7/31/2019 m16_ellips

1/16

ELIPS

Minggu 16

7/31/2019 m16_ellips

2/16

DEFINISI ELIPS

Elips ialah lokus bagisuatu titik yangbergerak dengan

syarat nisbah jaraktitik tersebut dari titiktetap S (fokus) dangaris tetap ZL

(direktriks) adalahsuatu pemalar e (e

7/31/2019 m16_ellips

3/16

FOKUS ELIPS

KatakanAA = 2a

SA = e. AZ

SA = e. AZ

(A danA terletak pd ELIPS)

SA - SA = e (AZ AZ)

(OS+a) (a-OS) = e(2a)

2.OS = 2.ae

OS = ae

Kordinat S ialah (-ae, 0)

7/31/2019 m16_ellips

4/16

PERSAMAAN DIREKTRIKS

SA = e. AZ

SA = e. AZ

SA + SA = e (AZ + AZ)

(2a) = e[(a+OZ) + (OZ-a)]2a = 2e. OZ

OZ = a/e

direktriksialahZL

,ZLgarisPersamaan e

ax

7/31/2019 m16_ellips

5/16

PERSAMAAN ELIPS

elipsPersamaan1

1Katakan

11

11

)(

2

2

2

2

222

22

2

2

2

22222

2222

222

b

y

a

x

eab

ea

y

a

xeayex

e

axeyaex

PQePS

7/31/2019 m16_ellips

6/16

SIFAT ELIPS

Mempunyai simetri pdkedua-dua paksi

Fokus ialah S (-ae, 0)

dan S (ae, 0) Direktriks ialah

x = -a/e dan x = a/e

7/31/2019 m16_ellips

7/16

SIFAT ELIPS

AA = 2a (paksi major)

BB= 2b (paksi minor)

O ialah pusat

e ialah eccentricity

2

222

a

bae

7/31/2019 m16_ellips

8/16

DEFINISI ALTERNATIF BAGI ELIPS

Elips ialah set semuatitik pada satahdengan syarat jumlah

jarak titik tersebutdaripada dua titiktetap adalah pemalar.

Tititk-titik tetap itu

ialah fokus elips

7/31/2019 m16_ellips

9/16

PERSAMAAN ELIPS

Persamaan bagi elipsboleh diperolehdengan

menggunakan definisialternatif elips danrumus jarak.

Fokus suatu elipsterletak pada (5, 0)dan (-5, 0). Jarak

pintasan-x daripadafokus ialah 2 unit dan12 unit masing-masing. Cari

persamaan elips.

7/31/2019 m16_ellips

10/16

PERSAMAAN ELIPS

Titik A merupakanpintasan-x dan juga salahsebuah titik pada elips.

AS+AS=14 units

Jumlah jarak sebarangtitik pada ELIPS, P(x, y)dari titik-titik fokus jugasemestinya 14 unit.

Oleh itu, rumus jarakboleh digunakan untukmencari persamaan elips

-5,0 5,0

7/31/2019 m16_ellips

11/16

PERSAMAAN ELIPS

12449

11764924

49122549049240149025

549495

57495

52819620

25105281962510

55281965

051405

140505

22

22

222

222

22

22

222222

222222

2222

2222

yx

yx

yxxxx

yxx

yxx

yxx

yxxyxyxx

yxyxyx

yxyx

yxyx

7/31/2019 m16_ellips

12/16

SIFAT ELIPS

ELIPS merupakan set semuatitik yang memenuhi syarat

jumlah jarak titik dari kedua-duafokus adalah pemalar

ELIPS mempunyai dua paksisimetri

Paksi major adalah lebihpanjang daripada paksi minor

Titik-titik fokus sentiasa terletak

pada paksi major Persilangan paksi-paksi ialah

pusat ELIPS

Major Axis

MinorAxis

Center

Focus

Focus

7/31/2019 m16_ellips

13/16

SIFAT ELIPS

Jumlah jaraksebarang titik darikedua-dua fokus = 2a

(panjang paksimajor).

Jarak dari pusat ketitik fokus = c unit

dengan syarat

222 bac

7/31/2019 m16_ellips

14/16

Maklumat Penting Bagi Elips

Equation of the ellipse Foci PointsIs the major axis

horizontal or vertical?Center of the

ellipse

(x h)2 + (y k)2

a2 b2( h + c, k) and

(h c, k)Horizontal (h, k)

(x h)2 + (y k)2

b2 a2(h, k + c) and(h, k c) Vertical (h, k)= 1

= 1

Important Notes: In the above chart,a2 > b2 always so a2 is always the larger number

If the a2

is under the x term, the ellipse is horizontal, if the a2

is under the yterm the ELIPSe is verticalYou can tell that you are looking at an ellipse because: x2 is added to y2 andthe x2 and y2 are divided by different numbers (if numbers were the same, itsa circle)

22 bac

7/31/2019 m16_ellips

15/16

Contoh 1

1. Given an equation of an ellipse16y2 + 9x2 96y 90x = -225 find thecoordinates of the center and foci as well as the lengths of the major andminor axis. Then draw the graph.

16 (y2 6y + o) + 9 (x2 10x + o) = -225 + 16 (o) + 9(o)16 (y2 6y + 9) + 9 (x2 10x + 25) = -225 + 16(9) + 9(25)16 (y 3)2 + 9 (x 5)2 = 144(y 3)2 + (x 5)29 16

= 1

Center: (5, 3)16 > 9 so the foci are on the horizontal axisc = 16 9c = 7Foci: ( 5 + 7, 3) and (5 7, 3)Major Axis Length = 4 (2) = 8Minor Axis Length =

7/31/2019 m16_ellips

16/16

LATIHAN

1. For 49x2 + 16y2 = 784 find the center, the foci, and thelengths of the major and minor axes. Then draw thegraph.

2. Write an equation for an ellipse with foci (4, 0) and(-4, 0). The endpoints of the minor axis are (0, 2) and(0, -2).

1)Foci:(0,-33)(0,33)Center:(0,0)Lengthofmajor=14Lengthofminor=82)X2+y2 204

=1

#1