BAB VI

LINGKARAN

A. SIFAT SIFAT LINGKARANDefinisi 6.1. Lingkaran ialah garis lengkung yang bertemu kedua ujungnya, yang merupakan

himpunan titik titik yang berjarak sama dari sebuah titik ertentu. Titik ini namanya titik pusat.

D A B C G E

M

F P S Q

GM= jari jari

GF = diametr

AB= talibusur

CM = apotema

CD= anak panah

Daerah EMF = juring

Daerah PQS = tembereng

(M,r)=Lingkaan dengan pusat M dan jari-jari r

Teorema 6.1. Tiap-tiap talibusur yang tidak melalui titik pusat lebih pendekdari gris tengah.

Teorema 6.2. Apotema membagi tali busur tegak lurus di pertengahan.Teorema 6.3. Talibusur-talibusur yang sama mempunyai apotema-apotema yang sama

pula.Teorema 6.4. Jika dua buah talibusur dalam sebuah lingkaran mempunyai apotema-

apotema yang sama , maka talibusur-talibusur itu sama pula

SOAL1.2.3.4.5.

B. GARIS DAN LINGKARANDefnisi 6,2, Garis singgung adalah garis yang mempunyai persekutuan dengan lingkaran

pada dua buah titik yang berimpitan. Titik tersebut disebut titik singgung.Definisi 6.3. Yang dimaksud dengan sudut antaravgaris dan lingkaran 9yang dipotongt

oleh garis itu ), ialah sudut yang terletak di antara garis potong ini dan garis singgung yang ditarik melalui salah satu dari titik-titik potongnya.

Soal Latihan1. Diketahui sebuah lingkaran M dengan jari-jari 3 cm dan sebuah titik P sehingga PM

= 5 cm. Lukislah dan hitunglah garis-garis singgung dari P pada lingkaran M.2. Lukislah sebuah lingkaran M dengan jarijari 2,5 cm. Sebuah titik P terletak 5 cm dari

M . Lukislah garis-garis singgung PA dan PB. Hitunglah PA, AB, APB dan luas APB.

3. Buktikanlah bahwa kedua garis singgung yang ditarik dari sebuah titik di luar lingkaran , sama panjangnya.

4. Dalam sebuah lingkaran yang diketahui digambarkan dua buah talibusur yang tidak sama. Buktikanlah bahwa talibusur yang terkecil memunyai apotema yang terbesar.

C. LETAK BEBERAPA LINGKARAN.Definisi 6.4. Dua lingkaran bersinggungan jika kedua lingkaran ini mempunyai sebuah

garis singgung persekutuan di sebuah titik persekutuan Jika M dan N pusat-pusat kedua lingkaran maka MN disebut sentral.Jika MN = a dan

R = jari-jari likaran yang berpusat di M dan r = jari-jari likaran yang berpusat di N

Kemungknan

1 a> (R + r)

M N

4 a= (R-r)

M N

2 a = (R + r)

M N

5 a< (R-r)

M N

3 (R+r)>a>(R-r)

M N

6 a= 0

M N

Teorema 6.5.Pada dua buah lingkaran yang berpotongan , sentral kedua lingkaran membagi talibusur persekutuan tegaklurus dipertengahan

Definisi 6.5. Yang dimaksud dengan sudut dua lingkaran yang berpotongan ialah sudut yang dibuat oleh kedua gari singgung di salah satu titik potongnya.

Soal1 sd.10

D. GARIS SINGGUNG PERSEUTUANDefinisi 6.6. a. Sebuah garis yang menyinggung dua buah lingkaran disebut garis

singgung persekutuanDefinisi 6.6. b. Jika pusat –pusat lingkaran terletak pada pihak yang sama pada garis

singgung itu, maka garis singgung itu dinamakan garis singgung luar persekutuan.

Definisi 6.6. c. Jika pusat –pusat lingkaran terletak sebelah-menyebelah garis singgung, maka garis singgung itu dinamakan garis singgung dalam persekutuan.

Melukis garis singgung luar persekutuan

A

B E M N

Diketahui Lingk(M,R) dan lingk(N,r)1. Lukis lingk dgn MN grs tengah2. Tent. E shg ME = R-r3. Perpanjang ME hingga memotong lingk

(M,R) di A4. Buat garis di A shg grs tsb AM5. Garis tsb memotong lingk (N,r) di B6. AB adalah grs singgung luar

persekutuan

Melukis garis singgung dalam persekutuan

Diketahui Lingk(M,R) dan lingk(N,r)

1. Lukis lingk dgn grs tengah MB

2. Tent E shg ME = R+r3. ME dan lingk (M,R)

adalah A4. Buat grs di A hingga grs

tsb ME, grs ini memotong lingk (N,r) di B

5. AB adl grs singgung dalam persekutuan

SoalE. SUDUT DAN BUSUR

Definisi 6.7.a. Yang dmaksud dengan sudut pusat ialah sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari lingkaran

Definisi 6.7.b. Yang dimaksud dengan sudut keliling ialah sudut yang dibentuk oleh dua tali busur yang berpotongan pada keliling lingkaran.

Definisi 6.7.c. Yang dimaksud besarnya sebuah busur lingkaran ialah besarnya sudut pusat pada busur ituSudut pusat = busurnya(busur tempat ia berdiri)

Teorema 6.6. Tali busur-tali busur yang sama menahan busur busur yang sama.Sudut pusat-sudut pusat yang sama besar berdiri diatas busur yang sama.

Teorema 6.7. Sudut keliling sama dengan setengah busurnya

C 1 2

M 1 2 A

B

Diketahui: ACB sudut keliling AMB sudut pusat = ABBuktikan : ACB = 0,5 ABBuktiPada ACM

M1= C1+ A = C1+ C1 = 2. C1 *)Pada BCM

M2= C2+ B = C2+ C2 = 2. C2 **)Dari *) dan **) M1= 2. C1

M2= 2. C2 + AMB = 2. ACB0,5 AB= 2. ACB

ACB = 0,5 AB

Teorema 6.8.Sudut yang dibentuk oleh sebuah garis singgung dansebuah talibusur yang melalui titik persinggungan sama dengan setengah busur yang terletak diantara garis singgung dan lali busur itu

Teorema 6.9. Busur busur lingkarang yang trletak diantara dua talibusur yang sejajar, sama panjangnya.

C D A

B

Teorema 6.10. Jika dua buah tali busur berpotongan di dalam lingkaran, maka sudut yang dibentuknya sama dengan setengah jumlah busur yang yang terletak diantara kaki kaki sudut itu.

C B 1 2

S D

A

Teorema 6.11. Jika dua buah tali busur berpotongan di luar lingkaran, maka sudut yang dibentuknya sama dengan setengah selisih busur yang yang terletak diantara kaki kaki sudut itu.

C 1 2 D S B A