Matematika Sarang Lebah

Anis Mulyani

152151122- C

IPK : 3,44

anismulyani16@gmail.com

085860833589

ernahkah kamu memerhatikan

bentuk sarang lebah? struktur

sarang lebah yang berbentuk

heksagonal begitu terstruktur secara rapi

Bahkan manusia tidak mampu membuat

perancangan yang sempurna ini tanpa

perhitungan geometris yang rumit akan

tetapi lebah melakukannya dengan

sangat mudah. padahal lebah belum

mempelajari teori tessellations. Namun,

beberapa pola perilaku mereka dapat

dijelaskan secara matematis.

P

Lebah menggunakan cara yang

sangat menarik ketika membangun

sarang. Mereka memulai membangun

sel-sel tempat penyimpanan madu dari

sudut-sudut yang berbeda, seterusnya

hingga pada akhirnya mereka bertemu di

tengah. Setelah pekerjaan usai, tidak

nampak adanya ketidakserasian ataupun

tambal sulam pada sel-sel tersebut.

Struktur sarang lebah

Struktur paling mencolok dalam

desain sarang lebah adalah bentuk tiga

belah ketupat sama sisi di bagian bawah

sel heksagonal. Setiap sel dirancang

sedemikian rupa agar dapat

dihubungkan dengan tiga sel di sisi yang

berlawanan. Struktur saling

berhubungan ini memberikan ketahanan

sarang lebah yang maksimal. Sama

seperti dua besi baja di hubungkan

dengan cara dilas satu sama lain.

Para ilmuwan meneliti struktur

sempurna sarang lebah ini memiliki

perhitungan matematis mengagumkan

yang dilakukan sedemikian rupa dan

sangat kompleks. Ini adalah desain yang

membutuhkan kejelian matematika

paling rumit.

Lebah menghitung besar sudut antara

rongga satu dengan lainnya pada saat

membangun rumahnya. Suatu rongga

dengan rongga di belakangnya selalu

dibangun dengan kemiringan tiga belas

derajat dari bidang datar. Dengan begitu,

kedua sisi rongga berada pada posisi

miring ke atas. Kemiringan ini

mencegah madu agar tidak mengalir

keluar dan tumpah.

Lalu kenapa bentuk hexagonal

yang dipilih oleh lebah?

Lebah hidup berkoloni, sehingga

membutuhkan sarang yang memuat

banyak ruang, selain juga untuk

menyimpan madunya. Bentuk segi enam

dapat membentuk pola yang dapat

disusun dengan saling menempelkan

antar sisinya sehingga tidak

menciptakan ruang sisa yang terbuang.

Tidak seperti lingkaran atau segi lima

misalnya yang tidak dapat disusun satu

sama lain.

Lalu kenapa tidak segi empat atau segi

tiga?

Pola segi empat dan segi tiga memang

dapat disusun, tetapi bentuk penampang

lebah adalah lingkaran, sehingga jika

digunakan bentuk segi empat atau segi

tiga untuk dimasuki lebah, maka akan

banyak ruang yang terbuang di dalam

rongga sarang tersebut. Maka solusi

paling efektif dan efisien adalah

menggunakan pola bentuk dengan

jumlah sisi terbanyak yang dapat

disusun. Dan bentuk ini adalah segi

enam.

Para ahli matematika

menyebutkan untuk mendapatkan

kapasitas ruang yang maksimal,

penggunaan dinding berbentuk

heksagonal ini meminimalkan jumlah

bahan bangunan, karena memiliki

keliling paling kecil dalam kapasitas

yang sama. Singkatnya, suatu kantung

heksagonal adalah bentuk terbaik untuk

memperoleh kapasitas simpan terbesar,

dengan bahan baku lilin dalam jumlah

paling sedikit.

Perhatikan tabel dibawah ini

Pengukuran Konstan

pengukuran

Persegi Segitiga Heksagonal

Luas dan

keliling

L = s2

K = 4 x sL =

12 a.t

K = 3S

L = 1/2a(6s) =

1/2a.K

K = 6 x s

Luas Luasnya

konstan dan

akan menjadi

sekitar 36

Sisi = 6

L = 6 x 6

= 36

Sisi= 9

L = 1/2 x

9 x 7,79 =

35,05

Sisi= 3,6

luas = 1/2 x

3,2 x 21,6 = 36

Keliling Sisi = 6

K = 4 x 6

= 24

Sisi = 9

K = 3 x 9

= 27

Sisi = 3,6

K=6 x

3,6=21,6

Jika luas yang sama

dan kita

membandingkan

keliling segi enam

memiliki keliling

paling kecil.

Area Sisi = 3

L = 3 x 3

= 9

Sisi = 4

L = 1/2 x

4 x 2√3 =

4√3 = 6,9

Sisi= 4

L = 1/2 x 1√3

x 6 x 2 = 6√3

= 10,4

Jika keliling yang

sama dan kita

bandingkan luas, segi

enam memiliki daerah

terbesar

Keliling Kelilingnya

konstant dan

akan menjadi

sekitar 12

Sisi = 3

K = 4 x 3

= 12

Sisi = 4

K = 3 x 4

=12

Sisi = 4

L = 6 x 4 =12

Dinding sarang lebah terdiri dari sel-sel yang 1/80 inci tebal, namun dapat

mendukung 30 kali berat badan mereka sendiri. Sebuah sarang lebah dari 14,5 x 8.8 dapat

menyimpan lebih dari lima pon madu. Itu juga menjelaskan mengapa mereka begitu

berat. Lebah menciptakan prisma heksagonal dalam tiga bagian belah ketupat, dan

dinding bertemu sel tepat pada sudut 120 derajat.

1. Sisi

a. Menentukan pola Un

U1 = 6

U2 = 24

U3 = 42

U4 = 60

Maka pola untuk deret tersebut dengan a = 6 dan b = 18

Un = a + (n - 1)b

= 6 + (n - 1)18

= 6 + 18n – 18

= 18n – 12

Pembuktian :

U1 = 18(1) – 12 = 6 (terbukti)

U2 = 18(2) – 12 = 24 (terbukti)

U3 = 18(3) – 12 = 42 (terbukti)

U4 = 18(4) – 12 = 60 (terbukti)

b. Menentukan pola Sn

Sn = n2 (a + Un )

= n2 ( 6 + 18n – 12)

= n2 ( 18n – 6)

= 9 n2 – 3n

Pembuktian :

Un = 18n – 12

Sn = 9 n2 – 3n

S1 = U1

9 (1)2 – 3(1) = 6

6 = 6 (Terbukti)

S2 = U1 + U2

9 (2)2 – 3(2) = 6 + 24

30 = 30 (Terbukti)

S3 = U1 + U2 + U3

9 (3)2 – 3(3) = 6 + 24 + 42

72 = 72 (Terbukti)

S4 = U1 + U2 + U3 + U4

9 (4)2 – 3(4) = 6 + 24 + 42 + 60

132 = 132 (Terbukti)

2. Keliling

Mencari keliling heksagonal sarang lebah sesuai dengan urutan deretnya.

a. Menentukan pola Un

U1 = 6s

U2 = 18s

U3 = 30s

U4 = 42s

Maka pola untuk deret tersebut dengan a = 6s dan b = 12s

Un = a + (n - 1)b

= 6s + (n – 1) 12s

= 6s + (12.s.n) – 12s

=(12.s.n) – 6s

b. Menentukan pola Sn

Sn = n2 (a + Un )

= n2 ( 6s + 12.s.n – 6s)

= n2 (12.s.n)

= 6.s.n2

3. Luas

Rumus luas heksagonal secara umum yaitu :

L = 12 . t . (6s)

= 12 .(

12 √3 . s ) . (k)

= 14 √3 . k . s

a. Menentukan pola Un

Maka untuk mendapat rumus Un dari luas dapat dicari dengan hubungan antara

rumus heksagonal secara umum dengan keliling.

Un = 14 √3 .s.Un(k)

= 14 √3 .s.(12.s.n - 6s)

= 3√3 s2.n - 32 √3 . s2

= 3√3 s2 ( n - 12 )

b. Menentukan pola Sn

U1 = a = 3√3 s2 ( 1 - 12 ) =

32 √3 s2

Sn = n2 (a + Un )

= n2 [

32 √3 s2+ 3√3 s2 ( n -

12 )]

= 3√32

n.s2 [12 + ( n -

12)]

= 3√32

n2.s2

= 3√32

(n.s)2

keterangan : s = panjang sisi

k = keliling

Un(k) = Urutan nilai berdasarkan Keliling

Jadi, alasan lebah menggunakan heksagonal dalam pembuatan sarangannya

karena bila menggunakan pola segi empat dan segi tiga penampang lebah adalah

lingkaran, sehingga jika digunakan bentuk segi empat atau segi tiga untuk dimasuki

lebah, maka akan banyak ruang yang terbuang di dalam rongga sarang tersebut. dan lebah

memilih heksagonal karena mempunyai keliling yang paling minimal dengan luas yang

maksimal.

Daftar Pustaka

Alistair Bird. (2015). Apiological mathematic. [online] tersedia :

http://aperiodical.com/2015/01/apiological- mathematical-speculations- about-

bees-part-1-honeycomb-geometry/ [ 8 Mei 2016]

N.N. (2010). Honeycomb. [online] tersedia :

http://id.wikipedia.org/wiki/honeyc omb [ 15 Mei 2016 ]

Ardiansyah. (2015). keajaiban sarang lebah. [online] tersedia: http://www.ardiyans

yah.com/2015/05/keajaiban-lebah-madu-hewan-yang.html [ 25 Mei 2015 ]