao rrpaBHJIHOr n-Toyrna je je,n;ttaKOKpaKH rpoyrao tUrja je
360° octtoB11n;a je,n;HaKa cTpatt11n;11 Tor MHoroyrna, a yrao ttacrrpa.'1 OCHOBHn;e je --.
n
Mttor11 eneMeHTH npaBHJIHOr MHoroyrna cy y ,n;11peKTHoj Be3H ca &eroBHM
KapaKTep11cTH'IHHM TpoyrnoM. Ha rrp11Mep, KpaK KapaxTep11cTWIHor Tpoyrna je
IIOJiyrrpe'IHJ1K OIIHCaHOr Kpyra rrpaBHJIHOr MHOroyrrra. BHCHHa KapaKTepHCTWIHOr
Tpoyrna Koja o,n;rOBapa IberoBoj octtoB11n;11 je nonyrrpe'IHHK y:rrHcattor Kpyra IIpaBHJIHor
Mttoroyrna. TaKol)e, ,n;a 811cMo KOHcTpYff CaJIH tteKH rrpaBHJiaH MHoroyrao, ,n;oBOJbHO je
KOHCTPJHCaT11 IberoB KapaKTepHCTWiaH Tpoyrao.
IlpHMep2.
IlmIITO ce rrpaBHJiaH mecToyrao caCToj11 113 meCT je,n;ttaKocTpamrnrn:x rpoyrnoBa,
KOHCTpy:Kn;11ja OBOr MHOroyrna je je,n;HOCTaBHa JKOJIHKO je Il03HaTa aeroBa CTprumn;a.
Ol5jacH11Te 315or qera je rnecTOyrao KOHCTPJHCaH Ha CJIHn;M ,n;eCHo IIpaBHJiaJI.
,[(am KOHcTpyKn;11ja npaBHJIHOr mecTOyrna je rro3HaTa o,n; ,n;aBinma. 3aBaTmrje cy j e
Kop11cT11Jie 3a rrpeMepaBalbe ,n;tta 3a 15ypa,n; (rroMony patIBacre rpaBe) 11 Ha3HBami j e
,,rnecrnpeibe" jep ce Kpyr ,n;eJIH Ha meCT je,n;ttaKKX ,n;enoBa. O,n; oBe pe'Ili BOAJi rropeKJio n peq rnecrnp. +
3a,n;aTaK
KottcTpJHilIH rrpaBHJiaH ocMoyrao cTpaHHD;e a.
~
Aetfmum.vra
T-eopeMa
A.Ko _ie s~ 38np YJ!YTP3IIIlbHX ymo.sa
n-rnyma. oa:ra ie S = (n -2)- I
243
- A
0
0
0
C'
244
--+ HeKa je 0 cp1iKCKpa.Ha Taqxa paBIDi TI H a opHjeHTHcairn yrao oBe paBHH. YoqHMO
IIpOH3BOThH)' Ta'!KY x paBHH TI pa3Jllf'IHTY o.n; 0. TiocTOjH je.n;HHCTBeHa TaqKa X' TaKBa -----+ --+
ga je OX= OX' H <rXOX' =a. Ka_)l(eMo .n;a je Taqxa X' .n;o8HjeHa poTa1v1joM TaqKe X oKo --+
raqxe 0 3a opajeHn1cairn yrao a. HapaBHO, Taqxa 0 ce poTa:u;HjoM OKO TaqKe 0 3a
8uno Koju opHjeHTHCa.HH yrao rrpecIDU<:aBa y CaAfY ce8e.
--+ HeKa je 0 cpHKCKpaHa Ta'!Ka paBHH TI H a opHjeHTHCaHH yrao oBe paBHH.
--+ Poran;Hja paBHH TI oKo TaqKe 0 3a opHjeHTHCaHH yrao a je rrpecnHKaBalhe
R.0 .... : n -n, Koje cBaKoj Ta'l.l<M X paBHH n .n;o.n;eJhyje TaqKy X' HCTe paBHH, Koja je ~ --+
.<lOfoijeaa poTa:u;HjOM OKO TaqKe 0 3a opHjeHTHCaHH yrao a. TaqKa 0 ce Ha3HBa . --+ •
:u;eHrap oBe poTa:u;HJe, a a yrao poTall;HJe.
PoTa:u;Hja je H30MeTpHja.
;:.o r·. AKo cy X H Y rrpoH3BOJhHe TaqKe paBHH n H aKo je 'R.0,-;;(X) =X' H 'R0,Q'(Y) = Y', lpe8a JJ;OKa3arn p;a je XY :=X'Y'. 11MajynH Ha YMY .n;ecpHHHll;Hjy poTa:u;Hje, 3aKJhyqyjeMo
Aa je OX= OX' H OY = OY'. )J;a 8HCMO .n;oKa3arr11 .n;a je 11 XY :=X'Y', rrpeMa CTaBY CYC,
)l;OBOJhHO je )l;OKa3aTH .n;a je <rXOY = <rX'OY'. Tio.n;y.n;apHOCT OBIDC yrrroBa .n;oKa3yjeMO
pa3nHKOBaibeM cnyqajeBa y 3aBHCHOCTH o.n; Mel)yco8Hor rrorro:lKaja rrorryrrpaBmc [OX), [OY), [OX') H [OY'). Ha Hape.n;HHM CJIHKaMa rrp11Ka3aHa cy .n;Ba KapaKTepHcrnqHa
cnyqaja.
y y
Y'
0
OcTaBJha.\io BaMa .n;a y CBaKoM o.n; oBa .n;Ba cnyqaja o8pa3JIO)KJ1Te 3alllTO je
<rXOY = <rX'OY'. •
Y'
-..
11
[MO
" TatCBa
~XOKO
!ha
e
=Y', tryjeMo ;Ye, jeMo [OX),
la
\,.
HaBop;11Mo ocHOBHe ococ511He poT~11je.
PoTaQ11ja je p;11peKTHa 1130MeTpajcKa TpaimpopMaQ11ja.
- Jep;11Ha TaqKa Koja ce poT~11joM rrpecn11KaBa y caMy cecSe je QeHTap Te poTaQHje.
PoTaQHja 3a orrpp1<eH yrao je QeHTpanHa rnMeTp11ja. PoTaQ11ja 3a rrytt yrao je K011HQH,IJ;eHQ11ja.
AKo je R 0 ,;(X) =X', oHp;a je R 0._;(X') =X.
IlpHMep I. 4
,[(aT11 cy TaqKa 0, op11jeHT11caH yrao a 11 rrpaBa p.
Jep;aH op; Haq11Ha p;a ce op;pep;11 R0,;(p) je p;a ce ponrpajy
p;Be rrpo113BOJbHe TaqKe oBe rrpaBe. ~ l ~x Mo)l(eMo rrocTyrr11T11 11 ,o;pyraqaje.
AKo je N rrop;HO)l(je Hop Mane 113 0 Hap 11 R0,;(N) = N',
oHp;a je Hop Mana Ha ON' y TaqKJ1 N' Tpa)l(eHa cn11Ka p' rrpaBe p p;aTOM pOTaQ11jOM.
Oc5jacH11Te 3alllTO je oBa rrornep;Iba KOHCTpYKQ11ja
KopeKTHa. (CernTe ce p;a 1130MeTp11je ,,qyaajy" yrnoBe.) +
3ap;aTaK
0 p
A_
0 p
AKo je R 0,60.(p) = p ', op;pep;11 yrao 113Mel)y rrpaBKX p Hp '. <l>opM}'1Il1IllJf oIIDITe TBpl)eH>e o yrny 113Mel)y rrpaBe 11 lbeHe CJI11Ke HaKOH HeKe pOTaQ11je.
fipHMep2.
KoHcTpYJ1llll1MO jep;HaK0KpaKo-rrpaBoyrn11 Tpoyrao ABC aKo je p;arn TeMe rrpaaor yrna C 11 rrpaBe a 11 b Koj11Ma rrp11rrap;ajy TeMeHa A H B.
HajBa)l(H11je je rrp11Mernrn p;a je R c,90
.(A) =B. Jib ycnoBa
p;aA E arnep;11p;aB=Re,90°(A) E R e,90°(a)=a'.)J,aKJie, BE a" n b.
KoHCTPYKJ..\l1ja Ha ocHoBy HaBep;eHe attam13e je rrp11Ka3aHa Ha CJI11Ql1 p;ecHo. (IlpHMenne p;a Kap;a a pornpaMo y cyrrpoTHOM cMepy, p;oc511jaMo jolll jep;Ho pelllelbe.)
,[(oKa3 11 p;11cKyc11jy rrpeIIYlllTaMO BaMa. +
c b\
ocofame
YoOH'lajeHo je n:a ce Mepe yrnoBa KOjJt
cy opHjeHTHcaHH y CMepy cynpoTHOM KpeTaJDY Ka3aJbKe
Ha caTy H3p<l)KaBajy Il03HTJtBHJfM OpojeBIDola,
a Mepe OHJ!X KOjH cy opnjeHrn:cam1 y
ot:epy Ka3alI>Ke Ha caT)·
HeranraHJ!M. 4
Axo je a opnjeHTUCIBll ~
yrao, ca -a 03HaqaBru.i:o
yrao cyIIpOTHe
opHjemau;nje.
245
- A -+
~
x~x·
B'
OCoOI!He
246
TpaHcrran;11j a -+
Hexa je v ;ram Benop Koj11 mrje H)11la-seKTop H 'llijH je rrpasa.Q rrapaneJiaH ca paBHH
n. Yo'IIDdo npmt3BOJbHY TatfK}' X pasHH n. T~a, npeMa TeopeMH ca CTpatte 216, ~-+
nocrnju jewmcTBeHa rnqxa X' TaKBa p;a je XX' = v . KCDKeMo p;a je TaqKa X' p;o8Hjetta . -+
TpaHCJiaqJ1JOM Taqxe x 3a BeKTOP v.
-+ Hexa je v .n;arn BeKTop qJijH je npaBau; rrapaneJiatt ca paBHH n. Tpa11c11an;uja pasm1
-+ JC 3a BeKTop v je npeCIDfKaBa!he T-. : n -+n, Koje csaKoj TaqKH X paBHH n p;op;eJbyje
• -+ TatfK}' X' HCTe paBHH, Koja je p;o811jeHa TpattcJiau;HjOM 3a BeKTOp v.
Tpattcnau;Hja je H30MeTpHja. ·.
OKa3. HeKa cy X H Y npoH3BOJbHe TaqKe paBHH n H HeKa je 'T-;(X) =X' H 'T-;(Y) = Y'. Ha
ornoBy TeopeMa ca CTpaHe 180, cnep;H p;a je XY=:X'Y'. •
Haso,!P{Mo OCHOBHe ocoforne TPaHCJiau;Hje.
l TpattCJiau;Hja je p;HpeKrna H30MeTpHjcKa TpattccpopMau;Hja.
2 He IIOCTOjH Taqxa Koja ce TpaHCJiau;HjOM rrpeCJIHKaBa y CaMY ce8e .
. CBaKa npasa napaneJIHa BeKTopy Tpattcnau;Hje rrpecJIHKaBa ce y caMy ce8e.
4 TpattCJia.QHjOM ce rrpaBa rrpernHKaBa y rrapanentty rrpaBy .
.:: AKo je 'T-;(X) =X', ottp;a je T_-;(X') =X.
IIpHMep 1.
,ll;aTe cy Taqxe A H B H npase c H d. KoHcTpYJiIIHIMO napanenorpaM ABCD TaKO p;a
CE CHD Ed.
0Baj KOHCTP}'KTHBHH 3ap;aTaK ce pemasa
aHaJiaraO npHMepy 2. Ha npeTXop;ttoj CTpaHH,
c THM IIITO OBora rryTa Tpe8a rrpHMeHHTH
TPaHCJia.QHjy.
IlpHMeTI1Mo p;a je TBA'( C) = D. :Vfa yrnoBa C E c
rnep;H Aa D =TBA'(C) E TM'(c) =c'.
,ll;aKJie, D E c' n d.
,ll;OKa3 Ji p;Hc:rycajy OCTaBJbaMO BaMa. •
3a~anlK
A
,ll;aTe cy Taqxe A H B H Kp)')KID11\e k1
H k2
• KottcTpYJiIIIH napanenorpaM ABCD TaKO p;a
CE kl HD E k2.
K0Mrro3
rrpecnm
AoB,T CJIHKY 'I1
.[fo1ca3.
paBHH.
p;oKa3a1
AKoca
XY=:XI IIpeMa
na KaKe
Haj3a
3
3~
Op;pe;"I
1 T--u
paBHH 1,
fjeHa
paBHH
elhyje
=Y'.Ha
~a
. y
~
x o,n;a
KoMn03HD;Hje H30MeTpHja paBHH
KoMIT03HQHja ,n;Be H30MeTpuje je 3arrpaBo KOMrro3~11ja ,n;Be cpyma~11je Koje
rrpernHKaBajy HeKy paBaH y ce8e. ITo,n;cehaMo ,n;a CJilfKY HeKe Ta'll<e X rrpu KOMIT03:i.~jn
A o B, TO jecT A o B(X) oi:1pel)yjeMo TaKO IIITO rrpBo o,n;pe,n;MMo B(X), a 3aTirn o,n;pe~m
CJIHKY Te raqKe rrpu A.
K0Mrro3~uja ,n;Be H30MeTpHje je H30MeTpuja.
,lloKaJ. HeKa cy AH B ):\Be H30MeTpuje paBHH. ,ll;OKa)KJ{MO ,n;a je H Ao B H30MerpHj a
paBHH. HeKa cy X H Y ):\Be rrpoH3BOJhHe Ta'll<e H X' =A o B(X) H Y' =A o B(Y). Tpe5a
):IOKa3arn i:1a je XY =X'Y'. AKO ca xi H YI 03HaqHMO B(X) H B(Y), OH,n;a, ITOIIITO je B H30MerpHja, CJie,ll;M ,n;a j e
XY=XX1· ITpeMa i:1ecp11H11Q11j11 KOMIT0311Q11je,
X'=A o B(X) =A(B(X)) =A(X1) 11
Y'=A o B(Y) =A(B(Y)) =A(Y1), rra KaKO je 11 A 1130MeTp11ja, CJie,n;11 ):la je x i YI =X'Y'. Haj3a):\, 113 XY =xi YI 11 xi YI =X'Y' CJiep;M ,n;a je XY =X'Y' . •
3aµ;aTaK
Koje 1130MeTp11je rrpe,n;cTaBJhajy cnei:1ehe KOMII0311QMje:
1) Ro,ft o Ro,C:• 2) T; o T,;?
A
A_
A
y "Z
3aµ;aTaK
O,n;pei:111 cne,n;ehe KOMIT0311QMje:
A "
R 0 ,r; o R 0 :; = R 0 ,--; .r;
T-. 0 T-. = T-. ..... V U Y +U
1) T_-;; o T,:; 2) R 0 ,--; o R 0 , _--;; 3 Ss o Ss; '"± S oS. p p
B
A '
A "
B"
B S oS o ~ o R
S s r o.~
(~ .. ABC)
c
~ r··-..... . / I \ .... ...,, . . . . , .
f .... ~B \ Q~:~:o A !
i ,..:·;·:L;Jl
~·. ~s ---:--:---- ! . .
.o. ••••• ::· ...
S -~>·····::o. ,~ ...... __. .. ¥#,; - ..
-~~.,
-+ -+ A.Ko cy ynmBH a H I'
ucTo opHjeHTHcaHH, mua -+ -+
ce 3bnp a +I' o;rpel)yje ObJf'IJIMM HaJ{OBe3JIBa.!LeM
H HMa ucry opuj emamtjy Kao u caOHpJ:Ut. YKoJIHKo
-+ -+ cy a H p cynporne opujeHT~je, oima o,IJ, Beher yrna Tpeoa '
oey3eni: MaH>H H rrp11 TOM je ,IJ,OOHjeHa pa3JIHKa op11jeHTHCaHa Kao BehH
yrao.
Teope;a,u
2A~ "T l
-
:reopeMa
CBe poramrje (rra THM:e Jt ueHip<mHe CHMerpnje) n CBe Ipa.HuJ:auuje ce
ory npmra3arn Kao Kc 031nurje .J:Be ocHe
01.Me-IpUje.
3anaraK
Koje H30MeTpHje rrpeACT<IBJbajy crreAehe KOMII03Hn;Hje:
S oS aKOjepl l q; , s> s. aKO je p .l q J1 p n q = { O}; sq 0 s;: aKO ce p J1 q ceKy IIOA yrrroM OA 45° y rnqKH O?
I I I I
Ha oCHoBy rrperxm:µmr 3aAaTKa ttacrrynyjy ce crreAena orrIIITa rnpl)e1na.
KoMII03Jtn;Hja S o S ABe orne CHMeTpHje q11je cy oce rraparrerrtte je Tpattcrran;11ja 3a q p -+ ~
BeKTop v =2PQ, rAe je PE p, Q E q 11 PQ .l p.
Kol\m03IDJ;Hja S o S ABe orne c11MeTp11je q11je ce oce ceKy y TaqK11 0 je p0Tan;11ja q p
crnju je n;eHTap TaqKa 0, a yrao je ABa rryrn Ben11 OA yrrra Koje 3axBaTajy oce 11
op11jettT11caH je ,,OA Op Ka Oq':
HeheMO HaBOAlfTH AOKa3 rrpeTXOAHHX rnpljelba Ben neMO CaMO HaBeCTH ABe
cyrecTHBHe HJIYCTP~Hje.
p p q
q X'
x . XO
3a;i:araK
X"
,lJ;aTa je Taq}(a 0, rrpasa p Koja caAP)l(J{ 0 11 op11jettT11caH yrao a. KottcTpYJ1IIIH rrpaBy q TaKOAajeR
0 ..... =S oS . .a q p
3a;i:a-aK
L{aTa je Taq}(a 0 11 rrpasa p Koja caAP)l(J{ 0. Kojy H30MeTp11jcKy Tpattc<f>opMan;11jy
rrpeACTaBJba KOMIT03Hn;Hja S0 o S/
.~-
rrpe
Oco8Ml rrpoCT~
•A
• rrp
• yr
• rrp
•Ta
L Ko nm CHM el
- ---
r- t +-
~
Hja
bX"
~
'-
)aayq
;~; ... ".~~
PaBaHcKa CHMeTpHja
,[(o CaAa CMO ce 5aBH!U1 HCKJb)"IHBO H30MeTpHjaMa paBHH. nonrytto aHaJIOrHO ce )7BOAe
' H30MeTpHje npocTOpa. 03Ha'IHMO ca !El CKyn CBHJC Ta'!aKa (npocTOp).
J.13oMerpu:ja npocTopa je ¢YHKQHja I: IEl~IEI TaKBa Aa 3a cBaKe A13e Ta'!Ke AH B H3
!El, aKo je 'I(A) =A' 11 'I(B) =B ', OHAa je AB ~A 'B '.
vfaOMeTpHje npOCTOpa 3aMHllIJbaMO KaO ,,rrpeMell!TaH>a" Ta'!aKa npOCTOpa HaKOH qera
Ce pacTOjaH>e Mel)y OArOBapajytrnM Ta'IKaMa HHje rrpoMeHHJIO. ilocebHO HCTWieMO
paBaHCKY CHMeTp11jy.
HeKa je a ¢11KrnpaHa paaaH. AKo je X Ta'!Ka rrpocTOpa Koj a He np11naAa paaHH a, HeKa
je n (jeAHHCTBeHa) HOpMaJia Ha a Koja CaAp)l(Jll Ta'IKY x. 03Ha'IHMO ca s IlOAHO)l(j e OBe
HOpMane. TaAa nocTOjH jeAHHCTBeHa Ta'!Ka X' TaKBa Aa je X - S - X' H XS~ SX'. 3a Ta'!Ke
X H X ' Ka)l(eMo Aa cy CHMeTpH'IHe y OAHocy Ha paBaH a. Ta'!Ke paBHH a cy cHMeTPJ1qlie
caMe ce511. Ha orr11caHH Ha'IHH, cBaKoj Ta'IKH npocTopa AOAeJbeHa j e j eAJ1HCTBeHa
Ta'!Ka. OaaKBO rrpHApy)fmBaH>e Ha3HBaMO paaaHCKOM c11MeTp11joM.
HeKa je a ¢11KrnpaHa paaaH. PaBaHcKa cHMeTpu:ja y OAHocy Ha paBaH a je
npecn11KaBaH>e Sa: IEl~IEI, Koje cBaKoj Ta'IKH X npocTOpa AOAeJbyje Ta'IKY X', Koja je
c11MeTpH'IHa ca X y OAHocy Ha a.
Ococ511He paaaHCKe c11MeTp11je rrocTajy HHTYffTHBHO jaCHe YKOJIHKO oay H30MeTPHjy
rrpocTopa 3aMHllIJbaMO Kao rrpecm1KaBaH>e o5jeKaTa y orneAany. PaBaH orneAana j e TaAa
paBaH CHMeTpHje.
PaaaHCKOM c11MeTp11joM ce rrpecn11Kasajy:
AY)l(H y IIOAYAapHe AY)l(H (rra je paaaHcKa CHMeTp11ja H30MeTpHja rrpocrnpa);
• npaae y rrpaae;
c yrnoBH y IIOAYAapHe yrnoae; • rrpaae HOpMaJIHe Ha paaaH c11MeTp11je y caMe ce5e; • Ta'IKe CHMeTpanHe paBHH y ce5e HTA.
AKO IIOCTOjH paBaHCKa CHMeTpHja (TO jecT paaaH) KOjOM ce HeKa ¢urypa
rrpecJIHKaBa y CaM}' ce5e, OHAa Ka)l(eMo Aa je Ta ¢urypa
CHMeTpH'IHa y OAHocy Ha TY paBaH.
a](a
KonHKO HMa paBHH y OAHocy Ha Koje je
CHMeTpHqHa KOL\Ka?
-A
X .n
X '
eqntttH'-\1t ja
..1
249
A
E
250
3aµ;a~:u
Ocna CJL'1eTpHja
• _ Ha cmrro1 11crrop; rrpm<a.3aHe cy rp.11 CTaKJieHe ITJioqe A, B .11 C, rrp.11 qeM)' cy 8enoM
8ojoM 03HaqeHJt: ,,rrpOBMWflt:" rpoyrnoBH rnaKe op; IMDC. IlJioqe A .11 B, Kao .11 B u C cy crrojeHe JI)')I( rrop;ebJbaHHX IDfIDlja, rrp.11 qeM)' crroj H.11je qmKrnpaH. AKo
ce B rrpeKJIOII.11 UJioq~rn A .11 C lJ.Y)I( rrop;e8JbaHKX JIHH.11ja, KOJIMKO ,,rrpoB.11p;H.11X"
rpoyrJIOBa ne Ce BHp;eTH?
A B C "-..___-/'~
2. IlpecJIJfl(aj Tpoyrao ABC OCHOM c.11MeTp.11joM y op;Hocy Ha rrpaBy Koja cap;p:am
Te:>KJmIHY lJ.Y)I( H3 TeMeHa c. 3. IlpaBe p .11 q ce OCHOM c.11..~eTp.11joM y op;Hocy Ha rrpaBy s rrpecnMKaBajy y rrpaBe p' .11 q'.
Koje peqemrr~e cy Taqae?
' AKo je p II q, mrp;a je p' II q'. 2) AKo je p II s, OHp;a je p II p'. 3 AKo je p .l q, oHp;a je p' .l q'. 4 AKO je p .l s, OHp;a je p .l p'.
...,. Op;peWt: 8poj oca cMMeTp.11je qmrypa rrp.11Ka3aH.11x Ha cmu~.11.
.5. 1 Aa JI.11 je rronyrrpaBa ocHo cMMeTp11'IHa? 2) ,D;a JIJ1 je rronypaBaH ocHo rnMeTp.11qHa?
b KoHCTJJymII.11 KBap;paT ABCD aKo je p;arn TeMe A .11 rrpaBa p Kojoj rrp.11rrap;ajy TeMeHa B .11 D.
- _ )];an je rrpaBa t, Ta~a T Ha rrpaBoj t .11 TaqKa A Batt oBe rrpaBe. KoHCTPYJ1IIIM
Kp)')KIDilzy Koja cap;p)f(M Ta~y A .11 p;op;.11pyje rrpaBy t y TaqK.11 T.
)laT je KOHBeKcatt yrao aOb .11 Ha KpaKy Oa TaqKa P. KottcTpy.11III.11 Kpy)lrnmw Koja
cap;p:>KH Ta~ P .11 p;oWfpyje KpaKe p;arnr yrna.
S'. ;:J:aTe cy Kp)7)KIDU.\e k1
.11 k2
.11 rrpaBa p. KottcTpYJ1III.11 TaqKe A, M A2
TaKo p;a A1
E k, w A
2 E k
2 M p;a A
1 M A
2 8yp;y c.11MeTp11'IHe y op;Hocy Ha rrpaBy p.
10. ,D;a11
CHi
Yu) KOH
11. Ha
C'I'p
YuJ
12. Ha MJ11
13. ,D;a1
TpO
op;r
14. Km
A)')l
16. Tpc
17. Hai
18. ,D;a1 KO
20. ,D;a Kp;
23'. Ha
je~ )J;q qe
PM '
p'H q'.
rwrna?
H:eHa
\..
Dja
kl J1
10. )J;aTe cy rrpaBa s H p;Be Kpy:aarnu;e k1
H k2
• KoHcTpy1mm KBa,n;paT KOMe cy Te:c\.feHa A H
C Ha rrpaBoj s, a TeMeHa B H D Ha KPY)Iarnu;aMa k1
H k1
•
YuymcillBo. IlpHMeTH p;a je rrpaBa s oca cHMeTpHje KBa,n;paTa KojH Tpe8a
KOHCTPYJf CaTH.
11. Ha cTpaHHI.l;H AB Tpoyrna ABC p;aTa je raqKa P. KoHCTPYJfIIIH TaqKe Q H R Ha
cTpaHHu;aMa BC H CA TaKO p;a Tpoyrao PQR Byp;e HajMalher ofo1Ma.
YuymcillBo. Ilornep;aj rrpHMep 2. Ha cTpaHH 239.
12. Ha CTpaHHu;aMa Tpoyrna ABC op;pep;H raqKe P, Q HR TaKO p;a Tpoyrao PQR 8yp;e
MHHHManHor ObHMa.
13. )J;aTe cy p;Be rrpaBe b H c Koje ce ceKy H raqKa A BaH lhKX. KoHCTPYHIIIH
Tpoyrao ABC TaKo p;a rrpaBe b H c cap;p)l(e cHMeTpane yrnoBa ABC H BCA J.fIDl
op;roBapajynHX crroJbanilbHX yrnoBa.
14. KoHcTpYJflIIH qeTBopoyrao ABCD KOMe cy cTpaHHu;e AB, BC, CD H DA nop;yp;apHe
p;y)l(HMa a, b, c H d H qHja p;HjaroHana AC rronoBH yrao DAB.
IJ;eHTparrHa CHMeTpHja
l 5 )J;aTe cy TPH HeKonHHeapHe TaqKe A, B H T. Op;pep;H raqKy C TaKO p;a T Byp;e Te)l(HlIITe MBC.
16. Tpoyrao ABC rrpecnHKaj u;eHTpanHOM CHMeTpHjoM y op;ttocy Ha TeMe A.
17. Hau;pTaj 8ap qeTHpH u;eHTpanHo rnMeTpHqtte cpttrype.
18. )J;aTe cy p;Be Kpy)l(ttHu;e k1
H k2
Koje ce cery. Kpo3 jep;tty op; 3aje,n;:HWIKHX Taqaxa
KOHCTPYJflIIH rrpaBy p Koja Ha p;aTHM Kp~m.:i;aMa op;ceu;a nop;yp;apHe Tenme.
19 )J;aTe cy rrpaBe a H b H TaqKa S Koja HM He npm1ap;a. KoHCTPYHIIIH Taqry A Ha npaBoj
a H TaqKy B Ha rrpaBoj b TaKO p;a S Byp;e cpep;HlIITe A)')KM AB.
20. )J;aT je yrao aCb Hy lberoBoj YHYTPaIIIlbocrn Taqxa S. KoHCTPYHIIIH rnqry A Ha
KpaKy Ca H TaqKy B Ha Kpary Cb TaKO p;a je CS Te)l(J1IlIHa ,ll;y)l( rpoyrna ABC.
21. )J;aTe cy tteKonHHeaptte TaqKe 0, M H N. KoHcTpYJfmH KBa,n;paT ABCD TaKaB p,a 0 8yp;e u;ettrap oBor KBap;parn, a p;a raqKe M H N rrpHIIap;ajy IIpaBaMa Koje o,n;pel)yjy
HacrrpaMHe cTpattHu;e AB H CD.
B
A
E
R
22. )J;aT je rrpaBoyraottHK ABCD, rrpH qeMY je AB > BC. Ha crpaHJfl.J;M BC p;ara je TaqKa P. O,n;pep;H TaqKe Q, R H S Ha cTpattHu;aMa CD, DA H AB TaKO p;a qeTBopoyrao PQRS Byp;e npaBoyraoHHK.
Sq 6 'a
23. Hap; cBaKOM cTpamn.:i;oM rrapanenorpaMa ABCD KOHCTPYJfCaHH cy jep,HaKocTpattHqHH TpoyrnoBH ABP, BCQ, CDR H DAS ca cnoJba.IIIJDe crpane.
)J;oKa)l(J1 p;a u;eHTpH OBHX TpoyrnoBa obpa3yjy jep,aH napanenorpa.\f. )J;a Jrn: je n
qeTBopoyrao PQRS rrapanenorpaM?
p
Q
)' _.)
A
E
A E
252
P0Tan;11ja
24. Tpoyrao ABC poTiipaj oKo TeMeHa A 3a yrao ~ y II03JIITJIIBHOM cMepy.
25.0.a;pe):{Jt yrao mMeljy rrpaBe a J1I lheHe CJIJIIKe a' IIpJII poTan;J1IjJ11 Ra.a:·
26. Op;peAJII poTaqKje KOjKMa ce:
• , je;:1;mu<0crpamfqaH -rpoyrao; 3 rrpaBJIIJiaH IIIecToyrao;
rrpecilliKaBa y ce8e.
27. KoHcrpymmt KBap;paT ABCD qJl.(jJII je n;eHTap p;aTa TaqKa 0, a TeMeHa A J1I B rrpJmap;ajy ;J,BeMa p;aTJIIM rrpaBaMa a J1I b.
2 ,UaTe cy AEe Kp~e k1
J1I k1
J11 TaqKa B. KoHCTPJJIIIIIJII KBap;paT ABCD TaKaB p;a
A E k1
J1I CE k2
•
TpaHcrran;11ja
29. Tpoyrao ABC TpaHCJIJiIPaj 3a BeKTop BC. 3" ,IJ;aTa je )J;y)I( AB, rrpaBa p J1I Kp)')KHJIIn;a k. KoHcTpJJIIIIIJII TaqKy C Ha rrpaBoj p J1I TaqKy
D Ha Kp)T)KHJllI\JII k TaKO p;a ABCD 8me rrapanenorpaM.
31 ,[(are cy AEe Kp)7)KHJllD;e k1(0
1, r
1) J1I k
2(0
2, r
2) J1I rrpaBa p. KoHcTpJJIIIIIJll rrpaBy q
napanellHJ cap TaKO p;a je q n kl(Ol, rl) = {A,B}, q n k2(02, r2) ={C,D} Jll AB ~CD.
32 ,[(aTe cy AEe napaneJIHe rrpaBe a J11 b J1I TaqKe A, B J1I C TaKBe p;a A E a, B E b J1I
A-C-B. KoHCTpymrnt npaBy c TaKO p;a c EC, c n a ={X}, c n b ={Y} Jll
AX+ BY~d, me je d p;aTa )J;y)I(.
rre.m
Ilo
B H3TI
Paul
He
Jlmt
JlHB
B
Jbt:~
CH
E
E
E
JlHH
E