TUGAS Buku saku Tentang Logika Matematika, Pangkat dan AkarDISUSUN OLEH: TIANAH Prodi PGSDUNIVERSITAS NAHDLATUL ULAMA CIREBONP~P BS SBLOGIKA MATEMATIKA Pernyataan dan kalimat Pengertian Logika matematika Kemampuan menalar adalah kemampuan untuk menarik kesimpulan yang tepat dari bukti-bukti yang ada dan menurut aturanaturan tertentu. Logika adalah ilmu untuk berfikir dan menilai dengan benar, logika Matematika (logika simbolik) khususnya yang dikembangkan melalui penggunaan metode-metode matematika dan simbol-simbol matematika dengan tujuan menghindari makna ganda dari bahasa sehari-hari. Pernyataan dan Bukan Pernyataan Pernyataan adalah kalimat yang bernilai benar/salah tetapi tidak keduaduanya, mengandung benar dan salah. Bukan pernyataan adalah kalimat yang mengandung kebenaran sekaligus benar dan salah atau yang mengandung dua kebenaran sekaligus. Contoh: Jakarta Republik Indonesia 5 bilangan genap Semoga yang datang semuanya selamat Lingkaran, Konjungsi, Diskonjungsi, Implikasi, Biimplikasi Lingkaran (Negasi) Suatu pernyataan P P = Negasi P Jika P bernilai benar maka negasi P bernilai salah dan sebaliknya. - Tidak, tidak benar, tidak benar Contoh: ~P ~P ~P ~P ~P ~P = Semua manusia akan mati (B) = Tidak semua manusia akan mati = 5 adalah bilangan prima (S) = 5 bukan bilangan prima = Ada pengusaha yang boros = Ada pengusaha yang tidak borosKonjungsi Dua pernyataan p dan q ditulis p (p dan q) q Jika p = benar, q = benar, maka p benar jika tidak demikian maka p q q bernilai salah.2np n =2qp 2Bq B S B22 = 4pq BBB BSS SBS SSS2S Sp qContoh: p = 2 + 3 = 5 (B) q = 5 bilangan ganjil (B) p = 2 + 3 = 5 dan 5 bilangan ganjil (B) q P = Bali ibu kota Jakarta (S) q = Jakarta rawan banjir (B) p = Bali Ibu kota Jakarta dan jakarta rawan Banjir (S) q Diskonjungsi Dua pernyataan p dan q dihubungkan dengan kata atau p dibaca p atau q q. Jika p = salah q = salah maka p bernilai salah. Jika tidak demikian q maka p bernilai benar. q p q p q BBB BSB SSB SSS CONTOH: p = Saya rajin belajar (B) q = Saya naik kelas (B) p = Saya rajin belajar atua Saya naik kelas (B) q Implikasi Dihubungkan jika p maka q ditulis p q jika p = benar q = salah maka p q bernilai salah, jika tidak demikian maka p q bernilai benar p q p q BBB BSS SBBSSS Contoh: p = hari mendung (B) q = hujan turun (B) p q = Jika hari mendung maka hujan turun (B) Biimplikasi Jika dihubungkan p jika dan hanya jika q ditulis p q Jika p = benar, q = benar maka p q bernilai benar Jika tidak demikian p q bernilai salah P q p q BBB BSS SBS SS-B PANGKAT Pengertian Pangkat Pangkat adalah perkalian yang berulang Sifat-sifat pada bilangan pangkat am + an = am+n am - an = am-n n = amxn (a x b )n = a1xn.b1xn = an.bn n = amxn.bmxnn==n= ao = 1 am = a-m = Menerapkan operasi pada bilangan pangkat Operasi berpangkat merupakan perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Hal ini juga berlaku pada perpangkatan pecahan bentuk aljabar. Pengertian bilangan pangkat a pangkat n didefinisikan sebagai perkalian a sebanyak n faktor. Secara umum dapat dituliskan: an = a x a x a x a . . . . x a n faktorn=xx.... n faktor=Keterangan: n = bilangan vulat a 0a = bilangan pokok (basis) n = pangkat Contoh: 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 25 = 32 -24 = -2 x -2 x -2 x -2 -24 = 16 Contoh soal 2 Ubahlah dalam pangkat positif 3-2 x 3-5 = 3-2+-5 = 3-7 (5 x 2)-4 = 5-4 x 2-4 (5 x 2)-4 = (2-3 x 42)-3 = 2-3x-3 x 42x-3 (2-3 x 42)-3 = 29 x 4-6 (2-3 x 42)-3 = = =Pengertian Akar Akar kuadrat suatu bilangan merupakan operasi kebalikan (Invers) kuadrat suatu bilangan. Akar kuadrat dilambangkan dengan Bilangan bentuk akar Contoh: atau atau (. . . )=3 Menyederhanakan Akar Contoh:. = 20 Perkalian dan Pembagian Akar x x = :c Contoh: x x x = = = = = x = = =3 = = = = =Penjumlahan dan Pengurangan Akar+ -= (a + b) = (a - b)Contoh: + + + + + = = = = =3 + + + -BENTUK AKAR & BILANGAN PANGKAT PECAHAN 1. BILANGAN RASIONAL adalah Bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dimana a,b Real b 0. Contoh : 1/2 , 3/4 , 4/5 , -5 ,-2 , -1/4 , .... 2. BILANGAN IRASIONAL adalah Bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk a/b. >> Bilangan ini pada umumnya merupakan bilangan pecahan desimal yang tidak berulang dan tidak berakhir. Contoh : 2 , log3 , = 3,14 3. BENTUK AKAR adalah akar bilangan rasional yag hasilnya merupakan bilangan irasional.A. MENYEDERHANAKAN BENTUK AKAR 1. ab = a x b Contoh : 1. 45 = 9 x 5 = 35 2. 243 = 81 x 3 = 93 3. 354 = 333 x 32 = 333 x 32 = 332 2. a/b = a : b Contoh : 1. 45 / 125 = 9x5 / 25x5 = 35 / 55 = 3/5 (karena 5 dicoret) 2. 72 / 18 = 36x2 / 9x2 = 62 / 32 =2 B. OPERASI ALJABAR PADA BENTUK AKAR *) Bentuk akar yang sejenis Contoh : 1. 2 , 22 , 32 , 72 , dst 2. 35 , 335 , 535 , 735 , dst *) Bentuk akar yang sama Contoh : 1. 2 , 3 , 5 , 7 , dst 2. 35 , 37 , 39 , dst1. PENJUMLAHAN BENTUK AKAR 2 bentuk akar atau lebih dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika bentuk akar2 tersebut sejenis Contoh : 1. 2 + 52 - 33 = 32 2. 63 - 23 + 73 = 113 3. 50 - 125 + 5 = 52 - 55 + 5 = 52 - 45 4. 28 - 32 + 350 = 2x232 - 42 + 3x52 = 42 - 42 + 152 = 152 2. PERKALIAN BENTUK AKAR Contoh : 1. 2.2 = 4 =2 2. 2.3 = 6 3. 22.35 = 610 4. 2(23 - 5) = 26 - 10 5. (22 + 3)2 = (22)2 + 2.22.3 + (3)2 = 8 + 46 +3 = 11 + 46 6. (3 - 5)2 = (3)2 - 2.3.5 + (5)2 = 3 - 215 + 5 = 8 - 215 7. (2 + 3) (2 - 3) = (2)2 - (3)2 =2-3 =-1 8. (22 - 3) (22 + 3) = (22)2 - (3)2 =8-3 =5 9. (23 + 5) (2 - 5) = 23.2 - 23.5 + 5.2 - 5.5 = 26 - 215 + 10 -5 C. MERASIONALKAN PENYEBUT SUATU PECAHAN 1. PECAHAN DENGAN BENTUK a / b Contoh : 1. 2/3 = 2/3 x 3/3 = 23 / 3 2. 10/22 = 10/22 x 2/2 = 102 x 4 2. PECAHAN DALAM BENTUK a/(a + b) Contoh : 1. 4/(7 - 3) = 4/(7 - 3) x (7 + 3)/(7 + 3) = (47 + 43)/(7 - 3) = (47 + 43)/4 = 7 + 3 2. 8/(22 + 3) = 8/(22 + 3) x (22 - 3)/(22 - 3) = (162 - 83)/(8 - 3) = (162 - 83)/5 3. PECAHAN DENGAN BENTUK a/(b - c) Contoh : 1. 10/(4 - 23) = 10/(4 - 23) x (4 + 23)(4 + 23) = (40 + 203)/(16 - 12) = (40 + 203)/4 = 10 + 53D. BILANGAN DENGAN PANGKAT PECAHAN 1. na = na1/n Contoh : 1. 2 =2 (2)2 = (2x)2 2 = 22x 2x = 1 x = 1/2 2. nam = am/n Contoh :1. 3 4 = 4x (34)3 = (4x)3 4 = 43x 3x = 1 x = 1/3 BILANAGN RASIONAL DAN IRASIONAL Bilangan Rasionala Bilangan rasional Q = semua bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk b dengan a B, b B dan b 0Jadi bilangan rasional Q terdiri atas : bulat positif B+, bulat negatif B-, pecahan positif, paecahan negative dan nol Bilangan rasional terdiri atas : Bilangan bulat, misalnya: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, Bilangan pecahan, misalnya Bilangan rasional dapat dinyatakan dalam bentuk desimal terbatas, atau dalam bentuk desimal berulang terbatas. Contoh :1 1 1 1 , , , 2 4 2 41 0,5 = 2 3 4 = 0,75 5 2 = 2,51 4. 3 = 0,33333 8 5. 11 = 0,727272 7 6. 33 = 0,212121Cara mengubah bentuk desimal berulang ke bentuk pecahan biasa ! Contoh : 0,323232 atau 0,32 Misal : x = 0,323232 100x = 32,323232 x = 0,323232 99x = 3232 x = 9932 Jadi 0,323232 = 992,6666 atau 2,6 Missal : x = 2,6666 10x = 26,6666.. x = 2,6666.. 9x = 2424 8 x= 9 = 3Bilangan Irasional8 Jadi 2,6666 = 3Bahwa bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakana sebagai bentuk b dengan a dan b bilangan bulat, b 0Pada umumnya bilangan bentuk akar merupakan bilangan irasional, akan tetapi perlu diketahui bahwa tidak semua bilangan yang menggunakan tanda akar pasti bentuk akar. Bentuk akar adalah akar suatu bilangan yang hasilnya bukan bilangan rasional. Contoh bilangan irasional : 2 , Perhatikan contoh di bawah ini ! Contoh :3 , 5 , , log 2, log 3.5 = bentuk akar 9 = 3 (rasional) jadi bukan bentuk akar 20 = bentuk akar 100 = 10 ( rasional) jadi bukan bentuk akar347 = bentuk akar 81 = 3 (rasional) jadi bukan bentuk akar.Menyederhanakan Bentuk Akar Bilangan bentuk akar disebut sederhana jika : Indeks ( pangkat akar) tidak dapat diperkecil Tidak ada factor dari radikan (bilangan di bawah tanda akar) yang berpangkat sama besar dengan atau lebih dari indeks. Jika salah satu atau kedua duanya tak memenuhi , maka bilangan bentuk akar itu dapat disederhanakan. Dapat juga dengan cara lain yaitu dengan memfaktorkan bilangan di bawah tanda akar menjadi dua bilangan bulat, dengan salah satu bilangan berupa bilangan kuadrat murni.Contoh : Sederhanakan bentuk akar di bawah ini. a. 32 b. Jawab :18c.24 d. 80 e. 8032 = 16.2 = 16 . 2 = 4 2 18 = 9.2 = 9 . 2 = 3 224 = 4.6 = 2 6 80 = 16.5 = 16 . 5 = 4 580 = 49.3 = 7 3Operasi Bilangan Pada Bentuk Akar Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar Bentuk akar dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika bentuk akarnya sejenis. Contoh :3+2 3 6+ 5+2 32 + 20 +Jawab :3 6 +4 6 5 6 3 4 5 +5 3 8 + 50 98 28 125 + 63 803 + 2 3 = (1 + 2 ) 33 6 + 6 + 4 6 5 6 = (3 +1+ 4 5) 65 + 2 3 4 5 + 5 3 = (1 4) 5 + (2 + 5) 5 = 3 5 + 7 332 + 8 + 50 98 = 16.2 + 4.2 + 25.2 49.2 = 4 2 +2 2 +5 2 7 2 = 4 2 20 + 28 125 + 63 80 = 2 5 + 2 7 5 5 + 3 7 4 5 = 7 5 + 5 7Perkalian Bentuk Akar Dengan Bentuk Akara x b = axb a c xb d = axbx cxd ax a = aContoh : Selesaikanlah dan sederhanakanlah.5x 7 2 34 2Jawab :5 x 7 = 5 x7 = 35 2 3 4 2 = (2 x 4) x 3 2=8x =83 2 6Merasionalkan Penyebut Dengan menggunakan bentuk akar yang hasil kalinya rasional Yaitu : 1.a + b a b =ab 2. pecahan yang penyebutnya bentuk akar dapat dirasionalkan dengan cara sebagai berikut:(a a =a)()a1.b= ca b =b b c=a b b a b a b = c a b22.a+ ba+ b(a b) )3.c = a+ bc a b c = a+ b a b a b(a bContoh : Rasionalkan penyebut dari5a.4b.32 2c.3 5 3 3 5 5 36 2 33+2 2d. Jawaba.3= 43 3=5 3 3 4 6 2 3 6+2 3 6+2 3b.6 2 3=4 6+2 3 6 12 = 4 6 8 3 + 6 = 6()a, jika a 0 a, jika a < 0=4 8 6 3 6 632 2c.32 2=3+2 23+ 2 232 2 6+2 396 2 6 2 +8 98 = = 17 - 12 25 2d.5 2=212 25 2 2 2 = 5 2 1 = 2BILANGAN BERPANGKAT RASIONAL Sebelum ini telah dikenalkan perpangkatan bilangan real dengan bilangan bulat. Pertanyaan selanjutnya adalah apakah diperbolehkan bilangan real berpangkat dengan rasional ?. Pada subbab ini akan dibahas bilangan real dipangkatkan dengan bilangan rasional. DEFINISI Akar pangkat tiga dari suatu bilangan a adalah bilangan b yang apabila dipangkatkan 3 menjadi bilangan a, ditulis dengan :3a = b jika b 3 = aUntuk lebih jelasnya, kita lihat contoh numerik berikut ini.8 = 2 karena 23 = 8. 3 125 = 5 karena 53 = 125.3 3 3 3 27 = 3 karena (-3)3 = -27. 1000 = 10 karena 103 = 1000. 1000 = 10 karena (-10)3 = -1000.DEFINISI Akar pangkat n dari suatu bilangan a adalah bilangan b yang apabila dipangkatkan n menjadi bilangan a, ditulis dengan :na =b n jika b = aJika n genap, maka nilai a harus non negatif. Dalam keadaan khusus:Jika n genap makaJika n ganjil makan n a ={n n a = a , untuk sembarang nilai a.DEFINISIn n Untuk n bilangan asli, arti dari a adalah a1a =na11 na n akan mempunyai nilai apabila:Untuk n genap, nilai a harus positif. Untuk n ganjil. Pangkat bilangan rasional secara umum didefinisikan berikut ini. Untuk bilangan bulat non negatif m dan bilangan asli n, arti dari am 1 a n = a n = mm nadalah( a)nmatauam n= a( )1 m n= n am