A P L I K A S I T U R

U N A N

Disusun oleh :1. Lintang Chandra D. XI – A4 / 162. Nastiti Dyah P. XI – A4 / 193. Safira Fadhilah P. XI – A4 / 284. Yulia Kurniasih XI - A4 / 31SMA NEGERI 4 SURAKARTA

APLIKASI TURUNAN

Matematika• Menye

lesaikan limit

• Persamaan garis singgung

Sains (Fisika)• Gerak

lurus berubah beraturan (GLBB) meliputi Kecepatan dan Percepatan

Ekonomi• Biaya

minimum dan laba maksimum

Teknik • Memban

tu programer dalam pembuatan aplikasi dari mesin – mesin

Aplikasi turunan yang akan dibahas meliputi :

Matematika

Sains (Fisika)

Ekonomi

1. Aplikasi Turunan untuk Menentukan Limit Tak Tentu

2. Aplikasi Turunan untuk Menentukan Persamaan Garis Singgung Kurva

3. Aplikasi Turunan dalam Perhitungan Kecepatan dan Percepatan

4. Aplikasi Turunan untuk Menentukan Maksimum dan Minimum

1. Aplikasi Turunan untuk Menentukan Limit Tak Tentu

Limit-limit yang mempunyai bentuk-bentuk tak tentu dapat diselesaikan dengan aturan L’ Hospital. Bentuk-bentuk tak tentu yang dimaksud adalah dan .

Apabila f(x) dan g(x) memiliki turunan di x = a dan f(a) = g(a) = 0, sedangkan f’(a) dan g’(a) tidak nol , maka berlaku

2. Aplikasi Turunan untuk Menentukan Persamaan Garis Singgung Kurva

Turunan pertama suatu fungsi merupakan gradien persamaan garis singgung pada suatu titik tertentu. Apabila suatu gradien persamaan garis singgung f(x) di titik (a, b) diketahui, maka dapat dicari persamaan garis singgungnya.

y – b = f’(a) (x – a)

Persamaan garis di titik (a, b) dan bergradien m adalah

Karena m = f’(a), persamaannya dapat dirumuskan menjadi

y – b = m(x – a)

Garis Normal

Garis normal adalah garis yang tegak lurus dengan garis singgung.

Persamaan garis normal di titik (x0 , y0) adalah

y – y0 = - (x – x0)m1

Sub-Normal, Sub-Tangen

Subtangen = QR Subnormal = RSPanjang Garis Singgung = PQPanjang Garis Normal = PSm=tg= Panjang Subtangen = QR = | |Panjang Subnormal = RS = |my0|

m0yQR

PR

Contoh Soal dan Pembahasannya

Tentukan persamaan garis singgung dari y = x3 - 2x2 - 5 pada titik (3,2).Jawab :y=f(x)= x3-2x2-5y=f(x)=3x2-4x f ’(3) = 3(3)2 - 4(3) = 15 ; m = 15.Rumus pers. Garis singgung : y-yo = m (x-xo)Maka garis singgung fungsi diatas adalah : y – 2 = 15 (x – 3) atau y = 15x – 43

3. Aplikasi Turunan dalam Perhitungan Kecepatan dan Percepatan

Dalam bidang fisika dibahas mengenai gerak lurus berubah beraturan, yang berarti bahwa kecepatan benda selama bergerak tidaklah tetap. Misalnya benda bergerak menempuh jarak s dalam waktu t. Kecepatan rata-rata dapat ditentukan dengan

Kecepatan rata-rata = =

Jika kecepatan pada saat t dinotasikan dengan v(t) maka kecepatan dirumuskan dengan

v(t) =

Jika fungsi kecepatan terhadap waktu v(t) diturunkan lagi maka akan diperoleh percepatan

a(t) = Dengan kata lain, percepatan pada waktu t

adalah turunan pertama dari fungsi kecepatan. Percepatan juga diartikan sebagai turunan kedua dari fungsi jaraknya yaitu

a(t) = = ( ) = = s”t

Aplikasi turunan dalam bidang fisika digunakan untuk menurunkan suatu rumus      Berikut contoh penerapan turunan dalam fisika :1. Momentum Sudut

Didefinisikan l = r x p (p = mv). Besarnya momentum sudut : l = r p sin . Rumusan ini dapat diubah menjadi : l = r (p sin) = r p atau l = p (r sin) = p r .

Dari definisi momentum sudut l = r x p, bila dideferensialkan diperoleh :

dl/dt = d (r x p)/dtdl/dt = (r x dp/dt) + (dr/dt x p)dl/dt = (r x F) + (v x mv) dl/dt = dp/dt =

F

2. TorsiSebuah benda berotasi dengan sumbu putar adalah sumbu z. Sebuah gaya F bekerja pada salah satu partikel di titik P pada benda tersebut. Torsi yang bekerja pada partikel tersebut adalah : = r x FArah torsi searah dengan sumbu z. Setelah selang waktu dt partikel telah berputar menempuh sudut d dan jarak yang ditempuh partikel ds, dimana ds = r d. Usaha yang dilakukan gaya F untuk gerak rotasi ini dW = F . ds dW = F cos ds dW = (F cos ) (r d) dW = d dW = F . ds

Laju usaha yang dilakukan (daya) adalah : dW/dt = d/dt P = P = F v

  Untuk benda yang benar-benar tegar, tidak ada disipasi tenaga, sehingga laju dilakukannya usaha pada benda tegar tersebut sama dengan laju pertambahan tenaga kinetik rotasinya.dW/dt = dK/dt dW/dt = d(1/2 I 2)/dt = 1/2 I d2/dt = I d/dt = I = I F = m a

Contoh Soal dan Pembahasannya

Posisi partikel ditunjukkan oleh persamaan s=f(t)=t3-6t2+9t (t dalam detik dan s dalam meter). Tentukan :a. Kecepatan pada waktu t?b. Kecepatan setelah 2 detik?c. Kapan partikel berhenti?d. Kapan partikel bergerak maju ?Jawab :a. Fungsi kecepatan adalah turunan dari fungsi posisi. s=f(t)=t3-6t2+9t v(t)= =3t2-12t+9

Contoh Soal dan Pembahasannya

b. Kecepatan setelah 2 detik bermakna sebagai kecepatan sesaat pada t=2

v(t)= =3t2-12t+9 v(2)= 3(2)2-12(2)+9=-3m/dtc. Partikel berhenti jika v(t)=0 v(t)= 3t2-12t+9=0 3t2-12t+9 3(t2-4t+3) 3(t-1)(t-3)=0 t1=1 dan t2=3 Partikel berhenti setelah t=1 atau

t=3 

Contoh Soal dan Pembahasannya

d. Partikel bergerak maju (dalam arah positif) jika v(t)>0

3t2-12t+9=3(t-1)(t-3)>0 Partikel bergerak maju jika t<1 atau t>3 (dari mana ?) Partikel bergerak mundur jika 1<t<3

4. Aplikasi Turunan Menentukan Maksimum dan Minimum

Pada bidang ekonomi fungsi turunan dipakai untuk mencari biaya marjinal, yaitu dengan cara menurunkannya dari persamaan biaya total.

Misal C(x) adalah biaya total yang dikeluarkan sebuah perusahaan untuk menghasilkan x satuan barang tertentu. Fungsi C disebut sebagai fungsi biaya. Jika banyakya barang yang dihasilkan bertambah dari x1 menjadi x2, biaya tambahan = =C(x2) - C(x1).

Laju perubahan rata-rata biaya :

Limit besaran ini ketika x 0 disebut laju perubahan sesaat biaya, terhadap banyaknya barang yang dihasilkan. 

Oleh para ekonom disebut dengan biaya marjinal.

Biaya Marjinal =

Penerapan Konsep Turunan Parsial (1 Variabel) Dalam Ekonomi

1. Elastisitas Bentuk umum :

η = = lim = y′ .

a. Elastisitas PermintaanRasio antara persentase perubahan jumlah

barang yang diminta terhadap persentase perubahan harga. Jika Qd = f(P) maka elastisitas permintaannya :

ηd = = = lim = Q′d .

b. Elastisitas PenawaranRasio antara persentase perubahan jumlah barang yang ditawarkan terhadap persentase perubahan harga. Jika Qs = f(P) maka elastisitas penawarannya :ηs = = = lim = Q′s .

c. Elastisitas ProduksiRasio antara persentase perubahan jumlah keluaran terhadap persentase perubahan jumlah masukan). Jika P = jumlah produk yang dihasilkan & X = jumlah faktor produksi yang digunakan, dan fungsi produksi P = f(X) maka elastisitas produksinya :

ηp = = = lim = P′ .

2. Penerimaan marginal, Utilitas marginal, dan Produk marginal a. Penerimaan Marginal

Penerimaan tambahan yang diperoleh akibat bertambahnya satu unit keluaran yang diproduksi (terjual). Fungsi penerimaan marginal adalah turunan pertama dari fungsi penerimaan total. Jika fungsi penerimaan total adalah R = f(Q) maka penerimaan marginalnya :

MR = R′ b. Utilitas MarginalUtilitas tambahan yang diperoleh konsumen akibat bertambahnya satu unit barang yang dikonsumsi. Fungsi utilitas marginal adalah turunan pertama dari fungsi utilitas total. Jika fungsi utilitas total adalah U = f(Q) maka utilitas marginalnya :

MU = U′

Contoh Soal dan Pembahasannya

1. Perusahaan menaksir biaya memproduksi x unit barang (dalam USD) adalah : C(x)=10.000+5x+0,01x2 . a. Tulisakan biaya marginalnya!b. Berapakah biaya marginalnya untuk 500 unit?Jawab :a. Maka fungsi biaya marjinalnya adalah C’(x)=5+0,02xb. Biaya marjinal untuk tingkat produksi 500 unit adalah : C’(x)=5+0,02x C’(500)=5+0,02(500) =USD 15/unit

Contoh Soal dan Pembahasannya

2. Sebuah perusahaan mempunyai biaya 3200 + 3,25x – 0,0003x2 dengan jumlah persatuan x=1000. Tentukan biaya rata-rata dan biaya marjinal?Jawab :Biaya rata-rata = C(x)/x = 3200+3,25x-0,0003x2 / X

= 3200+3,25 (1000)-0,0003(1000)2 / 1000 = 6150 / 1000 = 6,15

Maka biaya rata-rata persatuan yaitu 6,15 x 1000 = Rp.6150Biaya marjinal = dc/dx

= 3,25-0,0006x = 3,25-0.0006 (1000) = 2,65 Maka biaya marjinalnya, 2,65 x 1000 = Rp.2650 pada x=1000Dari hasil di atas, dibutuhkan Rp.6150 untuk memproduksi 1000 barang pertama dan membutuhkan Rp. 2,65 untuk membuat 1 barang  setelah barang yang ke 1000, hanya dibutuhkan Rp. 2650 untuk membuat 1000 barang yang sama.

Contoh Soal dan Pembahasannya

3. Jumlah dua bilangan adalah 75. Tentukan kedua bilangan itu agar hasil perkaliannya maksimum.Jawab :Misalnya kedua bilangan itu adalah x dan y dan hasil kalinya P.Berdasarkan soal itu, makax + y = 75 = 75 – y

P = xy P = (75-y)yP= 75y – y2

Kemudian akan kita cari nilai ekstremnya dengan menyatakan turunan fungsi P dengan nol.

Contoh Soal dan Pembahasannya

0. 75 – 2y = 0 2y = 75 y = 37,5Jadi, diperloleh nilai x = 75 – y = 75 – 37,5 = 37,5Dengan demikian, untuk x = 37,5 dan y = 37,5, diperoleh hasil perkalian yang maksimum.

Contoh Soal dan Pembahasannya

4. Diketahui suatu persegi panjang dengan keliling 200 cm. Tentukan berapa ukuran panjang dan lebar yang maksimum.Jawab :K = 2p + 2l200 = 2p + 2l p = 100 – lLuasnya L=pl = (100-l)l = 100l – l2 Selanjutnya dicari nilai ekstremnya dengan L = 0 100 – 2l = 0 I = 50

p = 100 – l = 100 – 50 = 50 maka p=l=50 cm