BAB III

UKURAN PEMUSATAN DATA

A. Ukuran Gejala Pusat

Ukuran pemusatan adalah suatu ukuran yang menunjukkan di mana suatu data

memusat atau suatu kumpulan pengamatan memusat (mengelompok).

Ukuran pemusatan data adalah nilai tunggal sebuah data yang dapat

memberikan gambaran lebih jelas dan singkat tentang di sekitar mana data itu

memusat, dan dianggap mewakili seluruh data.

Ukuran pemusatan merupakan penyederhanaan data untuk mempermudah

peneliti membuat interprestasi dan mengambil suatu keputusan.

Ukuran gejala pusat atau ukuran pemusatan data meliputi:

1. Rata-rata:

a. Rata-rata hitung (arithmetic mean)

Dirumuskan:

Rata-rata hitung = 𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑡𝑎

𝐵𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑡𝑎

Jika data merupakan data tunggal, maka

n

X

n

XXXXX

n

i

i

n

1321 ...

atau n

XX

Jika data merupakan data bergolong, katakanlah masing-masing nilai

data mengulang dengan frekuensi tertentu, maka:

n

nn

ffff

XfXfXfXfX

...

...

321

332211 atau

f

fXX

Contoh 1

Nilai ujian statistik 5 Mahasiswa Pendidikan Teknik Informatika berikut adalah

80, 60, 75, 70, 65. Tentukan nilai rata-rata hitungnya!

705

6570756080

X

Contoh 2

Nilai ujian statistik 15 mahasiswa Pendidikan Teknik Informatika berikut

adalah

• 2 mahasiswa mendapat nilai 95,

• 4 mahasiswa dengan nilai 80,

• 5 mahasiswa mendapat nilai 65,

• 3 mahasiswa dengan nilai 60 dan

• 1 mahasiswa mendapat nilai 50,

Tentukan nilai rata-rata hitungnya.

71

15

1065

13542

)501()603()655()804()952(

X

X

X

Contoh 3

Penyelesaian dengan tabel distribusi frekuensi

Modal (dalam jutaan rupiah) dari 40 perusahaan disajikan pada tabel

distribusi frekuensi berikut. Tentukan nilai rata-rata hitungnya.

525,14040

5621

f

fXX

Penyelesaian dengan memakai kode (koding)

Rumus:

f

fUcXX 0

Di mana:

• x: nilai tengah kelas yang berhimpit dengan nilai U (0),

• c: lebar kelas,

• U: kode kelas

525,140

475,2143

40

119143

0

f

fUcXX

b. Rata-rata ukur (geometric mean)

Digunakan jika data memiliki ciri tertentu, banyaknya nilai data satu sama lain

saling berkelipatan sehingga data berukuran tetap atau hampir tetap.

Biasa digunakan untuk mengetahui persentase perubahan sepanjang waktu,

misalnya rata-rata persentase tingkat perubahan hasil penjualan, produksi,

harga, dan pendapatan nasional.

Dirumuskan:

• Untuk data tunggal

n

XantiG

n

XGG n

nxxxx

loglogatau

logloglogatau.....

321

• Untuk data bergolong

f

XfantiG

loglog

Contoh 4

Tentukan rata-rata ukur dari 2,4,8.

9031,08log6021,04log3010,02log

0,4

)6021,0log(

3

8062,1log

3

9031,06021,03010,0log

3

8log4log2loglog

G

antiG

antiG

antiG

antiG

Contoh 5

Tentukan rata-rata ukur dari data berikut.

757,139)145,2log(40

815,85log

loglog

antiantif

XfantiG

c. Rata-rata harmonis (harmonic mean)

Digunakan jika data memiliki ciri tertentu, data dalam bentuk pecahan atau

desimal

Dirumuskan:

Untuk data tunggal:

X

nRH

1

Untuk data bergolong:

X

f

fRH

Contoh 6

Tentukan rata-rata harmonis dari 2,4,8.

43,3

8

7

3

8

1

4

1

2

1

3

1

X

nRH

Tentukan rata-rata harmonis dari 1/3,2/5,3/7,4/9

40,0397,008,10

4

4

9

3

7

2

53

4

1

X

nRH

Contoh 7

Diberikan data tabel sebagai berikut. Tentukan nilai rata-rata harmonisnya.

889,138288,0

40

X

f

fRH

2. Median

Median adalah nilai tengah dari kelompok data yang telah diurutkan

Dirumuskan:

• Untuk data tunggal:

Median data ganjil = nilai yang paling tengah = data ke 𝑛+1

2

Median data genap = rata-rata dari dua nilai tengah

• Untuk data bergolong:

f

Fn

cLMed 20

Contoh 8

Tentukan Median dari data 3,4,4,5,6,8,8,9,10.

Apakah himpunan bilangan 11,12,5,7,9,5,18,15, memiliki median?

Contoh 9

Tentukan Median dari data tabel berikut

75,14012

172095,138

95,1385,147

17854125,138maka

147139kelaspada 20kenilaiyaitu

,2

40keatau

2kenilaipadaterletakMedian

0

Med

c

FfL

n

3. Modus

Modus menyatakan gejala yang paling sering terjadi atau paling banyak muncul.

Dirumuskan:

Untuk data tunggal diambil dari nilai yang paling sering muncul

Untuk data bergolong:

21

1

0bb

bcLMod

moduskelassesudahkelassatutepatfrekuensi

denganmoduskelasfrekuensiantaraselisih

moduskelassebelumkelassatutepatfrekuensi

denganmoduskelasfrekuensiantaraselisih

kelaslebar

moduskelasbawahbatas

modus

2

1

0

b

b

c

L

Mod

Contoh 10

Modus dari data 3,4,4,5,6,8,8,8,9 adalah...

Apakah himpunan bilangan 3,4,4,6,8,8,9,10, memiliki modus?

Apakah data 3,4,5,6,8,9,10 memiliki modus?

Apakah data 3,3,3,3,3,3,3 memiliki modus?

Contoh 11

Tentukan Modus dari data tabel berikut.

77,14174

495,138

7512481295,1385,1475,138maka

12terbesarfrekuensidengan,147139kelaspadaterletakModus

210

Mod

bbcL

B. Ukuran Tata Letak Data

1. Kuartil

Konsep median diperluas dengan membagi data yang telah terurut menjadi

empat bagian sama banyak, dengan tiga bilangan pembagi yaitu kuartil

(Q1,Q2,Q3).

Bila data merupakan data tunggal, maka: 3,2,1,4

)1(keyangNilai

i

niQi

Bila data merupakan data bergolong, maka: 3,2,1,40

if

Fin

cLQi

i

i

Qf

QF

c

L

kuartilkelasfrekuensi

kuartilkelassebelumkelassemuafrekuensijumlah

kelaslebar

kuartilkelasbawahbatas

:manadi

0

Contoh 12

Data tunggal

Tentukan kuartil 1, 2 dan 3 dari data upah bulanan 13 karyawan (dalam ribuan

rupiah) berikut.

40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100

Urutan data :

30,35,40,45,50,55,60,65,75,80,85,95,100

13manadi,4

)1(kenilai

n

niQi

5,42)4045(2

140

)3kenilai4kenilai(2

13kenilai

4kenilaidan3kenilaiantara

2

13kenilai

4

14kenilai

4

)113(1kenilai1

Q

5,82)8085(2

180

10)kenilai11kenilai(2

110kenilai

2

110kenilai

4

42nilaike

4

)113(3kenilai3

Q

Contoh 13

Data bergolong

Tentukan kuartil 1, 2, dan 3 dari data tabel distribusi frekuensi berikut.

156148padadan147139pada

,138130kelaspadamaka40,nKarena

ataske25%danbawahke75%menjadidatamembagi,

ataske50%danbawahke50%menjadidatamembagi,

ataske75%danbawahke25%menjadidatamembagi,

32

1

3

2

1

QQ

Q

Q

Q

Q

3,2,1,40

if

Fin

cLQi

625,1308

91095,129

8

94

40

95,129

89545,129

:Untuk

1

0

1

Q

fFL

Q

75,14012

172095,138

12178545,138

:Untuk

2

0

2

Q

fFL

Q

3,1495

293095,147

5295,147

:Untuk

3

0

3

Q

fFL

Q

2. Desil

Desil adalah sekelompok data yang dibagi menjadi 10 bagian sama banyak

Dirumuskan :

Data tunggal: 9,...,3,2,1,10

)1(

i

nikeyangNilaiDi

Data bergolong:

9,...,3,2,1,100

if

Fin

cLDi

i

i

Df

DF

lc

L

desilkelasfrekuensi

desilkelassebelumkelassemuafrekuensijumlah

kelasebar

desilkelasbawahbatas

:manadi

0

Contoh 14

Data tunggal

Tentukanlah desil 3, dan 7 dari data upah bulanan 13 karyawan (dalam ribuan

rupiah) berikut.

40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100

13manadi,10

)1(kenilai

n

niDi

46)4550(5

145

)4kenilai5kenilai(5

14kenilai

5

14kenilai

10

42kenilai

10

)113(3kenilai3

D

78)7080(10

870

)9kenilai10kenilai(10

89kenilai

10

89kenilai

10

98kenilai

10

)113(7kenilai7

D

Contoh 15

Data bergolong

Tentukanlah desil 3, dan 7 dari tabel distribusi frekuensi berikut!

147139pada,138130kelaspadamaka,40Karena

ataske30%danbawahke70%menjadidatamembagi,

ataske70%danbawahke30%menjadidatamembagi,

73

7

3

DDn

Q

D

75,14612

172895,138

12

1710

)40(7

95,138

:Untuk

875,1328

91295,129

8

910

)40(3

95,129

:Untuk

7

7

3

3

D

D

D

D

3. Persentil

Persentil adalah sekelompok data yang dibagi menjadi 100 bagian sama banyak

Dirumuskan:

Data tunggal: 99,...,3,2,1,100

)1(

i

nikeyangNilaiPi

Data bergolong

99,...,3,2,1,1000

if

Fin

cLPi

i

i

Pf

PF

c

L

persentilkelasfrekuensi

persentilkelassebelumkelassemuafrekuensijumlah

kelaslebar

persentilkelasbawahbatas

:manadi

0

Contoh 16

Terdapat sebanyak 253 data yang sudah tersortir ascending

Data ke-190 bernilai 175 dan Data ke-191 bernilai 180

Data ke-50 bernilai 45 dan Data ke-51 bernilai 48

Data ke-165 bernilai 100 dan Data ke-166 bernilai 102

Tentukan nilai Persentil ke-65 (p-65).

Letak persentil ke-p = 𝑝(𝑛+1)

100

= 65(253+1)

100 =

16510)

100 = 165.1

Nilai Persentil ke-65 = Data ke 165 + 0.1 (Data ke-166 – data ke-165)

= 100 + (0.1x2) = 100 + 0.2 = 100.2

LATIHAN

1. Diketahui data sampel sebagai berikut.

2 4 4 8 2 2 2 2

Carilah:

a. Rerata hitung, rerata geometrik, dan rerata harmoniknya.

b. Median, modus, dan kuartil-kuartilnya.

2. Diketahui data sampel nilai Ujian Tengah Semester dari 20 mahasiswa pada mata

kuliah Aljabar Linier seperti pada tabel berikut.

Nilai 50 60 70 80 90 100

Frekuensi 1 5 5 4 3 2

Carilah rerata hitung, median, modus, kuartil ketiga, dan desil ketujuh dari data

tersebut.

3. Diberikan tabel frekuensi dari tinggi badan sekelompok mahasiswa sebagai berikut.

Tinggi badan Banyaknya

mahasiswa

140-144

145-149

150-154

155-159

160-164

164-169

4

7

10

12

6

3

a. Tentukan mean, median, dan modus.

b. Tentukan Q1 dan D7

4. Diberikan tabel frekuensi dari rata-rata gaji harian dari 171 karyawan sebagai berikut.

Interval Kelas Gaji

(dalam ribuan)

frekuensi

101-110

111-120

121-130

131-140

141-150

151-160

161-170

171-180

181-190

191-200

201-210

211-220

221-230

231-240

9

18

23

23

26

22

18

15

5

8

2

0

0

2

c. Tentukan mean, median, dan modus.

d. Tentukan Q3, D8, dan P85

5. Hasil nilai ujian Statistik dan Probabilitas pada tahun 2015 adalah sebagai berikut.

Nilai ujian paling rendah 40

Nilai nyata atas yang pertama 49,5

Nilai ujian kurang dari 50 sebanyak 10 mahasiswa

Nilai ujian kurang dari 60 sebanyak 22 mahasiswa

Nilai ujian kurang dari 70 sebanyak 40 mahasiswa

Nilai ujian kurang dari 80 sebanyak 50 mahasiswa

Nilai ujian lebih dari 80 sebanyak 10 mahasiswa

Nilai ujian lebih dari 90 sebanyak 3 mahasiswa

a. Susunlah tabel distribusi frekuensi dari data tersebut.

b. Hitung mean, median, dan modus.

c. Hitung kuartil pertama, kedua, dan ketiga.

d. Hitung desil pertama, kedua, dan kesembilan.

e. Hitung persentil pertama, kedua, dan kelima puluh.

Tim Penyusun: • Sukirman • Sri Rejeki

Sumber:

• Syamsudin. 2002. Statistik Deskriptif. MUP: Surakarta • N. Setyaningsih, Pengantar Statistika Matematika, MUP -UMS • Budiyono, Statistika untuk Penelitian, 2004 , UNS