08 Fungsi Transenden

MA1114 KALKULU I 1

8. FUNGSI TRANSENDEN

MA1114 KALKULUS I 2

8.1 Fungsi Invers

Misalkan denganff RDf :)(xfyx =a

vu )()( vfuf Definisi 8.1 Fungsi y = f(x) disebut satu-satu jika f(u) = f(v) maka u = vatau jika maka

xy =

fungsi y=x satu-satu

xy =

fungsi y=-x satu-satu

2xy =

u v

fungsi tidak satu-satu2xy =

MA1114 KALKULUS I 3

Secara geometri grafik fungsi satu-satu dan garis yang sejajar dengansumbu x berpotongan di satu titik.

Teorema : Jika fungsi f satu-satu maka f mempunyai inversnotasi 1f

ff DRf :1 ( )yfxy 1=aBerlaku hubungan

xxff = ))((1yyff = ))(( 1

ffff DRRD == 11 ,

Df Rff

x y=f(x)

R R

1f)(1 yfx =

MA1114 KALKULUS I 4

Teorema : jika f monoton murni(selalu naik/selalu turun) makaf mempunyai invers

xxf =)(xxf =)(

2)( xxf =

u v

f(x)=x

Rxxf >= ,01)('f selalu naik

f(x)=-xRxxf 0turun untuk x

MA1114 KALKULUS I 5

Contoh : Diketahui f xxx

( ) = +12

a. Periksa apakah f mempunyai inversb. Jika ada, tentukan inversnya

Jawab

2)2()1.(1)2.(1)(' +

+=x

xxxf Dfxx

>+= ,0)2(3

2a.

Karena f selalu naik(monoton murni) maka f mempunyai invers

21

+=

xxy

12 =+ xyxy11212

==yyxyxyx

112)(

112)( 11

==

xxxf

yyyf

b. Misal

MA1114 KALKULUS I 6

Suatu fungsi yang tidak mempunyai invers pada daerah asalnyadapat dibuat mempunyai invers dengan cara membatasi daerahasalnya.

2)( xxf =

Untuk x>0 ada1f

2)( xxf =

Untuk x

MA1114 KALKULUS I 7

Grafik fungsi invers

Titik (x,y) terletakpada grafik f

Titik (y,x) terletakpada grafik 1f

f

1f

Titik (x,y) dan (y,x) simetri terhadap garis y=x

Grafik f dan semetri terhadap garis y=x1f

MA1114 KALKULUS I 8

Turunan fungsi invers

Teorema Misalkan fungsi f monoton murni dan mempunyai turunanpada selang I. Jika maka dapat diturunkan di y=f(x)dan

Ixxf ,0)(1 1f

)(1)()'( 1xf

yf =

Bentuk diatas dapat juga dituliskan sebagai

dxdydydx

/1=

Contoh Diketahui tentukan12)( 5 ++= xxxf )4()'( 1fJawab :

25)(' 4 += xxf ,y=4 jika hanya jika x=1

71

)1('1)4()'( 1 ==

ff

MA1114 KALKULUS I 9

Soal Latihan

Tentukan fungsi invers ( bila ada ) dari

f x xx

x( ) ,= + >1 01.f x x( ) = 2 132.

3. f x x( ) = +4 25

f xx

x( ) ,= + 5

1024.

f xxx

( ) = +11

5.

232)( +

=xxxf6.

MA1114 KALKULUS I 10

8.2 Fungsi Logaritma Asli

Fungsi Logaritma asli ( ln ) didefinisikan sebagai :

Dengan Teorema Dasar Kalkulus II, diperoleh :

Secara umum, jika u = u(x) maka

ln ,xtdt x

x= > 1 0

1

[ ]x

dtt

DxDx

xx11ln

1

=

=

[ ]dxdu

udt

tDuD

xu

xx11ln

)(

1

=

=

.


Contoh : Diberikan

maka

Jika

Jadi,

Dari sini diperoleh :

Sifat-sifat Ln :1. ln 1 = 02. ln(ab) = ln a + ln b3. ln(a/b)=ln(a) ln(b)

))24ln(sin()( += xxf))24(sin(

)24sin(1)(' ++= xDxxf x )24cot(4 += x

0,||ln = xxy

=

0,)ln(0,ln

xxxx

xyxy 1'ln ==

xxyxy 11')ln( =

==.0,1|)|(ln = x

xx

dxd

+= C|x|lndxx1

ara r lnln.4 =


dxx

x +4

03

2

2

dxxduxu 23 32 =+=

Contoh: Hitung

jawab

Misal

2

2

3

2

32 xdu

uxdx

xx =+ cuduu +== ||ln31131

cx ++= |2|ln31 3

sehingga

]04

|2|ln31

23

4

03

2

+=+ xdxx x .33ln31)2ln66(ln31 ==


Grafik fungsi logaritma asli

0,ln)(1

>== xtdtxxfx

fDxxxf >= 01)('

f selalu monoton naik pada Df

fDxxxf


8.3 Fungsi Eksponen Asli Karena maka fungsi logaritma asli

monoton murni, sehingga mempunyai invers. Invers dari fungsi logaritma asli disebut fungsi eksponen asli, notasi exp. Jadi berlaku hubungan

Dari sini didapat : y = exp(ln y) dan x =ln(exp(x)) Definisi 8.2 Bilangan e adalah bilangan Real positif yang

bersifat ln e = 1. Dari sifat (iv) fungsi logaritma diperoleh

[ ] ,0untuk01ln >>= xx

xDx

yxxy ln)exp( ==

reree rr explnexp)exp(ln === xex =)(exp


Turunan dan integral fungsi eksponen asli

Dengan menggunakan turunan fungsi invers

Dari hubungan

xeydydxdx

dy ===/1

xxx eeD =)(,Jadi

yxey x ln==

ydydx 1=

'.)( )( ueeD uxux =Secara umumSehingga

+= Cedxe xx


1

y=ln xy=exp (x)

Grafik fungsi eksponen asli

Karena fungsi ekponen asli merupakan invers dari fungsi logaritma aslimaka grafik fungsi eksponen asli diperoleh dengan cara mencerminkangrafik fungsi logaritma asli terhadap garis y=x

1

Contoh

)ln3(.)( ln3ln3 xxDeeD xxxxx

x = ).3ln3(ln3 += xe xx


Contoh Hitung

dxxe x 2/3

Jawab :

dudxx

dxx

dux

u31133

22 ===MisalkanSehingga

.31

31

31 /3

2

/3

ceceduedxxe xuux +=+==


Penggunaan fungsi logaritma dan eksponen asli

a. Menghitung turunan fungsi berpangkat fungsi

)())(()( xhxgxf =Diketahui ?)(', =xf))(ln()())(ln( xgxhxf =

)))(ln()(()))((ln( xgxhDxfD xx =)('

)()())(ln()('

)()(' xg

xgxhxgxh

xfxf +=

)()(')()())(ln()(')(' xfxgxgxhxgxhxf

+=


Contoh

Tentukan turunan fungsi xxxf 4)(sin)( =Jawab

Ubah bentuk fungsi pangkat fungsi menjadi perkalian fungsi denganmenggunakan fungsi logaritma asli

))ln(sin(4)ln(sin)(ln 4 xxxxf x ==

)))ln(sin(4())((ln xxDxfD xx

Turunkan kedua ruas

=

xxxxxxx

xfxf cot4))ln(sin(4cos

sin4))ln(sin(4

)()(' +=+=

xxxxxxf 4))(sincot4))ln(sin(4()(' +=


b. Menghitung limit fungsi berpangkat fungsi

?)(lim )( =xg

axxf

Untuk kasus

(i) 0)(lim,0)(lim == xgxf axax(ii) 0)(lim,)(lim == xgxf axax

== )(lim,1)(lim xgxf axax(iii)Penyelesaian :

Tulis )])(ln([explim))((lim )()( xgax

xg

axxfxf = [ ])(ln)(explim xfxgax=

Karena fungsi eksponen kontinu, maka

)(ln)(limexp)((ln)(explim xfxgxfxgaxax

=


Contoh Hitung

limx

xx +0 ( ) xx x ln/13 1lim +( )xx x 10 1lim +

xxxx

x

xlnlimexp)(lim

00 ++ =

Jawab

(bentuk ).0Rubah ke bentuk lalu gunakan dalil Lhopital /

10

lnlimexp += xx

x1)0exp(

1

1

limexp

2

0==

= +

x

xx

a. b. c.

a.

)1ln(.1.explim))1((lim0

/1

0x

xx

x

x

x+=+ x

xx

)1(lnlimexp0

+= b.


Gunakan dalil Lhopital

exx

==+= 1exp11limexp

0

sehingga

( ) ex xx

=+1

01lim

( ) )1ln(ln1limexp1lim 3ln/13 +=+ xxx x

x

x xx

x ln)1ln(limexp

3 +=

./1

13

limexp3

2

xxx

x

+=

Gunakan dalil Lhopital

13limexp 3

3

+= xx

x )1()3(limexp

313

3

xx x

x+=

)1()3(limexp

31x

x += .3exp 3e==

c.


Soal latihan

'yA.Tentukan dari

( )65ln 2 += xxyxx eey sec22sec +=1. 6.xexy ln35 = xy 3cosln=

yx

x= ln2

( )y x= ln sin

7.2.

xey tan= 8.3.9.1322 =+ xyey x4.

5. 10.)3ln( 3 yxe y += ))12sin(ln( += xy


B. Selesaikan integral tak tentu berikut

42 1x

dx+4 2

52x

x xdx

++ +

( )2

2x xdx

ln

dxx x3ln2

dxx x)tan(ln

x

xdx

3

2 1+

( )x e dxx x+ + 3 2 6

( )e e dxx x sec2 2(cos ) sinx e dxxe dxx2 ln

dxex x322

+ dxeexx

3

2

dxee xx

23

3

)21(

1.

12.

6.11.

2. 7.

3. 8.

13.9.4.

5. 10.


C. Selesaikan integral tentu berikut3

1 21

4

x dx

( )1114

x xdx+

e

edx

x

x +

43

3

ln

ln

( )e e dxx x3 40

5

ln

e dxx2 3

0

1 +

dxe x 2ln0

3

e

xdx

x3

21

2

20

4 2dxxe x

2

2)(ln

e

e xxdx

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4.

9.

5.


D. Hitung limit berikut :

xx

x 11

1lim

( )xx

x1

02sin1lim +

lim cosx

x

x

22

( ) xx

x ln1

21lim +5.1.

2. ( )xx

x1

lnlim6.

3. ( )xxxx

1

53lim +7.( ) xx

xe ln

12

01lim + lim

x

xxx++

12

4.8.


8.5 Fungsi Eksponen Umum

Fungsi , a > 0 disebut fungsi eksponen umum

Untuk a > 0 dan x R, didefinisikanTurunan dan integral

Jika u = u(x), maka

Dari sini diperoleh :

:

xaxf =)(a ex x a= ln

aaaeeDaD xaxaxxx

x lnln)()(lnln ===

auauaeeDaD uauauxu

x ln''.ln)()(lnln ===

+= Caadxa xx ln1


Sifatsifat fungsi eksponen umum

Untuk a > 0, b > 0, x, y bilangan riil berlaku

yxyx aaa +=1.yx

y

x

aaa =2.

xyyx aa =)(3.xxx baab =)(4.

x

xx

ba

ba =

5.


Contoh1. Hitung turunan pertama dari

xxxf 2sin12 23)( += +Jawab :

2ln2.23ln3.2)(' 2sin12 xxxf += +

xdxx .4 22. Hitung

Jawab :

dudxxdxduxu x212 2 ===Misal

CCduxu

u +=+= 4ln244ln421242

= xdxx .4 2


Grafik fungsi eksponen umumDiketahui

0,)( >= aaxf x),( =Dfaaxf x ln)(' =

>>= 0)(ln)('' 210,)(


8.6 Fungsi Logaritma UmumKarena fungsi eksponen umum monoton murni maka ada Inversnya. Inversdari fungsi eksponen umum disebut fungsi Logaritma Umum ( logaritma dengan bilangan pokok a ), notasi , sehingga berlaku :

Dari hubungan ini, didapat

Sehingga

Jika u=u(x), maka

xa logyax =xy a log=

axx

axyayax ay

lnlnlog

lnlnlnlnln ====

axaxDxD x

ax ln

1)lnln()log( ==

auu

auDuD x

ax ln

')lnln()log( ==


Contoh Tentukan turunan pertama dari

1. )1log()( 23 += xxf)

11log()( 4

+=xxxf

Jawab :

2.

1. 3ln

)1ln()1log()(2

23 +=+= xxxf3ln

11

2)(' 2 += xxxf

4ln)ln(

)11log()( 1

14

+=

+= xx

xxxf ( ) )1

1(14ln

1)('11

+=+ x

xDxxfxx

2)1()1(1

11

4ln1

+

+=

xxx

xx

)1)(1(2

4ln1

+=

xx

2.


Grafik fungsi logaritma umum

Grafik fungsi logaritma umum diperoleh dengan mencerminkan grafikfungsi eksponen umum terhadap garis y=x

Untuk a > 1 Untuk 0 < a < 1

10,)( = aaxf x

=


Soal Latihan

A. Tentukan dari'y

y x x= 32 441.( )9log 210 += xy2.

3. 2)log(3 =+ yxyxB. Hitung

105 1x dx1.

x dxx222.


8.7 Fungsi Invers Trigonometri

Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu,jika daerah asalnya dibatasi fungsi trigonometri bisa dibuat menjadi satu-satu sehingga mempunyai invers.

a. Invers fungsi sinus

Diketahui f(x) = sinx , 22 x

Karena pada f(x)=sinxmonoton murni maka inversnya ada.Invers dari fungsi sinus disebut arcussinus, notasi arcsin(x),atau )(sin 1 x

22 x

Sehingga berlaku

yxxy sinsin 1 ==

2

2


TurunanDari hubungan yxxy sinsin 1 == 22,11 yxdan rumus turunan fungsi invers diperoleh

ydydxdxdy

cos1

/1 == 1||,

11

sin11

22>


Grafik f(x) = sinhx

Diketahui

Rxeexxfxx

==

,2

sinh)((i)

02

)(' >+= xx eexf(ii)

f selalu monoton naik

>==

0,00,0

2)(''

xxeexf

xx

(iii)

Grafik f cekung keatas pada x>0cekung kebawah pada x


Contoh

Tentukan dari'y

)1tanh( 2 += xy1.

)1(hsec2)1()1(hsec' 22222 +=++= xxxDxxyJawab

8sinh 22 =+ yxx2.

1.

)8()sinh( 22 DxyxxDx =+0'2coshsinh2 2 =++ yyxxxx

2.

yxxxxy

2coshsinh2'

2+=


Soal Latihan

A. Tentukan turunan pertama dari

xxf 4tanh)( =xxg 2sinh)( =

xxxg

cosh1cosh1)( +

=21coth)( tth +=

1.

2.

3.

4.

5. ))ln(sinh)( ttg =6. 2cosh)( xxxf =


B. Hitung integral berikut

+ dxxSinh )41(1. dxxx 2coshsinh2. dxxtanh3. + dxxxtanh2 hsec

2

4.

8. FUNGSI TRANSENDEN8.1 Fungsi Invers8.2 Fungsi Logaritma Asli8.3 Fungsi Eksponen Asli8.5 Fungsi Eksponen Umum8.6 Fungsi Logaritma UmumFungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik

08 Fungsi Transenden

Documents

Transcript of 08 Fungsi Transenden