HIMPUNANARUM HANDINI PRIMANDARI, M.SC

AYUNDYAH KESUMAWATI, M.SI

Himpunan Jenis-jenis himpunan

Himpunan kosong & semesta

Himpunan berhingga & tak berhingga

Himpunan bagian (subset)

Himpunan saling lepas

Himpunan Kuasa (Power Set)

Himpunan Komplemen

Operasi Pada Himpunan

Operasi Gabungan (+)

Operasi Selisih (-)

Operasi Irisan ()

Operasi Kartesian

Operasi Komplemen

Cara Menuliskan Himpunan

Enumerasi

Simbol Baku

Notasi Pembentuk Himpunan

Diagram Ven

DEFINISI HIMPUNAN

Himpunan adalah kumpulan objek yang memenuhi sifat tertentu.

Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota dilambangkan dengan “ϵ”

Anggota-anggota yang membentuk himpunan adalah berbeda.

Contoh: {1, 2, 3} merupakan himpunan, tetapi {1, 1, 3} bukan merupakan himpunan. Kenapa?

CARA PENYAJIAN HIMPUNAN

1. Enumerasi

Menuliskan semua elemen himpunan yang bersangkutan di antara dua buah tanda kurung kurawal.

Contoh:

a) C = {Joy, Sadness, Disgust, Fear, Anger}

b) F = {facebook, Instagram, twitter, path, linkedIn, snapchat}

c) W = {R, SAS, Tableau, SPSS, Minitab, Matlab}

d) D = { {} }

2. Simbol-simbol baku

Simbol baku untuk himpunan antara lain:

P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... }

N = himpunan bilangan asli (natural) = { 1, 2, ... }

Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }

Q = himpunan bilangan rasional

R = himpunan bilangan riil

C = himpunan bilangan kompleks

3. Notasi Pembentuk Himpunan

Menuliskan syarat keanggotaan himpunan, dengan notasi:

{x | syarat yang harus dipenuhi oleh x}

Contoh:

a) A adalah himpunan bilangan prima lebih kecil dari 15, maka:

{x | x adalah bilangan prima lebih kecil dari 15}, atau

{x | x < 15, x ϵ N}

b) {x | x adalah himpunan dosen di Prodi Statistika UII}

4. Diagram Venn

Himpunan semesta, yang beranggotakan seluruh objek yang penting atau merupakan topikpembicaraan, direpresentasikan dengan bentuk kotak.

Di dalam kotak tersebut terdapat lingkaran-lingkaran untuk merepresentasikan himpunan.

Kadang tanda titik dipergunakan pula untuk menggambarkan elemen himpunan.

Contoh: Diagram Venn yang menggambarkan himpunan V yaitu himpunan huruf vokal dalam bahasaIndonesia

HIMPUNAN BERHINGGA

Jika himpunan A memiliki n buah elemen yang berbeda, maka A adalah himpunan berhingga (finite set).

Kardinalitas

Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.

Notasi: |A| atau n(A)

HIMPUNAN KUASA (POWER SET)

Himpunan kuasa dari A adalah himpunan dari seluruh subset A dan dinotasikan dengan P(A).

Kardinalitas dari P(A) dinotasikan dengan |P(A)| atau n(P(A)).

Rumus kardinal dari P(A) adalah:

( )( ( )) 2n An P A

HIMPUNAN KOSONG

Ada tepat satu himpunan yang tidak memiliki elemen, yang disebut sebagai himpunan kosong.

Dinotasikan sebagai atau {}.

Contoh:

a) A = {x | x adalah bilangan prima genap kurang dari 2}; n(A) = 0

b) B = {x | x2 < 0, x ϵ N}; n(B) = 0

HIMPUNAN SEMESTA

Himpunan semesta (S) disebut juga himpunan universal (U).

Sebuah himpunan S tersusun atas elemen-elemen, dan jika a merupakan salah satu elemennya, maka dapat dinotasikan a S.

Contoh:

Misalkan U = {Singapore, Zurich, Hong Kong, Geneva, Paris, London, New York}, maka Zurich U.

HIMPUNAN BAGIAN (SUBSET)

Sebuah himpunan A merupakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika danhanya jika setiap elemen A merupakan elemen B.

Dalam hal ini dikatakan bahwa B superset dari A

Notasi: 𝐴 ⊆ 𝐵

Diagram Venn:U

AB

Contoh himpunan bagian:

TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut:

1) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A A).

2) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( A).

3) Jika A B dan B C, maka A C

a) {1,2,3} {1,2,3,4,5}

b) {4,5,6} {4,5,6}

c) N Z R C

A dan A A, maka dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A.

Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan adalah improper subset dari A.

A B berbeda dengan A B

i. A B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A B. Demikian A adalah himpunan

bagian sebenarnya (proper subset) dari B.

Contoh: {1} dan {2,3} adalah proper subset dari {1,2,3}

ii. A B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian (subset) dariB yang memungkinkan A = B.

HIMPUNAN SALING LEPAS (DISJOINT)

Himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika hanya jika kedua himpunan itu tak kosong dan tidak mempunyai elemen yang sama.

Notasi: A // B

Contoh:

2 2

2

a) { | 8 12 0} dan { | 4 0} tidak saling lepas

b) { | 8 12 0} dan {1,3,5} saling lepas

A x x x B x x

A x x x C

U

A B

OPERASI HIMPUNAN

1. Irisan (intersection)

Irisan himpunan A dan B adalah himpunan semua elemen persekutuan darihimpunan A dan B.

Notasi: 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∈ 𝐵

Contoh:

a) Jika A = {2, 3, 4, 5, 6} dan B = {2, 4, 6, 8, 10}, maka: 𝐴 ∩ 𝐵 = {2, 4, 6}

b) Jika A = {1, 3, 5, 7} dan B = {2, 4, 6, 8}, maka: 𝐴 ∩ 𝐵 = {} artinya A // B

2. Gabungan (Union)

Gabungan himpunan A dan B adalah himpunan semua elemen A atau semua elemen B atau elemen keduanya.

Notasi: 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 ∈ 𝐵

Contoh:

a) Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d, e, f } maka P Q = {a, b, c,d, e, f }

b) 𝐴 ∪ 𝜙 = 𝐴

3. Komplemen (complement)

Komplemen suatu himpunan A adalah himpunan semua elemen dalam semesta pembicaraan tetapi bukan elemen A.

Notasi: 𝐴𝑐 = ҧ𝐴 = 𝑥|𝑥 ∈ 𝑈, 𝑥 ∉ 𝐴

Contoh:

a) Misalkan: U = {1, 2, 3, …, 10} . Jika A = {1, 2, 3, 4}, maka Ac = {5, 6, 7, 8, 9, 10}.

b) 𝑆𝑐 = 𝜙 𝑑𝑎𝑛 𝜙𝑐 = 𝑆

c) 𝐴𝑐 𝑐 = 𝐴

d) 𝐴 ∪ 𝐴𝑐 = 𝑆 𝑑𝑎𝑛 𝐴 ∩ 𝐴𝑐 = 𝜙

4. Selisih

Selisih dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya merupakanelemen A dan bukan elemen B.

Notasi: 𝐴 − 𝐵 = 𝑥| 𝑥 𝜖 𝐴, 𝑥 ∉ 𝐵

Contoh:

{1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}

5. Perkalian Kartesian (cartesian product)

Cartesian products dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semuapasangan berurutan yang mungkin terbentuk dengan komponen pertama darihimpunan A dan komponen kedua dari himpunan B.

Notasi:

Contoh:

Misalkan: A = {a, b} dan B = {1, 2, 3}, maka:

( , )| ,A B a b a A b B

( ,1),( ,2),( ,3),( ,1),( ,2),( ,3)A B a a a b b b

Catatan untuk perkalian kartesian:

1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: n(A×B) = n(A).n(B)

2. Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b) (b, a).

3. Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A B B A dengan syarat A atau B tidak kosong.

4. Jika A = atau B = , maka A B = B A =

6. Beda setangkup (Symmetric Difference)

Notasi:

Contoh:

Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5}, maka:

A B A B A B

A B B A

{3,4,5,6}A B

TEOREMA ALJABAR HIMPUNAN

Misal S himpunan semesta dan A,B, dan C adalah subhimpunan dari S maka berlaku sifat berikut:

1. Hukum asosiatif (associative law)

(A B) C = A (B C)

(A B) C = A (B C)

(A B) C = A (B C)

2. Hukum komutatif (commutative law)

A B = B A

A B = B A

A B = B A

3. Hukum distributif (distributive law)

A (B C) = (A B) (A C)

A (B C) = (A B) (A C)

4. Hukum identitas (identity law)

A = A

A S = A

5. Hukum komplemen (complement law)

A Ac = S

A Ac =

6. Hukum idempoten (idempotent law)

A A = A

A A = A

7. Hukum ikatan (bound law)

A S = S

A =

8. Hukum penyerapan (absorption law)

A (A B) = A

A (A B) = A

9. Hukum involusi (involution law)

A’’ = A

10. Hukum 0/1(1/0 law)

c = S

Sc =

11. Hukum De Morgan untuk himpunan (De Morgan’s laws for sets)

(A B)c = Ac Bc

(A B)c = Ac Bc

LATIHAN

REFERENSI

kur2003.if.itb.ac.id/file/Himpunan.doc

Diktat Kalkulus: Undip