Post on 06-Jan-2016
7/17/2019 teselasi
http://slidepdf.com/reader/full/teselasi-568cfe803c6fd 1/29
1.0 PENGENALAN
Geometri adalah sebahagian daripada matematik yang mengambil berat
persoalan mengenai saiz, bentuk dan kedudukan relatif dari rajah dan sifat
ruang. Geometri ialah salah satu dari sains yang tertua. Pada mulanya iahanyalah sebahagian jasad dari pengetahuan praktikal yang mengambil berat
jarak, luas dan isipadu tetapi pada abad ketiga S.M, Geometri telah diletakkan di
dalam bentuk aksiom oleh Euclid membentuk Geometri Euclid, yang hasilnya
menetapkan piawai untuk beberapa abad berikutnya. Secara umumnya,
geometri merupakan salah satu daripada cabang matematik yang berhubung
kait tentang ciriciri ruang, termasuklah titik, garisan, lengkungan, satah dan
permukaan ruang serta bentukbentuk poligon.
2.0 Teselasi Menurut Wikipedia
!essellation adalah proses mewujudkan satah dua dimensi menggunakan
pengulangan bentuk geometri dengan tidak bertindih dan tiada jurang .
Generalisasi kepada dimensi yang lebih tinggi juga mungkin. !essellations sering
muncul dalam seni M" Escher, yang mendapat ilham ketika mengkaji
penggunaan Moor simetri dalam jubin #lhambra semasa lawatan beliau ke sana
pada tahun $%&&. !essellations boleh dilihat sepanjang sejarah seni, seni bina
purba seni moden.
Sejarah Teselasi Pada tahun $'$% (ohannes )epler telah membuat satu
kajian mengenai teselasi yang telah didokumenkan pertama kalinya apabila dia
menulis tentang tessellation tetap dan semiregular, yang merupakan penutup
satah dengan poligon sekata. )irakira &** tahun kemudian pada tahun $+%$,
crystallographer usia -egraf /yodoro membuktikan bahawa setiap jubin yang
dipasang berkala mempunyai salah satu daripada $0 kumpulan yang berbeza
daripada isometries. )erja fyodoro menandakan permulaan tidak rasmi kajian
matematik tessellations. Penyumbang terkemuka yang lain termasuk Shubniko
dan 1elo 2$%3$45 dan 6einrich 6eesch dan 7tto )ienzle 2$%'84.
$
7/17/2019 teselasi
http://slidepdf.com/reader/full/teselasi-568cfe803c6fd 2/29
Sejarah awal tessellations bermula sejak tamadun awal orang Greek. Perkataan
asalnya datang daripada perkataan -unani 9tesseres9 yang bermaksud 9empat9
dalam 1ahasa :nggeris. 7rang -unani yang sebenarnya menggunakan jubin
sisiempat kecil sebagai tanda dalam permainan mereka. (ubin ini kemudian telah
diambil dan digunakan untuk membuat gambar mozek pada dinding, lantai dan
siling. !essellation berasal daripada penggunaan dalam seni. ;ari 1ahasa
-unani )uno, !essera atau !essella ialah dadu kecil keping batu yang digunakan
dalam mosaik. 7leh itu, kamus mencadangkan, tessellations yang asal adalah
mozek. !essellations pertama kali digunakan dalam bentuk mosaik kirakira 8***
SM di Mesopotamia Purba. !essellation dalam mosaik adalah berkaitan dengan
struktur sebenar susunan kepingan kecil batu atau jubin, yang tessellation tetap.
amai menggunakan mosaik bukan sahaja dalam corak seni tetapi juga
bangunan, pakaian, alatan rumah, perhiasan dan sebagainya.
<mat :slam juga menggunakan jubin untuk menghiasi bangunanbangunan
mereka, kerana agama mereka melarang mereka dari menggunakan gambar
gambar orang atau bendabenda hidup dalam menghias rumah dan bangunan
mereka. (ubin yang terbaik dipercayai boleh didapati di :stana #lhambra di
Granada di selatan Sepanyol.)erana paparan ini indah di istana di Granada, M"Escher, pakar grafik 1elanda atau seniman yang tidak pernah secara rasmi
dilatih dalam bidang matematik, menjadi terpesona dalam seni jubin ini. 1eliau
tidak pernah lulus dari sekolah tinggi. )arya pertama seninya bermula
pada awal tahun $%&*an, tetapi dalam kerjakerja mengecat dan kayu dan
kayu. 1eliau pertama kalinya berminat dalam seni jubin semasa melawat :stana
#lhambra di Granada. ;ia melihat contoh gaya hiasan #rab. :deaidea
ini mencetuskan imaginasi, tetapi terletak tidak aktif di dalam fikirannya untuk $8
tahun akan datang. 1eliau kembali semula :stana dan sekali lagi mengkaji
mengenai jubin ini.Pada titik ini dalam hidupnya, Escher mendapati bahagian
selatan :tali menjadi tempat yang paling memberi inspirasi kerana peperangan
yang berlaku disekeliling beliau, beliau berpaling minat kepada teselasi. Pada
&
7/17/2019 teselasi
http://slidepdf.com/reader/full/teselasi-568cfe803c6fd 3/29
tahun $%80, Escher menunjukkan beberapa karya beliau kepada saudaranya,
yang merupakan seorang profesor geologi. ;ia kagum dengan potensi kerja
kerja ini untuk kristalografi. Pada tahun $%8+, Escher terus mencuba dengan
pengisian teknik, bentuk dan transformasi. ;ia terus bekerja dengan perubahan,
transformasi, dan lainlain teknikpengisian pesawat. $%3% terbukti adalah tahun
yang menarik untuk Escher. ;r. MacGillary mengaturkan untuk beliau untuk
memberi satu seminar tentang simetri pada perhimpunan antarabangsa
crystallographers. Matematik dan kristalografi yang dibentangkan dalam aspek
kerjakerja Escher dan jubin menjadi popular.
1eliau menjadi popular di dunia seni pada tahun $%03 di konensyen Persatuan
7rigami 1ritish di mana karyakarya beliau telah mula diiktiraf sebagai bentuk
seni. #hli matematik, saintis, dan crystallographers semua menghargai kerja
kerja yang dilakukan, dan beberapa cetakan telah digunakan untuk mengkaji
persepsi isual dalam bidangbidang seperti fizik, geologi, kimia, dan psikologi.
#hli matematik cenderung untuk menjadi sangat berminat dalam tessellations
kerana hubungan mereka kepada simetri angka, bahagian sudut, putaran objek,
dan lainlain konsep geometri pelbagai. ;engan maklumat yang didapati dari
Escher , maka itulah dia digelar bapa tessellations.
Pada masa ini, kita dapat melihat tessellations dalam pelbagai bentuk= dalam
bidang seni bina, alam semula jadi, sejarah sosial, seperti membuat selimut, dan
menghias, hanya untuk menamakan beberapa perkara.
3.0 Teselasi Dala Mateatik
!eselasi, atau memasang jubin, menutupi satah oleh bentuk tertutup, dipanggil
jubin, tanpa jurang atau bertindih. !esselasi mempunyai banyak contohcontoh
nyata dunia dan berhubungkait antara matematik dan seni. "ontohcontoh
mudah tteselasi ialah lantai berjubin, kerja bata, dan tekstil. #rtis sangat
8
7/17/2019 teselasi
http://slidepdf.com/reader/full/teselasi-568cfe803c6fd 4/29
berminat dalam jubin kerana simetri dan replika corak mudah. #hli matematik
berminat untuk belajar bagaimana jubin boleh meliputi satah, lainlain permukaan
dan ruang. Mereka mahu tahu jika dan bagaimana jubin boleh meliputi satah,
bagaimana jubin dikelilingi oleh jubin lain,dan jika tompokan memasang jubin
boleh dilanjutkan untuk meliputi seluruh ruang. M.". Escher mempunyai minat
yang kukuh dalam matematik. ;ia belajar matematik topik sebagai satu cara
untuk merealisasikan isi artistik beliau. !opiktopik tertentu yang dikaji oleh
Escher adalah bahagian satah, kumpulan simetri $0 dan ruang topologi. Escher
juga rakan kepada ahli matematik terkenal abad ke&*, oger Penrose dan 6SM
"o>eter. Selepas saling berutus surat dengan "o>eter tentang tilings dalam
satah yang hiperbolik, Escher mendapat inspirasi untuk mewujudkan "ircle ?imit
:. Escher berminat dalam 9corak dengan @motif@ kecil dan semakin kecil sehingga
mereka sampai ke tahap menghadkan kekecilan tidak terhingga. 9!ilings satah
yang hiperbolik dalam model cakera Poincar@e yang adalah alat yang Escher
gunakan untuk mewujudkan imej yang lenyap ke infiniti. Sejak akhir $%3*an
apabila Escher mula menghasilkan cetakan "ircle ?imit, ahli matematik dan
saintis komputer terus mengkaji tessellations hiperbolik. !eknologi telah
bertambah baik dari hari ke hari. Gabungan matematik, pemikiran kreatif dan
teknologi komputer yang datang bersamasama dalam kajian tessellations dangeometri hari ini menghasilkan karya seni dalam Matematik yang amat
menakjubkan. !iada algoritma yang boleh menentukan dengan tepat bagaimana
jubin boleh direka atau bagaimana polyhedra boleh mengisi ruang. 9Penggunaan
@komputer isual@ menimbulkan cabarancabaran baru untuk ahli matematik
pada masa yang sama, grafik komputer pada masa akan datang mungkin
bersatu bahasa antara seni dan sains.
!.0 "enis#jenis Teselasi
1entuk teselasi meliputi pesawat tanpa jurang dan tanpa bertindih. !erdapat
hanya tiga !essellations tetap pada satah Euclid 2bentuk &;4 yang dibuat
daripada salinan bentuk poligon tetap tunggal pada setiap bucu. :ni adalah
A
7/17/2019 teselasi
http://slidepdf.com/reader/full/teselasi-568cfe803c6fd 5/29
segitiga sama sisi, segi empat atau heksagon biasa 2setiap yang ditunjukkan di
bawah4. 6anya ada tiga kerana sudut dalam poligon mesti menjadi faktor 8'* B
supaya poligon boleh beratur pada titik tanpa meninggalkan jurang.
ectangle 7ctagon dan SCuare Pentagon
$. !eselasi Sekata =
• !erhasil daripada teselasi satu jenis poligan sekata yang kongruen.
• 6anya terdapat tiga jenis poligon sekata yang kongruen yang
terdapat diteselasi iaitu segi tiga sama sisi, segi empat sama dan
heksagon.
"ontoh =
?ihat pada titik sudut=
Dorte> adalah titik sudut dimana bentukbentuk ditemukan tanpa pertindihan.
<ntuk teselasi sekata, coraknya dikenalpasti dari titik orte>.
3
7/17/2019 teselasi
http://slidepdf.com/reader/full/teselasi-568cfe803c6fd 6/29
&. !eselasi Separa Sekata=
• !erhasil daripada teselasi dua jenis atau lebih poligon sekata yang
kongruen yang disusun secara cyclic orderF.
• !erdapat enam jenis corak teselasi separa sekata iaitu kombinasi oleh
poligonpoligon segi tiga sama sisi. Segi empat sama, heksagon, oktogon
dan dodecagon.
"ontoh=
8. !eselasi !idak Sekata=
• !eselasi yang melibatkan poligon yang tidak sekata.
• !erdapat banyak jenis teselasi tidak sekata.
7/17/2019 teselasi
http://slidepdf.com/reader/full/teselasi-568cfe803c6fd 7/29
'
"ontoh=
!eselasi tidak sekata adalah di mana tidak ada halangan dalam susunan polygon
sekeliling. !erdapat nombor infiniti dalam teselasi. !eselasi boleh direka dengan
mempersembahkan satu atau lebih operasi asas melalui proses translasi,
putaran dan pantulan pada polyamond 2gabungan segitiga sama sisi4.
!ranslasi 2translation4 menggelongsorkan polyiamond sepanjang pesawat.
7perasi translasi 2terjemahan4 boleh digunakan kepada semua polyiamonds.
Putaran 2rotation4 yang memutar polyiamond dalam satah. 7perasi penggiliran
boleh digunakan untuk semua polyiamonds yang tidak memiliki simetri pekeliling,
contohnya heksagon he>iamond, yang tidak berubah putaran berikut melalui '*o
atau gandaan daripadanya.
Pantulan 2reflection4 mencerminkan polyiamond dalam satah, seolaholah
dilihat di cermin. 7perasi refleksi terhad kepada polyiamonds yang
enantiomorphic. Satu polyiamond enantiomorphic adalah salah satu yang tidak
boleh menindih refleksi, imej cermin.
0
7/17/2019 teselasi
http://slidepdf.com/reader/full/teselasi-568cfe803c6fd 8/29
Segitiga, segiempat dan he>agon adalah bentuk biasa yang menjadi teselasi
tersendiri.. #nda boleh mempunyai teselasi lain bentuk yang tetap jika
anda menggunakan lebih daripada satu jenis bentuk. #nda juga boleh mencipta
teselasi pentagon, tetapi bentuk itu tidak akan menjadi bentukbentuk yang
tetap. !eselasi boleh digunakan untuk corak jubin atau kuilt campur aduk.
Teselasi Tun$$al %entuk %iasa
Se$iti$a 1oleh menjadi teselasi yang sangat cantik. ;ua segitiga menjadi
diamond. Enam segitiga menjadi he>agon.
Se$iepat ;engan mewarnakannya, anda boleh membina corakyang lebih
rumit.
7/17/2019 teselasi
http://slidepdf.com/reader/full/teselasi-568cfe803c6fd 9/29
+
&e'a$(n ?ebah membuat teselasi semulajadi he>agon pada sarang mereka.
7/17/2019 teselasi
http://slidepdf.com/reader/full/teselasi-568cfe803c6fd 10/29
9
Teselasi Pel)a$ai %entuk %iasa
Se$iepat dan se$iti$a !erdapat dua cara untuk bergaul segiempat dan
segitiga dalam corak yang sama.
:ni adalah cara yang membosankan. #nda boleh menjadikan ia lebih menarik
dengan mewarna.
7/17/2019 teselasi
http://slidepdf.com/reader/full/teselasi-568cfe803c6fd 11/29
10
Grid lain kelihatan aneh, kerana kita tidak mengiktiraf kuasa dua sebagai mudah
apabila mereka condong.
&e'a$(n dan se$iti$a !erdapat dua cara biasa untuk mencampur he>agon
dan segitiga dalam corak yang sama. #nda boleh bermainmain dengan grid
segitiga untuk mencari jalan lain untuk mencampur he>agon dan segitiga.
:ni padat dengan segitiga rapat dengan beberapa segitiga di antaranya.
$$
7/17/2019 teselasi
http://slidepdf.com/reader/full/teselasi-568cfe803c6fd 12/29
;i sini, he>agon lebih jauh, dengan garis segitiga antara mereka.
12
7/17/2019 teselasi
http://slidepdf.com/reader/full/teselasi-568cfe803c6fd 13/29
&e'a$(n* se$iepat dan se$iti$a
+,ta$(ns - sisi/ dan kuasa dua
$8
7/17/2019 teselasi
http://slidepdf.com/reader/full/teselasi-568cfe803c6fd 14/29
D(de,a$(ns -12 sisi/ and se$iti$a Setiap sisi mesti sama panjang
supaya teselasi boleh dicorakkan bersama dan kita akan dapati bahawa
dodecagons lebih besar daripada segitiga.
$A
7/17/2019 teselasi
http://slidepdf.com/reader/full/teselasi-568cfe803c6fd 15/29
D(de,a$(ns* he'a$(ns and se$iepat
Teselasi Lain#lain %entuk
15
7/17/2019 teselasi
http://slidepdf.com/reader/full/teselasi-568cfe803c6fd 16/29
Wael #nda tidak perlu untuk menyekat diri anda kepada bentuk sekata. ;i sini
ialah corak wafel, dan skim warna yang dicadangkan.
kan corak ini adalah berdasarkan reka bentuk ikan yang mudah, dibuat persegi
menyerong dengan segi tiga ekor.
:a mengejutkan berapa banyak cara yang anda boleh muat ini bersamasama.
16
7/17/2019 teselasi
http://slidepdf.com/reader/full/teselasi-568cfe803c6fd 17/29
!eselasi boleh diklasifkasikan dengan lebih mendalam mengikut bagaimana unit
sel mengandungi satu atau lebih polyiamond yang disusun. (ika unit sel disusun
seperti corak sekata yang berulangulang atau corak rambang, teselasi disebut
periodic. (ika susunan menghasilkan teselasi dengan pusat simetri bulat adalah
disebut radial seperti teselasi, dengan pengeculian keskes istimewa, adalah
kompleks dan akan meliputi dua per tiga atau enam unit sel yang salah satunya
mengandungi nombor polyiamond yang tidak terbatas.
)esemua teselasi yang sekata termasuk dalam tujuh belas set simetri yang
berlainan kumpulan yang mana menguras semua cara yang coraknya boleh
diulang tanpa had dalam dua dimensi.
Pembaca sepatutnya sedar bahawa susunan ganji polyiamond tidak boleh
menjadi teselasi mudah. 7perasi putaran dan pantulan mesti digunakan untuk
menyediakan keseimbangan unit sel untuk teselasi
)esemua susunan polyiamond lapan atau kurang, dengan pengecualian salah
satu heptiamond akan menteselasikan sata. Pengucualiannya ialah heptiamond
berbentuk HDF Gardner menulis mengenai masalah mengenalpasti heptiamond
dan menghasilkan semula bukti ketidak mungkinan Gregory.
Ialaubagaimanapun, dalam kombinasi dengan heptiamond yang lain, teselasi
yang menggunakan heptiamond berbentuk D boleh di bentuk.
$0
7/17/2019 teselasi
http://slidepdf.com/reader/full/teselasi-568cfe803c6fd 18/29
5.0 Contoh-contoh tesalasi
!erdapat banyak contoh teselasi dalam dunia yang sebenar. )ita telah belajar
yang teselasi adalah bentuk polygon yang berulangulang tanpa mempuyai
ruang atau seksyen yang bertindih. Siapa yang pertama menemui corak ini, dan
siapay yang menggunakannyaJ Maka, untuk yang pertama kalinya fikirkan
bentuk yang berbeza yang ada dalam alam semula jadi, dan lihat sama ada
anda boleh fikirkan sesuatu yang boleh diklasifikasikan sebagain teselasi. Sisik
pada ikan, cengkerang kurakura, ataupun kulit neneas. (adi, hanya dengan
memerhatikan dunia sekeliling kita kita boleh pelajari macam mana untuk
mengenalpasti coraknya dan bagainmana kita boleh aplikasikannya dalam kerja
kita. "ontoh teselasi yang dapat kita lihat adalah dalam pembinaan batu bata
semasa membina bangunan. Selama beribu tahun manusia telah menggunakan
teselasi untuk mereka bangunan yang cantik, mozek, kerja kayu, lantai dan
taman.
7rang greek dan oman dahulu kala telah mencipta mozek yang rumit
menggunakan bahagian batubatu kecil yang ditampalkan pada dindingdinding
dan lantailantai. Mozekmozek ini adalah bukan teselasi dalam systemmatematik kecuali bentuk batu di dalam mereka yang membentuk corak
berulang. !etapi selalunya, mozekmozek ini menggunakan rekaan geometric
yang akan diteselasikan pada satah dalam sempadan dan latar belakangnya.
<bin yang lebih besar diperbuat daripada marmar atau granit yang digunakan
pada corak lantai. )adangkala, seluruh lantai dihamparkan dalam satah teselasi
yang besar.
Seni islam dinotakan mempunyai hiasan mozek yang ekstrem. ?ebih banyak
rekaan ubin mempunyai segmen yang bertindih dan disebabkan itu ia bukanlah
teselasi yang sebenar. 1anyak masjid dahulukala dan istana dibina di :stanbul,
dan warnanya yang terang tidak hilang. Masjid biru dan 6aiga Sophia adalah
$+
7/17/2019 teselasi
http://slidepdf.com/reader/full/teselasi-568cfe803c6fd 19/29
dua tempat yang popular di :stanbul, !urki yang mana banyak corak teselasi
pada bangunannya. )adangkala, corak yang diwarnakan pada jubin adalah
daripada rekaan geometric mereka sendiri yang mana apabila dilihat daripada
jauh menampakkan teselasi.
)awasan lain dalam dunia yang menggunakan teselasi pada dinding dan lantai
adalah Kegara "ina, di mana seramik porselin biru dan putih yang popular
menjadi aspirasi artisartis daripada Kegara lain untuk membuat jubin yang
sama5 (epun, yang mana dikenali sebagai pengukir kayu dalam mereka teselasi5
#frika <tara dan Sepanyol terutamanya senibina Moorish. 1elanda juga
mempuyai industry jubin ;elft begitu juga England iaitu Iestminster #bbey di
?ondon mempunyai rekaan yang hebat yang ditiru biara lain. 1udaya lain juga
dikiatakan menggunakan teselasi pada bangunan mereka dan rekaan tekstil
termasuk Kaajos dan #mish. )ita boleh mendapatkan buku berkenaan
keseniaan dan senibina di perpustakaan. !erdapat banyak sebab mengapa kita
harus belajar teselasi.
"ontoh tesalasi yang dapat kita lihat adalah dalam pembinaan ialah susunan
batu bata dan mozek semasa membina bangunan,"ontoh pembinaan yang menggunakan tesalasi ialah=
$. Masjid 1iru dan 6aiga Sophia di :stanbul, !urki
&. Senibina Moorish di Sepanyol.
8. :ndustri jubin ;elft di 1elanda.
A. Iestminster #bbey di ?ondon, England
$%
7/17/2019 teselasi
http://slidepdf.com/reader/full/teselasi-568cfe803c6fd 20/29
.1 (nt(h#,(nt(h Teselasi Dala 4ehidupan Se)enar
$. Masjid 1iru, !urki
&. :stana #l6ambra,
Granada, Sepanyol
8. 1unga Matahari
20
7/17/2019 teselasi
http://slidepdf.com/reader/full/teselasi-568cfe803c6fd 21/29
A. )ulit <lar Sawa
3. Sarang ?ebah
5. Sisik kan
21
7/17/2019 teselasi
http://slidepdf.com/reader/full/teselasi-568cfe803c6fd 22/29
0. ?antai Parket
+. 1uah Kenas
%. amarama
&&
7/17/2019 teselasi
http://slidepdf.com/reader/full/teselasi-568cfe803c6fd 23/29
$*. )ura)ura
$$. Siput
$&. #nyaman otan
&8.
7/17/2019 teselasi
http://slidepdf.com/reader/full/teselasi-568cfe803c6fd 24/29
.2 (nt(h#,(nt(h Teselasi Seni
25
7/17/2019 teselasi
http://slidepdf.com/reader/full/teselasi-568cfe803c6fd 25/29
&'
7/17/2019 teselasi
http://slidepdf.com/reader/full/teselasi-568cfe803c6fd 26/29
6.0 Bagaimana tesalasi boleh dihasilkan
7.0 Penerangan tentang penghasilan tesalasi saya
?angkah $ = Gunakan MicrosoftwordL untuk membuat teselasi saya.
?angkah & = Saya klik pada #utoShape di sebelah kiri komputer saya dan pilih
bentuk yang saya senang buat iaitu segitiga
&0
7/17/2019 teselasi
http://slidepdf.com/reader/full/teselasi-568cfe803c6fd 27/29
?angkah 8 = )emudian saya pantulkan segitiga berkenaan ke bawah untuk
menghasilkan segitiga yang satu lagi.
Langkah 4 : .Kemudian saya gunakan teknik copy dan paste untuk
memperbanyakkan segitiga berkenaan
?angkah 3 = )emudian saya masukkan warna dalam segitiga tersebut dengan
mengklik pada icon colour di bar bahagian bawah komputer.
Langkah 6 : Saya penuhkan ruang dokumen saya dan kemudian saya
print kan
ke dalam sehelai kertas..
7/17/2019 teselasi
http://slidepdf.com/reader/full/teselasi-568cfe803c6fd 28/29
&+
?angkah 0 = Setelah siap di print, saya tampal teselasi saya ke atas sekeping
mounting board bersaiz #A
Langkah 8 : Kemudian saya balut teselasi dengan menggunakan
plastik dan
meletakkan binding pada setiap penjuru selebar 1 cm.
7/17/2019 teselasi
http://slidepdf.com/reader/full/teselasi-568cfe803c6fd 29/29
&%