kel. 1 MTK VI.D

Disusun Oleh :

1. Zulhaghiyar2. Jefri Saputra3. Beni Wintoro4. Mintan Wilandari5. Yeni Safiri6. Ukhwatun Ekalasari7. Nofran

Prody Matematika Semester VI.D

ZULHAGHIYAR-ALJABAR-ABSTRAK

2ALJABAR ABSTRAK


BAB I

HIMPUNAN (MATEMATIKA)

Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggapsebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunanmerupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya,studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna.

Irisan dari dua himpunan yang dinyatakan dengan diagram VennTeori himpunan, yang baru diciptakan pada akhir abad ke-19, sekarang merupakan bagian yangtersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolahdasar. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapatdianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakansumber dari mana semua matematika diturunkan.Himpunan adalah kumpulan dari objek-objek tertentu yang tercakup dalam satu kesatuan denganketerangannya yang jelas. Untuk menyatakan suatu himpunan, digunakan huruf kapital seperti A, B,C dsb. Sedangkan untuk menyatakan anggota-anggotanya digunakan huruf kecil seperti a, b, c, dsb.Ada empat cara untuk menyatakan suatu himpunan

1. Enumerasi: dengan mendaftarkan semua anggotanya (roster) yang diletakkan didalamsepasang tanda kurung kurawal, dan diantara setiap anggotanya dipisahkan dengan tandakoma. Contoh: A = {a, i, u, e, o}

2. Simbol baku: dengan menggunakan simbol tertentu yang telah disepakati. Contoh:P adalah himpunan bilangan bulat positifZ adalah himpunan bilangan bulatR adalah himpunan bilangan riilC adalah himpunan bilangan komplek

3. Notasi pembentuk himpunan: dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum(role) dari anggota. Contoh :A = {x|x adalah himpunan bilangan bulat}

2ALJABAR ABSTRAK


BAB I







2ALJABAR ABSTRAK


BAB I







3ALJABAR ABSTRAK


4. Diagram Venn: menyajikan himpunan secara grafis dengan tiap-tiap himpunan digambarkansebagai lingkaran dan memiliki himpunan semesta (U) yg digambarkan dng segi empat.

Notasi Himpunan

Hubungan di antara 8 buah set dengan menggunakan diagram VennBiasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A, atau B, sementaraelemen himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z). Cara penulisan ini adalah yang umumdipakai, tetapi tidak membatasi bahwa setiap himpunan harus ditulis dengan cara seperti itu. Tabeldi bawah ini menunjukkan format penulisan himpunan yang umum dipakai.

Notasi ContohHimpunan Huruf Besar SElemen Himpunan Huruf Kecil (jika merupakan huruf) AKelas Huruf tulisan tangan C

Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dansebagainya, menggunakan notasi yang khusus.

Bilangan Asli Bulat Rasional Riil Kompleks

Notasi

Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:

Simbol Arti

{} atau Himpunan kosongOperasi gabungan dua himpunanOperasi irisan dua himpunan

, , , Sub himpunan, Sub himpunan sejati, Super himpunan, Super himpunan sejatiAc Komplemen

Himpunan kuasa

3ALJABAR ABSTRAK



Notasi Himpunan





Notasi


Simbol Arti



Himpunan kuasa

3ALJABAR ABSTRAK



Notasi Himpunan





Notasi


Simbol Arti



Himpunan kuasa

4ALJABAR ABSTRAK


Himpunan dapat didefinisikan dengan dua cara, yaitu:Enumerasi, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika terlampau banyak tetapimengikuti pola tertentu, dapat digunakan elipsis (...).

Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifatyang harus dipenuhi oleh setiap elemen himpuan tersebut.

Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai paradoks, contohnya adalah himpunanberikut:

Himpunan A tidak mungkin ada, karena jika A ada, berarti harus mengandung anggota yang bukanmerupakan anggotanya. Namun jika bukan anggotanya, lalu bagaimana mungkin A bisamengandung anggota tersebut.

Himpunan kosongHimpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} memiliki anggota-anggota apel, jeruk, mangga, danpisang. Himpunan lain, semisal {5, 6} memiliki dua anggota, yaitu bilangan 5 dan 6. Kita bolehmendefinisikan sebuah himpunan yang tidak memiliki anggota apa pun. Himpunan ini disebutsebagai himpunan kosong.Himpunan kosong tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai:

Relasi antar himpunanSubhimpunanDari suatu himpunan, misalnya A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, dapat dibuat himpunan-himpunan lain yang elemen-elemennya adalah diambil dari himpunan tersebut.

{apel, jeruk}{jeruk, pisang}{apel, mangga, pisang}

4ALJABAR ABSTRAK









4ALJABAR ABSTRAK









5ALJABAR ABSTRAK


Ketiga himpunan di atas memiliki sifat umum, yaitu setiap anggota himpunan itu adalah jugaanggota himpunan A. Himpunan-himpunan ini disebut sebagai subhimpunan atau himpunanbagian dari A. Jadi dapat dirumuskan:B adalah himpunan bagian dari A jika setiap elemen B juga terdapat dalam A.

Kalimat di atas tetap benar untuk B himpunan kosong. Maka juga subhimpunan dari A.

Untuk sembarang himpunan A,

Definisi di atas juga mencakup kemungkinan bahwa himpunan bagian dari A adalah A sendiri.Untuk sembarang himpunan A,

Istilah subhimpunan dari A biasanya berarti mencakup A sebagai subhimpunannya sendiri. Kadang-kadang istilah ini juga dipakai untuk menyebut himpunan bagian dari A, tetapi bukan A sendiri.Pengertian mana yang digunakan biasanya jelas dari konteksnya.Subhimpunan sejati dari A menunjuk pada subhimpunan dari A, tetapi tidak mencakup A sendiri.

SuperhimpunanKebalikan dari subhimpunan adalah superhimpunan, yaitu himpunan yang lebih besar yangmencakup himpunan tersebut.

Kesamaan dua himpunanHimpunan A dan B disebut sama, jika setiap anggota A adalah anggota B, dan sebaliknya, setiapanggota B adalah anggota A.

atau

Definisi di atas sangat berguna untuk membuktikan bahwa dua himpunan A dan B adalah sama.Pertama, buktikan dahulu A adalah subhimpunan B, kemudian buktikan bahwa B adalahsubhimpunan A.

5ALJABAR ABSTRAK









atau


5ALJABAR ABSTRAK









atau


6ALJABAR ABSTRAK


Himpunan KuasaHimpunan kuasa atau himpunan pangkat (power set) dari A adalah himpunan yang terdiri dariseluruh himpunan bagian dari A. Notasinya adalah .

Jika A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, maka :{ { }, {apel}, {jeruk}, {mangga}, {pisang},{apel, jeruk}, {apel, mangga}, {apel, pisang},{jeruk, mangga}, {jeruk, pisang}, {mangga, pisang},{apel, jeruk, mangga}, {apel, jeruk, pisang}, {apel, mangga, pisang}, {jeruk, mangga, pisang},{apel, jeruk, mangga, pisang} }

Banyaknya anggota yang terkandung dalam himpunan kuasa dari A adalah 2 pangkat banyaknyaanggota A.

KelasSuatu himpunan disebut sebagai kelas, atau keluarga himpunan jika himpunan tersebut terdiridari himpunan-himpunan. Himpunan adalahsebuah keluarga himpunan. Perhatikan bahwa untuk sembarang himpunan A, maka himpunan

kuasanya, adalah sebuah keluarga himpunan.

Contoh berikut, bukanlah sebuah kelas, karena mengandung elemen c yangbukan himpunan.

KardinalitasKardinalitas dari sebuah himpunan dapat dimengerti sebagai ukuran banyaknya elemen yangdikandung oleh himpunan tersebut. Banyaknya elemen himpunan {apel,jeruk,mangga,pisang}adalah 4. Himpunan {p,q,r,s} juga memiliki elemen sejumlah 4. Berarti kedua himpunan tersebutekivalen satu sama lain, atau dikatakan memiliki kardinalitas yang sama.Dua buah himpunan A dan B memiliki kardinalitas yang sama, jika terdapat fungsi korespondensisatu-satu yang memetakan A pada B. Karena dengan mudah kita membuat fungsi

yang memetakan satu-satu dankepada himpunan A ke B, maka kedua himpunan tersebut memiliki kardinalitas yang sama.

6ALJABAR ABSTRAK










6ALJABAR ABSTRAK










7ALJABAR ABSTRAK


KardinalitasMisalkan himpunan A mempunyai anggota yang berhingga banyaknya. Jumlah anggota himpunanA disebut kardinal dari himpunan A, ditulis dengan notasi n(A).Contoh :Tentukan kardinalitas dari himpunan berikut :1. A = {2, 4, 6, 8, 10}2. B = {x | 1 < x < 6, x Asli}3. C = {x | x > 5, x Riil}4. D = {x | x bilangan cacah yang lebih kecil dari 10}5. E = {x | x bilangan prima yang lebih kecil dari 15}Jawab :1. A = {2, 4, 6, 8, 10}

n (A) = 52. B = {x | 1 < x < 6, x Asli}

B = {2, 3, 4, 5}n(B) = 4

3. C = {x | x > 5, x Riil}n(C) = ~

4. D = {x | x bilangan cacah yang lebih kecil dari 10}D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9}n(D) = 10

5. E = {x | x bilangan prima yang lebih kecil dari 15}E = {2, 3, 5, 7, 11, 13}n(E) = 6

Himpunan DenumerabelJika sebuah himpunan ekivalen dengan himpunan , yaitu himpunan bilangan asli, makahimpunan tersebut disebut denumerabel. Kardinalitas dari himpunan tersebut disebut sebagaikardinalitas .Himpunan semua bilangan genap positif merupakan himpunan denumerabel, karena memilikikorespondensi satu-satu antara himpunan tersebut dengan himpunan bilangan asli, yang dinyatakanoleh .

7ALJABAR ABSTRAK



n (A) = 52. B = {x | 1 < x < 6, x Asli}

B = {2, 3, 4, 5}n(B) = 4

3. C = {x | x > 5, x Riil}n(C) = ~




7ALJABAR ABSTRAK



n (A) = 52. B = {x | 1 < x < 6, x Asli}

B = {2, 3, 4, 5}n(B) = 4

3. C = {x | x > 5, x Riil}n(C) = ~




8ALJABAR ABSTRAK


Himpunan BerhinggaJika sebuah himpunan memiliki kardinalitas yang kurang dari kardinalitas , maka himpunantersebut adalah himpunan berhingga.

Himpunan TercacahHimpunan disebut tercacah jika himpunan tersebut adalah berhingga atau denumerabel.

Himpunan Non-DenumerabelHimpunan yang tidak tercacah disebut himpunan non-denumerabel. Contoh dari himpunan iniadalah himpunan semua bilangan riil. Kardinalitas dari himpunan jenis ini disebut sebagaikardinalitas . Pembuktian bahwa bilangan riil tidak denumerabel dapat menggunakan pembuktiandiagonal.Himpunan bilangan riil dalam interval (0,1) juga memiliki kardinalitas , karena terdapatkorespondensi satu-satu dari himpunan tersebut dengan himpunan seluruh bilangan riil, yang salah

satunya adalah .

Fungsi KarakteristikFungsi karakteristik menunjukkan apakah sebuah elemen terdapat dalam sebuah himpunan atautidak.

Jika maka:

A(apel) = 1A(durian) = 0A(utara) = 0A(pisang) = 1A(singa) = 0

Terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan kuasa dengan himpunan dari semuafungsi karakteristik dari S. Hal ini mengakibatkan kita dapat menuliskan himpunan sebagai barisanbilangan 0 dan 1, yang menyatakan ada tidaknya sebuah elemen dalam himpunan tersebut.

8ALJABAR ABSTRAK





satunya adalah .


Jika maka:



8ALJABAR ABSTRAK





satunya adalah .


Jika maka:



9ALJABAR ABSTRAK


Representasi BinerJika konteks pembicaraan adalah pada sebuah himpunan semesta S, maka setiap himpunan bagiandari S bisa dituliskan dalam barisan angka 0 dan 1, atau disebut juga bentuk biner. Bilangan binermenggunakan angka 1 dan 0 pada setiap digitnya. Setiap posisi bit dikaitkan dengan masing-masingelemen S, sehingga nilai 1 menunjukkan bahwa elemen tersebut ada, dan nilai 0 menunjukkanbahwa elemen tersebut tidak ada. Dengan kata lain, masing-masing bit merupakan fungsikarakteristik dari himpunan tersebut. Sebagai contoh, jika himpunan S = {a, b, c, d, e, f, g}, A = {a,c, e, f}, dan B = {b, c, d, f}, maka:

Himpunan Representasi Biner

---------------------------- -------------------

a b c d e f gS = { a, b, c, d, e, f, g } --> 1 1 1 1 1 1 1A = { a, c, e, f } --> 1 0 1 0 1 1 0B = { b, c, d, f } --> 0 1 1 1 0 1 0Cara menyatakan himpunan seperti ini sangat menguntungkan untuk melakukan operasi-operasi

himpunan, seperti union, interseksi, dan komplemen, karena kita tinggal menggunakan operasi bituntuk melakukannya.

Operasi gabungan setara dengan A or BOperasi irisan setara dengan A and BOperasi komplemen AC setara dengan not A

Representasi himpunan dalam bentuk biner dipakai oleh kompiler-kompiler Pascal dan juga Delphi.

Menyatakan Himpunan1. Menuliskan tiap-tiap anggota himpunan di antara 2 kurung kurawal2. Menuliskan sifat-sifat yang ada pada semua anggota himpunan di antara 2 kurung kurawal.

Diagram VennPenyajian himpunan dengan diagram Venn ditemukan oleh seorang ahli matematika Inggrisbernama John Venn tahun 1881. Himpunan semesta digambarkan dengan segiempat dan himpunanlainnya dengan lingkaran di dalam segiempat tersebut.

9ALJABAR ABSTRAK




---------------------------- -------------------







9ALJABAR ABSTRAK




---------------------------- -------------------







10ALJABAR ABSTRAK


Contoh :

Gambarkan dengan diagram Venn himpunan-himpunan berikut ini :1. S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 3, 5, 7} dan B = {0, 3, 7, 9}2. S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {0, 1, 3, 7} dan B = {2, 4, 6}3. S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {0, 1, 2, 3, 5, 6, 7} dan B = {0, 1, 3, 7}

Jawab :1. S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 3, 5, 7} dan B = {0, 3, 7, 9}

Diagram Venn :

2. S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {0, 1, 3, 7} dan B = {2, 4, 6}Diagram Venn :

3. S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {0, 1, 2, 3, 5, 6, 7} dan B = {0, 1, 3, 7}Diagram Venn :

SA B

09

7

31

54

2 6 8

SA B

3

9

710 2 4

5

6

8

S AB

3

9

7

10 2 4

5

68

10ALJABAR ABSTRAK


Contoh :


Jawab :1. S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 3, 5, 7} dan B = {0, 3, 7, 9}

Diagram Venn :



SA B

09

7

31

54

2 6 8

SA B

3

9

710 2 4

5

6

8

S AB

3

9

7

10 2 4

5

68

10ALJABAR ABSTRAK


Contoh :


Jawab :1. S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 3, 5, 7} dan B = {0, 3, 7, 9}

Diagram Venn :



SA B

09

7

31

54

2 6 8

SA B

3

9

710 2 4

5

6

8

S AB

3

9

7

10 2 4

5

68

11ALJABAR ABSTRAK


Sifat-sifat Operasi pada Himpunan1) Hukum Identitas

a) A = Ab) A S = Ac) A = A

2) Hukum Nulla) A = b) A S = Sc) A A =

3) Hukum Komplemena) A Ac = Sb) A Ac =

4) Hukum Idempotena) A A = Ab) A A = A

5) Hukum Involusi(Ac)c = A

6) Hukum Penyerapana) A (A B) = Sb) A (A B) = A

7) Hukum Komutatifa) A B = B Ab) A B = B Ac) A B = B A

8) Hukum Asosiatifa) A (B C) = (A B) Cb) A (B C) = (A B) Cc) A (B C) = (A B) C

9) Hukum Distributifa) A (B C) = (A B) (A C)b) A (B C) = (A B) (A C)

11ALJABAR ABSTRAK



a) A = Ab) A S = Ac) A = A









11ALJABAR ABSTRAK



a) A = Ab) A S = Ac) A = A









12ALJABAR ABSTRAK


10) Hukum De Morgana) (A B) c = A c B cb) (A B) c = A c B c

Pembuktian Kalimat HimpunanKalimat himpunan adalah pernyataan yang menggunakan notasi himpunan, kalimat himpunandapat berupa kesamaan himpunan, dan untuk membuktikan kebenaran pada kesamaan himpunandapat digunakan beberapa cara untuk memperoleh kesimpulan benar. Salah satunya pembuktian

dengan sifar operasi pada himpunan.

Contoh :

Buktikan :

1. (A B) (A B ) = A2. A (B A) = A B3. (A B) C = (A C) 34. A ( BA ) = A B5. A (A B) = A B6. A (A B) = A B

Bukti :

1. (A B) (A B ) = A (B B ) (hukum distributif)= A S (hukum komplemen)= A (hukum identitas)

2. A (B A) = A (B A ) (definisi operasi selisih)= (A B) (A A ) (hukum distributif)= (A B) S (hukum komplemen)= A B (hukum identitas)

12ALJABAR ABSTRAK





Contoh :

Buktikan :


Bukti :



12ALJABAR ABSTRAK





Contoh :

Buktikan :


Bukti :



13ALJABAR ABSTRAK


3. (A B) C = (A B ) C (definisi operasi selisih)= (A B ) C (definisi operasi selisih)= (A C ) B (hukum assosiatif)= (A C) B (definisi operasi selisih)

= (A C) B (definisi operasi selisih)

4. A ( BA ) = A (A B ) (hukum De Morgan)= (A A ) (A B ) (hukum distributif)= S (A B ) (hukum komplemen)= A B (hukum identitas)

5. A (A B) = (A A ) (A B) (hukum distributif)= S (A B) (hukum komplemen)= A B (hukum identitas)

6. A (A B) = (A A ) (A B) (hukum distributif)= (A B) (hukum komplemen)= A B (hukum identitas)

13ALJABAR ABSTRAK







13ALJABAR ABSTRAK







14ALJABAR ABSTRAK


BAB II

OPERASI BINER

Defenisi UmumMisalkan Q adalah himpunan bilangan RasionalUntuk setiap a, b Q, berlaku : (a + b) Q dan (b + a) Q (a x b) Q dan (b x a) Q (a b) Q dan (b a) Q

Penjumlahan, perkalian, dan pengurangan merupakan contoh dari operasi biner pada Q

Definisi 1Jika S adalah suatu himpunan yang tidak kosong maka operasi biner o (dibaca bundaran) pada Sadalah suatu pemetaan (fungsi) yang mengawankan setiap pasangan (a, b) S x S dengan tepatsatu elemen (a o b) S.

Contoh 1A = {2, 4, 6, 8, } yaitu himpunan bilangan asli genap dan dipandang operasi +, yaitu operasi

penjumlahan seperti yang telah kita kenal. Maka + merupakan operasi biner A, sebab jumlah setiapdua bilangan asli genap selalu merupakan bilangan asli genap dalam A

Contoh 2A = {1, 3, 5, 7, } yaitu himpunan bilangan asli ganjil dan dipandang operasi -, yaitu operasi

pengurangan seperti yang telah kita kenal. Perhatikan bahwa 1 7 = -6 dan -6 B, maka bukanmerupakan operasi biner pada B, sebab ada hasil pengurangan dua anggota B yang bukanmerupakan anggota B.

Operasi pada suatu himpunan tidak hanya operasi-operasi hitung yang sudah kita kenal, seperti : +,-, x, dan :, tetapi dapat berupa apa saja asal didefinisikan dengan jelas.Misalnya : operasi o

SSxS:

14ALJABAR ABSTRAK


BAB II

OPERASI BINER









SSxS:

14ALJABAR ABSTRAK


BAB II

OPERASI BINER









15ALJABAR ABSTRAK


Perhatikan contoh berikut

Contoh 4Perhatikan S = {a, b, c, d, e} dan operasi o pada C didefinisikan seperti tabel berikut :

o a b c d e

a a b c d e

b b c d e a

c c d e a b

d d e a b c

e e a b c d

d yang dilingkari adalah hasil dari b o c, dan dapat ditulis b o c = dsimpullan dari contoh di atas ?Kesimpulannya

Bahwa setiap x, y C , maka (x o y) C.Sehingga operasi o pada C adalah suatu operasi biner. Dan operasi biner o pada S dinyatakansebagai Himpunan tertutup terhadap operasi o.

Jenis-jenis Operasi BinerPerhatikan N = {1, 2, 3, 4, } yaitu bilangan asli.

Maka, 3 + 4 = 4 + 3; 5 + 10 = 10 + 5 dsb.Secara umum :

Untuk setiap a, b N, maka a + b = b + a.Dengan perkataan lain bahwa operasi biner penjumlahan pada bilangan-bilangan asli bersifatkomutatif

Definisi 2Suatu operasi biner o pada suatu himpunan S dikatakan komutatif bila dan hanya bila untuk setiap

x, y S, maka x o y = y o x.Dalam simbol logika ditulis :Operasi biner o pada S, komutatif bila dan hanya bila x, y S, x o y = y o x

15ALJABAR ABSTRAK




o a b c d e

a a b c d e

b b c d e a

c c d e a b

d d e a b c

e e a b c d








15ALJABAR ABSTRAK




o a b c d e

a a b c d e

b b c d e a

c c d e a b

d d e a b c

e e a b c d








16ALJABAR ABSTRAK


Contoh 51. Apabila Q+ adalah himpunan bilangan rasional positif, maka penjumlahan dan perkalian

masing-masing merupakan operasi-operasi biner yang komutatif pada Q+. Tetapi pembagianpada Q+ bukan merupakan operasi biner yang komutatif.JawabPenjumlahan, perkalian, pengurangan kesemuanya merupakan operasi biner di himpunanbilangan real karena a+b, ab, x-y merupakan bilangan real untuk setiap pasang a dan bbilangan real. Pembagian bukan merupakan operasi biner di karena pembagian dengan

nol tidak terdefinisi. Tetapi pembagian merupakan operasi biner di himpunanbilangan real tak nol.

Definisi 3Suatu operasi biner o pada suatu himpunan S bersifat asosiatif bila dan hanya bila untuk setiap x, y,

z S, berlaku (x o y) o z = x o (y o z).Dengan simbol logika dituliskan :Operasi biner o pada S bersifat asosiatif bila dan hanya bila x, y, z S, (x o y) o z = x o (y o x)Contoh 6

1. Pada himpunan bilangan asli, baik perkalian maupun penjumlahan bersifat asosiatif.Periksalah kebenarannya !

2. Perhatikan tabel contoh 4 !(b o c) o d = d o d = bb o (c o d) = b o a = b, dst.

sehingga operasi biner o pada S = {a, b, c, d, e} yang didefinisikan seperti pada tabel bersifatasosiatif.

Perhatikan C = {0, 1, 2, 3, } yaitu himpunan bilangan cacah.

Misal : 2 + 0 = 0 + 2 = 2

7 + 0 = 0 + 7 = 7 dst.Secara umum

Untuk setiap x C berlaku x + 0 = 0 + x = x. Dalam hal ini 0 disebut elemen identitas (elemennetral) dari C terhadap penjumlahan.

16ALJABAR ABSTRAK











Misal : 2 + 0 = 0 + 2 = 2

7 + 0 = 0 + 7 = 7 dst.Secara umum


16ALJABAR ABSTRAK











Misal : 2 + 0 = 0 + 2 = 2

7 + 0 = 0 + 7 = 7 dst.Secara umum


17ALJABAR ABSTRAK


Definisi 4Suatu himpunan S dikatakan mempunyai elemen identitas (elemen netral) terhadap operasi biner obila dan hanya bila ada elemen u S sedemikian hingga untuk setiap x S berlaku :

x o u = u o x = x.

Teorema

Dari Teorema 1Bukti

Perhatikan himpunan bilangan bulat B = {, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, }. 3 + (-3) = (-3) + 3 = 0; (-5) +5 = 5 + (-5) = 0 dsb.Kita telah mengetahui bahwa o adalah elemen identitas dari B terhadap penjumlahan.Jika diambil sembarang a B, maka ada b B sehingga a + b = b + a = 0, yaitu b = -a. Makadikatakan bahwa b adalah invers penjumlahan dari a pada B.

Definisi 5Misalkan himpunan S terhadap operasi biner o mempunyai elemen identitas u. Suatu

elemen y S terhadap operasi biner o bila dan hanya bila x o y = y o x = u.Invers dari x terhadap suatu operasi biner ditulis x-1 (dibaca invers x)

Contoh 81. Q adalah himpunan bilangan rasional. Invers penjumlahan dari adalah - . Sebab + (-

) = (- ) + = 0, dan 0 adalah elemen identitas Q terhadap penjumlahan. Sedang inversperkalian dari adalah 2, sebab 2 x = x 2 = 1 dan 1 adalah elemen identitas Q terhadapperkalian.

17ALJABAR ABSTRAK



x o u = u o x = x.

Teorema

Dari Teorema 1Bukti






17ALJABAR ABSTRAK



x o u = u o x = x.

Teorema

Dari Teorema 1Bukti






18ALJABAR ABSTRAK


Dari Teorema 2Bukti

Misalkan invers dari x S terhadap operasi biner o adalah x1 dan x2 dengan x1 , x2 S, danmisalkan elemen identitas S terhadap operasi biner o adalah u. Karena x1 adalah invers dari x makax o x1 = x1 o x = u. Demikian pula, karena x2 adalah invers x maka x o x2 = x2 o x = u. Maka x1 = x2.Ini berarti bahwa invers dari x terhadap operasi biner o adalah tunggal.

Definisi 6Misalkan operasi-operasi biner dan o terdefinisikan pada suatu himpunan S.

1. Jika untuk setiap x, y, z S berlaku x (y o z) = (x y) o (x z), maka pada S berlaku sifatdistributif kiri terhadap o

2. Jika untuk setiap x, y, z S berlaku (y o z) = (y x) o (z x), maka pada S berlaku sifatdistributif kanan terhadap o.

Contoh 91. Misalkan B = {, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } dan dipandang operasi penjumlahan seperti yang

sudah kita kenal, sedang operasi pada B didefinisikan jika a, b B maka a b = a2 b.Ambil sembarang a, b, c B maka a (b + c) = a2 (b + c) = a2 b + a2 c dan (a b) + (a c)= a2 b + a2 cJadi a (b + c) = (a b) + (a c). Maka pada B berlaku sifat distributif kiri terhadappenjumlahan.

Sedangkan (a + b) c = (a + b)2 c = a2 c + 2abc + b2 c dan (a c) + (b c) = a2 c + b2

Maka (a + b) c (a c) + (b a). Ini berarti bahwa pada B tidak berlaku sifat distributifkanan operasi terhadap penjumlahan.

Bahwa A (B + C) = AB + AC yaitu sifat distributif kiri perkalian terhadap penjumlahanmatriks dan (A + B) C = AC + BC, yaitu sifat distributif kanan perkalian terhadappenjumlahan matriks pada M.

18ALJABAR ABSTRAK


Dari Teorema 2Bukti










18ALJABAR ABSTRAK


Dari Teorema 2Bukti










19ALJABAR ABSTRAK


BAB III

GRUP

19ALJABAR ABSTRAK


BAB III

GRUP

19ALJABAR ABSTRAK


BAB III

GRUP

20ALJABAR ABSTRAK


20ALJABAR ABSTRAK


20ALJABAR ABSTRAK


21ALJABAR ABSTRAK


21ALJABAR ABSTRAK


21ALJABAR ABSTRAK


22ALJABAR ABSTRAK


Definisi GrupMisalkan G himpunan tidak kosong bersama dengan operasi biner (biasanya disebut perkalian)yang memasangkan setiap pasangan terurut (a, b) unsur-unsur dari G ke unsur dari G dinotasikandengan ab. G disebut grup dengan operasi tersebut jika tiga sifat berikut dipenuhi.1. Asosiatif

Operasi bersifat asosiatif, yaitu (ab) c = a (bc) untuk setiap a, b, canggota G.2. Identitas

Ada elemen e (disebut identitas) dalam G, sehinggaae = ea = a untuk setiapa anggota G.3. Invers

Untuk setiap aanggota G, terdapat elemen banggota G (disebut invers dari a) sedemikian rupasehingga ab = ba = e.Suatu himpunan yang memenuhi ketiga sifat di atas, di mana setiap pasangan elemen yang

dikombinasikan menghasilkan elemen yang tetap berada dalam himpunan tersebut disebutmemenuhi kondisi tertutup (closure).Pastikan untuk memeriksa sifat tertutup ketika menguji suatuhimpunan termasuk grup atau bukan. Sebagai catatan tambahan, jika a adalah invers dari b maka badalah juga invers dari a.

Jika suatu grup memenuhi sifat ab = ba untuk setiap pasangan unsur a dan b, maka gruptersebut Abelian.Jika sebaliknya disebut non-Abelian.

Contoh 1Himpunan bilangan bulat Z (berasal dari bahasa Jerman yang berarti Zahlen), himpunan bilanganrasional Q (quotient), dan himpunan bilangan real Rsemuanya merupakan grup dengan operasipenjumlahan biasa. Identitas dari masing-masing grup tersebut adalah 0 dan invers dari aadalah a.Contoh 2Himpunan bilangan bulat dengan operasi perkalian biasa bukanlah grup. 1 adalah identitas,namunsifat ke-3 suatu Grup tidak terpenuhi. Misalnya, tidak ada bilangan b sehingga 5b = 1Contoh 3Himpunan bagian {1, - 1, i, -i} dari bilangan kompleks adalah grup terhadap perkalian kompleks. -1adalah invers bagi dirinya sendiri, sedangkan invers i adalah -ibegitupun sebaliknya.

Contoh 4Himpunan bilangan rasional positif Q+ adalah grup terhadap perkalian biasa. Invers dari a adalah1/a = a-1

22ALJABAR ABSTRAK










22ALJABAR ABSTRAK










23ALJABAR ABSTRAK


Contoh 5S adalah himpunan bilangan irasional positif dan bilangan 1 dengan operasi perkalian yang

memenuhi tiga sifat yang diberikan dalam definisi suatu grup tetapi bukan grup. 2.2 = 2,jadi Stidak tertutup terhadap operasi perkalian.

Contoh 6

Diketahui matriks 2 x 2 . Himpunan semua matriks 2 x 2 dengan unsur bilangan riil adalah

grupdengan operasi penjumlahan componentwise.+ = + ++ +Identitas matrix adalah 0 00 0 dan invers dari adalah Contoh 7Himpunan Zn= {0, 1, .,n 1} untuk n 1 adalah grup dengan operasi penjumlahan modulo n.Untuk setiap j> 0 dalam Zn, invers dari j adalah n j. Grup ini disebut grup bilangan bulat modulon.

Contoh 8R* himpunan bilangan riilbukan nol adalah grup terhadap perkalian biasa. Identitasnya adalah 1.Invers a adalah 1 / a.

Contoh 9

Determinan martiks 2x2 adalah ad - bc. Jika A adalah matriks 2x2, det A berarti determinan

A.Himpunan

GL (2, R) = , , , , 0Matriks 2x2 dengan anggota nyata dan determinan bukan nol adalah kelompok non-Abelian metodeoperasi = + ++ +Contoh 10Himpunan matriks 2x2 dengan anggota bilangan real bukanlah kelompok metode operasi yangdidefinisikan pada contoh 9. invers tidak ada saat determinannya 0.Sekarang kita telah menunjukkan bagaimana membuat subset dari bilangan real dan subset darihimpunan matriks 2x2 dalam kelompok multiplikatif, kita selanjutnya mempertimbangkanperkalian bilangan bulat dalam modulo n.

23ALJABAR ABSTRAK




Contoh 6




Contoh 9


A.Himpunan


23ALJABAR ABSTRAK




Contoh 6




Contoh 9


A.Himpunan


24ALJABAR ABSTRAK


Contoh 11Untuk setiap n> 1, kita mendefinisikan U(n) untuk menjadi himpunan semua bilangan bulat positifkurang dari n dan relatif prima dengan n. maka U(n) adalah grup bawah perkalian modulo n. (kitatinggalkan sebagai latihan bukti bahwa set ini tertutup terhadap operasi ini.)Untuk n = 10, kita memiliki U(10) = {1, 3, 7, 9}. tabel Cayley untuk U(10) adalah

mod 10 1 3 7 9

1 1 3 7 93 3 9 1 77 7 1 9 39 9 7 3 1

(ingat bahwa ab mod n adalah biangan bulat r unik dengan properti ab = nq + r, dimana 0 r 1, kita mendefinisikan U(n) untuk menjadi himpunan semua bilangan bulat positifkurang dari n dan relatif prima dengan n. maka U(n) adalah grup bawah perkalian modulo n. (kitatinggalkan sebagai latihan bukti bahwa set ini tertutup terhadap operasi ini.)Untuk n = 10, kita memiliki U(10) = {1, 3, 7, 9}. tabel Cayley untuk U(10) adalah

mod 10 1 3 7 9

1 1 3 7 93 3 9 1 77 7 1 9 39 9 7 3 1

(ingat bahwa ab mod n adalah biangan bulat r unik dengan properti ab = nq + r, dimana 0 r 1, kita mendefinisikan U(n) untuk menjadi himpunan semua bilangan bulat positifkurang dari n dan relatif prima dengan n. maka U(n) adalah grup bawah perkalian modulo n. (kitatinggalkan sebagai latihan bukti bahwa set ini tertutup terhadap operasi ini.)Untuk n = 10, kita memiliki U(10) = {1, 3, 7, 9}. tabel Cayley untuk U(10) adalah

mod 10 1 3 7 9

1 1 3 7 93 3 9 1 77 7 1 9 39 9 7 3 1

(ingat bahwa ab mod n adalah biangan bulat r unik dengan properti ab = nq + r, dimana 0 r

25ALJABAR ABSTRAK


Misal: 0 x 0 = 0

0 x 1 = 00 x 2 = 0

0 x 3 = 0Maka 0 tidak memiliki invers Invers 11 x 1 = 1 maka invers 1 adalah 1 Invers 22 x 0 = 0

2 x 1 = 2

2 x 2 = 4

2 x 3 = 6Maka 2 tidak memiliki invers Invers 33 x 1 = 3 = 1 mod 4 maka invers 3 adalah 1Syarat 3 tidak terpenuhi

Contoh 13Himpunan bilangan bulat operasi pengurangan bukan grup, karena operasi tidak asosiatif.Dengan contoh yang diberikan jauh sebagai panduan, adalah kebijakan bagi pembaca untukberhenti sejenak di sini dan memikirkan contoh sendiri. belajar aktif! tidak hanya membacabersama dan disuapi oleh buku.Misalkan :

{0,1,2,3,4}Asosiatif

(1 2) 3 = 1 (2 3)-1 3 = 1 (-1)-4 2

Berarti terbukti bahwa bilangan bulat dengan operasi pengurangan adalah bukan groupContoh 17:SL (2, Z5)

Z5 = { 0, 1, 2, 3,4 }Carilah invers matrik A = 3 44 4Determinan A = ad bc

= 12 16 = -4 = 1 mod 5

25ALJABAR ABSTRAK


Misal: 0 x 0 = 0

0 x 1 = 00 x 2 = 0


2 x 1 = 2

2 x 2 = 4




(1 2) 3 = 1 (2 3)-1 3 = 1 (-1)-4 2



= 12 16 = -4 = 1 mod 5

25ALJABAR ABSTRAK


Misal: 0 x 0 = 0

0 x 1 = 00 x 2 = 0


2 x 1 = 2

2 x 2 = 4




(1 2) 3 = 1 (2 3)-1 3 = 1 (-1)-4 2



= 12 16 = -4 = 1 mod 5

26ALJABAR ABSTRAK


Invers A = 4 44 3 = 4 11 3Cek = 3 44 4 4 11 3 = 16 1520 16 = 1 00 1Contoh 18GL (2, Z7)

Z7 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 }Carilah invers matrik A = 4 56 3Determinan A = ad bc

= 12 30 = -18 = 3 mod 7Invers 3 mod 7 adalah 5 mod 7 karena 3.5 = 15 = 1 mod 7

Invers A3 .5 5 .56 .5 4 .5 = 3 .5 2 .51 .5 4 .5 = 15 105 20 = 1 35 6Cek = 4 56 3 1 35 6 = 29 4221 36 = 1 00 1

26ALJABAR ABSTRAK





Invers A3 .5 5 .56 .5 4 .5 = 3 .5 2 .51 .5 4 .5 = 15 105 20 = 1 35 6Cek = 4 56 3 1 35 6 = 29 4221 36 = 1 00 1

26ALJABAR ABSTRAK





Invers A3 .5 5 .56 .5 4 .5 = 3 .5 2 .51 .5 4 .5 = 15 105 20 = 1 35 6Cek = 4 56 3 1 35 6 = 29 4221 36 = 1 00 1

27ALJABAR ABSTRAK


27ALJABAR ABSTRAK


27ALJABAR ABSTRAK


28ALJABAR ABSTRAK


1.3 Ordo Unsur

28ALJABAR ABSTRAK


1.3 Ordo Unsur

28ALJABAR ABSTRAK


1.3 Ordo Unsur

29ALJABAR ABSTRAK


29ALJABAR ABSTRAK


29ALJABAR ABSTRAK


30ALJABAR ABSTRAK


BAB VSUB GRUP

30ALJABAR ABSTRAK


BAB VSUB GRUP

30ALJABAR ABSTRAK


BAB VSUB GRUP

31ALJABAR ABSTRAK


31ALJABAR ABSTRAK


31ALJABAR ABSTRAK


32ALJABAR ABSTRAK


32ALJABAR ABSTRAK


32ALJABAR ABSTRAK


33ALJABAR ABSTRAK


33ALJABAR ABSTRAK


33ALJABAR ABSTRAK


34ALJABAR ABSTRAK


34ALJABAR ABSTRAK


34ALJABAR ABSTRAK


35ALJABAR ABSTRAK


35ALJABAR ABSTRAK


35ALJABAR ABSTRAK


36ALJABAR ABSTRAK


CATATAN SEJARAH

Kami menutup bab ini dengan sedikit sejarah mengenai sifat tidak komutatif dari matrik perkalian.Pada tahun 1925, Teori Kuantum merupakan teori yang penuh dengan mengubah dan menyusunambiguitas. Dia Werner Heisenberg yang berpengaruh pada hal tersebut. Dia mengamati hasil dariteori analogi yang tidak perlu merubah seri klasik Fourier. Atas semua kegigihannya yangmengguncangkan Heisenberg. Seperti dalam suratnya [Bab 2, hal 94]:Dalam penelitian, saya sangat tidak setuju tentang fakta xy yang tidak sama dengan yx. Saya rasa ituhanya sebuah kesukaran dalam keseluruhan rencana, sebaliknya saya sangat bahagia. Namunkesukaran ini membuat saya sangat khawatir dan saya tidak dapat memecahkan masalah itu.Heisenberg berbicara kepada gurunya Max Born, jika ide-idenya dipublikasikan akan sangatberharga. Dengan munculnya pendekatan baru milik Heisenberg sangat mengagumkan dan sangatmendalam. Seperti dalam tulisannya [Bab 1, hal 217]:Setelah pengiriman karya ilmiah atau hasil penelitian Heisenberg untuk Zeitschrift fur Physik agardipublikasikan. Saya memulainya dengan mempertimbangkan simbol perkalian dan akan segeraberbelit-belit mengenai gagasan saya tentang keseluruhan jumlah dari tidur yang nyenyak padamalam hari. Saya rasa akhir dari sesuatu hal yang pokok akan mengalami penyempurnaan dalambeberapa tahun. Suatu hari, pada tanggal 10 Juli 1925, saya tiba-tiba melihat cahaya, tidak hanyasimbol perkalian Heisenberg, namun kalkulus matrik. Sejak itu saya mengenalkan kepada muridsaya dari dosen Rosanes di Breslau.Born dan muridnya, Pascual Jordan, memformulakan kembali ide Heidenberg di dalam teoremaMatrik, tapi Heisenberg yang mengkreditkan formulanya. Di buku autobiografinya, Born Lament[Bab 1, hal 219]:Sekarang, semua Buku berbicara tentang Matrix Heisenberg, Hukum Commutation Heisenberg,dan Direc Filed Quantization. Kenyataanya, Heisenberg tahu waktu sangat sedikit untukmempelajari matrik.Pada tahun 1933, ia menerima hadiah Nobel untuk karyanya selama ini. Lalu ia mengirim suratkepada Max Born [Bab 1, hal 220]:Jika saya selama ini belum menuliskan sesuatu kepada anda, dan saya belum berterima kasih atasucapan selamat anda. Itu karena sebagian dalam diri saya buruk, yang tidak menghormati anda. Dankenyataanya saya mendapatkan hadiah Nobel Prize sendiri, untuk pekerjaan yang saya, kamu danJordan lakukan di Gottingen, dan ini membuat saya berat dalam menuliskan surat ini kepada anda.Saya senang upaya yang kita lakukan bersama di beri apresiasi atau penghargaan, dan saya selalusenang tentang ingatan-ingatan kebersamaan dan kerja sama kita. Saya sangat percaya, para

36ALJABAR ABSTRAK


CATATAN SEJARAH

Kami menutup bab ini dengan sedikit sejarah mengenai sifat tidak komutatif dari matrik perkalian.Pada tahun 1925, Teori Kuantum merupakan teori yang penuh dengan mengubah dan menyusunambiguitas. Dia Werner Heisenberg yang berpengaruh pada hal tersebut. Dia mengamati hasil dariteori analogi yang tidak perlu merubah seri klasik Fourier. Atas semua kegigihannya yangmengguncangkan Heisenberg. Seperti dalam suratnya [Bab 2, hal 94]:Dalam penelitian, saya sangat tidak setuju tentang fakta xy yang tidak sama dengan yx. Saya rasa ituhanya sebuah kesukaran dalam keseluruhan rencana, sebaliknya saya sangat bahagia. Namunkesukaran ini membuat saya sangat khawatir dan saya tidak dapat memecahkan masalah itu.Heisenberg berbicara kepada gurunya Max Born, jika ide-idenya dipublikasikan akan sangatberharga. Dengan munculnya pendekatan baru milik Heisenberg sangat mengagumkan dan sangatmendalam. Seperti dalam tulisannya [Bab 1, hal 217]:Setelah pengiriman karya ilmiah atau hasil penelitian Heisenberg untuk Zeitschrift fur Physik agardipublikasikan. Saya memulainya dengan mempertimbangkan simbol perkalian dan akan segeraberbelit-belit mengenai gagasan saya tentang keseluruhan jumlah dari tidur yang nyenyak padamalam hari. Saya rasa akhir dari sesuatu hal yang pokok akan mengalami penyempurnaan dalambeberapa tahun. Suatu hari, pada tanggal 10 Juli 1925, saya tiba-tiba melihat cahaya, tidak hanyasimbol perkalian Heisenberg, namun kalkulus matrik. Sejak itu saya mengenalkan kepada muridsaya dari dosen Rosanes di Breslau.Born dan muridnya, Pascual Jordan, memformulakan kembali ide Heidenberg di dalam teoremaMatrik, tapi Heisenberg yang mengkreditkan formulanya. Di buku autobiografinya, Born Lament[Bab 1, hal 219]:Sekarang, semua Buku berbicara tentang Matrix Heisenberg, Hukum Commutation Heisenberg,dan Direc Filed Quantization. Kenyataanya, Heisenberg tahu waktu sangat sedikit untukmempelajari matrik.Pada tahun 1933, ia menerima hadiah Nobel untuk karyanya selama ini. Lalu ia mengirim suratkepada Max Born [Bab 1, hal 220]:Jika saya selama ini belum menuliskan sesuatu kepada anda, dan saya belum berterima kasih atasucapan selamat anda. Itu karena sebagian dalam diri saya buruk, yang tidak menghormati anda. Dankenyataanya saya mendapatkan hadiah Nobel Prize sendiri, untuk pekerjaan yang saya, kamu danJordan lakukan di Gottingen, dan i

kel. 1 MTK VI.D

Documents

Transcript of kel. 1 MTK VI.D