INTEGRAL LIPAT DUA

Luas daerah yang diarsir (merah) δa : δy . δx

Apabila δy 0 ; δx 0 maka luas bidang tersebut menjadi integral yang

ditulis sebagai berikut :

∫ ∫=

=

=

=

=sx

rx

my

ky

dxdyA .

Untuk menghitungnya dimulai dari bagian dalam kemudian bagian luar.

∫ ∫=

=

=

==

sx

rx

my

kydxdyA .

[ ]∫

=

=

===

sx

rx

myky dxy

( ) ( )[ ]∫=

=

==−=−=

sx

rx

sxrxxkmdxkm

( ) ( )rskmA −−= .

O r s X

Y

m

k

δx

δy

KESIMPULAN

Pernyataan ( )∫ ∫= 2

1

2

1

,y

y

x

xdydxyxfA

disebut Integral lipat dua / Double Integral

Langkah penyelesaian :

1) f (x,y) diintegrasikan terhadap x (dengan menganggap y konstan)

dengan batas x=x1 dan x=x2.

2) Hasilnya kemudian diintegrasikan terhadap y dengan batas y=y1 dan

y=y2.

Contoh soal :

Hitunglah ( )∫ ∫ +=2

1

4

22 dydxyxI

Jawab : ( )∫ ∫ +=2

1

4

22 dydxyxI

dyxyx4

2

2

1

2 221

∫

+=

( ) ( ) dyyy∫ +−+=2

14288

( ) [ ]2122

12646 yydyy +=+=∫

= (12+8) – (6+2)

= 20-8 = 12

PENERAPAN

Tentukan luas daerah yang dibatasi

oleh y=5

4x sumbu x, dan ordinat

pada x = 5.

PENYELESAIAN

Luas elemen yang diarsir = δy . δx

Jika δy 0 dan δx 0, maka :

∫ ∫=5

0 0

1ydxdyA

[ ] ∫∫ ==5

0 1

5

0 01 dxydxy y

Tetapi 54

1xy = , maka :

105

25

45

0

5

0

2

=

== ∫

xdxxA satuan luas.

O

Y

5 X δx

y1 = 5

4x

δy

Contoh Penerapan 2 Tentukan momen kedua dari empat

persegi panjang 6m x 4m

mengelilingi sumbu yang melalui

salah satu titik sudutnya dan tegak

lurus kepada bidang persegi panjang

tersebut.

Jawab :

δa = δy . δx

Momen kedua p terhadap oz = δa (op)2

= δy . δx (x2 + y2)

Jika δx 0 dan δy 0 maka :

( )∫ ∫ +=6

0

4

0

22 dxdyyxA

∫∫

+=

+=

6

0

26

0

4

0

32

3644

3dxxdxyyx

4

6

0

3

4161282883

643

4 cmxx=+=

+=

BENTUK PENULISAN LAIN INTEGRAL LIPAT DUA

Kadang-kadang integral lipat dua ditulis dengan cara yang sedikit berbeda,

sebagai berikut :

Hitunglah : ( ) dyxxdx∫∫ −1

0

23

0

Kunci pengerjaannya : Diselesaikan mulai integral yang paling kanan,

kemudian berurut-urutan kekiri.

Penyelesaian :

( )∫ ∫ −=3

0

1

0

2 dyxxdxI

[ ]10

3

0

2∫ −= yxxydx

( )23

0xxdx −= ∫

( )∫ −=3

0

2 dxxx

=

3

0

32

31

21

− xx

5,4929

−=−=

INTEGRAL LIPAT TIGA

( )∫ ∫ ∫=b

a

d

c

f

edzdydxzyxfI ..,,

Urutan penyelesaiannya dari paling dalam

( )∫∫∫f

e

d

c

b

adzdydxzyxf ..,,

Contoh :

Hitunglah : ( )∫ ∫ ∫−−+

3

1

1

1

2

0..2 dzdydxzyxf

Jawab : ( )∫ ∫ ∫−−+=

3

1

1

1

2

0..2 dzdydxzyxI

∫ ∫−

−+=

3

1

1

1

2

0

2 .221 dzdyxzxyx

[ ]∫ ∫− −−+=3

1

1

1

11

2 222 dzzy

( ) ( ) ∫ ++−−−+=3

1222222 dzzz

( )∫ −=3

144 dzz

[ ]31224 zz −=

= (12-18) – (4-2) = -8

Penentuan Volume dengan Integral Lipat

Elemen volume δx . δy . δz

1. Penjumlahan elemen tersebut kearah kolom menghasilkan :

zyxz

zz

yy

yy

Vc δδδδ ..01

1

2 ∑∑=

=

=

=

=

2. Jika sekarang jumlahkan kolom-kolom di antara y = y1 dan y = y2,

diperoleh volume irisan.

zyxz

zz

yy

yy

Vs δδδδ ..01

1

2 ∑∑=

=

=

=

=

3. Kemudian, penjumlahan terhadap semua irisan diantara x=x1 dan

x=x2 memberikan volume total.

zyxz

zz

yy

yy

xx

xx

V δδδ ..02

1

2

1

2 ∑∑∑=

=

=

=

=

==

Selanjutnya, seperti biasa, jika δx 0, δy 0, dan δz 0,

∫ ∫ ∫= 21

21

10 ..x

xyy

z dzdydxV

Contoh 1. Sebuah benda dilingkupi oleh bidang z = 0, bidang x = 1, x = 4, y = 2,

y = 5 dan permukaan z = x + y. Tentukanlah volume benda tersebut.

Jawab :

Pertama-tama seperti apakah bentuk bendanya?

Bidang z = 0 adalah bidang x-y dan bidang x = 1 mempunyai posisi

sebagai berikut :

Dengan cara yang sama, gambarkanlah bidang-bidang sisi vertikalnya.

Sampai disini gambarnya nampak seperti ini :

Jika sekarang tandai ketinggian, yang dihitung pada masing-masing

perpotongnnya (z = x + y), didapatkan

Ini barulah persiapan untuk menyelesaikan persoalan, agar kita tahu

bagaimana menangani integralnya.

Untuk tahap perhitungannya, pindahkan kebingkai berikut.

1) Volume elemen Ω δx . δy . δz

2) Volume kolom Ω δx . δy ∑+=

=

)(

0

yx

zz

3) Volume irisan Ω δx ∑∑=

=

=

=

+dy

yxzz

dyyy

025

4) Volume total benda Ω ∑∑∑=

=

=

=

=

=

+dz

yxzz

dyyy

dxxx

025

14

Kemudian, sebagaimana biasanya, jika δx 0, δy 0, δz 0,

hubungan ini menjadi :

∫∫∫+

=yx

zdydxV0

5

2

4

1δ

V ( )yxdydxdzdydxyx

+== ∫∫∫∫∫+ 5

2

4

10

5

2

4

1

( )5

2

24

10

5

2

4

1 2

+=+= ∫∫∫∫

+ yxydxdzyxdydxyx

dxxxxdx

+=

−−+= ∫∫ 2

213222255

4

1

4

1

[ ]4124

1

2213

21

221

23 xxxx

+=

+=

( ) ( ) 24132212138448

21

−=+−+= = 54 satuan3

Contoh :

Hitunglah isi benda yang dibatasi oleh silinder x2 + y2 = a2, bidang z = y

dan z = 0.

Penyelesaian :

Pada gambar tersebut diberikan ¼ bagian dari benda batas-batasnya :

z1 = 0 ; z2 = y

y1 = 0 ; y2 = 22 xa −

x1 = 0 ; x2 = a

Jadi, ∫ ∫∫−

=22

0 00..4

xa yadxdydzI

∫∫−

=22

00..4

xaadxdyyI

dxyIxa

a22

0

20 2

14−

= ∫

[ ] dxyIxaa 22

02

02

−

∫=

( )dxxaIa 220

2 −= ∫

−=

−= 33

0

32

312

312 aaxxaI

a

3

34 aI =

KESIMPULAN

Kunci untuk menyelesaikan integral lipat tiga/dua :

1. Untuk integral yang ditulis dalam bentuk :

( ) dydxyxfx

x

y

y.,2

1

2

1 ∫∫

Pengerjaannya mulai dari dalam keluar.

2. Untuk integral yang ditulis dalam bentuk :

( )dxyxfdyx

x

y

y,2

1

2

1 ∫∫

Pengerjaannya dari kanan ke kiri