DERIVATIVE - arumprimandari.files.wordpress.comΒ Β· kasar, berbentuk bola dengan radius R. Jika...
Transcript of DERIVATIVE - arumprimandari.files.wordpress.comΒ Β· kasar, berbentuk bola dengan radius R. Jika...
DERIVATIVEArum Handini primandari
INTRODUCTION
Calculus adalah perubahan matematis, alat utama dalam studi perubahan adalah prosedur yang disebut differentiation (deferensial/turunan)
Calculus dikembangkan pada abad ke-17 oleh Isaac Newton dan G. W. Leibniz, dan ilmuwan lainnya; yang pada mulanya berusaha untuk menyelesaikan masalah:
1. Garis singgung (tangent line): mencari garis singgung di titik tertentu pada suatu kurva
2. Luas area: menentukan luas area di bawah suatu kurva
TINGKAT PERUBAHAN (CHANGE OF RATE)
Fungsi linier (garis), antara satu titik dantitik yang lain memiliki tingkat perubahan
yang sama, yaitu sebesar m
Kurva, antara satu titik dan titik yang lain memiliki tingkat perubahan yang
berbeda, yaitu diberikan oleh kemiringandari garis singgung pada P(c,f(c))
CONTOH: TINGKAT PERUBAHAN KURVA
Fungsi daripengaruh
penggangguranterhadap inflasi
BERAPAKAH BESAR TINGKAT PERUBAHAN?
Berapakah besar tingkat perubahan di titikπ(π, π π )?
Misalkan diketahui titik:
π(π + β, π π + β )
Ruas garis PQ disebut garis potong (secant line)
Perhatikan: seiring β mendekati 0, garispotong PQ semakin mendakati garissinggung di titik P
Sehingga besar tingkat perubahan:
limββ0
ππππ’ππβππ π¦
ππππ’ππβππ π₯= lim
ββ0
π π + β β π(π)
β
DERIVATIVE
Fungsi derivative:
Fungsi derivative π(π₯) adalah suatu fungsi πβ²(π₯) yang dirumuskan:
πβ² π₯ = limββ0
π π₯ + β β π(π₯)
β
Proses dari perhitungannya disebut diferensial (turunan). Dikatakan bahwa π(π₯) terdiferensial di π₯ = π jika πβ²(π₯) ada, yaitu jika limit yang mendefinisikan πβ²(π₯) ada di titik π₯ = π
CONTOH 1:
Tentukan diferensial dari fungsi π π₯ = π₯2
Jawab:
πβ² π₯ = limββ0
π π₯+β βπ π₯
β
πβ² π₯ = limββ0
π₯+β 2βπ₯2
β= lim
ββ0
(π₯2+2π₯β+β2)βπ₯2
β= lim
ββ0
2π₯β+β2
β= lim
ββ02π₯ + β = 2π₯
NOTASI LEIBNIZ
Misalkan notasi turunan:
πβ² π₯ = limββ0
Ξπ¦
Ξπ₯= lim
ββ0
π π₯ + β β π(π₯)
β
dituliskanππ¦
ππ₯= lim
ββ0
π π₯ + β β π(π₯)
β= πβ²(π₯)
Order yang lebih tinggi:
2
2
4(4)
4
''d y
f xdx
d yf x
dx
TEKNIK DIFERENSIAL
Diferensial dari suatu konstantaπ
ππ₯π = 0
Jika π bilangan riil, maka berlakuπ
ππ₯π₯π = ππ₯πβ1
Jika π adalah konstan dan π(π₯) fungsi terdiferensial, maka: π
ππ₯ππ π₯ = π
π
ππ₯π(π₯)
LATIHAN 1
Tentukan diferensial dari fungsi berikut:
1. π π₯ =1
4π₯8 β
1
2π₯6 β π₯ + 2
2. π¦ =1
π‘+
1
π‘2β
1
π‘
3. π π₯ = π₯3 +1
π₯5
4. π π‘ = 2 π‘3 +4
π‘β 2
5. π¦ = βπ₯2
16+
2
π₯β π₯
3
2 +1
3π₯2
6. π¦ =7
π₯1.2+
5
π₯β2.1
7. π¦ =3π₯5 + 2π₯ +
4
π‘
KEGUNAAN DIFERENSIAL
1. Kemiringan Kurva
Kemiringan suatu kurva π¦ = π(π₯) di titik π₯ = π adalah π = πβ²(π)
2. Tingkat perubahan
Tingkat perubahan dari π(π₯) terhadap π₯, ketika π₯ = π adalah πβ²(π)
MENENTUKAN TINGKAT (RATE) PERUBAHAN
Kegunaan fungsi derivative, salah satunya, adalah menentukan tingkat (rate) perubahan, contohnyapada gerak linier.
Jika posisi obyek yang bergerak pada lintasan linier pada waktu π‘diberikan oleh fungsi π (π‘), maka obyek memiliki:
1) Kecepatan π£ π‘ = π β² π‘ =ππ
ππ‘
2) Percepatan π π‘ = π£β² π‘ =ππ£
ππ‘
Obyek bergerak maju ketika π£ π‘ > 0, bergerak mundur ketika π£ π‘ < 0, dan berhenti (stasioner) ketika π£ π‘ = 0
RELATIFITAS DAN PERSENTASE PERUBAHAN
Tingkat perubahan dari kuantitas π(π₯) pada saat π₯ diberikan oleh rasio:
Persentase perubahan dari π(π₯) pada waktu π₯ adalah:
Ξ =πβ² π₯
π π₯
% Ξ =πβ² π₯
π π₯β 100%
TANDA SIGNIFIKAN PADA DERIVATIVE
Jika fungsi π terdiferensial pada π₯ = π, maka:
1. π naik di π₯ = π, jika πβ² π > 0
2. π turun di π₯ = π, jika πβ² π < 0
Penggunaan aturan ini adalah ketika menentukan titik stasioner dan sketsa kurva.
Titik-titik stasioner π₯, yaitu memenuhi πβ² π₯ = 0
CONTOH 2:
Tentukan titik stasioner dan sketsa dari π π₯ =π₯3
3+ 2π₯2 β 21π₯ + 3
CONTOH
Posisi suatu benda bergerak linier diberikan oleh fungsi π π‘ = π‘3 β 6π‘2 + 9π‘ + 5
a) Tentukan kecepatan obyek tersebut saat π‘ = 0 dan π‘ = 4
b) Tentukan total jarak yang ditempuh oleh obyek tersebut antara π‘ = 0 dan π‘ = 4
c) Tentukan percepatan obyek antara π‘ = 0 dan π‘ = 4
LATIHAN 2
1.
2.
Pertumbuhan Populasi Diperkirakan bahwa x bulan darisekarang, populasi dari kota tertentu akan menjadi
π π₯ = 2π₯ + 4π₯3
2 + 5,000.a) Sembilan bulan dari sekarang, berapakah kecepatan
pertumbuhan populasi tersebut?b) Berapakah persentase kecepatan pertumbuhan
populasi saat 9 bulan dari sekarang?
Polusi udara Studi lingkungan dari suatu daerahmengemukakan bahwa π‘ tahun dari sekarang, rata-rata tingkat karbon monoksida di udara akan menjadiπ π‘ = 0.05π‘2 + 0.1π‘ + 3.4 ppm.a) Pada 1 tahun mendatang, berapakah kecepatan
perubahan tingkat karbon monoksida di udara?b) Berapakah kecepatan perubahan tingkat karbon
monoksida tahun ini?
3.
4. Efisiensi Pekerja Studi efisiensi dari shift pagi pada suatuperusahaan mengindikasikan bahwa rata-rata pekerjayang datang pukul 08:00, akan mengumpulkansebanyak π π₯ = βπ₯3 + 6π₯2 + 15π₯ unit pekerjaan, π₯jam kemudian. a) Tentukan fungsi kecepatan pekerja dalam
mengumpulkan pekerjaan setelah π₯ jam.b) Pada pukul 09:00, berapakah kecepatan pekerja
mengumpulkan pekerjaannya?c) Sketsakan grafik keefektifan pekerja tersebut.
ATURAN PENJUMLAHAN
The sum rule:π
ππ₯π π₯ + π π₯ =
π
ππ₯π π₯ +
π
ππ₯π(π₯)
Then, the difference of derivative: π
ππ₯π π₯ β π π₯ =
π
ππ₯π π₯ β
π
ππ₯π(π₯)
ATURAN PERKALIAN
Aturan perkalian fungsi derivative:
Jika π dan π fungsi yang terdiferensial pada π₯, maka perkalian kedua fungsi tersebutdidefinisikan:
π β π β² π₯ = πβ² π₯ π π₯ + π π₯ πβ²(π₯)
ATURAN PEMBAGIAN
Aturan perkalian fungsi derivative:
Jika π dan π fungsi yang terdiferensial pada π₯ dan π(π₯) β 0, maka pembagian keduafungsi tersebut didefinisikan:
π
π
β²π₯ =
πβ² π₯ π π₯ βπ π₯ πβ² π₯
π π₯ 2
ATURAN RANTAI
LATIHAN 3
1) πΉ π₯ =π₯2β1
2π₯+3
2) πΊ π₯ = (π₯3 β 2π₯)(2π₯ + 5)
3) Diketahui fungsi πΊ π₯ = (9π₯8 β 8π₯9) π₯ +1
π₯:
a) Tentukan πΊβ²(π₯)
b) Tentukan πΊβ²(β1)
4) πΉ π₯ =1
π₯5β2π₯+1 2
5) Tentukan nilai πΊβ²(2) dari πΊ π =3
5π 2+2
DIFERENSIALFUNGSI IMPLISIT
LATIHAN 4
1. π₯3 + π¦3 = π₯π¦
2. 5π₯ β π₯2π¦3 = 2y
3. π¦2 + 3π₯π¦ β 4π₯2 = 9
4. π₯ + π¦ = 1
Tentukan persamaan garis singgung kurva pada titik yang sudah diberikan:
5. π₯2 = π¦3 di (8, 4)
6. π₯2 β π¦3 = 2π₯ di (1, β1)
7. Pertumbuhan tumor suatu tumor dimodelkan, secarakasar, berbentuk bola dengan radius R. Jika radius tumor saat ini π = 0.54 cm dan mempunyaikecepatan tumbuh 0.13 cm per bulan. Berapakankecepatan perubahan volume dari tumor, diketahui:
π =4
3ππ 3
APLIKASI DERIVATIVE
LATIHAN
Tentukan interval naik dan turun dari kurva berikut
1. π π₯ = π₯2 β 4π₯ + 5
2. π(π‘) = π‘3 + 3π‘2 + 1
3. π π₯ = 3π₯5 β 5π₯3
4.
THE MEAN-VALUE THEORM
Jika π adalah fungsi terdiferensial pada selang terbuka (π, π) dan kontinu di selangtertutup [π, π], maka terdapat paling tidak satu bilangan π di (π, π) sedemikiansehingga:
πβ² π =π π βπ π
πβπ
KETERANGAN
Perhatikan gambar:Nilai dari
π π βπ π
πβπadalah kemiringan dari suatu garis, β,
yang melalui titik (π, π π ) dan (π, π π ).
Teorema mean-value dengan kata lain berkata bahwagrafik π mempunyai paling tidak satu titik (π, π π )dimana garis singgungnya sejajar dengan garis β.
ROLLE THEORM
Andaikan bahwa π adalah fungsi yang terdiferensial pada selang terbuka (π, π) dankontinu pada selang tertutup π, π . Jika π(π) dan π(π) keduanya bernilai 0, makaterdapat paling tidak satu bilangan π sedemikian hingga:
πβ² π = 0
LATIHAN
Tunjukkan bahwa π memenuhi kondisi dari teorema Rolle di interval yang diberikan. Tentukan bilangan π di dalam interval sedemikian sehingga πβ² π = 0
1. π π₯ = π₯3 β π₯; [0,1]
2. π π₯ = π₯4 β 2π₯2 β 8; [β2,2]
Tunjukkan bahwa π memenuhi kondisi teorema mean-value pada interval yang diberikan. Tentukan nilai π yang memenuhi konklusi dari teorema.
3. π π₯ = π₯2; [1,2]
4. π π₯ = 3 π₯ β 4π₯; [1,4]