MA1201 MATEMATIKA 2A - … file13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13.2 Integral Berulang...
Transcript of MA1201 MATEMATIKA 2A - … file13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13.2 Integral Berulang...
MA1201 MATEMATIKA 2A
Hendra GunawanSemester II, 2016/2017
5 April 2017
Kuliah yang Lalu
12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah
12.2 Turunan Parsial
12.3 Limit dan Kekontinuan
12.4 Turunan fungsi dua peubah
12.5 Turunan berarah dan gradien
12.6 Aturan Rantai
12.7 Bidang singgung dan aproksimasi – Bag II
12.8 Maksimum dan minimum
12.9 Metode pengali Lagrange
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 2
Kuliah Hari Ini
13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang
13.2 Integral Berulang
13.3 Integral Lipat Dua atas Daerah BukanPersegi Panjang
13.4 Integral Lipat Dua dalam Koordinat Polar
13.5 Penggunaan Integral Lipat Dua
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 3
13.1 INTEGRAL LIPAT DUA ATAS PERSEGIPANJANG
MA1201 MATEMATIKA 2A
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 4
Menghitung atau menaksir integral lipat duaatas persegi panjang dengan menggunakandefinisi
Ingat: Integral Tentu untukFungsi Satu PeubahJumlah Riemann untuk f , ,
merupakan hampiran untuk luas daerahdi bawah kurva y = f(x), x є [a,b]. Jika
ada, maka f dikatakan terintegralkanpada [a,b]. Integral tentu f pada [a,b]didefinisikan sebagai
10/25/2013 (c) Hendra Gunawan 5
n
i
iiP
xtf1
0||).(lim
b
a
dxxf )(
n
i
iiP
xtf1
0||).(lim
n
i
ii xtf1
).(
1¾ 0 1/3 ½ 7/8
Jumlah Riemann Fungsi Dua Peubah
Misalkan S = {(x,y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} dan f : S R kontinu (kecuali pd suatukurva) dan terbatas. Bentuk partisi Ai, dengan panjang ∆xi dan lebar ∆yi, dandi tiap Ai pilih titik sampel (xi,yi). Makadiperoleh jumlah Riemann
yg merupakan hampiran volume ruangdi antara permukaan z = f(x,y) danpersegi panjang S.
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 6
n
i
iii Ayxf1
),(
S
Integral Lipat Fungsi Dua Peubah
Misalkan f fungsi dua peubah yang terdefinisipada persegi panjang S. Jika
ada, maka f dikatakan terintegralkan pada S. Selanjutnya,
disebut integral lipat dua dari f pada S.
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 7
n
i
iiiP
Ayxf1
0||||),(lim
n
i
iiiP
S
AyxfdAyxf1
0||||),(lim:),(
Contoh
Diketahui persegi panjang S= {(x,y) : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 8}.
Taksir nilai
dengan jumlah Riemann, dengan membagi S atas 8 persegi sama besar danmemilih titik-titik tengahtiap persegi sebagai titiksampelnya.4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 8
S
dAyx
16
864 2
Jawab: Kita hitung nilai f di titik-titik sampel: f(1,1) = 57/16, f(1,3) = 65/16, f(1,5) = 81/16, f(1,7) = 105/16, f(3,1) = 41/16, f(3,3) = 49/16, f(3,5) = 65/16, f(3,7) = 89/16.
Lalu, dengan ∆Ai = 4, kita peroleh
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 9
.138)89654941105816557(16
4
),(16
864 8
1
2
i
iii
S
AyxfdAyx
Teorema Keterintegralan
Jika f kontinu (kecuali pd suatu kurva) dan terbatas pada persegi panjang S, maka f terintegralkan pada S.
Contoh: Setiap polinom dua peubah(misal f(x,y) = x2 + y2) merupakan fungsiyang terintegralkan pada sembarangpersegi panjang.
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 10
Sifat-Sifat Integral Lipat Dua
1. Linear: Jika k ϵ R, maka
a. .
b.
2. Aditif: Jika S = S1 U S2, dgn … , maka
3. Monoton: Jika f(x,y) ≤ g(x,y) utk (x,y) ϵ S, maka
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 11
SS
dAyxfkdAyxkf ),(),(
SSS
dAyxgdAyxfdAyxgyxf ),(),()],(),([
21
),(),(),(SSS
dAyxfdAyxfdAyxf
.),(),( SS
dAyxgdAyxf
13.2 INTEGRAL BERULANGMA1201 MATEMATIKA 2A
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 12
Menghitung integral lipat dua (pada persegipanjang) sebagai integral berulang
Menghitung Integral Lipat Dua
Jika f terintegralkan pada persegi panjang S = [a,b] x [c,d], maka integral lipat dua dari f pada Sdapat dihitung sebagai integral berulang:
atau
Catatan: Pada cara pertama, ruang diiris sejajarsumbu-x terlebih dahulu.
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 13
d
c
b
aS
dxdyyxfdAyxf ),(),(
.),(),(
b
a
d
cS
dydxyxfdAyxf
Contoh 1
Jika S = {(x,y) : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 8} = [0,4] x [0,8],
hitung sbg integral berulang
dengan mengintegralkan thd x terlebih dahulu.
Jawab:
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 14
S
dAyx
16
864 2
8
0
4
0
22
1624
16
864dxdy
yxdA
yx
S
.3
2138
12
51296
412
8
0
2
dy
y
Contoh 2
Jika S = {(x,y) : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 8} = [0,4] x [0,8],
hitung sbg integral berulang
dengan mengintegralkan thd y terlebih dahulu.
Jawab:
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 15
S
dAyx
16
864 2
4
0
8
0
22
1624
16
864dydx
yxdA
yx
S
Catatan
Pengintegralan berulang:
Terhadap y dahulu, Terhadap x dahulu,
lalu terhadap x: lalu terhadap y:
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 16
S S
Soal
Jika S = {(x,y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} = [0,1] x [0,1],
hitung sebagai integral berulang.
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 17
S
xydAxe
13.3 INTEGRAL LIPAT DUA ATAS DAERAHBUKAN PERSEGI PANJANG
MA1201 MATEMATIKA 2A
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 18
Menghitung integral lipat dua atas daerahbukan persegi panjang
Bagaimana menghitung integral lipatpada daerah bukan persegi panjang?
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 19
S
Integral pada Daerah y-Sederhana
Himpunan S disebut y-sederhanaapabila S dapat dituliskan sebagai
S = {(x,y) : u1(x) ≤ y ≤ u2(x), a ≤ x ≤ b},
dengan u1(x) dan u2(x) kontinu. Dalam hal ini, integral f pada S dapatdihitung sebagai
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 20
b
a
xu
xuS
dydxyxfdAyxf
)(
)(
2
1
.),(),( a b
S
Integral pada Daerah x-Sederhana
Himpunan S disebut x-sederhanaapabila S dapat dituliskan sebagai
S = {(x,y) : v1(y) ≤ x ≤ v2(y), c ≤ y ≤ d},
dengan v1(y) dan v2(y) kontinu. Dalam hal ini, integral f pada Sdapat dihitung sebagai
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 21
d
c
yv
yvS
dxdyyxfdAyxf
)(
)(
2
1
.),(),(
d
c
S
Contoh 1
Hitung apabila S adalah daerah tertutup
yang dibatasi oleh y = x2 dan y = 1.
Jawab:
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 22
S
xydA
Contoh 2
Hitung apabila S adalah daerah tertutup
yang dibatasi oleh garis y = 2x, garis x = 4, dansumbu-x.
Jawab:
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 23
S
x dAe2
Soal 1
Tentukan volume bendapejal yang terletak diOktan I dan dibatasi olehparaboloida z = x2 + y2, tabung x2 + y2 = 4, danbidang-bidang koordinat.
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 24
Soal 2
Hitung apabila S
adalah daerah cincin ygdibatasi oleh lingkaranx2 + y2 = 1 dan x2 + y2 = 4.
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 25
S
dAx2
1 20