PERSAMAAN HAMILTON & CONTOHNYA.pdf
-
Upload
ahmad-samsudin -
Category
Documents
-
view
376 -
download
73
description
Transcript of PERSAMAAN HAMILTON & CONTOHNYA.pdf
Kelompok 3 : Ahmad syamsudin, M.Abdul Gofar, Wahid abdurrahman, Windu, Diki Fauzi, Hadian
FUNGSI HAMILTON
Persamaan Hamilton untuk gerak juga dinamakan persamaan kanonik gerak. Pandanglah sebuah
fungsi dari koordinat umum :
k
kk LpqH (1)
Untuk sebuah sistem dinamik sederhana, energi kinetik sistem adalah fungsi kuadrat dari q dan energi
potensialnya merupakan fungsi q saja :
)q(V)q,q(TL kkk (2)
Berdasarkan teorema Euler untuk fungsi homogen, diperoleh:
k k
k
k k
k
k
kk T2q
Tq
q
LqLpq
(3)
Subtitusi persamaan (3) ke persamaan (1), kita peroleh :
k
kk VT)VT(T2LpqH (4)
Persamaan ini tak lain adalah energi total dari sistem yang kita tinjau. Selanjutnya, pandang n buah
persamaan yang ditulis sebagai :
k
kq
Lp
(k = 1,2, …n) (5)
dan nyatakan dalam q dalam p dan q :
),( kkkk qpqq (6)
Kelompok 3 : Ahmad syamsudin, M.Abdul Gofar, Wahid abdurrahman, Windu, Diki Fauzi, Hadian
Dengan persamaan (5) dan (6), kita dapat nyatakan fungsi H (persamaan (1)) yang bersesuaian dengan
variasi kk q,p sebagai berikut :
k
k
k
k
k
kkkk qq
Lq
q
LpqqpH
(7)
Dari persamaan (5), kq
L
= kp dan menurut defenisi kk q/Lp , oleh karena itu:
k
kkk qppqH (8)
Variasi fungsi H selanjutnya dapat dinyatakan dalam persamaan berikut :
k
k
k
k
k
Hp
p
HH (9)
Dari persamaan (8) dan (9), akhirnya diperoleh :
Dua persamaan terakhir ini dikenal dengan persamaan kanonik Hamilton untuk gerak. Persamaan Hamilton
banyak dipakai dalam mekanika kuantum (teori dasar gejala atomik).
(10)
k
k
pq
H
(11)
k
k
qp
H
Kelompok 3 : Ahmad syamsudin, M.Abdul Gofar, Wahid abdurrahman, Windu, Diki Fauzi, Hadian
Contoh soal :
Tunjukkanlah gerak partikel massa 𝑚 yang bergerak dipermukaan silinder berjari-jari a, ditarik oleh gaya
yang sebanding dengan jaraknya ke sumbu-𝑧.
Penyelesaian :
Berdasrkan koordinat silinder 𝑟, 𝑧, 𝜃 :
𝐾 =1
2𝑚�̇�2 +
1
2𝑚𝑎2�̇�2 +
1
2𝑚�̇�2
Karena 𝑟 = 𝑎 → �̇� = 0, maka :
𝐾 =1
2𝑚𝑎2�̇�2 +
1
2𝑚�̇�2
Karena �⃗� = −𝑘𝑟, maka :
𝑉 =1
2𝑘𝑟2 =
1
2𝑘(𝑎2 + 𝑧2)
𝐿 = 𝐾 − 𝑉 = (1
2𝑚𝑎2�̇�2 +
1
2𝑚�̇�2) − (
1
2𝑘(𝑎2 + 𝑧2)) =
1
2𝑚(𝑎2�̇�2 + �̇�2) −
1
2𝑘(𝑎2 + 𝑧2)
𝑝𝑘 =𝜕𝐿
𝜕�̇�𝑘
→ 𝑝𝑧 = 𝑚�̇�; 𝑝𝜃 = 𝑚𝑎2�̇�
Sehingga :
𝐾 =𝑝𝜃
2
2𝑚𝑎2+
𝑝𝑧2
2𝑚
Kelompok 3 : Ahmad syamsudin, M.Abdul Gofar, Wahid abdurrahman, Windu, Diki Fauzi, Hadian
dan :
𝐻 = 𝐾 + 𝑉 = (𝑝𝜃
2
2𝑚𝑎2+
𝑝𝑧2
2𝑚) +
1
2𝑘(𝑎2 + 𝑧2)
�̇�𝑘 =𝜕𝐻
𝜕𝑝𝑘
; −�̇�𝑘 =𝜕𝐻
𝜕𝑞𝑘
;
𝜕𝐻
𝜕𝑧= −�̇�
𝑧= 𝑘𝑧 → �̇�
𝑧= −𝑘𝑧 (𝑎)
𝜕𝐻
𝜕𝜃= −�̇�
𝜃= 0 → 𝑝
𝜃= 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛 (𝑏)
𝜕𝐻
𝜕𝑝𝑧
= �̇� =𝑝
𝑧
𝑚→ 𝑝
𝑧= 𝑚�̇� (𝑐)
𝜕𝐻
𝜕𝑝𝜃
= �̇� =𝑝
𝜃
𝑚𝑎2→ 𝑝
𝜃= 𝑚𝑎2�̇� (𝑑)
Dari persamaan (𝑎) dan (𝑐), kita peroleh :
𝑚�̈� + 𝑘�̇� = 0 → 𝜔 = √𝑘
𝑚;
Dengan bentuk solusi :
𝑧 = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝜑)
dan dari persamaan (𝑏) dan (𝑑), kita peroleh :
𝑝𝜃 = 𝑚𝑎2�̇� = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛