24

-Yadi Nurhayadi- MODUL STATISTIKA

BAB 3 DISTRIBUSI PELUANG DISKRET 3.1 Distribusi Seragam Distribusi peluang diskret yang paling sederhana adalah yang peubah acaknya memperoleh semua harganya dengan peluang yang sama. Distribusi semacam ini disebut distribusi seragam atau uniform. Distribusi Seragam Bila peubah acak X mendapat harga x1, x2, ..., xk, dengan peluang yang sama, maka distribusi seragam diskret diberikan oleh

kkxf

1);( = , di mana x = x1, x2, ..., xk..

Notasi f(x; k) telah dipakai sebagai pengganti f(x) untuk menunjukkan bahwa distribusi seragam tersebut bergantung atas parameter k.

Teorema 3.1 Rataan dan variansi distribusi seragam diskret f(x; k) adalah

k

xk

ii∑

== 1µ dan

( )

k

xk

ii∑

=−

= 1

2

2µ

σ .

3.2 Distribusi Binomial dan Multinomial Suatu percobaan binomial adalah yang memenuhi persyaratan berikut: 1. percobaan terdiri atas n usaha yang berulang; 2. tiap usaha memberi hasil yang dapat ditentukan dengan sukses atau gagal; 3. peluang sukses dinyatakan dengan p, tidak berubah dari usaha yang satu ke yang

berikutnya; 4. tiap usaha bebas dengan usaha lainnya.

Definisi 3.1 Banyaknya sukses X dalam n usaha suatu percobaan binomial disebut suatu peubah acak binomial.

Distribusi Binomial Bila suatu usaha binomial dapat menghasilkan sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang q = 1 – p, maka distribusi peluang peubah acak binomial X, yaitu banyaknya sukses dalam n usaha bebas, ialah

xnxqpx

npnxb −

=),;( , di mana x = 0, 1, 2, ..., n.

Teorema 3.2 Distribusi binomial b(x; n, p) mempunyai rataan dan variansi

np=µ dan npq=2σ .

Percobaan binomial menjadi percobaan multinomial bila tiap usaha dapat memberikan lebih dari dua hasil yang mungkin. Umumnya, bila suatu usaha dapat menghasilkan k hasil yang mungkin E1, E2, ..., Ek dengan peluang p1, p2, ..., pk, maka distribusi multinomial akan memberikan peluang bahwa E1 terjadi sebanyak x1 kali, E2 x2 kali, ..., Ek xk kali dalam n usaha bebas dengan x1 + x2 +...+ xk = n. Distribusi peluang gabungan seperti ini akan dinyatakan dengan f(x1, x2, ..., xk; p1, p2, ..., pk, n). Jelas bahwa p1 + p2 +...+ pk = 1, krn hasil tiap usaha haruslah salah satu dari k hasil yang mungkin.

Distribusi Multinomial Bila suatu usaha tertentu dapat menghasilkan k macam hasil E1, E2, ..., Ek dengan peluang p1, p2, ..., pk, maka distribusi peluang acak X1, X2, ..., Xk yang menyatakan terjadinya E1, E2, ..., Ek dalam n usaha bebas adalah

25

Yadi Nurhayadi Modul Statistika Bab 3

( ) kxk

xx

kkk ppp

xxx

nnpppxxxf ...

,...,,,,...,,;,...,, 21

2121

2121

=

dengan

nxk

ii =∑

=1 dan 1

1=∑

=

k

iip .

3.4 Distribusi Hipergeometrik Suatu percobaan hipergeometrik memiliki sifat berikut. 1. Sampel acak ukuran n diambil dari N benda. 2. Sebanyak k benda dapat diberi nama sukses sedangkan sisanya, N – k diberi nama

gagal.

Definisi 3.2 Banyaknya sukses X dalam percobaan hipergeometrik disebut peubah acak hipergeometrik.

Distribusi peluang peubah acak hipergeometrik X disebut distribusi hipergeometrik dan akan dinyatakan dengan h(x; N, n, k) karena nilainya bergantung pada sampel ukuran n yang diambil dari himpunan N benda, k di antaranya disebut

sukses. Banyaknya macam sampel ukuran n yang dapat diambil dari N benda ialah

n

N .

Sampel ini dianggap berkemungkinan sama. Ada sebanyak

x

k cara memilih x sukses

dari sebanyak k yang tersedia, dan untuk tiap cara ini dapat dipilih n – x gagal sebanyak

−−

xn

kN cara. Jadi semuanya ada

−−

xn

kN

x

k macam sampel dari

n

N sampel yang

mungkin diambil. Sekarang diperoleh definisi berikut.

Distribusi Hipergeometrik Distribusi peluang peubah acak hipergeometrik X, yaitu banyaknya sukses dalam sampel acak ukuran n yang diambil dari N benda yang mengandung k bernama sukses dan N – k bernama gagal, ialah

( )

−−

=

n

N

xn

kN

x

k

knNxh ,,; , di mana x = 0, 1, 2, ..., n.

Teorema 3.3 Rataan dan variansi distribusi hipergeometrik h(x; N, n, k) adalah

N

nk=µ dan

−⋅⋅−−=

N

k

N

kn

N

nN1

12σ .

Perluasan Distribusi Hipergeometrik Bila N benda dapat dikelompokkan dalam k sel A1, A2, ..., Ak masing-masing berisi a1, a2, ..., ak benda, maka distribusi peluang peubah acak X1, X2, ..., Xk yang menyatakan banyaknya benda (anggota) yang terambil dari A1, A2, ..., Ak dalam suatu sampel acak ukuran n adalah

( )

=

n

N

x

a

x

a

x

a

nNaaaxxxf k

k

kk

...

,,,...,,;,...,, 2

2

1

1

2121 dengan nxk

ii =∑

=1 dan Na

k

i=∑

=11 .

26

Yadi Nurhayadi Modul Statistika Bab 3

3.5 Distribusi Poisson Percobaan yang menghasilkan peubah acak X yang bernilai numerik, yaitu banyaknya sukses selama selang waktu tertentu atau dalam daerah tertentu disebut percobaan Poisson. Suatu percobaan Poisson memiliki sifat berikut. 1. Banyaknya sukes terjadi dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu tidak

terpengaruh oleh (bebas dari) apa yang terjadi pada selang waktu atau daerah lain yang terpilih.

2. Peluang terjadinya suatu sukses (tunggal) dalam selang waktu yang amat pendek atau dalam daerah yang kecil sebanding dengan panjang selang waktu atau besarnya daerah dan tidak tergantung pada banyaknya sukses yang terjadi di luar selang waktu atau daerah tersebut.

3. Peluang terjadinya lebih dari satu sukses dalam selang waktu yang pendek atau daerah yang sempit tersebut dapat diabaikan.

Definisi 3.3 Banyaknya sukses X dalam suatu percobaan Poisson disebut peubah acak Poisson. Distribusi peluang suatu peubah acak Poisson X disebut distribusi Poisson dan akan dinyatakan dengan p(x; µ), karena nilainya hanya bergantung pada µ, yaitu rata-rata banyaknya sukses yang terjadi dalam selang waktu atau daerah tertentu.

Distribusi Poisson Distribusi peluang peubah acak Poisson X, yang menyatakan banyaknya sukses yang terjadi dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu, diberikan

oleh ( )!

;x

exp

xµµµ−

= , di mana x = 0, 1, 2, ...

µ menyatakan rata-rata banyaknya sukses yang terjadi dalam selang waktu atau daerah tertentu tersebut dan e = 2,71828...

Teorema 3.4 Rataan dan variansi distribusi poisson p(x; µ) keduanya sama dengan µ.

Distribusi Poisson dapat diposisikan sebagai bentuk limit distribusi binomial bila n → ∞, p → 0, dan np tetap tidak berubah. Jadi bila n besar dan p dekat dengan nol, distribusi Poisson dapat digunakan dengan µ = np, untuk menghampiri peluang bimomial. Teorema 3.5 Misalkan X peubah acak binomial dengan distribusi peluang b(x; n, p). Bila n → ∞, p → 0, dan µ = np tetap sama, maka b(x; n, p) → p(x; µ).

3.6 Distribusi Binomial Negatif dan Geometrik Jika suatu percobaan statistik yang berbagai sifatnya sama dengan percobaan binomial, kecuali bahwa di sini usaha diulangi sampai terjadi sejumlah sukses tertentu. Atau ingin diketahui peluang bahwa sukses ke k terjadi pada usaha ke x dari total n usaha, dengan n tetap. Percobaan semacam ini disebut percobaan binomial negatif.

Definisi 3.4 Banyaknya usaha X untuk menghasilkan k sukses dalam suatu percobaan binomial negatif disebut peubah binomial negatif.

Distribusi Binomial Negatif Bila usaha yang saling bebas, dilakukan berulang kali menghasilkan sukses dengan peluang p sedangkan gagal dengan peluang q = 1 – p, maka distribusi peluang peubah acak X, yaitu banyaknya usaha yang berakhir tepat pada sukses ke k, diberikan oleh

( ) kxk qpk

xpnxb −

−−

=∗1

1,; , di mana x = k, k + 1, k + 2, ...

27

Yadi Nurhayadi Modul Statistika Bab 3

Distribusi Geometrik Bila usaha yang saling bebas dan dilakukan berulang kali menghasilkan sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang q = 1 – p, maka distribusi peluang peubah acak X, yaitu banyaknya usaha yang berakhir pada sukses yang pertama, diberikan oleh

( ) 1; −= xpqpxg , di mana x = 1, 2, 3, ...

* * *