MAKALAH

PELUANG

Disusun Oleh :

Nama : Fajar Budiman Nama : Diki Zusnadi

NIM : S09108002 NIM : S09108001

Program Studi : S1 Teknik Industri Program Studi : S1 Teknik Industri

SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI MUHAMMADIYAH

KEBUMEN

2011

KOMBINATORIK, PELUANG DAN STATISTIKA

1. KOMBINATORIK

Dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai persoalan-persoalan sebagai berikut:

1. Dengan berapa cara dapat disusun n obyek menurut aturan tertentu?2. Dengan berapa cara pengambilan sejumlah r obyek dari n obyek yang ada, bila r < n?

3. Dengan berapa cara sesuatu kejadian kejadian dapat terjadi?Persoalan-persoalan di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan kombinatorik

Ada 2 (dua) prinsip pokok yang dipakai untuk menyelesaikan persoalan kombinatorik, yaitu prinsip penjumlahan dan prinsip perkalian.

Contoh:

Untuk Prinsip Penjumlahan

Suatu klub sepak bola mempunyai 40 anggota sedangkan klub bulutangkis mempunyai 20 anggota.a. Jika tidak ada anggota sepak bola yang merangkap menjadi anggota bulutangkis,

maka jumlah anggota kedau klub adalah 40 + 20 = 60 anggota Jika kedua himpunan tidak beririsan, maka jumlah anggota kedua klub

ditambahkan.

b. Jika ada 7 anggota yang merangkap menjadi anggota kedua klub, maka dibentuk 3 himpunan yang saling lepas atau tidak beririsan, yaitu:(i) Himpunan I terdiri dari pemain sepak bola saja(ii) Himpunan II terdiri dari pemain bulutangkis saja(iii) Himpunan III terdiri dari pemain sepak bola dan bulutangkis

Ketiga himpunan ini saling lepas dengan masing-masing anggota 40-7, 20-7

dan 7, dengan demikian jumlah anggota dari kedua klub adalah 33+13+7= 53

Cara lain untuk memperoleh hasil di atas adalah dengan rumus

n ( A B ) = n ( A ) + n ( B ) - n ( A B )

Untuk Prinsip Perkalian Ahmad pergi dari kota A ke kota C dan harus melalui kota B. Dari kota A ke kota B

ada 3 jalan alternatif dan dari kota B ke kota C ada 2 jalan alternatif. Dengan berapa banyak cara Ahmad bepergian dari kota A ke kota C?

Dengan demikian, menurut prinsip perkalian banyaknya cara bepergian dari kota

A ke kota C adalah 3 . 2 = 6 cara

Soal:

Diketahui empat angka 1, 2, 5, 8

a. Tentukan banyaknya bilangan yang terdiri dari dua angka diketahui.b. Tuliskan semua bilangan tersebutc. Berapa banyak bilangan yang bernilai ganjil

1.1. Permutasi

Definisi:

Susunan n unsur berbeda dengan memperhatikan urutannya disebut permutasi dari n unsur tersebut.

Definisi:

Misalkan n bilangan asli. n faktorial atau n! adalah 1.2.3. . . . . . n

dan 0! = 1

Sifat 1:

Banyaknya permutasi dari r unsur ( r n ) yang diambil dari n unsur berbeda

adalah :

Sifat 2:

Banyaknya permutasi dari n unsur dimana terdapat k unsur yang masing-

masing muncul kali adalah:

Sifat 3:

Banyaknya permutasi siklis dari n unsur adalah: ( n - 1 )!

1.2. Kombinasi

Kombinasi adalah permutasi yang tidak memperhatikan urutan obyek.

Sifat :

Kombinasi r unsur ( r n ) dari n unsur adalah:

1.3. Binomium Newton

Soal:

1. Diketahui enam angka yaitu: 0, 1, 2, 3, 4 dan 5a. Berapa banyak bilangan yang dapat dibentuk dari enam angka yang diketahui

terdiri dari tiga angka (digit), bila tiap angka hanya dapat digunakan sekalib. Berapa banyak daripadanya yang merupakan bilangan genapc. Berapa banyak yang lebih besar dari 330

2. Dengan berapa carakah enam pohon dapat ditanam membentuk lingkaran?3. Dari kelompok yang yang terdiri atas lima pria dan tiga wanita, berapa banyak panitia

yang beranggotakan tiga orang dapat dibentuk:a. tanpa pembatasan?b. dengan dua pria dan seorang wanita?c. dengan seorang wanita dan dua orang wanita bila seorang wanita tertentu harus

ikut dalam panitia?4. Tentukan koefisien dari (2x - 3)

2. PELUANG

2.1. Pendahuluan

Teori Peluang dikembangkan pada abad ke XVII oleh ahli matematika dari Perancis yang bernama Pierre de Fermat dan Blaise Pascal. Awalnya teori peluang dimulai dari permainan judi atau permainan yang bersifat untung-untungan. Dalam teori peluang banyak dijumpai soal-soal yang berkaitan dengan uang logam, dadu, kartu bridge dan lain-lain.

Adapun tujuan mempelajari teori peluang agar siswa dapat menjelaskan konsep-konsep dasar teori peluang supaya lebih mudah dipahami dan melatih kemampuan siswa dalam hal berolah pikir.

2.2. Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian

Ruang Sampel adalah seluruh kemungkinan yang terjadi dalam suatu percobaan

Ruang Sampel biasanya dilambangkan dengan huruf besar “ S “

Contoh:

1. Pada percobaan melempar sebuah dadu, maka ruang sampelnya ditulis: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

2. Pada percobaan melempar sebuah mata uang logam S = { Angka, Gambar } atau S = { A, G }

S = { Muka , Belakang } atau S = { M, B }

Kejadian adalah bagian dari ruang sampel, biasanya untuk melambangkan suatu kejadian digunakan huruf besar.

Contoh:

1. Pada percobaan melempar sebuah dadu. a. Jika A adalah kejadian muncul mata dadu bilangan genap, maka:

A = { 2, 4, 6 }

b. Jika B adalah kejadian muncul mata dadu bilangan prima, maka: B = { 2, 3, 5 }

c. Jika C adalah kejadian muncul mata dadu yang merupakan faktor dari 12, maka:

C = { 1, 2, 3, 4, 6 }

2. Pada percobaan melempar dua mata uang logam.a. Jika P adalah kejadian kedua mata uang muncul Angka, maka:

P = { AA }

b. Jika Q adalah kejadian muncul 1 Angka dan 1 Gambar, maka: Q = { AG, GA }

Latihan 1:

1. Jika 3 buah uang logam dilempar, tentukan:a. Ruang Sampel Sb. Kejadian R yaitu kejadian muncul semuanya gambarc. Kejadian S yaitu kejadian muncul satu angka dan dua gambar

2. Jika 2 buah dadu dilempar, yaitu dadu I dan dadu II, tentukan:a. Ruang Sampel Sb. Kejadian A yaitu kejadian muncul jumlah kedua mata dadu sama dengan 7c. Kejadian B yaitu kejadian muncul mata dadu I angka 2

2.3. Peluang Suatu Kejadian

Menghitung Peluang dengan menggunakan Pendekatan Frekuensi Nisbi atau Frekuensi Relatif

Contoh:

1. Jika sebuah uang logam dilempar sebanyak 15 kali, kemudian pada setiap lemparan hasilnya dicatat dan diperoleh frekuensi muncul angka sebanyak 7 kali, maka

frekuensi relatif muncul angka =

2. Jika sebuah uang logam dilempar sebanyak 50 kali, kemudian pada setiap lemparan hasilnya dicatat dan diperoleh frekuensi muncul gambar sebanyak 28

kali, maka frekuensi relatif muncul gambar =

Jadi, peluang suatu kejadian secara frekuensi relatif adalah perbandingan banyaknya kejadian yang muncul dengan banyaknya percobaan yang dilakukan dalam waktu tertentu.

Latihan 2:

Lakukan percobaan di bawah ini dengan kelompokmu !

1. Melempar sebuah uang logam sebanyak: 25 kali, 30 kali, 50 kali, dan 100 kali Kemudian hitung peluang secara frekuensi relatif munculnya gambar!

2. Melempar sebuah dadu sebanyak 10 kali, kemudian hitung peluang secara frekuensi relatif a. munculnya mata dadu bilangan primab. munculnya mata dadu 5c. munculnya mata dadu 2

Menghitung Peluang Secara Klasik

Pada percobaan melempar sebuah mata uang logam, maka peluang muncul gambar =

Hal ini dapat dijelaskan sebagai berikut:

Ruang Sampel pada percobaan melempar sebuah uang logam adalah S = { A, G }

banyaknya anggota S atau n (S) = 2, sedangkan kejadian muncul gambar sebanyak 1 atau n (G) = 1, sehingga peluang kejadian muncul gambar pada percobaan melempar

sebuah mata uang logam: p =

Jadi, p =

Menghitung Peluang dengan Definisi Aksioma Peluang

Setiap kejadian di ruang sampel dikaitkan dengan bilangan antara 0 dan 1, bilangan ini disebut peluang.

a. Kejadian yang tak mungkin terjadi mempunyai peluang nolb. Kejadian yang pasti terjadi mempunyai peluang satuc. Peluang dari kejadian A bernilai antara 0 dan 1d. Jika A dan B dua kejadian sehingga A B = , maka

P ( A B ) = P ( A ) + P ( B )

e. Jika A dan B dua kejadian sehingga A B , maka P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A B )

Soal:

1. Sebuah dadu dilempar 100 kali. Hasil lemparan dicatat dalam bentuk tabel sbb:

Muncul

mata dadu

1 2 3 4 5 6

Frekuensi 14 17 20 18 15 16

Tentukan frekuensi relatif muncul mata dadu 3

a. Tentukan frekuensi relatif muncul mata dadu 1b. Tentukan frekuensi relatif muncul mata dadu bilangan genapc. Tentukan frekuensi relatif muncul mata dadu bilangan prima

2. Seorang dokter menggunakan obat Y untuk penyakit Z dengan peluang 0,8. Tentukan jumlah orang yang diharapkan sembuh jika ia menggunakan obat Y untuk penyakit Z pada 300 orang

3. Dua buah dadu dilantunkan secara bersama-sama. Tentukan peluang:a. Jumlah mata dadu yang muncul 7b. Dadu I muncul mata dadu 2 dan dadu II muncul mata dadu 3c. Dadu I muncul mata dadu 2 atau dadu II muncul mata dadu 5

2.4. Kejadian Majemuk

Sifat 1 : Misalkan A dan B dua kejadian pada ruang sampel dengan A B = ,

maka : P ( A B ) = P ( A ) + P ( B )

Sifat 2 : Misalkan A dan B dua kejadian pada ruang sampel dengan A B ,

maka : P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A B )

2.5. Peluang Komplemen suatu Kejadian

Sifat : Misalkan A kejadian pada ruang sampel, maka P ( A’ ) = 1 - P ( A )

2.6. Kejadian Bersyarat

Definisi: Dua kejadian A dan B pada ruang sampel dikatakan kejadian bersyarat

yaitu Kejadian B terjadi dengan syarat kejadian A terjadi lebih dahulu

atau B/A, maka peluangnya adalah: P(B/A) = atau

P(A B) = P(A). P(B/A)

2.7. Kejadian Saling Bebas

Definisi: Dua kejadian A dan B pada ruang sampel dikatakan saling bebas jika

P(A B) = P(A) . P(B)

Soal:

1. Suatu pengiriman 10 pesawat TV 3 diantaranya dinyatakan cacat. Berapakah peluang sebuah hotel membeli 4 pesawat TV tersebut dan 2 TV ternyata cacat?

2. Tiga buah buku diambil secara acak dari suatu rak yang berisi empat novel, tiga buku syair dan sebuah kamus. Berapakah peluang a. kamus terpilih?b. dua novel dan sebuah buku syair yang terpilih?

3. Dua kartu diambil secara berturutan tanpa dikembalikan dari suatu kotak kartu bridge. Berapakah peluang kartu yang terpilih lebih besar dari 2 tetapi lebih kecil dari 9?

4. Bila A dan B dua kejadian yang saling asing dengan P(A) = 0,4 dan P(B) = 0,5, hitunglah:a. P(A B)b. P(A’)c. P(A’ B)

5. Dalam sebuah kotak berisi 15 telur 5 telur diantaranya rusak. Untuk memisahkan telur baik dan telur yang rusak dilakukan pengetesan satu persatu. Berapakah peluang diperoleh telur rusak ke 3 pada pengetesan ke 5?

3. STATISTIKA

Pengertian Statistika dan Statistik

Statistika adalah ilmu yang merupakan cabang dari matematika. Dalam statistika

terdiri dari dua kegiatan:

a. Mengumpulkan data, menyajikan data dalam bentuk diagram dan menghitung nilai-nilai ukuran data sehingga menjadi satu nilai yang mudah dimengerti makna dari data tersebut.

b. Menggunakan pengolahan data pada (a) untuk membuat kesimpulan atau meramalkan hasil yang akan datang.

Kegiatan (a) disebut Statistika Deskriptif dan kegiatan (b) disebut Statistika Inferensial.

Nilai-nilai ukuran data sehingga mudah dimengerti maknanya disebut statistik.

Statistik memberikan karakteristik-karakteristik tertentu dari data. Nilai ukuran terkecil, nilai ukuran terbesar, nilai rataan, median, modus, jangkauan data, kuartil, desil dan persentil disebut statistik.

3.1. Pengertian Populasi, Sampel dan Data

Definisi:

Populasi adalah kumpulan dari semua obyek atau benda yang akan diteliti. Sampel adalah sub kumpulan obyek atau benda yang merupakan bagian dari populasi. Data adalah bentuk jamak dari datum. Datum adalah suatu informasi yang diperoleh dari suatu pengamatan. Dengan demikian data adalah kumpulan dari datum-datum.

3.2. Statistik Lima Serangkai (Ukuran terkecil, Ukuran Terbesar, Kuartil Bawah, Median dan Kuartil Atas)

Median adalah data tengah dari suatu kumpulan data yang telah diurutkan.

Jika n ganjil, maka merupakan bilangan bulat, sehingga median adalah

datum yang ke , sedangkan jika n ganjil, maka median adalah

Contoh:

Tentukan statistik lima serangkai dari data:

79, 63, 94, 100, 83, 92, 78, 62, 53, 84, 76

Jawab:

Data diurutkan terlebih dahulu: 53, 62, 63, 76, 78, 79, 83, 84, 92, 94, 100

Ukuran terkecil : 53

Ukuran terbesar : 100

Kuartil 1 (Q1) :

Median : 79

Kuartil 3 (Q3) :

3.3. Rataan Kuartil dan Rataan Tiga

Rataan Kuartil =

Rataan Tiga =

3.4. Jangkauan Data, Jangkauan Antar Kuartil, Langkah, Pagar Dalam dan Pagar Luar.

Definisi:

Jangkauan data atau Rentangan data adalah selisih antara nilai maksimum dan nilai minimum dari data.

J =

Jangkauan antar kuartil adalah selisih antara kuartil atas dan kuartil bawah.H = , Jangkauan antar kuartil disebut juga hamparan

Satu langkah didefinisikan sebagai satu setengah panjang hamparan. Jika H menyatakan hamparan dan L menyatakan satu langkah maka:

L = 1,5 x H

Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam (PD) adalah suatu nilai yang letaknya satu langkah di bawah

nilai kuartil bawah dan Pagar Luar (PL) adalah suatu nilai yang letaknya

satu langkah di atas kuartil atas

PD = - L dan PL = + L

3.5. Penyajian Data dalam bentuk Diagram

Penyajian data dalam bentuk diagram, misalnya:

a. Diagram Kotak Garisb. Diagram Batang Daunc. Diagram Batangd. Diagram Garise. Diagram Lingkaran

3.6. Daftar Distribusi Frekuensi, Frekuensi Relatif, Frekuensi Kumulatif, Histogram

Frekuensi, Poligon Frekuensi dan Ogive

Daftar Distribusi Frekuensi adalah suatu cara mengorganisasikan data dengan membagi data menjadi beberapa kelompok atau kelas, kemudian setiap kelompok atau kelas dari data dicatat mengenai banyaknya data atau frekuensi yang masuk dalam kelompok tersebut.

Frekuensi Relatif adalah frekuensi tiap kelas dibagi frekuensi total dikalikan 100%

Frekuensi Kumulatif adalah menjumlahkan setiap frekuensi dengan frekuensi kelas sebelumnya.

Histogram adalah salah satu cara menyatakan daftar distribusi frekuensi atau distribusi frekuensi relatif.

Poligon Frekuensi adalah garis yang menghubungkan titik tengah titik tengah pada histogram

Ogive adalah kurva distribusi frekuensi kumulatif

3.7. Data Statistika Deskriptif

Ukuran-ukuran Tendensi Sentral

Rataan Hitung, Rataan Geometris, Rataan Harmonis dan Rataan Kuadratis Rataan Hitung

Misalkan suatu data disajikan dalam bentuk data tunggal yaitu:

, rataan hitung adalah

atau

Rataan untuk data dalam daftar distribusi frekuensi

Rataan Geometris

Misalkan data bernilai positif terdiri atas . Rataan geometris

dinyatakan oleh g adalah akar ke n dari perkalian nilai-nilai data:

Rataan Harmonis

Misalkan data bernilai positif terdiri atas . Rataan harmonis

dinyatakan oleh h adalah nilai yang memenuhi

Hubungan antara rataan hitung, rataan geometris dan rataan harmonis

Misalkan diketahui data bilangan-bilangan positif. Rataan

geometris lebih kecil atau sama dengan rataan hitung tetapi lebih besar atau

sama dengan rataan harmonis

Jadi: h g

Rataan Kuadratis

Misalkan data terdiri atas . Rataan kuadratis dinyatakan

oleh k adalah akar kuadrat dari rata-rata kuadrat data yang diketahui atau

Modus, Median, Kuartil, Desil dan Persentil

Modus adalah nilai yang paling banyak muncul.

Modus data dalam bentuk daftar distribusi frekuensi

Nilai Modus :

L = batas bawah limit kelas modus

= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya

= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

c = panjang kelas modus

Median data dalam daftar distribusi frekuensi

Median ( M

L = batas bawah limit kelas median

n = ukuran data

frekuensi kumulatif sebelum kelas median

f = frekuensi kelas median

c = panjang kelas median

Kuartil, Desil dan Persentil

Untuk data tunggal kuartil adalah nilai data yang ke , i =1, 2, 3

Jika i = 1 disebut kuartil bawah (Q1)

Jika i = 2 disebut kuartil tengah (Q2) atau Median

Jika i = 3 disebut kuartil atas (Q3)

Untuk data dalam daftar distribusi frekuensi

Kuartil (Qi) = dimana i = 1, 2, 3

L = batas bawah limit kelas Qi

n = ukuran data

frekuensi kumulatif sebelum kelas Qi

f = frekuensi kelas Qi

c = panjang kelas Qi

Untuk Desil dan Persentil caranya sama, yaitu

Desil nilai data yang ke Persentil nilai data yang ke

3.8. Ukuran Penyebaran Data

Ukuran penyebaran data yang akan dibahas adalah

a. Simpangan Rata-ratab. Ragam (Variansi) dan Simpangan bakuc. Koefisien Keragamand. Angka Baku

a. Simpangan Rata-rata Definisi:

Misalkan nilai-nilai data tunggal: , maka simpangan rata-rata

SR = , dimana = rataan hitung dan n = ukuran data

Untuk data dalam daftar distribusi frekuensi simpangan rata-rata adalah

SR = , dimana

n = ukuran data, k = banyaknya kelas dan = frekuensi kelas ke i

dan titik tengah kelas ke i

Ragam (Variansi) dan Simpangan baku

Misalkan nilai-nilai data tunggal: , maka ragam (variansi)

adalah:

sedangkan simpangan baku adalah

Ragam dan simpangan baku data dalam daftar distribusi frekuensi adalah

sedangkan simpangan baku adalah

, dimana frekuensi kelas ke i dan

titik tengah kelas ke i

Koefisien Keragaman

Koefisien Keragaman (V) =

Koefisien Keragaman dinyatakan dalam prosen:

V =

Angka Baku

Misalkan suatu nilai datum x dari kumpulan data mempunyai rataan hitung

dan simpangan baku s, maka angka dari nilai x diberikan oleh