BAB I - Dwipurnomoikipbu's Blog | Just another … · Web viewSuatu kotak alasnya persegi dengan...

BAB IITURUNAN PARSIAL

2.1 Fungsi dua Peubah atau Lebih

Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit. Jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit, maka penulisannya secara umum dinyatakan dengan . Sebaliknya jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk implisit, maka penulisannya dinyatakan dengan

Contoh:1.2.

3.

4.5.

6.

7.

Berdasarkan contoh di atas, fungsi yang ditulis dalam bentuk eksplisit adalah 1,2, dan 3. Sedangkan contoh 4, 5, 6, dan 7 adalah fungsi yang ditulis dalam bentuk implisit. Semua fungsi dalam bentuk eksplisit dengan mudah dapat dinyatakan dalam bentuk implisit. Akan tetapi tidak semua fungsi dalam bentuk implisit dapat dinyatakan dalam bentuk eksplisit.

Untuk menggambar kurva fungsi dua peubah dapat dengan membuat sumbu-sumbu koordinat, yaitu sumbu x, sumbu y, dan sumbu z, sehingga pada sumbu tersebut membentuk ruang dan masing-masing ruang disebut oktan .

.

Oktan I adalah ruang dengan x>0, y>, dan z>0Oktan II adalah ruang dengan x>0, y<0, dan z>0Oktan III adalah ruang denganx<0, y<0, dan z>0Oktan IV adalah ruang dengan x<0, y>0, dan z>0Oktan V adalah ruang dengan x>0, y>, dan z<0Oktan VI adalah ruang dengan x>0, y<0, dan z<0Oktan VII adalah ruang denganx<0, y<0, dan z<0Oktan VIII adalah ruang dengan x<0, y>0, dan z<0Berdasarkan oktan-oktan tersebut, dapat digambarkan sebarang titik P(x ,y ,z ) atau kurva ruang dengan persamaan Perhatikan gambar berikut.

Pada gambar di atas adalah sebarang titik pada oktan I, dengan menggunakan kaidah dan teorema Pythagoras dapat ditentukan panjang OP sebagai

Dengan cara yang sama, jika dan maka panjang PQ dinyatakan dengan

Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 23

Selanjutnya, misal maka dapat ditentukan gambar kurva ruang.

ContohDalam ruang dimensi tiga (R ) gambarlah kurva ruang Untuk menggambar kurva ruang dengan persamaan langkah yang ditempuh adalah menentukan titik potong kurva dengan masing-masing sumbu.Jika x = 0 dan y = 0 maka z = 12, hal ini berarti kurva ruang memotong sumbu z di titik (0,0.12)Jika y = 0, z = 0 maka x = 4, hal ini berarti kurva ruang memotong sumbu x dititik (4,0,0).Jika x = 0, z = 0 maka y = 3, hal ini berarti kurva ruang memotong sumbu y dititik (0,3,0).Sehingga diperoleh:

Gambar di atas, adalah kurva ruang di oktan I. Kurva ruang di oktan yang lain dibayangkan sebagai ruang maya.Sebagai latihan bagi pembaca, gambarlah kurva ruang dengan persamaan:1)2)


3) 4)5)6)

2.2 Turunan Parsial Fungsi Dua atau lebih Misal adalah fungsi dengan variabel bebas x dan y.

Karena x dan y variable bebas maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu:

1. y dianggap tetap, sedangkan x berubah-ubah.2. x dianggap tetap, sedangkan y berubah-ubah3. x dan y berubah bersama-sama sekaligus.

Pada kasus 1 dan 2 diatas mengakibatkan fungsinya menjadi fungsi satu peubah, sehingga fungsi tersebut dapat diturunkan dengan menggunakan definisi turunan pertama yang telah dipelajari pada kalkulus diferensial.Definisi Misal adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada interval tertentu, turunan parsial pertama z terhadap x dan y

dinotasikan dengan dan dan didefinisikan oleh

, asalkan limitnya ada

dan

, asalkan limitnya ada

Contoh :1 Tentukan

dan dari


Jawab

.

.


2 Tentukan

dan dari

Jawab


Untuk memudahkan dalam menentukan turunan parcial dapat

dilakukan dengan menggunakan metode sederhana sebagai berikut.

Andaikan maka untuk menentukan sama artinya dengan

menurunkan variabel x dan variabel y dianggap konstan dan

selanjutnya y diturunkan. Demikian pula untuk menentukan sama

artinya dengan menurukan variable y dan variable x dianggap konstant lalu diturunkan.

Dengan cara yang sama, andaikan adalah fungsi tiga peubah yang terdefinisi dalam selang tertentu maka turunan

parsial pertama dinyatakan dengan , dan yang secara

berturut didefinisikan oleh:


Asalkan limitnya ada.Selain menggunakan definisi di atas, maka turunan parsial fungsi dua peubah juga dapat dilakukan dengan metode sederhana.

Misal , berarti x adalah variable dan y konstanta

sedangkan berarti y variabel dan x konstanta. Demikian pula,

misal berarti x adalah variabel y dan z adalah

konstanta. berarti y variabel x dan z adalah konstanta.

berarti z variabel x dan y adalah kosntanta.

Contoh:

1. Ditentukan

Carilah turunan parsial pertamanya. Dengan metode sederhana didapat

a.

b.


c.

Sebagai latihan bagi pembaca tentukan turunan persial pertama fungsi-fungsi di bawah ini:1.2.

3.

4.

5.

6.7.8.

9.

Berdasarkan turunan parsial pertama fungsi dua peubah atau lebih dapat ditentukan turunan parsial ke n untuk n 2. Turunan parsial tersebut dinamakan turunan parsial tingkat tinggi.Dengan menggunakan analogi fungsi satu peubah dapat ditentukan turunan parsial tingkat 2, 3 dan seterusnya.Jadi andaikan maka:

Turunan parsial tingkat dua adalah

Demikian pula, jika Turunan parsial tingkat dua adalah


Demikian seterusnya. Banyaknya turunan tingkat ditentukan oleh rumus m , dimana m banyaknya variabel dan n menunjukkan turunan ke-nContoh

1 Tentukan

dan dari fungsi

Jawab

,diperoleh

Sehingga

Dan

2 Tentukan

dan dari fungsi


Jawab

Dari,diperoleh

Sehingga

dan

Dengan cara yang sama dapat dicari

Soal-soal

Tentukan fungsi-fungsi berikut:

1) 2)3)

4)

5)

6)


7)

8)

9)

22

2sin2cosyx

xyz

10)

2.3 Differensial TotalMisal adalah suatu fungsi yang dapat diturunkan

terhadap variable x dan y. Secara berturut-turut dapat diperoleh turunan parisal terhadap x dan turunan parsial terhadap y. Keduanya dinyatakan oleh:

------------- (1) dan

------------- (2)

Dari (1) dan (2) diperoleh:

dan

Jumlah diferensialnya diperoleh:

Bentuk di atas disebut diferensial total.Dengan demikian jika ,maka diferensial totalnya adalah:

Analog, jika maka diferensial totalnya adalah:

Contoh.1 Tentukan diferensial total fungsi


Jawab

sehingga diferensial total fungsi adalah

2 Tentukan turunan parsial fungsi

Jawab

sehingga diferensial total fungsi adalah

3 Dengan menggunakan diferensial total, hitunglah


JawabLangkah pertama yang harus ditetapkan fungsinya, dalam hal

Pilih x = 2, y = 2 dan z = 1 sehingga W = = 3 Karena akan dihitung maka: x + = 2,01 sehingga x + = 1,99 sehingga x + = 0,97 sehingga dengan menggunakan definisi diferensial total W = F(x,y,z) maka

= -0,01Akhirnya diperoleh = 3 + (-0,01) = 2,99

4 Suatu segitiga siku-siku panjang sisi-sisi penyikunya 15 cm dan

20 cm. Bila sisi panjang dipendekkan dan kaki pendek

dipanjangkan . Dengan menggunakan differensial tentukan

perubahan panjang sisi miringnya. JawabMisal x : sisi pendek, y : sisi panjang, dan r : sisi miring maka berlaku

. Berdasarkan definisi diferensial total diperoleh

dimana dr , dx , dx


didapat

Hal ini berarti sisi miring dipanjangkan

Soal-soal1) Dengan menggunakan diferensial total, hitunglah

a)b) Suatu tempat berbentuk kotak dengan dimensi 2,02 m, 1,97

m, dan 0,99 m. Dengan menggunakan differensial tentukan panjang diagonal ruang kotak tersebut.

c) Suatu kotak alasnya persegi dengan panjang sisi 8,005 dm dan tingginya 9,996 dm. Hitung volume dan luas permukaannya.

2) Dekatilah luas persegi panjang yang berdimensi 35,02 cm, 24,97 cm.

3) Daya yang dibutuhkan oleh resistor listrik dinyatakan dengan P=

watt. Jika E = 200 volt dan R = 8 Ohm. Dengan berapa besar

daya berubah jika E menyusut 5 volt dan R menyusut dengan 2 Ohm.


2.4 Turunan Total Misal dan F dapat diturunkan (differentiable).

Selanjutnya dimisalkan , x dan y adalah fungsi satu peubah yaitu peubah t yang dapat diturunkan. Maka adalah fungsi satu peubah, sehingga:

karena x =x(t) dan y=y(t) dapat diturunkan maka dapat ditentukan

sehingga

Bentuk di atas dinamakan turunan total dengan

Catatan

Pengertian ganda z, x, dan y pada

Pada , z berarti , Sedangkan , z berarti f(x,y).

Pada .

Andaikan adalah fungsi yang dapat diturunkan, dan misalkan

adalah fungsi dua peubah dan dapat diturunkan,

maka diferensial totalnya adalah

Karena dan dapat diturunkan, maka dapat

ditentukan dan

Sehingga turunan total adalah


Dengan cara yang sama diperoleh 1. Jika maka turunan totalnya

adalah:

2. Jika maka turunan parsialnya adalah:

dan

ContohTentukan turunan total fungsi-fungs berkut.

1)

Jawab Turunan total fungsi di atas adalah:

2)

JawabTurunan total fungsi di atas adalah


3) Suatu tempat berbentuk silinder (tabung) dengan jari-jari alasnya

15 cm dan tingginya 20 cm. Karena pemuaian, tinggi slinder bertambah 0,5 cm/det dan jari-jarinya berkurang 1 cm/det. Hitunglah perubahan yang terjadi terhadap volume dan luas permukaan silinder.

Jawab.

Misal jari-jari tabung r, tinggi h dan volume I, maka

Diketahui r = 15 cm, h = 20 cm, ,

Dengan definisi turunan totaldengan r dan h bergantung pada waktu t, maka diperoleh


Soal-soal1. Tentukan turunan total fungsi berikut: a. z = Ln (x ) jika x = e y = e b. u = x jika x = , y =

2.5 Turunan Parsial Fungsi Implisit

Turunan parsial fungsi juga dapat dilakukan untuk fungsi-fungsi yang ditulis dalam bentuk implisit. Misal adalah fungsi implisit maka untuk menentukan turunan parsialnya dapat dilakukan dengan menggunakan kaidah diferensial totalfKarena maka Sehingga

= 0

Dengan membagi masing-masing bagian dengan dx, diperoleh:


Contoh

1) Tentukan bila diketahui

akan dicari , menurut definisi turunan total

2) Tentukan


Sebagaimana telah dibahas sebelumnya bahwa fungsi dua peubah secara implisit dinyatakan dengan .

Contoh 1.

2.

3. a. Turunan Fungsi Implisit 2 Peubah Fungsi Implisit 2 peubah secara umum dinyatakan dalam bentuk

Dengan menggunakan diferensial total Andaikan maka

Jika masing masing bagian dibagi dx akan diperoleh

Karena akan dicari turunan fungsi terhadap x, maka . Dan

karena fungsi lebih dari satu variabel maka turunan terhadap x

dinyatakan dengan , sehingga:


Dengan menurunkan terhadap z dan menentukan diperoleh

Dengan menurunkan terhadap y dan menentukan diperoleh

Sehingga turunan pertama fungsi implisit adalah

Contoh

1. Tentukan dari

Jawab Karena

Maka dan , sehingga menurut

definisi turunan fungsi implisit 2 peubah


2. Tentukan dari

Jawab

Karena

Maka dan

, sehingga menurut definisi turunan

fungsi implisit 3 peubah

3. Tentukan dari

Jawab Karena

Maka dan , sehingga menurut definisi

turunan fungsi implisit 3 peubah


b. Turunan parsial fungsi implisit 4 peubahBentuk umum fungsi impilisit 4 peubah dinyatakan dengan

Atau

Dimana variable x sejenis dengan y (berpasangan) dan variable u sejenis dengan v dan tidak dapat berdiri sendiri. Karena u dan v sejenis maka tidak dapat ditentukan

atau dan tidak dapat pula ditentukan atau

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.

Contoh 1. atau

2. atau

3. atau

Turunan Parsial fungsi implisit 4 variabel dilakukan dengan menggunakan metode eliminasi.


Bentuk umum , u,v variabel sejenis, x,y

variabel sejenis sehingga tidak dapat ditentukan .

Sehingga turunan parsial fungsi implisit yang dapat ditentukan adalah

Untuk menentukan turunan parsial 4 peubah, langkah ditempuh adalah menurunkan fungsi terhadap peubah yang dimaksud, lalu dari persamaan yang diperoleh gunakan metode eliminasi..

Contoh:

1. Tentukan dari

Jawab

Karena akan ditentukan maka tidak boleh

dilakukan

dengan menurunkan fungsi terhadap variabel x didapat

………………(1)

atau

dan

- …………(2)

atau

Selanjutnya dari (1) dan (2) dengan mengeliminasi didapat

(v)

(u)


didapat

atau

=


dilakukan

dengan menurunkan fungsi terhadap variabel u didapat

………………(1)

atau

dan

atau

………………(2)

Berdasarkan persamaan (1) dan (2), dengan metode eliminasi diperoleh

1 ................................... . (2y-x)

…………. (2y)

Didapat


Diperoleh

Berdasarkan jawaban di atas, jelaslah bahwa untuk fungsi implisit 4 peubah tidak berlaku hubungan

atau

2. Tentukan dari fungsi


dilakukan Selanjutnya dengan menurunkan fungsi

terhadap variabel y didapat

………………(1)

atau

dan

…………(2)

atau



(2)

(1)

didapat

5 atau


dilakukan Selanjutnya dengan menurunkan fungsi

terhadap variabel y didapat

………………(1)

atau

dan

…………(2)

atau


(1)

(2)

didapat


atau

Soal-soal1. Ditentukan fungsi

Tentukan:

a.

b.

2. Ditentukan Tentukan:

a.

b.

3. Jika Tentukan

a.

b.

c. Turunan Parsial Fungsi Implisit 6 peubah.Fungsi implisit 6 peubah, secara umum dinyatakan dalam bentuk:


u,v,dan w variable sejenis, sehingga tidak dapat ditentukan hasilnya

x,y, dan z variable sejenis, sehingga tidak dapat ditentukan hasilnya

Contoh fungsi 6 peubah:

Atau

Perhatikan beberapa contoh di bawah ini.

1. Tentukan dari

JawabPersamaan diturunkan terhadap u dan diperoleh

............................(1)

.......................(2)

...........................(3)

Karena akan ditentukan maka eliminasikan

dari persamaan (1), (2) dan (3)

Dari (1) dan (2) dengan mengeliminasi diperoleh:

(2y)

(1)


........(4)


(3y )

(1)

.(5)

Selanjutnya eliminasi dari persamaan (4) dan (5) diperoleh:

(2)

atau

Sehingga:

2. Tentukan dari

JawabPersamaan di atas diturunkan terhadap variable w dan diperoleh


............................(1)

...................(2)

................(3)

Karena akan ditentukan maka eliminasikan

dari persamaan (1), (2) dan (3)


…………(2x)

....... (1)

......

(4)

Selanjutnya dari (1) dan (3) dengan mengeliminasi diperoleh:

....................... (3x )

......... (1)

...(5)

Selanjutnya eliminasi dari persamaan (4) dan (5) diperoleh:

...........

......(1)

atau


Sehingga:

Soal-soal.

1. Tentukan dari fungsi

2. Tentukan


BAB I - Dwipurnomoikipbu's Blog | Just another … · Web viewSuatu kotak alasnya persegi dengan...

Documents

Transcript of BAB I - Dwipurnomoikipbu's Blog | Just another … · Web viewSuatu kotak alasnya persegi dengan...