11

DR. DR. ANUAR ANUAR MOHD MOHD ISHAKISHAKNo. No. BilikBilik : : 21112111, , BangunanBangunan PPSMPPSM

No. TelNo. Tel : : 0303--8921892157565756

EE--melmel :: anuar_mianuar_mi@ukm.my@ukm.my

STQM1923STQM1923

TEKNIK MATEMATIK IITEKNIK MATEMATIK IIMATHEMATICAL TECHNIQUES IIMATHEMATICAL TECHNIQUES II

KULIAH (Set 2):

Isnin : 1:00 – 2:00 pm (1 jam) - DKG126G

Khamis: 5:00 – 7:00 pm (2 jam) - DKG126G

22

KKANDUNGANANDUNGAN KURSUSKURSUS

1).1). MMatriksatriks dandan SSistemistem PPersamaanersamaan LLinearinear

2). 2). VVektorektor

3). 3). NNilaiilai EEigenigen dandan VVektorektor EEigenigen

4). 4). PPenjelmaanenjelmaan LLinearinear

5). 5). PPenjelmaanenjelmaan LLaplaceaplace

6). 6). SSiriiri FFourierourier

7). 7). FFungsiungsi BBernilaiernilai VVektorektor

8). 8). KKamiranamiran GGarisaris dandan PPermukaanermukaan

33

PPENILAIANENILAIAN

KuizKuiz: 10%: 10%

TugasanTugasan: 10%: 10%

UjianUjian MidSemMidSem 30%30%

Pep. Pep. AkhirAkhir 50%50%

44

RUJUKAN

1. Stephenson, G. 1989. Kaedah Matematik Untuk Pelajar Sains. Terj.

Hafsah Abd. Majid & Muriati Mokhtar. Kuala Lumpur: Dewan Bahasa dan

Pustaka

2. Weltner, K. et al. 1992. Matematik Untuk Jurutera dan Ahli Sains. Terj.

Abu Bakar Mohamad et al. Kuala Lumpur: Dewan Bahasa dan Pustaka.

3. Peter, V. O. 2003. Advanced Engineering Mathematics 5th Ed. Thomson

Books/cole, UK.

4. Thomas, G. B. 1998. Calculus With Analytic Geometry, Ed. Ke-9. New

York. Addison Wesley.

**Sebarang buku Linear Algebra dan Asas Kalkulus yang terdapat dalam

pasaran masa kini adalah sesuai untuk dijadikan sebagai rujukan bagi

kursus ini .

55

TOPIK 1:TOPIK 1:

MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN

LINEARLINEAR(Matrices and Systems of Linear Equations)(Matrices and Systems of Linear Equations)

1.1 MATRIKS

1.2 OPERASI MATRIKS

1.3 MATRIKS TRANSPOSISI

1.4 PENENTU MATRIKS

1.5 MATRIKS SONGSANG

1.6 MINOR, KOFAKTOR, MATRIKS DAMPINGAN

1.7 PENYELESAIAN SIST. PERS. LINEAR

66

1.1 1.1 MATRIKS (MATRIKS (MatricesMatrices))

Matriks ialah satu set objek/unsur (elements) yg

disusun dlm baris(row) dan lajur(column) supaya

membentuk segiempat tepat.

1 1 1

1 22 23 2

1

1

2

1 2 3

n2 3 ×m

...

...A

...

n

n

nmm m m

a a a a

a a a a

a a a a

=

⋮

Bil. lajur = n

nm×i ja =

Bil. baris = m

Saiz matriks

baris X lajur

77

Contoh 1.1.1:

Matriks nyata (Real Matrix)

2 3

1 0 3

2 0.3 4×

−

Contoh 1.1.2:

Matriks kompleks (Complex Matrix)

3 3

15 8 6 2

3 1 2 0

1 1 4

i i

i i

i i×

− − + − −

88

Matriks segi empat sama ⇒ unsur adalah

unsur pepenjuru utama (main diagonal entries).iia

4×4

2 5 0

3 4 1

5 1 3

0

1

0

32

2

4

−

−

−

−

unsur pepenjuru utam -1, -2,a ialah 0 dan 3

1−2−

0

3

Jika m = n maka matriks berbentuk segi empat sama

(square matrix)

Contoh 1.1.3

99

4 1

1

2

3

4×

Matriks yg mempunyai satu lajur (bersaiz m x 1)juga

disebut vektor lajur (column vector)

MMatriks yg mempunyai satu baris ( bersaiz 1 x n)

juga disebut vektor baris (row vector)

Contoh 1.1.4

[ -1 0 2 4 ]1x4

Contoh 1.1.5

1010

1.1.1 Matriks Identiti (Identity Matrix)

Simbol : :

1 0 0 ... 0

0 1 0 ... 0

0 0 0 ... 1n n

I

×

=

⋮

Matriks segi

empat sama dgn

unsur pepenjuru

utama ‘1’ dan

selainnya ‘0’.

i j m na

× = yg 1 utk

0 utk

i j

ij

a i j

a i j

= =

= ≠

1111

1.1.2 Matriks Sifar (Zero Matrix)

Simbol: 0

0 0 0 ... 0

0 0 0 ... 0

0 0 0 ... 0n n×

=

⋮

Matriks dgn semua unsur sifar, ‘0’

1212

i) Matriks Segi Tiga Atas (Upper Triangular Matrix)

4 4

1

2

3

4

0

0 0

0 0

3

3 4

0

2 4

4

×

. . dgn utk s0 emuaii jj a ii e a j = >

Matriks segi empat sama dgn unsur di bawah

pepenjuru utama adalah ‘0’

1.1.3 Matriks Segi Tiga (Triangular Matrices)

Contoh 1.1.6

1313

4 4

1

2

3

4

1

1 2

1 2

0

0 0

3

0 0

0

×

. . dgn utk s0 emuaii jj a ii e a j = <

ii) Matriks Segi Tiga Bawah (Lower Triangular Matrix)

Matriks segi empat sama dgn unsur di atas

pepenjuru utama adalah ‘0’

Contoh 1.1.7

1414

1.2 OPERASI MATRIKS (Matrix Algebra)

1.2.1 Penambahan Matriks (Matrix Addition)

Jika danA Bij m n ij m na b

×× = = BA+

m niij jba×

⇒ = +

2 2 33

1 6 4

8 7 5

1 2 3

4 0 2××

− − − +

− 2 3×

=

Tambahkan unsur-unsur sepadan

0 8 1

4 7 3− −

Contoh 1.2.1

Operasi Penambahan matriks

berlaku utk matriks yg bersaiz sama

1515

Jika dan skalarA ij m na α

× =

Aij m naα α

× ⇒ =

2 2

2

2

1

s3

in

x

x x×

−

2

2

2 2

3 3

3 n3si

x

x x×

= −

1.2.2 Pendaraban Skalar

(Product of a Matrix and a Scalar)

Contoh 1.2.2

1616

BAm pijc ×

⇒ =

1

1 21 2yang ...j j nkik i i

n

nkj

k

iij a a abb abc b=

= = + + +∑

m × n pn×BA

sama

saiz AB

m×pAB=

1.2.3 Pendaraban Matriks (Multiplication of Matrices)

Jika danA Bij m n ij n pa b

×× = =

Operasi pendaraban berlaku/tertakrif jika bil.lajur

matriks pertama(A) adalah sama dgn bil. baris

matriks kedua (B).

1717

ContohContoh 1.2.31.2.3

11

11 33

2 2 15 4)

1 6

=

+ 7 4 15

12 7 26

=

1 1 3

2 12)

4

1 3

2 5

saiz saiz2 23 2× ×tak sama

1 3 3 12

2 10 2 5 6 20

+ +

+ + +

Operasi pendaraban tak memenuhi hukum kalis

tukar tertib (noncommutative ) iaituAB AB≠

Operasi pendaraban tidak tertakrif

(tak berlaku)

1818

Contoh 1.2.4

3 4 5

a) 1

1 0 2

3 0 0 1

3

9 6 9

25 14 20

56

1 2

92 1 20 5 2

=

15 29 24

10

1 0 2

3 1 2 5 22

6 11 10 5 2

3 4 5

b) 10 0 1

3 1 2 2

=

1919

SimbolSimbol ( )( )TT

SalingSaling tukartukar barisbaris dengandengan lajurlajur

4 2

P

0 4

3 2

1

1

2

8

×

=

−

−

T

2 4

2 01

4

3

38 1P

×−

⇒ =

−

saiz

1.3 Matriks Transposisi (Transpose of Matrix)

Contoh 1.3.1

2020

T Ti) (A ) = A

T T Tii) (A+B) = A +B

T T Tiii) ( B) = BA A

T Tiv) ( A) = A ; α skalarα α

Sifat-sifat Matriks Transposisi

T T T( ) =AB BA

2121

Bagi suatu matriks Anxn

A AT =

Jika maka A adalah

matriks pencong (skew matrix).

A AT = −

Jika maka A adalah matriks

simetri (symmetric matrix).

Contoh 1.3.2 ???

fikirkan

2222

Penentu matriks ialah suatu nilai nyata

Penentu wujud bagi matriks segi empat sama

Simbol: , pen ( ) atau det ( )

a bA

c d

=

pen(A)a b

c d⇒ =

7 2

3 1A

− =

26

3pen(A

7( ) 3

1) 7 1⇒ = = −− =

−

1.4 PENENTU MATRIKS (DETERMINANT)

1.4.1 Penentu matriks 2 x 2:

bad c= −

Contoh 1.4.1

2323

Teorem:

Andaikan matriks segi empat sama.

Penentu bagi A boleh didapati dgn mengambil

pengembangan Laplace pd baris ke – i atau lajur

ke -j

ij n×nA= a

Nota:tanda kedudukan (sign diagr

alternate sig

am)

...

...

...

+

n

+

+

− − − − − −

+

+ +

⋮

1.4.2 Matriks bersaiz besar ( ≥≥≥≥ 3 x 3)

2424

Contoh 1.4.2

Pen(P) Pen(P)

1 2 3

P 4 5 6

7 8 0

− = − −

4 5 6

7

1 3

8

2

0

= −

−

−

Pengembangan Laplace

pd baris pertama

Tanda kedudukan

+ - +

1 ( 2) 3−= + − +5 6

8 0

− 4 6

7 0−4 5

7 8

−

−

48 ( )2 3(34 2 3 )52= −− + + 27=

2525

1 2 3

7 8 0

4P 5 6−

−

=

−

Pengembangan Laplace

pd baris ke-2

Tanda kedudukan (- + -)

4 ( 5) 6−= − + −2 3

8 0

− 1 3

7 0−

1 2

7 8

−

−

2 8 14( 24) (5 ( )1)4 6= − −− − −

atau

27=

2626

1 2

P 4

3

0

5

7 8

6

−

= −

−

3 6 0= − +

Pengembangan Laplace

pd lajur ke 3.

Tanda kedudukan (+ - +)

4 5

7 8

−

−1 2

7 8

−

−

(32 35) (83 )6 14−= − −

atau

27=

2727

Takrif:

Suatu matriks Anxn boleh songsang (tak singular)

jika wujud suatu matriks Bnxn sehinggakan

= = , matriks ideB B nA tA ti iI I

-1Aiaitu =B

=A B I⇒ B A= I

1.5 SONGSANGAN MATRIKS (INVERSE MATRIX)

Matriks B adalah songsangan matriks A

-1A-1A

Songsangan yang wujud adalah unik

2828

Aa

d

b

c

=

-1A1

songsanganA, A

i.e.d

a

b

c

=

−

−

Tukar kedudukan

Tukar

tanda

penentu2 1B

4 3

− =

-1

6 ( 4)

3

4

1 1B

2

−

⇒−

=−

3 1

4 21

1

0

=

−

1.5.1 Mendapatkan songsangan Matriks 2x2

Contoh 1.5.1

2929

1.5.2 Matriks yang bersaiz lebih besar (≥≥≥≥3x3)

Kaedah Penghapusan Gauss-Jordan

(Gauss(Gauss--Jordan elimination Method)Jordan elimination Method)

A I -1AI

OBP (ERO)

Matriks imbuhan

(Augmented Matrix)

A dan I, Identiti

Operasi Baris

Permulaan

Elementary Row

Operations

OBP:

ERO:

3030

-1

1 1 0

A 2 3 2 , dapatkan A .

2 0 1

− = − −

1 1 0

A 2 3

1 0 0

0 12

2

0

1

.

00 1 0

I

=

−

−

−

Matriks Imbuhan (Augmented Matrix)

Lakukan

proses

OBP !!

Contoh 1.5.2

3131

1 1 0

A 2 3

1 0 0

2 0 1 0

0 0 12 0 1

I

=

−

−

−

1 1 0 1 0 0 −

2 2 1B :B -2B

0 5 2 2 1 0− −3 3 1B :B +2B

0 2 1 2 0 1−

1 1 0 1 0 0

0 5 2 2 1 0

− − −

00 1 6 2 5

3 2 2B :5B +2B

0 0 1 6 2 5

0

0

1 1 1 0 0−2 2 3

B :B +2B

0 5 10 5 10

5 0 0 15 5

0 5 0 10 5 10

0 0 1 6 2 5

10

1 1 2B :5B +B31 10 0 2

20 1 0

0

1 2

6 2 50 1

151B ( )

152B ( )

1AI− ≅ 3232

sonsangan A ialah -1

3 1 2

2 1 2

6 2 5

A

=

semak:

-1

1 1 0

A 2 3 2

2 0 1

A

− = − −

3 1 2

2 1 2

6 2 5

1 0 0

0 1 0 I

0 0 1

= =

3333

Andaikan A matriks segi empat sama, Minor,

ialah penentu matriks A dgn mengabaikan baris

ke i dan lajur ke j

ijM

ijij

i+j =(-1 M)C

11 12 1

21 22 21

1 2

C ...

..=

.

...

n

n n nn

C C

C C C

C C C

M

1.6 MINOR, KOFAKTOR, MATRIKS DAMPINGAN

(Minor, Cofactor, Adjoin Matrix)

Matriks Kofaktor:

Simbol: C(A)

Manakala Kofaktor:

3434

11 12 1

21 22 21

T

1 2

C ...

...

.

..

=

n

n n nn

C C

C C C

C C C

M

Matriks Dampingan (Adjoin Matrix)

Simbol: Damp(A) = Adj (A)

3535

Peny:

1 4 5

P 8 7 3

4 9 6

=

11

7 3

9 6M = 7(6) 3 15(9)= − =

12

8 3

4 6M = 8(6) 3 36(4)= − =

13

8 7

4 9

8

4

72 2

4

M =

= −

=

Contoh 1.6.1

Cari Minor, kofaktor dan matriks dampingan bagi

1 4 5

P 8 7 3

4 9 6

=

3636

33

1 4

827

7M = = −

32

1 5

837

3M = = −

31

4 5

723

3M = = −

23

1 47

4 9M = = −

22

1 5

414

6M = = −

21

4 524 45

9 621M = = − =

ijM(P)= M

15 36 44

21 14 7

23 37 27

= − − − − − −

Matriks Minor

3737

2

11 11C =(-1) M 15=3

12 12C =(-1) M 36=−4

13 13C =(-1) M 44=

3

21 21C =(-1) M 21=4

22 22C =(-1) M 14=−

5

23 23C =(-1) M 7=4

31 31C =(-1) M 23=−

5

32 32C =(-1) M 37=

6

33 33C =(-1) M 27=−

ijij

i+j =(-1 M)CKofaktor:

ijC(P)= C

15 36 44

21 14 7

23 37 27

−

= − − − −

Matriks Kofaktor

3838

ij

T

damp(P) = C

Matriks Dampingan

15 21 23

36 14 37

44 7 25

− = − − −

15 36 44

21 14 7

23 37 27

T−

= − − − −

3939

SongsanganSongsangan matriksmatriks jugajuga bolehboleh diperolehdiperoleh dgndgn

menggunakanmenggunakan rumusrumus berikutberikut::

[ ]-1 damA

1A = p(A)

1.6.1 Menentukan songsangan menggunakan

matriks dampingan

4040

15 21 23

36 14 37

44 7

damp(P)=

25

− − − −

⇒

1 4 5

P 8 7 3

4 9 6

=

Contoh 1.6.2:

1 4 5

P 8 7 3 91

4 9 6

= =

Dari Contoh 1.6.1

Cuba

sendiri

4141

Maka songsangan P ialah

[ ]-1 damP

1P = p(P)

15 21 23

36 14 37

44 7 2

1

915

− − − −

=

Semak:

-1

1 4 5

8 7 3

69

1

1PP

4 9

=

15 21 23

36 14 37

44 7 25

− − − −

1 0 0

0 1 0 I

0 0 1

= =

4242

1.7 SISTEM PERSAMAAN LINEAR(SPL)

(System of Linear Equations)

Bentuk am SPL dgn n pemboleh ubah adalah

1

2

1 1 2

1

1 12 1

21 22 22

21 1 2

...

...

...

n

n

m m m

n

m

n

nn

a a a

a

x x x

x x x

x

a a

a a a

b

x

b

x b

+ + + =

+ + + =

+ + + =

M

4343

SPL ditulis dlm bentuk matriks sebagai

11 12 1

21 22 2

1 2

1

2

1

2

...

...

...

n

n

m m mn n m

b

b

a a a

a a a

a a a

x

x

x b

=

MM M

A X = B

Jika B = 0

sistem

homogen

Matriks Pekali

(coefficient Matrix)

Jika B ≠ 0 sistem tak

homogen

4444

1.7.1 Matriks Imbuhan ( Augmented Matrix)

Iaitu :

11 12 1

21 22

2

1

2

1

2

...

...

...

n

n

m mn mm

a a a

a a a

a a a

b

b

b

MM

matriks pekali

14243

Dipisah oleh

garis

4545

1.7.2 Bilangan Penyelesaian Bagi SPL

a)a) HanyaHanya satusatu penyelesaianpenyelesaian ((unikunik), SPL ), SPL

dikatakandikatakan konsistenkonsisten ((consistent systemconsistent system).).

b)b) BanyakBanyak penyelesaianpenyelesaian ((taktak terhinggaterhingga), SPL ), SPL

dikatakandikatakan konsistenkonsisten ((consistent systemconsistent system))

c)c) TiadaTiada penyelesaianpenyelesaian, SPL , SPL dikatakandikatakan taktak

konsistenkonsisten ((inconsistent systeminconsistent system))

4646

1.7.3 Teknik-teknik Penyelesaian SPL

a)a) KaedahKaedah matriksmatriks songsangsongsang ( Using the inverse ( Using the inverse

matrix method)matrix method)

b)b) KaedahKaedah PenghapusanPenghapusan GaussGauss (Gaussian (Gaussian

elimination method)elimination method)

c)c) KaedahKaedah PenghapusanPenghapusan GaussGauss--Jordan (GaussJordan (Gauss--

Jordan elimination method)Jordan elimination method)

d)d) PetuaPetua CramerCramer (Cramer(Cramer’’s Rule)s Rule)

4747

SPL : A X = B-1 -1A =A AX B

-1BX = AI

Darabkan A-1

di sebelah kiri

A-1A = I

-1

1

2

maka penyelesaian diberi oleh

=X BA

n

x

x

x

=

M

Syarat:

songsangan

bagi A wujud

a) Kaedah Matriks Songsang (Inverse Matrix Method)

-1X = A B

X =??

4848

b) Kaedah Penghapusan Gauss

(Gaussian Elimination Method)

Tuliskan bentuk matriks imbuhan dari SPL

Gunakan Operasi baris Permulaan(OBP) utk

menjelmakan SPL dlm bentuk eselon baris

/matriks segitiga atas.

*B A *A BOBP →

Penyelesaian diperoleh dgn kaedah

penggantian dari belakang

4949

c) Kaedah penghapusan Gauss-Jordan

(Gauss-Jordan Elimination Method)

LanjutanLanjutan daridari kaedahkaedah PenghapusanPenghapusan GaussGauss

TeruskanTeruskan prosesproses OBP OBP sehinggasehingga mendapatmendapat

matriksmatriks identitiidentiti

BA B I 'OBP →

PenyelesaianPenyelesaian diberikandiberikan oleholeh BB’’

5050

d) Kaedah Petua Cramer (Cramer’s Rule)

Bagi SPL AX = B dgn A matriks pekali

Jika penentu A tidak sifar ( pen(A) ≠ 0 )

maka penyelesaian SPL diberi oleh rumus

kk Apen(A )

pen (A) Akx = =

Dgn Ak , k = 1,2,3… ialah matriks yg diperoleh

drpd matriks pekali dgn lajur ke- k diganti dgn

matriks B

5151

Contoh 1.7.1

Selesaikan sistem persamaan linear di bawah

MenggunakanMenggunakan

a)a) MatriksMatriks songsangsongsang

b)b) KaedahKaedah GaussGauss

c)c) KaedahKaedah GaussGauss--JordanJordan

d)d) PetuaPetua CramerCramer

2 3 9

3 4

2 5 5 17

x y z

x y

x y z

− + =

− + =−

− + =

5252

2 3 9

3 4

2 5 5 17

x y z

x y

x y z

− + =

− + =−

− + =

1 2 3

1 3 0

2 5

9

4

145

x

y

z

− −

⇒ −

= −

A X = B

1

AX = B

X BA−⇒ =A-1=??

a) Menggunakan Matriks Songsang

SPL tak homogen

5353

1 1 3,peny: danx y z= =− =

1

1

3

−

=

15 5 92 2 2

5 312 2 2

1 12 2

9

1

4

17

x

y

z

− −

−−

−

−

=

Rujuk 1.5.2 dan 1.6.1 utk mendapat songsangan A

15 5 92 2 2

1 5 312 2 2

1 12 2 1

A

− −

− −−

−

⇒ = 1maka X A B−=

Penyelesaian

unik

5454

b) Penyelesaian menggunakan Kaedah Gauss

( )9

B 4

1 2 3

A 1 3

1

0

2 75 5

− = −

−

−

91 2 3 −

2 2 1B :B +B→ 0 1 3 53 3 1B :B -2B

0 1 1 1− − −

1 2 3

0 1

9

3 5

−

3 3 2B :B +B

0 0 2 4

2 4 2z z= ⇒ =3 5

5 1(2)3

y

y

z+ =

⇒ = − −=

1

2 3 9

9 2 6

x y z

x

− + =

⇒ = − − =

5555

c) Kaedah Penghapusan Gauss-Jordan

( )9

B 4

1 2 3

A 1 3

1

0

2 75 5

−= − −

−

1 2 3

0 1

9

3 5

−

dr Gauss

0 0 2 4

teruskan proses OBP sehingga mendapat identiti

2 4 0

0

6

2 4

2 0 2

0 0

→

−

−

1 1 3B :2B -3B

2 2 3B :2B -3B 0

2 0 0 2

2 0 2

0 0 2 4

→ −

1 1 3B :B +2B

5656

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1

1

2

−

11 2

12 2

13 3

B ( )

B ( )

B ( )

*I B≈

1, -1 maka penyelesaian 2danx y z= = =

5757

d) Petua Cramer1 2 3

matriks pekali, A 1 3 0

2 5 5

− = − −

penentu A3 0 1 0 1 3

( 2) 35 5 2 5 2 5

15 0 3

A

1

2

− −= − − +− −

= − −

=

5858

9

4

17

2 3

A 3 0

5 5

x

− = −

−

Lajur pertama matriks A

diganti dgn matriks B

Amaka

A

xx =

2 3

Oleh itu A 3 0 2

5

9

4

517

x −

−

= =

−

12

2= =

Kira sendiri

5959

SambSamb::

9

4

1

1 3

A 1 0

2 57

y

− = −

2yA⇒ = −

Am ka

21

A

2a

yy = = = −

−

1 2

A 1 3

2 5

9

4

17

z

− = −

−

zA 4⇒ =4

maka 2A

2A

zz = = =

Lajur ke-2 matriks A

diganti dgn matriks B

Lajur ke-3 matriks A diganti dgn matriks B

6060

Contoh 1.7.2

Selesaikan SPL berikut:

2 5 0

4 0

8 0

y z w

x y w

y z w

+ + =

+ − =

− − =Peny:

0 2 1 5 0

1 1 0 4 0

0 1 1 8 0

x

y

z

w

− = − −

Sistem

homogen

6161

0 2 1 5 0

1 1 0 4 0

0 1 1 8 0

− − −

1 1 0 4 0

0 2 1 5 0

0 1 1 8 0

− → − −

1 2B B⇔

1 1 0 4 0

0 2 1 5 0

0 0 3 21 0

− → − −

3 3 2B : 2B B−

3 21 0

7

z w

z w

− − =

⇒ = −

2 5 0y z w+ + =7w−

y w⇒ =

4 0x y w+ − =

3x w⇒ =

6262

Peny: 3x w= y w= 7z w= −

Set penyelesaian yg tak terhingga

Misalkan 1 3, 1, 7w x y z= ⇒ = = = −

Misalkan 3 9, 3, 21w x y z= ⇒ = = = −

6363

2y Ax Bx C⇒ = + +

ContohContoh 1.7.3 (1.7.3 (AplikasiAplikasi)) ::

DapatkanDapatkan persamaanpersamaan parabolaparabola ygyg bersimetribersimetri paksipaksi

tegaktegak dandan melaluimelalui titiktitik--titiktitik ((--1,7) , (1,1,7) , (1,--1) 1) dandan (2,(2,--2).2).

PenyPeny::

Persamaan parabola

( ) ( ) ( )( )( )

2, : 7

, : 1

, :

7

4 2 2

1

2

1 71

2

11

A B C A B C

A B C

A B C

+ + =− − → − + =

+ + = −

+

−

+

−

= −− Gantikan setiap

titik ke dlm pers.

parabola

6464

SPL : 7

1

4 2 2

A B C

A B C

A B C

− + =

+ + = −

+ + = −

3 3

2 2 1

1: 4

:0 2

1 1 1 7 1 1

0 6 3 30

0

1 7

1 1 1 1

4 2 1 2

8B

B B

B B

B−−

− − − → − −

−

−

PenyelesaianPenyelesaian dgndgn KaedahKaedah PenghapusanPenghapusan GaussGauss

2 2

1:2

1 1 1 7

0 6

0 1 0 4

3 30

B B

− →

− −

−

6565

3 3 2: 6

1 1 1 7 1 1 1 7

0 1 0 4 0

0 0 3 6

1 0 4

0 6 3 30

B B B−

− − − → − − − − −

2 4 2y x x= − +

DgnDgn menggunakanmenggunakan penggantianpenggantian keke belakangbelakang, ,

PenyelesaianPenyelesaian ( ( 11, , --44, 2, 2) ) diperolehdiperoleh ((PenyelesaianPenyelesaian unikunik).).

MakaMaka, , persamaanpersamaan parabola parabola adalahadalah

Dengan itu :

4

3

1 7 1

6

4

2

1B

A

B

C C

B AC

− = − → =

= − → =

− + = → =

−

6666

V= IR ∑ ∑

Contoh 1.7.4

Perhatikan litar elektrik berikut, gunakan hukum

Kirchoff utk menentukan arus I1, I2 dan I3 yg

mengalir pada litar tersebut

Hukum Kirchoff

1)Jumlah arus yg memasuki satu simpang (node)

= jumlah arus yang keluar dari simpang itu.

2)Dlm litar tertutup, jumlah DGE (Voltage) = jumlah

arus didarab rintangan.

6767

a

b

6V

5Ω

10Ω 3Ω

1I 2I

3I

1 2 3di node :a I I I= +1 2 3 0 ....(1)I I I− − =⇒

L1

1 1 2 2Loop 1: V I R I R= +

1 25 36 I I= + 1 25 3 6 ....(2)I I+ =⇒

L2

1 35Lo : 6 1op 2 0I I= + 1 35 10 6 ....(3)I I+ =⇒

Sistem persamaan Linear

6868

1

2

1

2

1 3

3

0SP

5 3

:

1

L

5 0 6

6I I

I

I I

I

I

+

+

=

− =

=

−1

2

3

1 1 1

5 3 0

5 0 10

0

6

6

I

I

I

=

− − ⇒

Menggunakan Petua Cramer

1 -1 -1

A= 5 3 0

5 0 10

95A⇒ =

1

-1 -1

A = 3 0

0

0

6

6 10

1 78A⇒ =

2

1 -1

A = 5 0

5 1

0

6

6 0

2 60A⇒ =

33

1 -1

A = 5 3 6

5 0 6

18

0

A

⇒

=

6969

1

1

Peny:

780.82

95AA

AI = = ≈

2

2

60 120.63

95 19I

AA

A= = = ≈

3

3

180.19

95

AI A

A= = ≈

7070

TERIMA KASIH

(Nota asal disediakan oleh Pn. Alawiah Ibrahim)