Kalkulus Peubah Banyak
-
Upload
ferninda-rahman -
Category
Education
-
view
194 -
download
11
Transcript of Kalkulus Peubah Banyak
TUGAS PERSAMAAN DIFERENSIAL
BIDANG FISIKA
OLEH :
FERNINDA
130803042
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2014
KATA PENGANTAR
Puji syukur kita ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas kekuatan dan
hikmat yang diberikan-Nya, sehingga saya dapat menyelesaikan makalah yang
berjudul “PERSAMAAN DIFERENSIAL BIDANG FISIKA” dapat
diselesaikan dengan ketentuan waktu yang diberikan. Saya selaku penulis
mengucapkan terima kasih kepada Bapak/Ibu Dosen yang telah memberi
dorongan sehingga makalah ini bisa selesai.
Saya dari penulis manyadari bahwa makalah ini masih jauh dari
kesempurnaan. Namun saya sudah berusaha semaksimal mungkin agar makalah
ini bisa terselesaikan dengan baik.
Untuk itu saya selaku penulis mengharapkan saran dan kritikan yang
bersifat membangun untuk penyempurnaan makalah ini, sehingga dapat
bermanfaat untuk pembaca dan bisa dijadikan sebagai salah satu pedoman ilmu
pengetahuan untuk kedepan. Amin.
Medan, 26 November 2014
Penulis
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ......................................................................................... i
DAFTAR ISI .........................................................................................................ii
BAB I PENDAHULUAN .................................................................................1
1.1. Latar Belakang ................................................................................ 1
1.2 Rumusan Masalah ............................................................................ 1
1.3 Tujuan Masalah ................................................................................ 1
BAB II PEMBAHASAN.................................................................................... 2
2.1. Penerapan Turunan Terhadap Gerak Lurus Beraturan
(GLB) .......................................................................................... 2
2.2. Penerapan Turunan Terhadap Rangkaian Listrik
RLC ............................................................................................. 2
2.3. Penerapan Turunan Terhadap Torsi .............................................. 8
BAB III PENUTUP ........................................................................................... 10
3.1. Kesimpulan ................................................................................... 10
3.2. Saran ............................................................................................. 10
DAFTAR PUSTAKA.......................................................................................... 11
BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Diferensial merupakan ilmu cabang dari kalkulus. Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", yang digunakan untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret tak terhingga.. Diferensial memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, teknik, dan aljabar elementer.
Diferensial adalah salah satu cabang kalkulus dalam matematika yang mempelajari bagaimana nilai suatu fungsi berubah menurut perubahan input nilainya. Topik utama dalam pembelajaran kalkulus diferensial adalah turunan. Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati nilai input. Turunan mempunyai aplikasi dalam semua bidang kuantitatif. Turunan sangat berguna dalam bidang fisika. Seperti para penemu-penemu rumus- rumus baru menemukan rumus baru tersebut juga banyak yang berdasarkan ilmu turunan. Seperti Newton yang menemukan hukum gerak kedua Newton dengan menggunakan turunan.
Di fisika, turunan dari perpindahan benda terhadap waktu adalah kecepatan benda, dan turunan dari kecepatan terhadap waktu adalah percepatan. Hukum gerak kedua Newton menyatakan bahwa turunan dari momentum suatu benda sama dengan gaya yang diberikan kepada benda.
1.2. Rumusan Masalah
Adapun yang menjadi masalah didalam makalah ini yaitu:
a. Penerapan turunan dalam bidang fisika yaitu pada materi Gerak Lurus
Beraturan (GLB).
b. Penerapan turunan dalam bidang fisika yaitu pada materi rangkaian listrik
RLC.
c. Penerapan turunan dalam bidang fisika yaitu pada materi torsi benda tegar.
1.3. Tujuan Masalah
Adapun yang menjadi tujuan dari penyusunan makalah ini yaitu:
a. Mengetahui aplikasi turunan dalam bidang fisika.
b. Mengetahui apa-apa saja materi dalam fisika yang menggunakan konsep
konsep turunan.
BAB II
PEMBAHASAN
2.1. Penerapan Turunan Terhadap Gerak Lurus Beraturan (GLB)
a). Kecepatan ( V )
Istilah kelajuan atau laju menyatakan seberapa jauh sebuah benda bergerak dalam selang waktu tertentu. Umumnya, laju sebuah benda didefinisikan sebagai jarak total yang ditempuh sepanjang lintasannya dibagi waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak tersebut.
V = st
Dimana :
V : laju rata (m/s) s : jarak total yang ditempuh( meter) t : waktu tempuh yang diperlukan (sekon)
b.) Percepatan Rata- Rata(a)
Percepatan sesaat dapat didefinisikan sebagai percepatan rata-rata pada limit t yang menjadi sangat kecil, mendekati nol. Percepatan sesaat (a) untuk satu dimensi dapat dituliskan sebagai berikut:
a = lim delta t menuju 0 delta v / delta t.
Dalam hal ini v menyatakan perubahan yang sangat kecil pada kecepatan selama selang waktu t yang sangat pendek. Perhatikan dengan teliti bahwa percepatan menunjukkan seberapa cepat kecepatan berubah, sementara kecepatan menunjukkan seberapa cepat posisi berubah.
2.2. Penerapan Turunan Terhadap Rangkaian Listrik RLC
Hukum Kirchof II untuk menentukan arus listrik dari model PD :
(2.2.1)
dimana q adalah kapasitas dari kapasitor pada waktu t, konstanta RLC adalah resistansi, induktansi dan kapasitas dari elemen circuit dan E(t) menunjukkan EMF (Electromotive force). Gambar rangkaian RLC terlihat pada gambar (2.2.1).
Arus dalam circuit berhubungan dengan perubahan kapasitas yang berada dalam kapasitor melalui:
(2.2.2)
Sehingga persamaan (2.2.1) dapat ditulis sebagai PD tingkat 2 dengan koefisien konstan :
(2.2.3)
persamaan (2.2.3) ekivalen dengan persamaan diferensial untuk pergerakan pegas-
massa pada:
Perhatikan PD homogen
(2.2.4)
ini mempunyai persamaan karakteristik:
Dan akar-akar karakteristik :
Tiga hal yang akan menjadi kemungkinan dari rangkaian ini :
1. Underdamped (redaman kecil) jika
2. Critically damped (redaman kritis) jika
3. Overdamped Jika
Solusi yang terkait untuk (2.2.4) bagi a, b dan c adalah :
a. (2.2.5a)
b.
(2.2.5b)
c.
(2.2.5c)
dalam ketiga kasus dengan maka :
sebanding dengan menyatakan bahwa fungsi komplemen dari (2.2.3) q = qc dan
memenuhi :
qc merupakan bagian treansien dari solusi (2.2.4) karena berkaitan dengan waktu
sebagai eksponensial .
Contoh Soal :
1. Suatu sistem pegas-massa yang mana gerakannya diberikan dalam bentuk MNA :
dimana , x0 ,v0 adalah konstanta. Dapatkan Frekuensi sudut sistem, Amplitudo, Fase gerakan dan Periode dari sistem untuk berosilasi.
Jawab :
Misalkan ekx adalah penyelesaian , diperoleh :PK :
Akar-akar karakteristik :
PUPD:
X(0) = x0
maka
maka
PPPD :
Karena pegas berosilasi bebas tanpa redaman maka bentuk PD :
Maka diperoleh :
Frekuensi sudut sistem :
Amplitudo:
Fase gerakan:
Periode dari sistem untuk berosilasi :
2. Perhatikan suatu sistem pegas-massa tanpa gaya redam yang mana gerakannya diberikan oleh :
Dapatkan penyelesaiannya jika :
Jawab :
Dari soal no 2 diatas diperoleh :PUPR :
Untuk
PUPD :
Untuk
PPUD :
2.3. Penerapan Turunan Terhadap Torsi
Sebuah benda berotasi dengan sumbu putar adalah sumbu z. Sebuah gaya F bekerja pada salah satu partikel di titik P pada benda tersebut. Torsi yang bekerja pada partikel tersebut adalah :
t = r x F Arah torsi t searah dengan sumbu z. Setelah selang waktu dt partikel telah berputar menempuh sudut dq dan jarak yang ditempuh partikel ds, dimana ds = r dq. Usaha yang dilakukan gaya F untuk gerak rotasi ini
dW = F . ds dW = F cos f ds dW = (F cos f) (r dq) dW = t dq dW = F . ds
Laju usaha yang dilakukan (daya) adalah :
dW/dt = t dq/dt P = t w P = F v Untuk benda yang benar-benar tegar, tidak ada disipasi tenaga, sehingga laju dilakukannya usaha pada benda tegar tersebut sama dengan laju pertambahan tenaga kinetik rotasinya.
dW/dt = dK/dt dW/dt = d(1/2 I w2)/dt t w = 1/2 I dw2/dt t w = Iw dw/dt t w = Iw a t = I a F = m a
Contoh Soal :
Posisi partikel ditunjukkan oleh persamaan s = f(t) = t3 - 6t2 + 9t (t dalam detik dan s dalam meter). Tentukan :a. Kecepatan pada waktu t?b. Kecepatan setelah 2 detik?c. Kapan partikel berhenti?d. Kapan partikel bergerak maju ?
Jawab :
a. Fungsi kecepatan adalah turunan dari fungsi posisi. s = f(t) = t3 - 6t2 + 9t v(t) = 3t2-12t+9
b. Kecepatan setelah 2 detik bermakna sebagai kecepatan sesaat pada t=2.
v(t) = 3t2 - 12t + 9 v(2) = 3(2)2 - 12(2) + 9
= -3 m/dt c. Partikel berhenti jika v(t)=0.
v(t)= 3t2 -12t + 9 = 0
ó 3t2 – 12t + 9 ó 3 ( t2 – 4t + 3 ) ó 3 ( t – 1 ) ( t – 3 ) = 0 ó t1 = 1 dan t2 = 3
Partikel berhenti setelah t = 1 atau t = 3
d. Partikel bergerak maju (dalam arah positif) jika v(t) > 0
3t2 - 12t + 9 = 3 ( t – 1 ) ( t – 3 ) > 0
Partikel bergerak maju jika t < 1 atau t > 3
Partikel bergerak mundur jika 1 < t < 3
BAB III
PENUTUP
3.1. Kesimpulan
Diferensial sangat berguna untuk menemukan rumus-rumus dalam ilmu fisika. Sebagian besar rumus pada fisika menggunakan konsep turunan ,salah satunya dalah gerak lurus beraturan (GLB), rangkaian listrik RLC, dan torsi.
Newton adalah salah satu fisikawan yang menggunakan turunan untuk menemukan rumus pada hukumnya yang ke dua. Ia mendapatkan bahwa kecepatan adalah turunan posisi benda terhadap waktu dan percepatan adalah turunan dari kecepatan benda terhadap waktu, ataupun turunan kedua posisi benda terhadap waktu. Beberapa rumus torsi untuk benda tegar juga menggunakan konsep diferensial, dengan adanya turunan kita dapat menyelesaikan permasalahan fisika.
Turunan dapat menyelesaikan permasalahan dengan cara yang lebih mudah dan gampang sehingga banyak bidang yang menggunakannya. Fisika termasuk bidang yang sangat berhubungan dengan matematika yaitu Turunan.
3.2. Saran
Adapun yang menjadi saran dari pemakalah disini, apabila pembaca masih
menemui kejanggalan berupa materi yang belum sempurna, silahkan mengunjungi
referensi langsung yang kami kemas didalam daftar pustaka.
DAFTAR PUSTAKA
Donald A. McQuarrie .2003. Mathematical Methods for Scientists and Engineers, University Science Books.
Stewart J .2002. Calculus: Early Transcendentals. 5th ed. Brooks Cole.
Bronson Richard, Costa Gabriel .2006. Persamaan Diferensial Schaum’s Outlines. Erlangga.
http://info-toyou.blogspot.com/2011/05/aplikasi-turunan-dalam-bidang-fisika.html
http://www.ittelkom.ac.id/admisi/elearning/prog3.php?proses=1&kd=Fis-010202&bab=Gerak%20Lurus&judul=Fisika&rincian=Kelajuan%20dan%20Kecepatan&kd_judul=Fis-01&kode_bab=02&kode_sub=02
http://www.PENGGUNAAN TURUNAN DALAM BIDANG FISIKA (KALKULUS 1)
http://www.Aplikasi Persamaan Diferensial Linier Tingkat 2