Kelompok 3 : Ahmad syamsudin, M.Abdul Gofar, Wahid abdurrahman, Windu, Diki Fauzi, Hadian

FUNGSI HAMILTON

Persamaan Hamilton untuk gerak juga dinamakan persamaan kanonik gerak. Pandanglah sebuah

fungsi dari koordinat umum :

k

kk LpqH (1)

Untuk sebuah sistem dinamik sederhana, energi kinetik sistem adalah fungsi kuadrat dari q dan energi

potensialnya merupakan fungsi q saja :

)q(V)q,q(TL kkk (2)

Berdasarkan teorema Euler untuk fungsi homogen, diperoleh:

k k

k

k k

k

k

kk T2q

Tq

q

LqLpq

(3)

Subtitusi persamaan (3) ke persamaan (1), kita peroleh :

k

kk VT)VT(T2LpqH (4)

Persamaan ini tak lain adalah energi total dari sistem yang kita tinjau. Selanjutnya, pandang n buah

persamaan yang ditulis sebagai :

k

kq

Lp

(k = 1,2, …n) (5)

dan nyatakan dalam q dalam p dan q :

),( kkkk qpqq (6)

Kelompok 3 : Ahmad syamsudin, M.Abdul Gofar, Wahid abdurrahman, Windu, Diki Fauzi, Hadian

Dengan persamaan (5) dan (6), kita dapat nyatakan fungsi H (persamaan (1)) yang bersesuaian dengan

variasi kk q,p sebagai berikut :

k

k

k

k

k

kkkk qq

Lq

q

LpqqpH

(7)

Dari persamaan (5), kq

L

= kp dan menurut defenisi kk q/Lp , oleh karena itu:

k

kkk qppqH (8)

Variasi fungsi H selanjutnya dapat dinyatakan dalam persamaan berikut :

k

k

k

k

k

qq

Hp

p

HH (9)

Dari persamaan (8) dan (9), akhirnya diperoleh :

Dua persamaan terakhir ini dikenal dengan persamaan kanonik Hamilton untuk gerak. Persamaan Hamilton

banyak dipakai dalam mekanika kuantum (teori dasar gejala atomik).

(10)

k

k

pq

H

(11)

k

k

qp

H

Kelompok 3 : Ahmad syamsudin, M.Abdul Gofar, Wahid abdurrahman, Windu, Diki Fauzi, Hadian

Contoh soal :

Tunjukkanlah gerak partikel massa 𝑚 yang bergerak dipermukaan silinder berjari-jari a, ditarik oleh gaya

yang sebanding dengan jaraknya ke sumbu-𝑧.

Penyelesaian :

Berdasrkan koordinat silinder 𝑟, 𝑧, 𝜃 :

𝐾 =1

2𝑚�̇�2 +

1

2𝑚𝑎2�̇�2 +

1

2𝑚�̇�2

Karena 𝑟 = 𝑎 → �̇� = 0, maka :

𝐾 =1

2𝑚𝑎2�̇�2 +

1

2𝑚�̇�2

Karena �⃗� = −𝑘𝑟, maka :

𝑉 =1

2𝑘𝑟2 =

1

2𝑘(𝑎2 + 𝑧2)

𝐿 = 𝐾 − 𝑉 = (1

2𝑚𝑎2�̇�2 +

1

2𝑚�̇�2) − (

1

2𝑘(𝑎2 + 𝑧2)) =

1

2𝑚(𝑎2�̇�2 + �̇�2) −

1

2𝑘(𝑎2 + 𝑧2)

𝑝𝑘 =𝜕𝐿

𝜕�̇�𝑘

→ 𝑝𝑧 = 𝑚�̇�; 𝑝𝜃 = 𝑚𝑎2�̇�

Sehingga :

𝐾 =𝑝𝜃

2

2𝑚𝑎2+

𝑝𝑧2

2𝑚

Kelompok 3 : Ahmad syamsudin, M.Abdul Gofar, Wahid abdurrahman, Windu, Diki Fauzi, Hadian

dan :

𝐻 = 𝐾 + 𝑉 = (𝑝𝜃

2

2𝑚𝑎2+

𝑝𝑧2

2𝑚) +

1

2𝑘(𝑎2 + 𝑧2)

�̇�𝑘 =𝜕𝐻

𝜕𝑝𝑘

; −�̇�𝑘 =𝜕𝐻

𝜕𝑞𝑘

;

𝜕𝐻

𝜕𝑧= −�̇�

𝑧= 𝑘𝑧 → �̇�

𝑧= −𝑘𝑧 (𝑎)

𝜕𝐻

𝜕𝜃= −�̇�

𝜃= 0 → 𝑝

𝜃= 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛 (𝑏)

𝜕𝐻

𝜕𝑝𝑧

= �̇� =𝑝

𝑧

𝑚→ 𝑝

𝑧= 𝑚�̇� (𝑐)

𝜕𝐻

𝜕𝑝𝜃

= �̇� =𝑝

𝜃

𝑚𝑎2→ 𝑝

𝜃= 𝑚𝑎2�̇� (𝑑)

Dari persamaan (𝑎) dan (𝑐), kita peroleh :

𝑚�̈� + 𝑘�̇� = 0 → 𝜔 = √𝑘

𝑚;

Dengan bentuk solusi :

𝑧 = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝜑)

dan dari persamaan (𝑏) dan (𝑑), kita peroleh :

𝑝𝜃 = 𝑚𝑎2�̇� = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛