BAB II TURUNAN FUNGSI

TURUNAN FUNGSI(DIFERENSIAL FUNGSI)

PENGERTIAN TURUNAN FUNGSIA.LAJU PERUBAHAN NILAI FUNGSIA.1 LAJU PERUBAHAN RATA-RATA

Δt

ΔsV rata-rata

PENGANTAR ILUSTRASI

Seorang murid mengendarai motor dari rumah ke sekolah yang jaraknya 15 km. Ia berangkat dari rumah pukul 06.00 dan jarak yang ditempuh dicatat setiap 5 menit dengan cara mengamati spidometer pada motornya.Catatan jarak yang ditempuh setiap 5 menit adalah sbb:

06.00 - 06.05 2,5

06.05 - 06.10 1,25

06.10 - 06.15 2,5

06.15 - 06.20 2,5

06.20 - 06.25 3,75

06.25 - 06.30 2,5

.adalah....Sekolah keRumah dariMotor

imengendaraitu siswa rata-rataKecepatan

? Pertanyaan

Waktu Jarak

KECEPATAN RATA-RATA DALAM INTERVAL WAKTU

21 ttt

KECEPATAN RATA-RATANYARUMUSNYA SBB :

12

12rata-rata tt

)f(t)f(t

Δt

ΔsV

CONTOH 1

Gerak sebuah benda ditentukan dengan persamaan s=f(t)=4t-5 (s dalam meter dan t dalam detik). Tentukan besar kecepatan sesaat untuk waktu-waktu berikut ini :

a). t=2 detik b). t=5 detik

Jawab a

m/detik 4adalah detik 2saat t padasesaat Kecepatan

4h

4hLimit

h

34h3Limit

h

5}-8{}5h)4{8Limit

h

5}-4(2){}5h)4{(2Limit maka

5-4tf(t) aLintasanny,h

f(2)h)f(2Limit maka

2a jika,h

f(a)h)f(aLimit :sesaat Kecepatan

0 h

0 h

0 h

0 h

0 h

0 h

Jawab b

m/detik 4adalah detik 5saat t padasesaat Kecepatan

4h

4hLimit

h

154h15Limit

h

5}-20{}5h)4{20Limit

h

5}-4(5){}5h)4{(5Limit maka

5-4tf(t) aLintasanny,h

f(5)h)f(5Limit maka

5a jika,h

f(a)h)f(aLimit :sesaat Kecepatan

0 h

0 h

0 h

0 h

0 h

0 h

CONTOH 2

cm. 2r ketikar jari-jari terhadap

V volumebolaperubahan laju Tentukan

,πr3

4f(r)Vadalah itu bola volume

sehingga cmr jari-berjari bolaSebuah

3

Jawab

16adalah cm 2rsaat pada bola Volume

16 h

)34

816(Limit

h34

816Limit

h

}3

32{}

34

8163

32{

Limit

h

}3

32{}))(2(3)2(38{

34

Limit

h

}(2)34

{}h){(234

Limit maka

πr3

4f(r) aLintasanny,

h

f(2)h)f(2Limit maka

2a jika,h

f(a)h)f(aLimit :sesaat Kecepatan

2

0 h

32

0 h

32

0 h

322

0 h

33

0 h

3

0 h

0 h

hhh

hhh

hhh

hhh

SOAL LATIHAN

1 xpada,12x f(x) b).

2 xpada 2x3 f(x) a).

: disebutkan yang titik pada iniberikut

fungsi nilaisesaat perubahan laju Tentukan

3

Definisi Turunan Fungsi

,h

f(a)h)f(aLimit (a)' f

0 h

CONTOH 1.

1 xpada

2x,-3f(x) fungsirunan Carilah tu

JAWAB

-2(1)' fadalah

1 xpada2x,-3f(x) fungsi turunan Jadi

22Limith

2hLimit(1)' f

h

2(1)}-{3-h)}2(1-{3Limit(1)' f

h

f(1)-h)f(1Limit(1)' f

(1)' fadalah 1 x pada 2x,-3f(x)

0 h 0 h

0 h

0 h

CONTOH 2

a nilai hitunglah

13, nilai mempunyai a, xpada

,234x f(x) FungsiTurunan 2

x

Jawab

2a nilaiuntuk 13 nilai

mempunyai a xpada 234xf(x) fungsi turunan Jadi

2 a

168a 133-8a

38384Limit}384h{

Limit

}384{Limit

}3)48{Limit

}234{}233)48{4aLimit

}234{}233)2{4(a

Limit

}23)(4{}2)(3)(4{Limit

h

f(a)-h)f(aLimit (a)' fadalah

2 x pada,234xf(x) fungsiTurunan

2

0 h 0 h

2

0 h

2

0 h

222

0 h

222

0 h

22

0 h

0 h

2

x

aahh

ah

h

hahh

h

hhah

h

aahahah

h

aahahah

h

aahaha

x

SOAL LATIHAN

mungkin yang a nilaicarilah 19,(a)' f Jika b.

Radengan (a)' fCarilah a.

}/{D asaldaerah

dengan,723

1f(x) Diketahui 2.

2 xpada,xf(x) b.

4 xpada 2x,-5f(x) a.

disebutkan yang x nilai-nilaiuntuk

berikut fungsi-fungsi darirunan Carilah tu 1.

f

23

23

Rxx

xxx

x

TEOREMA UMUM TURUNAN FUNGSI

) (Terbukti 00Limit h

k-kLimit

h

f(x)-h)f(xLimit(x)' f :BUKTI

0dx

dk atau 0.(x)' f

: maka konstank dengank f(x) Jika

KONSTAN FUNGSI 1. TEOREMA

0 h

0 h

0 h

CONTOH

0 0 Limit h

55Limit

h

f(x)h)f(xLimit (x)' f

:Jawab

5Limit Hitunglah

0 h

0 h

0 h

0 h

FUNGSI IDENTITAS

1)(dx

d atau

1(x)' f maka x, f(x) Jika

IDENTITAS FUNGSI 2. TEOREMA

x

) (Terbukti 11 Limit h

hLimit

h

x-hx Limit

h

f(x)h)f(xLimit (x)' f : BUKTI

0 h

0 h

0 h

0 h

FUNGSI PANGKAT

). Terbukti ( nxx1

n

h...hx2

nx

1

nLimit

h

xhn

n...hx

2

nhx

1

nx

0

n

Limit

h

xh)(xLimit

h

f(x)-h)f(x Limit(x)' f : BUKTI

nx)(xdx

d ataunx(x)' f

makarasional, bilangan n dan xf(x) Jika

PANGKAT FUNGSI 3. TEOREMA

1-n1-n

1n-2n1-n

0 h

nn2-2n1-nn

0 h

nn

0 h0 h

1-nn 1-n

n

CONTOH

250xx50.5nx(x)' f maka50,n,5xf(x) c.

100x100xnx(x)' f maka 100,n,xf(x) b.

3x3xnx(x)' f maka 3n ,xf(x) a. : SOLUSINYA

5xf(x) c.

xf(x) b.

xf(x) a.

: berikut fungsi-fungsi dari fungsi Turunan Carilah

491-501-n50

9911001-n100

2131-n3

50

100

3

AKTIVITAS SISWA

pecahan dan negatif bulat

bilangan nuntuk benar 3 Teorema Buktikan .2

xf(x) f. xf(x) c.

xf(x) e. xf(x) b.

xf(x) d. 4f(x) a.

: berikut fungsi-fungsi dari Turunan Tentukan 1.

413-

-25

10

HASIL KALI KONSTANTA DENGAN FUNGSI

) Terbukti ( (x)' c.f

h

f(x)-h)f(xc. Limit

h

c.f(x)-h)c.f(xLimit

h

g(x)-h)g(xLimit(x)' g : BUKTI

(x)' c.ff(x)dx

dc. c.f(x)

dx

d atau (x)' c.f(x)' g

: maka ada, (x)' f dan c.f(x)g(x) oleh kandidefinisi

yangfungsi g dan konstanta, suatu cfungsi, suatu f Jika

FUNGSI DENGAN KONSTANTA KALI HASIL 4.TEOREMA

0 h

0 h

0 h

CONTOH

66x

55x .5

6

(x)' .g5

6(x)' f ,x

5

6f(x) c.

9000x

100.90x

(x)' 100.g(x)' f ,100x f(x) b.

250x x5

6f(x) c.

5.50x 100x f(x) b.

(x)' 5.g(x)' f ,5x f(x) a. : SOLUSINYA 5x f(x) a.

: berikut f(x) fungsi Turunan Tentukan 1.

54

54

55

89

89

90

4955

4990

5050

AKTIVITAS SISWA

88

100xf(x) c.

5x

.x50xf(x) e.

2x

50f(x) b.

110x

55xf(x) d. x

3

2f(x) a.

: berikut f(x) fungsi Turunan Tentukan

32-

3

1050-

20

35-

15-3

JUMLAH DUA FUNGSI

V' U' V)(U dx

d atau

(x)V'(x)U'(x)' f' y maka

V(x),U(x)f(x) ydan diturunkan dapat yang

x dari fungsi-fungsi adalah V dan U Jika

FUNGSI DUA JUMLAH

5. TEOREMA

BUKTI

) Terbukti ( (x) v' (x)u' h

v(x)-h)v(xLimit

h

u(x)h)u(xLimit

h

v(x)-h)v(x

h

u(x)h)u(xLimit

h

v(x)u(x)h)v(xh)u(xLimit

h

f(x)-h)f(xLimit(x)' f

0 h0 h

0 h

0 h

0 h

SELISIH DUA FUNGSI

v'- u' v)(udx

d

atau (x)V'-(x)U'(x)' f' y

makaV(x),-U(x)f(x) ydan diturunkan

dapat yangx dari fungsi-fungsi adalah V dan U Jika

FUNGSI DUA SELISIH 6. TEOREMA

CONTOH 1

7-12x

07.1-6.2x

(2)dx

d(x)

dx

d7)(x

dx

d6

(2)dx

d)7(

dx

d)6(

dx

d(x)' f 276xf(x)

:SOLUSINYA

276xf(x) dari Turunan Tentukan

2

22

2

xxx

x

CONTOH 2

30x4

1

1.302.8

1

0(x)dx

d30)(x

dx

d

8

1

180dx

d30

dx

dx

8

1

dx

d

18030x8

1

dx

d(x)C'

:berlaku sehingga 1h dengan C(x)-h)C(xC Marginal Biaya

: SOLUSINYA

a.produksiny biaya dari marjinal biaya Tentukan rupiah. ribuan

18030x8

1C(x)sebesar produksi biaya dibutuhkan barang

unit x imemproduksuntuk bahwamenaksir perusahaan Sebuah

2

2

2

2

x

x

x

x

AKTIVITAS KELAS

22

2

23

x

22xf(x) c.

2x)-(6f(x) b.

524xf(x) a.

:BERIKUT FUNGSI-FUNGSI TURUNAN CARILAH

xx

PERKALIAN DUA FUNGSI

)U.(V'U'.(V)(U.V) dx

d

: atau

(x)U(x).V'(x).V(x)U'(x)' f maka

U(x).V(x),f(x) dan diturunkan dapat yang

x dari fungsi-fungsi V dan U Jika

FUNGSI. DUA PERKALIAN 7. TEOREMA

BUKTI

) Terbukti ( (x)V(x).U'(x)U(x).V' h

u(x)-h)u(x Limit v(x).Limit

h

v(x)-h)v(xLimith).u(x Limit

h

u(x)-h)u(xv(x).Limit.

h

v(x)-h)v(xh)u(xLimit

h

u(x).v(x)-h).v(x)u(xh).v(x)u(x-h)h).v(xu(xLimit

h

u(x).v(x)-h)h).v(xu(xLimit

h

f(x)-h)f(xLimit(x)' f

0 h0 h0 h0 h

0 h0 h

0 h

0 h

0 h

CONTOH

29x8x18x

6x6x23x8x12x

x)x)(6()12).(4x(3x

(x).V(x)U'(x)U(x).V'(x)' f

:didapat 7 teorema dalam ke Masukan

14x(x)V' dan 6x(x)U'

xx V(x) dan 23xU(x) Misalkan

: SOLUSINYA

x)2)(x(3xf(x) pertama turunan mencariuntuk 7 Teorema Gunakan

235

25235

432

3

42

42

x

PEMBAGIAN DUA FUNGSI

22 V

UV'VU'

V

U

dx

d atau

V(x)

(x)U(x).V'-(x).V(x)U'(x)' f

maka 0,V(x),V(x)

U(x)f(x) dan

,diturunkan dapat yangx dari fungsi-fungsi V dan U Jika

FUNGSI. DUA PEMBAGIAN

8. TEOREMA

CONTOH

9)(x

9054x40x3x-

9)(x

30x9x9054x10x6x

9)(x

)10x)(3x(3x9)10).(x(6x

9)(x

)10).(3x(3x-9)(6x)(x

V(x)

(x)U(x).V'-(x).V(x)U'(x)' f

: didapat 8 Teorema nBerdasarka

3x(x)V' 9xV(x)

6x(x)U' 103xU(x) Misalkan

:SOLUSINYA9x

103xf(x) turunan mencariuntuk 8 Teorema Gunakan

3

34

3

3434

3

223

3

223

2

23

2

3

2

AKTIVITAS SISWA

12x-x

3-4x3xf(x) d.

5xx1

-3f(x) b.

1-10xx

3x4xf(x) c.

25

123xf(x) a.

: berikut fungsi-Fungsi Turunan Hitunglah

2

2

3

22

x

x

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

TanxY 3.

dan CosxY 2.

Sinx Y .1

1. TURUNAN Y=SIN X

) Terbukti ( Cosxh)Cos(xLimit

h).1Cos(xLimith

hSinLimith).Cos(xLimit

h

hh)SinCos(xLimit

h

h21

h)Sin(2x21

2CosLimit

Sinβ-Sinα Rms) (Gunakan h

Sinxh)Sin(xLimit

h

f(x)-h)f(xLimit(x)' f

: BUKTI

x Cos (x)Y' maka x, Sin Y Jika

X SINF(X)

21

0 h

21

0 h21

21

0 h21

0 h

21

21

21

0 h21

21

0 h

0 h0 h

x

2. TURUNAN Y=COS X

) Terbukti ( Sinxh)Sin(x-Limit

h).1Sin(x-Limith

hSinLimith).Sin(x-Limit

h

hh)SinSin(x-Limitx

h

h21

h)Sin(2x21

2Sin-Limit

Cosβ-Cosα Rms) (Gunakan h

Cosxh)Cos(xLimit

h

f(x)-h)f(xLimit(x)' f

: BUKTI

x Sin- (x)Y' maka x, Cos Y Jika

X COSF(X)

21

0 h

21

0 h21

21

0 h21

0 h

21

21

21

0 h21

21

0 h

0 h0 h

3. TURUNAN Y=TAN X

) Terbukti ( xSecxCos

1

xCos

xSinxCos

xCos

)Sinx(-sinx-Cosx.Cosx(x)Y'

maka -Sinx(x)V' CosxV(x) dan

Cosx(x)U' SinxU(x) dimana V(x)

(x)U(x).V'-(x).V(x)U'(x)Y'

dapat di fungsi) dua bagi Hasil Rms. (Gunakan V(x)

U(x)

x Cos

x Sinx Tan Y

: BUKTI

XSEC(X)Y' X TANY Jika

22

2

22

2

2

2

CONTOH

Tentukan Turunan dari fungsi-fungsi berikut:1. f(x) = 4sinx – 2cosx2. f(x) = 2sinxcosx

SOLUSINYA

1. f(x) = 4sinx – 2cosx f ‘ (x) = 4. dsinx-2.dcosx =4cosx+2sinx2. f(x) = 2sinxcosx = sin 2x f ‘(x) = d2x.dsin2x =2cos2x

Buktikan

Turunan dari 1. y= cosecx2. Y=secx3. Y=cotx

AKTIVITAS SISWA

4-x4cos y j. 4cos2x 2sinx y e.

xsin xcos yi. b)(ax tan yd.

12sin- y h. ax tan y c.

sin-1 y g. b)cos(ax y b.

4cos2x 3sin2x y f. b)(ax sin y a.

: berikut fungsi-Fungsi Turunan Tentukan

2

22

2

2

x

x

TURUNAN FUNGSI KOMPOSISIDENGAN ATURAN RANTAI

dx

du.

du

dy

dx

dy atau

(x)(g(x)).g'f'(f(g(x))dx

d (x) y'

: maka

diturunkan dapat yangx dari fungsi merupakan f(g(x)) yserta

diturunkan dapat yangx dari fungsi merupakan g(x)u dan

diturunkan dapat yangu dari fungsi merupakan f(u) y Jika

RANTAI DALIL 9. TEOREMA

CONTOH

52

52

525

62

62

3)5x)(4x 30-48x(

58x.3)5x6(4x

dx

du.

du

dy

dx

dy 58x

dx

du

3)5x6(4x6Udu

dy

U ymaka 35 4xU

:SOLUSINYA

)35(4x y

: dari Turunan Tentukan

x

x

CONTOH 2

43)2)(x(x y

: ini berikut fungsi dari Turunan Carilah

AKTIVITAS SISWA

23

13xf(x) b.

52x-7xf(x) a.

: berikut fungsi Turunan Tentukan .2

2xu dan 4u yb.

1-2xu dan 3u ya.

ini berikut soal padadx

dy Tentukan 1.

2

2

23-

15

x

x

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG DISUATU TITIK PADA KURVA

P(X,f(X))

f(x+h)-f(x)h Q(x+h,f(x+h))

x x+hl

g

h

f(x)h)f(xLimit(x)' f adalah

Ptitik di kurva singgung Garis Gradien

0 h

RINGKASAN MATERI

21

21

11

11

0 h

mm makasejajar garisnya Jika.4

1m.m maka lurustegak saling garis Jika3.

)xm(xy- y: adalah m gradiennya

dengan )y,P(xtitik di singgung Garis Persamaan 2.

m h

f(x)-h)f(xLimit(x)' f

adalah y)P(x,titik di Singgung Garis Gradien 1.

CONTOH SOAL 1

9-6xy

918-6x y

3)-6(x 9-y

)x-x m(y-y

: adalah (3,9) di singgung garis persamaan

m62.3(3) ymaka(3,9),titik pada 2x y' xy

:SOLUSINYA

x ykurva pada (3,9)titik di singgung garis persamaan Tentukan

11

'2

2

CONTOH SOAL 2

)1(22

12

2

1 y )(2

2

12

2

1-y

)xm(xy-y

adalah )22

1,

4

π( di singgung garis Persamaan

22

1 cos)( y' cosx y' sinxy

: SOLUSINYA

sinx ykurva pada )22

1,

4

π(titik di singgung garis persamaan Tentukan

44

11

44

xx

m

AKTIVITAS SISWA

010x8y garis lurustegak 32x yd.

03y-2x garissejajar 3xx yc.

di(2,4),42x-x yb.

(1,-42) 40,.di-3x-x ya.

:berikut kurva pada singgung garis persamaan Carilah 2.

4dan,2

1-1,1,0,x

di tersebut kurva singgung garis gambarlah kemudian

5x5- interval pada 12xf(x)grafik Gambarlah 1.

2

2

23

2

2

x

FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

Sifat-sifat suatu fungsi dapat diselidiki dengan menggunakan turunan.

1. Syarat fungsi naik dalam suatu interval tertentu yaitu Fungsi dikatakan naik jika seiring pertambahan nilai x ke kanan,maka nilai f(x) bertambah.atau f ‘(x)>0

2. Syarat fungsi turun yaitu jika seiring pertambahan nilai x kekanan,maka nilai f(x) berkurang.atau f ‘(x)<0

SKETSA FUNGSI NAIK DAN TURUN

1x 1x2x

y=f(x)

y=f(x)

2x

)f(x1 )f(x1 )f(x2)f(x2

Fungsi Naik

(a)

Fungsi Turun

(b)

CONTOH

barangnya? produksi penambahan

dengan seiring turun ataunaik aMarjinalny biaya Apakah

a.Marjinalny biaya n10.Tentuka50x5xx5

2C(x)

dengan diberikan barang unit x produksi total Biaya

23

Jawabannya

barang. produksi

penambahan dengan seiringnaik akan Marjinal Biaya sehingga

0 daribesar lebih selalu akan (x)M' maka 0x Karena 10x5

12

10x5

62.(x)M'

.5010x5

6 M(x)

ternyata :0xuntuk 0,(x)M' 0;(x)M' apakah yaitu

barang penambahan dengan seiring turun ataunaik marjinal biaya bahwa

menentukanuntuk Kemudian .5010x5

6 M(x) di Ja

5010x5

6

505.2x .3x5

2

(x)c'M(x) Marjinal Biaya

2

2

2

2

x

x

x

CONTOH 2

(Positif) 06612)2(33(2) (2)' f

(Negatif) 04

3-

4

6

4

3)

2

1(3)

2

13( )

2

1(' f

(Positif) 06)1(33(-1)(-1)' f

2x dan,2

1x -1,xtitik di (x)' f nilai selidiki dan bilangan garisGambar

1x atau 0x 1)-3x(x

33x(x)' f x2

3xf(x)

turun. ataunaik x2

3xf(x) fungsiagar interval Tentukan

2

2

2

223

23

x

0 1

+ + + + + +- - -

1x0 interval pada Turun

dan 1x dan 0x interval padanaik x2

3-xf(x) Jadi 23

AKTIVITAS SISWA

naik?. fungsi

merupakan amarjinalny biaya Kapankah .2xx4xC(x)

dengan dinyatakan barang unit x dari produksi biaya Misalkan .2

)x(1

x-1f(x) d). 1xxf(x) b).

4x

xf(x) c). 3xxf(x) a).

turun ataunaik berikut fungsi-fungsiagar interval Tentukan 1.

23

22

22

2

223

Jawaban

(3)f'

(1)f'

(-1)f'

3x dan 1x -1,x di (x)f' nilai selidika

2x atau 0x 02)-3x(x

06x3x

0(x)f'naik fungsi Syarat

6x3x(x)f' 3xxf(x)

2

223

SKETSA GRAFIK DENGAN UJI TURUNAN

SKETSA GRAFIK DENGAN UJI TURUNAN PERTAMA

Stasioner.Titik 5.

turun ataunaik fungsi Interval 4.

fungsi definisi Interval 3.

koordinat sumbu-sumbu dengan potongTitik 2.

kuadrat) atau(Linear Dasar Bentuk 1.

: Syaratnya

CONTOH

dan(1,-10) (-5,98) adalah yastasionerntitik -titik i Jad

-10y

2-15.(1)-6.(1)(1) ymaka 1x a Jik

98 y

2-15.(-5)-6.(-5)(-5) ymaka -5x a Jik

1x atau 5x

01)-5)(x(x

01)-5)(x3(x

0.15123x

0y'stasioner titik Syarat .15123x y'

215x6xx ya.

: JAWAB

grafiknya. sketsa Buatlah c.

a dari diperoleh yangstasioner titik titik dari JenisTentukan b.

215x6xx yfungsiuntuk stasioner titik Carilah a.

23

23

2

2

23

23

x

x

b. LANJUTAN

turunan. tabel dalam hasilnya masukkan

0 21 y'maka 2x

dan -15 y'maka 0x

0 21 y'maka -6x

turunan. fungsi kedalam masukan

sampel sebagai 2x dan 0,x -6,x pilih kita Misalnya

stasioner.titik kanan dan kiri disebelah ujititik pakai

kita makastasioner,titik jenis menentukanUntuk

TABEL TURUNAN

X -6 -5 0 1 2

Y’Kemiringan

+/

0-

-\

0-

+/

minimum.balik titik adalah (1,-10) dan

maksimumbalik titik adalah (-5,98) demikian Dengan

c. LANJUTAN

(-7,873,0) dan ,(-0,127,0)(2,0),

adalah x, sumbu dengan potongtitik i Jad

7,873- x atau -0,127,x atau 2,x

ABC) rumus (Pakai 15-4x atau 2x

018xx atau 2x

01)8x2)(x-(x

02-15x-6xx

0 ymaka x sumbu dengan potongTitik 1.

lagititik beberapa dibutuhkan

2-15x-6xx yfungsigrafik mengsketsaUntuk

2

2

23

23

C LANJUTANTitik potong dengan sumbu y maka x=0Y=-2Jadi titik potong dengan sumbu y adalah (0,-2)Dari tabel turunan dapat disimpulkan bahwa:Grafik naik pada selang (-~,-5)dan(1,~) dan turunPada interval selang (-5,1)

LANJUTAN SKETSA GRAFIK(-5,98)

(1,-10)

(0,-2)

(-0,127,0)(-7,873,0) (2,0)

Y

X

2-15x-6xxy 23

AKTIVITAS SISWA

lain.titik beberapa bantuan dengan grafiknyaGambar d.

turunan.

tabel nmenggunaka denganbelok titik atauminimum,

maksimum, sebagaistasioner nilai jenis ikanKlasifikas c.

n.bersesuaia yang y

nilai dan 0(x) y'memenuhi yangx nilai Tentukan b.

dapat. di yangkuadratbentuk faktorkan dan y'Tentukan a.

4x-x-x yMisalkan 23

SKETSA GRAFIK DENGAN UJI TURUNAN KEDUA

CONTOH :

a dari informasi anmemanfaatk

dengan xxgrafik y sketsa Buatlah b.

xxgrafik y padastasioner

titik semua ikanklasifikas dan Tentukan a.

34

34