(MK2011 – LE4 – IS4)

TAJUK KEMAHIRAN DAN SEMESTER

ELEKTRIKAL & ELEKTRONIK – SEMESTER 2

No. DAN TAJUK MODUL MK2011 – MATEMATIK KEJURUTERAAN 2

No. DAN TAJUK PENGALAMAN PEMBELAJARAN

LE1 KENALPASTI DAN FAHAM KOORDINAT CARTESANLE2 KENALPASTI DAN FAHAM GEOMETRILE3 KENALPASTI DAN FAHAM TRIGONOMETRI LE4 KENALPASTI DAN FAHAM NOMBOR KOMPLEKSLE5 KENALPASTI DAN FAHAM VEKTOR.

OBJEKTIF PRESTASI AKHIRAN

KENALPASTI DAN FAHAM PERMASALAHAN MATEMATIK KEJURUTERAAN DENGAN MENGUNAKAN KAEDAH KOORDINAT CARTESAN, GEOMETRI, TRIGONOMETRI, NOMBOR KOMPLEKS DAN VEKTOR SUPAYA:-

1. DAPAT MENYELESAIKAN MASALAH MATEMATIK YANG BERKAITAN DENGAN BETUL

2. DAPAT MEMBANTU PELAJAR SEMASA KEGUNAAN DI BENGKEL BAGI SUBJEK TERAS

138

INSTITUSI LATIHAN JABATAN TENAGA MANUSIA KEMENTERIAN SUMBER MANUSIA

MALAYSIA

KERTAS PENERANGAN

ISI KANDUNGAN

LE4 – KENALPASTI DAN FAHAM NOMBOR KOMPLEKS

TASK 02.04 - Nombor Kompleks

139

No. & TAJUK PENGALAMANPEMBELAJARAN

LE4 Kenalpasti dan faham nombor kompleks.

No. & TAJUK TUGASAN

TASK 02.04 – Nombor Kompleks

Code No. : MK 2011 – LE4 – IS4 Muka: 1 drp : 13

TAJUK: NOMBOR KOMPLEKS

TUJUAN :

Mengenalpasti dan faham konsep nombor kompleks dengan menggunakan sifat-sifat nombor kompleks supaya dapat menyelesaikan masalah matematik yang berkaitan dengan betul.

PENGENALAN

Jika nombor 1, 2 , 3 ,... ditakrifkan sebagai nombor nyata, maka nombor-nombor seperti , dikenali sebagai nombor khayal .

Bagi sesuatu persamaan kuadratik ax2 + bx + c =0, punca-puncanya boleh diperolehi dengan menggunakan formula berikut:

Pertimbangkan persamaan kuadratik x2 – 4x +13 =0, maka dengan menggunakan formula di atas,

a = 1, b = -4, c = 13 dan punca-punca persamaan adalah

Adalah tidak mungkin untuk mencari nilai dalam bentuk nombor nyata, tetapi jika ditulis sebagai i di

mana i2 = ( )2 = -1 maka jawapan boleh ditulis sebagai . Nombor dalam bentuk sedemikian dikenali sebagai NOMBOR KOMPLEKS di mana 2 adalah bahagian nyata dan 3i adalah bahagian khayal.

Secara am Nombor Kompleks ialah nombor yang berbentuk a + ib di mana a dan b adalah nombor nyata.

Code No. : MK 2011 – LE4 – IS4 Muka : 2 drp : 13

140

aacbbx

242

1.1 NOMBOR KOMPLEKS DAN BENTUK CARTESAN

Sebelum ini kita telah mentakrifkan nombor nyata sebagai nombor yang diwakili oleh titik-titik pada garis nombor nyata. Bagi sebarang nombor nyata x,

Jika bukan satu nombor nyata. Bagaimanakah kita boleh menyelesaikan masalah seperti ini?

Disini kita akan memeperkenalkan suatu nombor baru, iaitu atau

Perhatikan bahawa

Nombor-nombor seperti , dan dikenal sebagai nombor khayalan.

Secara amnya,

Hasil tambah suatu nombor nyata, x, dengan suatu nombor khayalan, yi, akan memberikan suatu nombor dalam bentuk x + yi, yang dikenal sebagai nombor kompleks dalam bentuk Cartesan. Set nombor kompleks, C, ditakrifkan sebagai

Suatu nombor kompleks tidak boleh diwakili oleh satu titik pada garis nombor nyata. Oleh itu, nombor kompleks tidak mempunyai tertib. Jadi, adalah tidak bermakna.

Jika y = 0, maka z = x, iaitu merupakan satu nombor nyata. Oleh itu , set nombor nyata, R, ialah subset bagi nombor kompleks, C, iaitu R C.

N Z Q R C

Code No. : MK 2011 – LE4 – IS4 Muka : 3 drp : 13

141

Setnombor

tabii

Setinteger

Setnombornisbah

Setnombornyata

Setnombor

kompleks

1.2 OPERASI ALGEBRA PADA NOMBOR KOMPLEKS Operasi penambahan, penolakan, pendaraban dan pembahagian bagi nombor nyata boleh dilanjutkan kepada nombor kompleks

1.2.1 Penambahan dan penolakan

Jika dan ialah dua nombor kompleks, dengan .Maka

dan

Jadi,

dan

1.2.2 Pendaraban Jika dan

maka

Jika nombor kompleks didarab dengan nombor kompleks maka

Jadi, zw ialah nombor nyata.w di sini dikenal sebagai konjugat kompleks bagi z.

Code No. : MK 2011 – LE4 – IS4 Muka : 4 drp : 13

Dengan itu, ialah konjugat kompleks bagi dan ialah konjugat kompleks bagi

Perhatian: Selain daripada menggunakan z* untuk menwakilkan konjugat kompleks bagi z, kita juga boleh

142

Jika Konjugat kompleks zialah dengan

mewakilkannya dengan .

1.2.3 PembahagianPembahagian suatu nombor dengan suatu nombor kompleks boleh dilakukan jika penyebut (atau pembahagi) dijadikan sebagai suatu nombor nyata.

Misalnya,

1.3 KESAMAAN NOMBOR KOMPLEKSKatakan dan ialah dua nombor kompleks dengan .

Maka,

Keadaan seperti ini adalah tidak mungkin kecuali dan dan

Code No. : MK 2011 – LE4 – IS4 Muka : 5 drp : 13

Untuk menyelesaikan suatu kesamaan nombor kompleks, kita perlu menyamakan bahagian nyata dan bahagian khayalan di kedua-dua belah kesamaan tersebut.

1.3.1 Contoh 1

143

Oleh itu, Jika dan hanya jika dan

Diberi Cari nilai p dan q.

Penyelesaian:

Samakan bahagian nyata: ……………………………(1) Samakan bahagian khayalan: …………………...(2) (1) x (5): …………………(3) (2) + (3):

Gantikan dalam (1),

Jadi, dan

1.3.2 Contoh 2 Cari dalam bentuk

Penyelesaian:Katakan

Code No. : MK 2011 – LE4 – IS4 Muka : 6 drp : 13

Samakan bahagian nyata: ………………………….(1)

Samakan bahagian khayalan:

……………………………(2)

Gantikan dalam (1),

144

Maka atau

atau (**tidak mungkin kerana maka )

Jadi

Gantikan dalam (2),

Apabila

Apabila

Jadi, atau

1.4 GAMBAR RAJAH ARGANDSuatu nombor nyata boleh diwakili oleh satu titik pada garis nombor nyata. Begitu juga, suatu nombor kompleks,

juga boleh diwakili oleh satu titik dengan koordinat pada satah koordinat. Satah ini disebut sebagai

gambar rajah Argand.

Dalam gambar rajah Argand, paksi-x mewakili nombor nyata manakala paksi-y mewakili khayalan. Oleh itu, paksi-

x juga dikenal sebagai paksi nyata, manakala paksi-y dikenal sebagai paksi khayalan.

Code No. : MK 2011 – LE4 – IS4 Muka : 7 drp : 13

Y

● P ( a, b )

XO

145

Rajah 1.4(a)

1.4.1 MODULUS DAN HUJAH NOMBOR KOMPLEKSModulus bagi suatu nombor kompleks, ditulis sebagai ialah jarak titik P dari asalan O. Jarak ini,r, diperoleh dengan menggunakan teorem Pithagoras, iaitu

Oleh kerana maka . Hujah nombor kompleks ditulis sebagai huj z, ialah sudut

yang dicangkum oleh garis OP dengan paksi-x (atau paksi nyata). Sudut dinyatakan dalam radian, iaitu

Y

P ( x, y )

XO

Rajah 1.4(b)

Daripada rajah 1.4(b)

Code No. : MK 2011 – LE4 – IS4 Muka : 8 drp : 13

1.4.2 Contoh 3Cari modulus dan hujah bagi setiap nombor kompleks yang berikut.

146

Jika Maka modulus

Dan hujah huj tan

θ

r

a. b.

Penyelesaian:(a) (b)

1.5 PERWAKILAN OPERASI PENAMBAHAN DAN PENOLAKAN NOMBOR KOMPLEKS PADA GAMBAR RAJAH ARGAND

Suatu nombor kompleks juga boleh diwakili oleh satu vektor pada gambar rajah Argand, dengan P ialah titik (x,y). Ini bermakna kaedah untuk mencari hasil tambah dan hasil tolak dua vektor melalui hukum segiempat selari boleh digunakan untuk mencari hasil tambah argand dan hasil tolak dua nombor kompleks pada gambar rajah Argand.

Y P ( x , y ) P ( x + x , y + y )

O X

Rajah 1.5(a)

Code No. : MK 2011 – LE4 – IS4 Muka : 9 drp : 13

Y P ( x , y )

P ( x , y )

O X

P ( x - x , y - )

147

z

-z

P (- x ,- y )

z - z

z

z

P ( x , y )

z z + z

Rajah 1.5(b)

Katakan dan ialah dua nombor kompleks yang masing-masing diwakili oleh vektor

dan pada gambar rajah Argand seperti yang ditunjukkan dalam rajah Rajah 1.5(a).

Dengan melengkapkan segiempat selari (Rajah 1.5(a)) kita mendapati ,

(Penambahan dua vektor) iaitu mewakili nombor kompleks dengan koordinat bagi titik ialah

Modulus ialah

Katakan koordinat bagi titik ialah iaitu vektor mewakili nombor kompleks [ Rajah

Rajah 1.5(b))]

Dengan melengkapkan segiempat selari [Rajah 1.5(b)], kita mendapati

Maka mewakili nombor kompleks dengan koordinat bagi titik ialah . Modulus

ialah

Code No. : MK 2011 – LE4 – IS4 Muka : 10 drp : 13

1.5.1

Contoh 4Diberi dan . Tunjukkan pada satu gambar rajah Argand, garis-garis yang mewakili nombor

kompleks dan . Cari modulus dan hujah nombor kompleks dan

Penyelesaian:

YC (1,5)

B (-2,4)

148

z

A (3,1)

XO

D (5,-3)

B (2,-4)

Code No. MK 2011 – LE4 – IS4 Muka : 11 drp : 13

Latihan :

1. Ungkapkan setiap yang berikut dalam bentuk

a. b.

c. d.

2. Ringkaskan setiap yang berikut.a.

b.

c.

d.

3. Ungkapkan setiap yang berikut dalam bentuk

a.

149

-z

z - z

z + z

z

b.

c.

d.

4. Dalam setiap persamaan yang berikut, cari nilai x dan y.a.

b.

c.

d.

5. Dapatkan punca kuasa dua bagi setiap yang berikuta. 3-4ib. 24+70i

6. Plotkan setiap nombor kompleks berikut pada gambar rajah Argand yang berasingan dan dapatkan modulus dan hujah dalam kes itu.

a. z=2-4ib. z=-2+i

Code No. MK 2011 – LE4 – IS4 Muka : 12 drp : 13

7. Jika z = 2+3i , z = 2+3i , z = -4-3i dan z = 5-4i , wakilkan setiap yang berikut dengan garis lurus pada gambar rajah Argand, dengan menunjukkan arah bagi setiap garis dengan anak panah.

a. z + z

b. z + z

c. z - z

d. z - z

150

Code No. MK 2011 – LE4 – IS4 Muka : 13 drp : 13

Rujukan

1. Tey Kim Soon, Goh Choon Booy, Tan Ah Geok, MATEMATIK STPM(Tulen) Sukatan S & T, Penerbitan PELANGI Sdn Bhd, ISBN 983 878 218 1

2. Nahin, PJ An Imaginary Tale: The Story of . Princeton, NJ: Princeton University Press, 1998.

3. http://en.wikipedia.org/wik/Complex_number

4. http://www.sosmath.com/complex/number/basic/soscv.html

151

152