Isnaini Nurisusilawati

Distribusi peluang untuk peubah acak kontinu tidakbias disajikan dalam bentuk table tapi dalam bentukrumus.

Fungsi peluang, f(x), untuk peubah acak kontinudisebut fungsi padat peluang (Probability DensityFunction/pdf) atau fungsi padat saja.

Grafik fungsi padat adalah kurva kontinu dan peluangdinyatakan sebagai luas daerah di bawah kurva.

Karena peluang selalu positif, maka kurva fungsi padatselalu berada di atas sumbu-x

Fungsi f(x) adalah fungsi padat peluang (probability density function/pdf) peubahacak kontinu X, yang didefinisikan di atas himpunan semua bilangan real R, bila

1. f(x) ≥ 0 untuk semua x anggota R

2. −∞

∞𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1

3. 𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 = 𝑎

𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1

Perhatikan bahwa, peubah acak kontinu mempunyai peluang nol pada setiap titikx, tapi lebih besar dari 0 untuk X yang terletak dalam sebuah selang(interval).

Misal,

Satu orang dipilih secara acak dari suatu kelompok mahasiswa. Peluangmahasiswa yang terpilih memiliki tepat 172 cm (tidak kurang atau lebihsedikitpun yaitu presisi 172,0000) adalah sangat kecil sehingga peluangkejadian tersebut diberi nilai nol. Namun, peluang memilih mahasiswa yangtingginya paling sedikit 172,000 cm dan 174,000 cm lebih besar dari nol.

Perhatikan pula bahwa bila X kontinu,

P(a < X ≤ b) = P(a < X < b) + P(X = b) = P(a < X < b) + 0 = P(a < X < b)

Artinya, tidak penting benar apakah titik di ujung selang diikutsertakan atau tidak.Hal ini tidak benar jika X adalah diskrit.

Misalkan bahwa error suhu reaksi, dalam 0C, pada percobaan laboratorium yang dikontrol merupakan variabel acak yang mempunyai fungsi padat peluang

𝑥2

3, -1 < x < 2

0, untuk x lainnya

a. Tunjukkan bahwa syarat 2 dipenuhi

b. Hitung P(0 < x ≤ 1)

Jawab

a. −∞

∞𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = −1

2 𝑥2

3𝑑𝑥 =

𝑥3

9

2−1

=8

9+

1

9= 1

b. P(0 < x ≤ 1) = 0

1 𝑥2

3𝑑𝑥 =

𝑥3

9

10

=1

9

f(x) =

Tentukan konstanta c sedemikian rupa sehingga fungsi

cx2, 0 < x < 3

0, untuk x lainnya

Adalah fungsi padat peluang, kemudian hitung P(1 < X < 2)!

f(x) =

Syarat 1: c harus ≥ 0 agar f(x) ≥ 0

Lalu,

−∞

∞𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0

3𝑐𝑥2 𝑑𝑥 =

𝑐𝑥3

3

30

= 9𝑐

Syarat 2: −∞

∞𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1

maka, 9c = 1 sehingga c = 1/9

P(1 < X < 2) = 1

2 𝑥2

9𝑑𝑥 =

𝑥3

3

21

= 8/27 – 1/27 = 7/27

Distribusi kumulatif F(x) suatu peubah acak kontinu X dengan fungsi padat f(x) diberikan oleh

𝐹 𝑥 = 𝑃(𝑥 ≤ 𝑥) = −∞

𝑥𝑓 𝑡 𝑑𝑡 untuk −∞ < x < ∞

Sebagai akibat langsung dari definisi diatas, dapat ditulis kedua hasil berikut:

P(a < x < b) = F(b) – F(a)

Dan

𝑓 𝑥 =𝑑𝐹(𝑥)

𝑑𝑥

Carilah F(x) dari fungsi padat di bawah ini lalu hitunglah P(1 < x < 2)

f(x) = 0

3 𝑥2

9𝑑𝑥

Jawab:

Jika x < 0, maka F(x) = 0

Jika 0 ≤ x < 3, maka

F(x) = −∞

𝑥𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 0

𝑥 𝑡2

9𝑑𝑡 =

𝑡3

27

𝑥0

=𝑥3

27

Jika x ≥ 3, maka

F(x) = 0

3𝑓 𝑡 𝑑𝑡 + 3

𝑥𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 0

3 𝑡2

9𝑑𝑡 + 3

𝑥0𝑑𝑡 = 1

Jadi distribusi kumulatifnya,

𝐹 𝑥 =

0, 𝑥 < 0

𝑥3

27, 0 ≤ 𝑥 < 3

1, 𝑥 > 3

P(1 < x < 2) = F(2) – F(1) = 8/27 – 1/27 =7/27

Distribusi normal adalah distribusi peluang kontinu yang terpenting dalam seluruhbidang statiska. Alasannya:

1. Distribusi normal memiliki kemampuan yang dapat diterapkan pada banyak situasi,terutama untuk membuat kesimpulan dari sampel yang digunakan.

2. Distribusi normal sangat baik digunakan dalam analisis fenomena yang menggunakandata kontinu, seperti ukuran berat, tinggi rendahnya skor IQ, jumlah curah hujan, dll.

Sekumpulan nilai data akan terdistribusi normal (membentuk kurva yang simetris)jika rata-rata nilai variabel sama dengan median dan sama dengan modus nilaidata tersebut (mean=median=modus).

Grafiknya disebut kurva normal dan berbentuk seperti lonceng yangmenggambarkan dengan cukup baik banyak gejala yang muncul di alam, industri,dan penelitian.

Suatu peubah acak kontinu X yang distribusinya berbentuk lonceng disebutpeubah acak normal.

Distribusi normal, Fungsi padat peubah acak normal X, dengan rataan 𝝁 danvariansi σ2, ialah

𝒏 𝒙; 𝝁, 𝝈 = 𝒇 𝒙 =𝟏

𝟐𝝅𝝈𝒆

−𝟏𝟐

𝒙−𝝁𝝈

𝟐

𝝁= rata-rata populasi

𝝈 = simpangan baku populasi

𝝅 = konstanta yang nilainya mendekati 3,14159

e = konstanta yang nilainya mendekati 2,7182

x = setiap nilai variabel acak kontinu yang besarnya -∞ sampai dengan +∞

1. Grafik simetri terhadap garis tegak x=𝝁

2. Grafik selalu berada di atas sumbu X atauf(x)>0

3. Mempunyai 1 nilai modus (titik pada sumbudatar yang memberikan maksimum kurva)yang terdapat pada x=𝝁

4. Luas daerah di bawah kurva f(x) dan di atassumbu x=1, yaitu F(-∞ < x < +∞) = 1

Probabilitas distribusi normal f(x) pada interval a<x<b

ditentukan dengan memakai luas daerah di bawah kurva f(x).

Karena f(x) merupakan fungsi kontinu, probabilitas P(a<x<b)

dihitung dengan memakai integral dari fungsi f(x) yang

dibatasi oleh x=a dan x=b, yaitu

P(a<x<b) = 𝑎

𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎

𝑏 1

𝟐𝝅𝝈𝒆

−𝟏

𝟐

𝒙−𝝁

𝝈

𝟐

dx

P(a<x<b) = 𝒂

𝒃𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒂

𝒃 𝟏

𝟐𝝅𝝈𝒆

−𝟏

𝟐

𝒙−𝝁

𝝈

𝟐

dx

Rumus integral diatas sangat berguna untuk menghitung daerah di bawah kurva distribusi normal

standar. Tapi, secara matematis bentuk integral dari fungsi f(x) tersebut sulit dipecahkan secara

langsung dengan teknik integral. Maka, penyelesaiannya dilakukan dengan transformasi nilai-

nilai x menjadi nilai baku Z yaitu,

𝒁 =𝒙 − 𝝁

𝝈

𝒁 =𝒙 − 𝝁

𝝈

𝝁-3𝝈 𝝁-2𝝈 𝝁-𝝈 𝝁 𝝁+3𝝈𝝁+2𝝈𝝁+𝝈

−𝟑 −𝟐 −𝟏 0 𝟑𝟐𝟏

𝝁 = 𝟎𝝈 = 𝟏

𝒇 𝒙 → 𝒇(𝒁) 𝒇 𝒙 =𝟏

𝟐𝝅𝝈𝒆

−𝟏𝟐

𝒙−𝝁𝝈

𝟐

𝒇 𝒁 =𝟏

𝟐𝝅𝒆−

𝟏

𝟐𝒁𝟐

, dimana -∞ < z < +∞

Probabilitas P(Z1 < Z < Z2) dihitung dengan rumus berikut:

P(Z1 < Z < Z2) = z1

z2 𝒇 𝒛 𝒅𝒛 = z1

z𝟐 𝟏

𝟐𝝅𝒆−

𝟏

𝟐𝒛 𝟐

dz

Probabilitas dihitung dengan menggunakan Tabel Distribusi Normal Standar.

𝒇 𝒁 =𝟏

𝟐𝝅𝒆−

𝟏

𝟐𝒁𝟐

, dimana -∞ < z < +∞

Tentukan probabilitas dari nilai Z berikut:

a. P(0 < Z ≤ 1,54) f. P(Z ≥ 1,75)

b. P(-2,53 ≤ Z < 0) g. P(Z < -1,75)

c. P(1,62 ≤ Z ≤ 1,62) h. P(Z > -1,52)

d. P(1,62 ≤ Z ≤ 1,62) i. P(Z < 0,97)

e. P(1,62 ≤ Z ≤ 1,62) j. P(-1,43 < Z < 2,53)

Gunakan Tabel Distribusi Normal Standar P(0<Z<Z0). Perhatikan luas daerah yang diarsir

pada gambar di sebelah kiri yang menunjukkan probabilitas nilai Z yang hendak

dihitung. Karena fungsi f(z) adalah fungsi kontinu, P(0<Z<Z1) = P(0 ≤ Z<Z1)

a. Daerah P(0 < Z ≤ 1,54)

Dari tabel diperoleh P(0 < Z ≤ 1,54)

= P(Z<1,54) - P(Z>0)

= 0,9382 – 0,5000

= 0,4382

b. Daerah P(-2,53 ≤ Z < 0)

Dari tabel diperoleh P(-2,53 ≤ Z < 0)

= P(Z<0) - P(Z>-2,53)

= 0,5000 – 0,0057

= 0, 4943

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

De

nsit

y

0

0,4382

1,54

Distribution PlotNormal; Mean=0; StDev=1

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

De

nsit

y

-2,53

0,4943

0

Distribution PlotNormal; Mean=0; StDev=1

c. Daerah P(-1,62 ≤ Z ≤ 1,62)

P(-1,62 ≤ Z ≤ 1,62)

= P(Z ≤ 1,62) - P(Z ≥ -1,62)

= 0,9474 - 0,0526

= 0,8948

d. Daerah P(-2,75 < Z <-1,52)

P(-2,75 < Z <-1,52)

= P(Z<-1,52) - P(Z>-2,75)

= 0,0643 – 0,0030

= 0,0613

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

De

nsit

y

-1,62

0,8948

1,620

Distribution PlotNormal; Mean=0; StDev=1

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

De

nsit

y

-2,75

0,06128

-1,52 0

Distribution PlotNormal; Mean=0; StDev=1

e. Daerah P(1,42 < Z < 2,54)

P(1,42 < Z < 2,54)

= P(Z < 2,54) - P(Z > 1,42)

= 0,9945 – 0,9222

= 0,0723

f. Daerah P(Z ≥ 1,75)

P(Z ≥ 1,75) = 1 - 0,9599

= 0,0401

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

De

nsit

y

1,42

0,07226

2,540

Distribution PlotNormal; Mean=0; StDev=1

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

De

nsit

y

1,75

0,04006

0

Distribution PlotNormal; Mean=0; StDev=1

g. Daerah P(Z < -1,75)

P(Z < -1,75) = 1-0,0401

= 0,9599

h. Daerah P(Z > -1,52)

P(Z > -1,52)= 1 - 0,0643

= 0,9357

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

De

nsit

y

-1,75

0,04006

0

Distribution PlotNormal; Mean=0; StDev=1

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

De

nsit

y

-1,52

0,9357

0

Distribution PlotNormal; Mean=0; StDev=1

i. Daerah P(Z < 0,97)

P(Z < 0,97) = 0,8340

j. Daerah P(-1,43 < Z < 2,53)

P(-1,43 < Z < 2,53)

= P(0>Z>-1,43) + P(0<Z<2,53)

= (0,5 - 0,0764) + (0,9943 - 0,5)

= 0,4236 + 0,4943

= 0,9179

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

De

nsit

y

0,97

0,8340

0

Distribution PlotNormal; Mean=0; StDev=1

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

De

nsit

y

-1,43

0,9179

2,530

Distribution PlotNormal; Mean=0; StDev=1

Bila X adalah variabel acak berdistribusi normal dengan rata-rata 𝝁 = 25 dansimpangan baku 𝝈 = 10. Tentukanlah probabilitas P(20<X<38)!

Jawab,

𝑍 =𝑋−𝝁

𝝈=

𝑋−25

10

Didapat,

𝑍1 =20 − 25

10= −0,50 dan 𝑍2 =

38 − 25

10= 1,3

Maka, probabilitas

P(20<X<38) = P(-0,50<Z<1,3)

= P(-0,50<Z<0) + P(0<Z<1,3)

= (0,5-0,3085) + (0,9032-0,5)

= 0, 1915 + 0,4032

= 0,5947

1. Diketahui suatu distribusi normal dengan 𝝁=50 dan 𝝈=10. Carilah peluangbahwa X mendapat nilai antara 45 dan 62!

2. Diketahui distribusi normal dengan 𝝁=300 dan 𝝈=50. Carilah peluang bahwa Xmendapat suatu nilai lebih besar dari 362!

3. Diketahui suatu distribusi normal dengan 𝝁 =40 dan 𝝈 =6. Carilah nilai Xsehingga

a. Luas di sebelah kirinya 45%

b. Luas di sebelah kanannya 14%

Suatu jenis baterai mobil rata-rata berumur 3,0 tahun dengan simpangan baku 0,5tahun. Bila dianggap umur baterai berdistribusi normal, carilah peluang suatubaterai tertentu akan berumur kurang dari 2,3 tahun!

P(X<2,3) = P(Z<-1,4) = 0,0808

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

De

nsit

y

2,3

0,08076

3

Distribution PlotNormal; Mean=3; StDev=0,5

1. Suatu perusahaan listrik menghasilkan bola lampu yang umurnya berdistribusinormal dengan rataan 800 jam dan simpangan baku 40 jam. Hitunglah peluangsuatu bola lampu dapat menyala antara 778 dan 834 jam!

2. Dalam suatu proses industri, diameter suatu laher merupakan bagian yangpenting. Pembeli menetapkan ketentuan mengenai diameternya, yakni sebesar3,0±0,01 cm. maksudnya ialah bahwa tidak ada laher yang ukurannya diluarketentuan ini akan diterima. Diketahui bahwa dalam proses pembuatan diameterlaher tersebut berdistribusi normal dengan rataan 3,0 dan simpangan baku𝝈=0,005. Berapa banyak rata-rata laher yang akan terbuang?

3. Suatu pengukur dipakai untuk menolak semua suku cadang yang berukurantidak memenuhi ketentuan 1,50±d. Diketahui bahwa pengukuran tersebutberdistribusi normal dengan rataan 1,50 dan simpangan baku 0,2. tentukanlahnilai d sehingga ketentuan tersebut ‘mencakup’ 95% dari seluruh pengukuran!

Suatu mesin membuat alat tahanan listrik dengan rataan tahanan 40 ohm dansimpangan baku 2 ohm. Misalkanlah bahwa tahanan berdistribusi normal dandapat diukur sampai derajat ketelitian yang diinginkan. Berapa persentase alatyang mempunyai tahanan melebihi 43 ohm?

Hitunglah persentase tahanan yang melebihi 43 ohm pada soal diatas jika tahanandiukur dengan membulatkan ke bilangan bulat terdekat!

Nilai rata-rata dalam suatu ujian adalah 74 dan simpangan bakunya 7. bila 12% daripengikut ujian mendapat nilai A, dan nilai ujian dibuat mengikuti distribusi normal,berapakah kemungkinan nilai A yang terkecil dan nilai B tertinggi?