MA1201 MATEMATIKA 2A - WordPress.com · 2020. 3. 18. · Jika turunan fungsi satu peubah merupa-kan...
Transcript of MA1201 MATEMATIKA 2A - WordPress.com · 2020. 3. 18. · Jika turunan fungsi satu peubah merupa-kan...
-
MA1201 MATEMATIKA 2A
Hendra GunawanSemester II, 2019/2020
18 Maret 2020
-
Kuliah yang Lalu
12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah
12.2 Turunan Parsial
12.3 Limit dan Kekontinuan
12.4 Turunan fungsi dua peubah
12.5 Turunan berarah dan gradien
12.6 Aturan Rantai
12.7 Bidang singgung dan aproksimasi
12.8 Maksimum dan minimum
12.9 Metode pengali Lagrange
3/15/2020 (c) Hendra Gunawan 2
-
Kuliah Hari Ini
12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah
12.2 Turunan Parsial
12.3 Limit dan Kekontinuan
12.4 Turunan fungsi dua peubah
12.5 Turunan berarah dan gradien
12.6 Aturan Rantai
12.7 Bidang singgung dan aproksimasi – Bag I
12.8 Maksimum dan minimum
12.9 Metode pengali Lagrange
3/15/2020 (c) Hendra Gunawan 3
-
12.4 TURUNAN FUNGSI DUA PEUBAHMA1201 MATEMATIKA 2A
3/15/2020 (c) Hendra Gunawan 4
• Memeriksa apakah suatu fungsi dua peubahmempunyai turunan di titik tertentu danmenentukan turunannya
-
Turunan Parsial Saja Tidak Cukup
Kita sudah mendefinisikanturunan parsial dari suatufungsi dua peubah; tapieksistensi turunan parsial disuatu titik tidak memberi kitainformasi tentang nilai fungsidi sekitar titik tsb, kecualidalam arah sejajar sumbu-x dan sumbu-y.
3/15/2020 (c) Hendra Gunawan 5
P
x
y
z
??
-
Bagaimana Mendefinisikan Turunan
Turunan dari fungsi satu peubah y = f(x) di x = c didefinisikan sebagai
Sayangnya bentuk ini tidak dapat diperumumuntuk fungsi dua peubah
karena pembagian dgn vektor tidak terdefinisi.3/15/2020 (c) Hendra Gunawan 6
.)()(
lim)('0 h
cfhcfcf
h
,)()(
lim)('0 h
cfhcfcf
h
SO?
-
Turunan Fungsi Satu Peubah
Jika y = f(x) mempunyai turunan di x = c, yakni
maka f linear secara lokal di x ≈ c, yaitu
dengan
3/15/2020 (c) Hendra Gunawan 7
,)()(
lim)('0
mh
cfhcfcf
h
),()()( hhhmcfhcf
.0)()(
lim)(lim00
m
h
cfhcfh
hh
-
Turunan Fungsi Satu Peubah
Sebaliknya, jika f linear secara lokal di x ≈ c, sebutlah
dengan
maka f mempunyai turunan di x = c, yakni
3/15/2020 (c) Hendra Gunawan 8
.)()(
lim)('0
mh
cfhcfcf
h
),()()( hhhmcfhcf
,0)()(
lim)(lim00
m
h
cfhcfh
hh
-
Turunan Fungsi Dua Peubah
Fungsi dua peubah f dikatakan mempunyaiturunan di p = (a,b) jika dan hanya jika f linear secara lokal di sekitar p, yakni
dengan
dan
3/15/2020 (c) Hendra Gunawan 9
).0,0())(lim),(lim()(lim 20
100
hhhhhh
,)())(),(()()( hhhpfpfpfhpf yx
),,()),(),(()( 2121 hhhhhh
-
Turunan Fungsi Dua Peubah
Vektor disebutturunan atau gradien f di p.
Jadi, f mempunyai turunan di p jika danhanya jika
dengan
Catatan: Operator disebut operator del. 3/15/2020 (c) Hendra Gunawan 10
.0)(lim0
hh
))(),((:)( pfpfpf yx
,)()()()( hhhpfpfhpf
-
Beberapa Catatan
1. Jika turunan fungsi satu peubah merupa-kan bilangan f ’(p), maka turunan fungsidua peubah merupakan vektor
2. Hasil kali danmerupakan hasil kali titik.
3. Definisi turunan fungsi tiga (atau lebih) peubah dapat dirumuskan secara serupa.
3/15/2020 (c) Hendra Gunawan 11
))(),((:)( pfpfpf yx
hpf )( hh )(
-
Contoh
Turunan dari fungsi di (1,2) adalah
Perhatikan bahwa untuk (h,k) ≈ (0,0) fungsi flinear secara lokal:
Di sini3/15/2020 (c) Hendra Gunawan 12
22),( yxyxf
).4,2()2,2()2,1()2,1( yxf
).,(),(),()4,2(5
4421
)2()1()2,1(
22
22
khkhkh
kkhh
khkhf
).0,0(),(),( khkh
-
Teorema
Jika f mempunyai turunan parsial fx dan fy yang kontinu pada suatu cakram yang memuat (a,b), maka f mempunyai turunan di (a,b).
Contoh. f(x,y) = x2 + y2 mempunyai turunanparsial fx = 2x dan fy = 2y yang kontinu pada R
2, karena itu f mempunyai turunan di setiap titik.
3/15/2020 (c) Hendra Gunawan 13
-
Sifat Turunan
Operator del memenuhi sifat-sifat berikut:
1.
2.
3.
3/15/2020 (c) Hendra Gunawan 14
)()()]()([ pgpfpgpf
)(.)](.[ pfpf
)()()()()]()([ pfpgpgpfpgpf
-
Teorema
Jika f mempunyai turunan di p,
maka f kontinu di p.
Catatan. Kontraposisi teorema di atas berbunyi: jika f tidak kontinu di p, maka f tidak mempunyaiturunan di p.
3/15/2020 (c) Hendra Gunawan 15
-
Soal
Selidiki apakah fungsi di bawah ini mempunyaiturunan di titik (0,0).
1.
2.
3.
3/15/2020 (c) Hendra Gunawan 16
.0)0,0(,),(22
fyx
xyyxf
.),( 22 yxyxf
.1),( 22 yxyxf
-
Soal
Buktikan bahwa
4.
3/15/2020 (c) Hendra Gunawan 17
2.
f g f f g
g g
-
12.7 BIDANG SINGGUNG DAN HAMPIRAN– BAGIAN I
MA1201 MATEMATIKA 2A
3/15/2020 (c) Hendra Gunawan 18
• Menentukan persamaan bidang singgungpada suatu permukaan di titik tertentu
• Menghitung nilai hampiran dari suatu fungsidi sekitar titik tertentu
-
Hampiran Linear & Bidang Singgung
Bila f mempunyai turunan di p = (a,b), maka kitamempunyai hampiran linear
Dalam hal ini, persamaan
merupakan persamaan bidang singgung padapermukaan z = f(x,y) di titik (a,b).3/15/2020 (c) Hendra Gunawan 19
),(),(),(),( byaxbafbafyxf
))(,())(,(),(
),(),(),(
bybafaxbafbaf
byaxbafbafz
yx
-
Contoh
Persamaan bidang singgung pada permukaan z =
di (1,2) adalah
Menggunakan persamaan bidang singgung ini, kita mempunyai hampiran
(1.1)2 + (1.9)2 ≈ 5 + 2(0.1) + 4(-0.1) = 4.8.3/15/2020 (c) Hendra Gunawan 20
22),( yxyxf
.425)2(4)1(25
)2)(2,1()1)(2,1()2,1(
yxyx
yfxffz yx
-
Diferensial
Misal z = f(x,y) mempunyai turunan di p = (a,b). Jika dx dan dy adalah diferensial peubah bebasx dan y, maka
disebut diferensial dari f di (a,b).
Jadi, hampiran linear di sekitar (a,b) dapatdituliskan sebagai
3/15/2020 (c) Hendra Gunawan 21
),(),(),( dydxbafbadfdz
),(),(),( badfbafyxf
-
Contoh
Jika z = , maka diferensial darif di (1,2) adalah
Jika dx = 0.1 dan dy = -0.1, maka
dz = 2(0.1) + 4(-0.1) = -0.2.
3/15/2020 (c) Hendra Gunawan 22
22),( yxyxf
.42)2,1()2,1( dydxdyfdxfdz yx
-
Soal
Diketahui rumus tekanan gas P = k(T/V) dinyatakan dalam suhu T dan volume V, dengank menyatakan suatu konstanta.
Jika dalam pengukuran T terdapat kesalahanmaksimum 1% dan dalam pengukuran Vterdapat kesalahan maksimum 2%, taksirlahkesalahan maksimum dalam perhitungan P.
3/15/2020 (c) Hendra Gunawan 23