1. LOGIKA MATEMATIKA
-
Upload
reza-setiadi -
Category
Documents
-
view
111 -
download
4
Transcript of 1. LOGIKA MATEMATIKA
@fajardelli
LOGIKA MATEMATIKA
I. PROPOSISI & OPERASINYA
Definisi 1.1 Proposisi
Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak dapat sekaligus keduanya. Kebenaran atau kesalahan dari nilai kebenaran disebut dengan nilai kebenaran (truth value).
Contoh 1.1
No Kalimat Deklaratif Proposisi Nilai
Ya Bukan Benar (T)
Salah (F)
1 3 + 3 = 6
2 Bandung merupakan Ibukota Provinsi Jambi
3 Kemarin hari hujan
4 Kehidupan hanya ada di bumi
5 Jam berapa sekarang?
6 x + 3 = 6
7 x + y = y + x untuk setiap x & y bilangan Real.
Contoh 1.1
No Kalimat Deklaratif Proposisi Nilai
Ya Bukan Benar (T)
Salah (F)
1 3 + 3 = 6 √ - √ -
2 Bandung merupakan Ibukota Provinsi Jambi
√ - - √
3 Kemarin hari hujan √ - ? ?
4 Kehidupan hanya ada di bumi √ - ? ?
5 Jam berapa sekarang? - √ - -
6 x + 3 = 6 - √ - -
7 x + y = y + x untuk setiap x & y bilangan Real.
√ - √ -
Latihan 1.1
No Kalimat Deklaratif Proposisi Nilai
Ya Bukan Benar (T)
Salah (F)
1 Bumi itu datar
2 f(x) = 2x + 4
3 Untuk sembarang bilangan bulat positif n, maka 2n adalah bilangan genap
4 Suhu ruangan 27° C
5 Buanglah sampah di tempatnya!
6 4 + 4 = 16
7 Pemuda itu tampan
Latihan 1.1
No Kalimat Deklaratif Proposisi Nilai
Ya Bukan Benar (T)
Salah (F)
1 Bumi itu datar √ - - V
2 f(x) = 2x + 4 - √ - -
3 Untuk sembarang bilangan bulat positif n, maka 2n adalah bilangan genap
√ √
4 Suhu ruangan 27° C √
5 Buanglah sampah di tempatnya!
√
6 4 + 4 = 16 √ √
7 Pemuda itu tampan √ ? ?
Mengkombinasikan Proposisi
Operator Logika
Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan preposisi.
Preposisi Majemuk
Proposisi baru yang diperolah dari pengkombinasian.
Proposisi Atomik
Proposisi yang bukan merupakan kombinasi proposisi lain.
→ Proposisi Majemuk disusun dari proposisi-preposisi atomik
Definisi 1.2 Konjungsi, Disjungsi & Negasi
Misalkan p dan q adalah proposisi.Konjungsi (konjunction) p dan q, dinotasikan
, adalah proposisi p dan q Disjungsi (Disjunction) p dan q, dinotasikan
, adalah proposisi p atau q Ingkaran/Negasi (Negation) p, dinotasikan ~p
adalah proposisi tidak p
(Notasi Lain : )
Contoh 1.2
p : Orang itu baik
q : Orang itu wangi
Maka
: Orang itu baik dan wangi
: Orang itu baik atau wangi
~q : Orang itu bau
Latihan 1.2
p : Orang itu cantik
q : Orang itu tinggi
Maka
:
:
:
:
:
:
:
:
Latihan 1.2
p : Orang itu cantik
q : Orang itu tinggi
Maka
: Orang itu cantik dan tinggi
: Orang itu cantik atau tinggi
: Orang itu pendek
: Orang itu tidak cantik atau tidak tinggi
: Orang itu tidak pendek
: Orang itu cantik, atau orang itu jelek atau pendek
: Orang itu cantik tapi tidak tinggi
: Tidak benar bahwa orang itu jelek dan pendek
Definisi 1.3 Nilai Kebenaran (dan, atau, not)
Misalkan p dan q adalah proposisi. Konjungsi , bernilai benar jika p dan
q keduanya benar, selain itu nilainya salah. Disjungsi , bernilai salah jika p dan
q keduanya salah, selain itu nilainya benar. Negasi –p, bernilai benar jika p salah,
sebaliknya bernilai salah jika p benar.
Tabel Kebenaran
Ctt:• T = True/Benar• F = False/Salah
Ctt:• T = True/Benar → T, B, 1• F = False/Salah → F, S, 0
Contoh 1.3
Jika p dan q adalah proposisi, buatlah tabel kebenaran dari ekspresi logika berikut:
Latihan 1.3
Jika p,q dan r adalah proposisi, buatlah tabel kebenaran dari ekspresi logika berikut:
Definisi 1.4 Tautologi & Kontradiksi
Sebuah proposisi majemuk disebut tautologi jika ia benar untuk semua kasus (Notasi T), sebaliknya disebut kontradiksi jika ia salah untuk semua kasus (Notasi F),.
Definisi 1.5 Ekivalen
Dua buah proposisi majemuk P(p,q,…) dan Q(p,q,…) disebut ekivalen secara logika bila keduanya memiliki tabel kebenaran yang identik.
Notasi : P(p,q,…) ≡ Q(p,q,…)
Latihan 1.4
Periksa kebenaran proposisi majemuk berikut kemudian tentukan apakah proposi majemuk tersebut merupakan tautologi, kontradiksi atau ekivalensi dengan proposisi majemuk yang lain.
T, TAUTOLOGI F, KONTRADIKSI
Q≡S
Definisi 1.6 (Disjungsi Ekslusif)
Misalkan p dan q adalah proposisi.Ekslusif or p dan q (notasi : p q) bernilai benar bila hanya salah satu dari p dan q benar. Selain itu nilainya salah
HUKUM-HUKUM LOGIKA PROPOSISI
Latihan 1.5
1. Buktikan Hukum-hukum Logika Proposisi tersebut Ekivalen.
2. Dengan menggunakan hukum-hukum logika proposisi, tunjukan bahwa pv-(pvq) dan p v-q keduanya ekivalen secara logika
(aljabar OR numerik) AND matematika
Tugas Kuliah 1
Kerjakan Latihan Hal 42 – 43 No. 1 - 8
Definisi 1.7 Proposisi Bersyarat
Misalkan p dan q adalah proposisi. Proposisi majemuk “jika p, maka q” disebut proposisi bersyarat (implikasi) dan dilambangkan dengan:
p → qProposisi p disebut Hipotesis (antesenden/ premis/ kondisi)
Proposisi q disebut Konklusi (konsekuen)
Contoh 1.7
p : pukul 8.00
q : bel sekolah berbunyi
p → q : Jika pukul 8.00 maka bel
sekolah berbunyi
p → q• Jika pukul 8.00 maka bel sekolah berbunyi
• Jika pukul 8.00, bel sekolah berbunyi
• Pukul 8.00 mengakibatkan bel sekolah berbunyi
• Pukul 8.00 syarat cukup agar bel sekolah berbunyi
• bel sekolah berbunyi syarat perlu bagi pukul 8.00
• bel sekolah berbunyi bilamana pukul 8.00
• Bel sekolah berbunyi jika pukul 8.00
p → q : Jika pukul 8.00 maka bel sekolah berbunyi Kasus 1
Saat ini pukul 8.00 dan bel sekolah berbunyi.
Pernyataan guru benar
Kasus 2
Saat ini pukul 8.00 dan bel sekolah tidak berbunyi
Pernyataan guru salah
Kasus 3
Saat ini bukan pukul 8.00 (pukul 12.00) dan bel sekolah berbunyi
Pernyataan guru benar karena agar bel berbunyi tidak hanya
ketika jam 8.00 tetapi saat istirahat dan pulang sekolah.
Kasus 4
Saat ini bukan pukul 8.00 (pukul 7.00) dan bel sekolah tidak berbunyi
pernyataan guru benar
Nilai Kebenaran Operasi “→”
p → q : Jika pukul 8.00 maka bel sekolah berbunyi Kasus 1
Saat ini pukul 8.00 dan bel sekolah berbunyi.
Pernyataan guru benar
Kasus 2
Saat ini pukul 8.00 dan bel sekolah tidak berbunyi
Pernyataan guru salah
Kasus 3
Saat ini bukan pukul 8.00 (pukul 12.00) dan bel sekolah berbunyi
Pernyataan guru benar karena agar bel berbunyi tidak hanya
ketika jam 8.00 tetapi saat istirahat dan pulang sekolah.
Kasus 4
Saat ini bukan pukul 8.00 (pukul 7.00) dan bel sekolah tidak berbunyi
pernyataan guru benar
Nilai Kebenaran Operasi “→”
Contoh Program
“”””Program Pangkat”””” Input : #include <stdio.h> int pangkat (int a,int b) {int i, bil = a;
if(b==1)return a; else{ for (i=2;i<=b;i++)a = a * bil;return a;}} void main() { int x,y,hasil;printf("Masukan Sebuah Bilangan:"); scanf("%i",&x); printf("Masukan Nilai Pangkat:") ;scanf("%i",&y); hasil = pangkat (x,y);printf("Hasil Pangkatnya adalah : %i",hasil);}
LATIHAN 1.7
Kerjakan Soal No 9, 10, 13 (Hal 44-45)
Def. 1.8 Varian Proposisi Bersyarat
Def. 1.8 Varian Proposisi Bersyarat
Implikasi ≡ kontraposisi
p → q : Jika pukul 8.00 maka bel sekolah berbunyi
-q → -p : Jika bel sekolah tidak berbunyi maka bukan pukul 8.00
Def. 1.9 Biimplikasi (bikondisional)
Misalkan p dan q adalah proposisi.
Proposisi Majemuk “p jika dan hanya jika
q” disebut sebagai Biimplikasi/
Bikondisional dengan notasi : p↔q.
Pernyataan p↔q benar bila memiliki nilai
kebenaran yang sama.
Def. 1.9 Biimplikasi (bikondisional)
Contoh 1.9 Biimplikasi
PERNYATAAN IMPLIKASI p → q : Jika pukul 8.00 maka bel sekolah berbunyi p → q : Bel sekolah berbunyi, Jika pukul 8.00
PERNYATAAN BIIMPLIKASI p↔ q : pukul 8.00 Jika dan Hanya Jika bel sekolah
berbunyi q ↔p : Bel sekolah berbunyi Jika dan Hanya Jika pukul 8.00
ARTINYA
p → q : Jika pukul 8.00 maka bel sekolah berbunyi
dan
q → p : Jika bel sekolah berbunyi maka pukul 8.00
Contoh 1.9 Biimplikasi
PERNYATAAN IMPLIKASI p → q : Jika pukul 8.00 maka bel sekolah berbunyi p → q : Bel sekolah berbunyi, Jika pukul 8.00
PERNYATAAN BIIMPLIKASI p↔ q : pukul 8.00 Jika dan Hanya Jika bel sekolah
berbunyi q ↔p : Bel sekolah berbunyi Jika dan Hanya Jika pukul 8.00
ARTINYA p → q : Jika pukul 8.00 maka bel sekolah berbunyi
dan q → p : Jika bel sekolah berbunyi maka pukul 8.00
Perbandingan
Contoh 1.9 Biimplikasi
Tugas Kuliah 2
Kerjakan Latihan Hal 44 – 45
No. 14, 16, 17, 18, 19
1.10 Inferensi
Proses penarikan kesimpulan dari beberapa proposisi
1.Modus Ponen
2.Modus Tollen
3.Silogisme Hipotesis
4.Silogisme disjungtif
5.Simplifikasi
6.Penjumlahan
7.Konjungsi
1.10.1 Modus Ponen
Dasar : Tautologi
ContohJika nilai ujian di atas 80 maka nilai Mutu = A
Nilai ujian = 84 .
Nilai Mutu = A
1.10.2 Modus Tollen
Dasar : Tautologi
ContohJika nilai ujian di atas 80 maka nilai Mutu = A
Nilai Mutu ≠ A .
Nilai Ujian di bawah (atau sama dengan) 80
1.10.3 Silogisme Hipotesis
Dasar : Tautologi
ContohJika saya belajar giat maka cepat lulus kuliah
Jika saya cepat lulus kuliah maka saya cepat menikah
Jika saya belajar giat maka saya cepat menikah
1.10.4 Silogisme Disjungtif
Dasar : Tautologi
ContohSaya Belajar giat atau saya kerja tahun depan
Saya malas belajar .
Saya kerja tahun depan
1.10.5 Simplifikasi
Dasar : Tautologi
ContohBudi Mahasiswa IPB dan Unpak
Budi Mahasiawa IPB
Budi Mahasiswa IPB dan Unpak
Budi Mahasiawa Unpak
1.10.6 Penjumlahan
Dasar : Tautologi
Contoh Saya mahasiswa Unpak
Saya mahasiswa Unpak atau Artis hollywood
1.10.7 Konjungsi
Dasar : Tautologi
ContohDeni mengambil kuliah logika matematika
Deni mengambil kuliah matematika komputasi
Deni mengambil kuliah logika matematika dan matematika komputasi
1.11. Argumen (Defenisi)
Argumen adalah suatu deret proposisi yang dituliskan sebagai :
Hipotesis(Premis)
Atau
KonklusiSebuah argumen dikatakan sahih jika konklusi benar bila mana hipotesis benar (atau Tautologi pada implikasi argumen); sebaliknya argumen dikatakan palsu atau invalid
Memeriksa Kebenaran Argumen
1. Cek kesesuaiannya dengan modus/kaidah yang ada
2. Gunakan Defenisi Argumen
3. Periksa implikasi argumen
Periksa Kesahihan Argumen Berikut
Jika Gelas Pecah Maka Ibu Marah
Ibu Marah . Gelas Pecah
Contoh 1.11.1
Jika air laut surut setelah gempa di laut maka tsunami datang
Air laut surut setelah gempa dilaut ,
karena itu tsunami datang.
Contoh 1.11.2
Jika air laut surut setelah gempa di laut maka tsunami datang
Tsunami datang ,
air laut surut setelah gempa di laut.