BAB I : PENDAHULUAN

Persamaan Diferensial (PD) adalah sebuah persamaan yang merupakan hubungan antara suatu variabel independen x (variabel bebas x), suatu variabel dependen y (tak

bebas y) , dan satu atau lebih turunan dari y terhadap x . Jadi , tak boleh.

Atau :Persamaan diferensial (differential equation) adalah persamaan yang melibatkan variabel-variabel tak bebas dan derivatif-derivatifnya (turunannya) terhadap variabel-variabel bebas.

Contoh :

1. = ex + sin (x) variabel tak bebas y , variabel bebas x

2. y” – 2 y’ + y = cos (x) variabel tak bebas y , variabel bebas x

3. 3 x2 dx + 2 y dy = 0 variabel tak bebas y atau x , variabel bebas bisa x atau y, umumnya diambil y tak bebas dan x variabel bebas .

4. x”(t) + sin x(t) = 0 variabel tak bebas x , variabel bebas t .

Persamaan Diferensial dibagi dalam 2 golongan, yaitu :

1. Persamaan Diferensial Biasa (PDB), yang mempunyai hanya satu perubah bebas (variabel bebas)

Misalnya : x + y ( )2 + xy2 = 0

2. Persamaan Diferensial Parsial (PDP) yang mempunyai lebih dari satu perubah bebas (variabel bebas).

Misalnya : ∂2Ø / ∂x2 + ∂2Ø / ∂y2 = a ∂Ø / ∂ t variabel bebas adalah x,y,t.

Orde (tingkat) dari suatu Persamaan Diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi dalam persamaan tersebut (yang muncul dalam persamaan diferensial).Contoh :

x - y2 = 0 , adalah PDB orde (tingkat) pertama

xy - y2 sin x = 0 , adalah PDB orde ke dua (tingkat ke dua)

+ e4x = 0 , adalah PDB orde ke tiga (tingkat ke tiga)

Pangkat (derajat)

1

Pangkat dari suatu persamaan diferensial adalah pangkat dari turunan tertinggi yang muncul dalam persamaan diferensial.

Contoh : ( )3 + 2 + y = ln x , adalah PDB tingkat 3 (orde 3) dan

berpangkat 3 (derajat 3) .

x3 ( + 2 ( + x ( + 3 xy = 0 , adalah PDB tingkat 3

(orde 3) berpangkat 2 (derajat 2) Pemecahan Umum

Yang dimaksud dengan pemecahan/penyelesaian suatu PD adalah hubungan fungsi antara perubah-perubah yang memenuhi PD itu.Yang dimaksud pemecahan umum (general solution) suatu PD yang berorde n adalah hubungan fungsi antara perubah-perubah yang mengandung n konstanta, fungsi ini disebut fungsi primitif atau integral umum dari PD.

Contoh : y” + 4 y = 0 , memiliki sebagai pemecahan umum : y = C1 Cos 2x + C2

Sin 2x .Bilamana kepada konstanta-konstanta itu diberikan suatu harga, maka pemecahan itu

disebut pemecahan partikulir (particular solution), misalnya y = 2 Cos 2x + 3 Sin 2x.

Proses Pembentukan Persamaan Diferensial.

Persamaan Diferensial dalam prakteknya dapat dibentuk dari suatu pertimbangan masalah fisis. Secara matematis, PD dapat muncul apabila konstanta-konstanta sembarangnya di eliminasi dari fungsi yang diberikan.

Contoh :1. Tinjau y = A sin x + B cos x , dimana A dan B adalah konstanta sembarang, PD orde berapakah persamaab tsb ?Jawab : y = A sin x + B cos x

= A cos x – B sin x

= - A sin x - B cos x

= - ( A sin x + B cos x ) = - y

Jadi Persamaan Diferensialnya adalah : + y = 0 , jadi PD orde ke dua .

2. Bentuklah sebuah PD dari fungsi y = x + , A adalah konstanta

2

Jawab :

y = x +

= x + A.x-1

= 1 – A.x-2

= 1 -

Dari persamaan di atas : y = x + , maka = y - x jadi A = x (y – x)

Sehingga didapat :

= 1 -

= 1 –

=

=

Jadi x = 2x – y , Persamaan Diferensial orde pertama .

Contoh 3 : Bentuklah PD untuk y = A x2 + B x Jawab : y = A x2 + B x ............................(1)

= 2 A x + B ..............................(2)

= 2 A , didapat A =

Subsitusi 2 A ke persamaan (2), didapat :

= x + B atau B = - x

Dengan memasukan nilai A dan B ke dalam persamaan (1), kita dapatkan :

y = x2 . + x ( - x )

= x2 + x - x2

3

y = x - , ini adalah PD orde ke dua .

Jika kita kumpulkan beberapa hasil terakhir, kita dapatkan :

1. y = A sin x + B cos x , menghasilkan PD + y = 0 , orde ke dua .

2. y = Ax2 + Bx , menghasilkan PD y = x , orde ke dua

3. y = x + menghasilkan PD x = 2 x - y , orde pertama.

K e s i m p u l a n :

1. Fungsi dengan 1 konstanta sembarang menghasilkan PD orde pertama.2. Fungsi dengan 2 konstanta sembarang menghasilkan PD orde ke dua ,

Maka fungsi dengan n konstanta sembarang menghasilkan persamaan orde ke n.

Jadi tanpa menyelesaikan secara rinci, dapat kita katakan bahwa :

a. y = e-2x(A +Bx) , menghasilkan PD orde ke dua

b. y = A , menghasilkan PD orde ke satu (pertama)

c. y = e3x(A cos 3x + B sin 3x), menghasilkan PD orde ke dua.

BAB II Persamaan Diferensial Orde Pertama (PD Orde Satu)

Suatu PD orde pertama mempunyai bentuk umum (secara implisit) sebagai berikut :

F(x,y, ) = 0 ................................................................... ( 1 )

Contoh :

1. x + y2 + x2 + 2 = 0

2. - 2 y + ex = 0

3. x - y2 = 0

Dalam bentuk eksplisit PD orde pertama (orde satu) berbentuk sebagai berikut :

= f(x,y) ........................................................................... ( 2 )

Contoh :

1. = 2 y + ex

4

2. = xy + x2

3 =

Suatu fungsi y = y(x) dikatakan solusi PD (1) atau PD (2), apabila y = y(x) atau

turunannya yaitu memenuhi PD (1) atau PD (2) .

Contoh :

y = x2 + 1 , adalah solusi PD = 2 x

y = x2 + C , untuk C konstanta sembarang juga merupakan solusi dari PD = 2 x ,

sedangkan solusi y = x2 + C , yang memuat konstanta C disebut sebagai solusi umum

dari persamaan diferensial = 2 x .

Jadi solusi umum suatu PD masih memuat konstanta C, sedangkan solusi khusus diperoleh dari solusi umum dengan mengambil konstanta C suatu bilangan tertentu atau suatu solusi yang memenuhi syarat-syarat yang diberikan, misalnya syarat awal.

Beberapa cara penyelesaian dari PD 0rde pertama (orde satu) derajat satu dapat diperoleh sebagai berikut :

Bentuk Umum dari PD :

M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0

1. Dengan cara memisahkan variabelnya.

Bentuk M(x,y)dx + N(x,y)dy di ubah ke bentuk P(x)dx +Q(y)dy, dengan :P(x) suatu fungsi dari x saja ,Q(y) suatu fungsi dari y saja

Penyelesaian diperoleh dengan mengintegralkannya sebagai berikut :

Contoh :

a). xy + x2 + 1 = 0

y + = 0

5

y dy + = 0

y dy = -

y2 = -

- ( ) + C

y2 = - x2 – 2 ln x + C

b).

dy = x2 y3 dx

y-3 dy = x2 dx

-

2 x3 + 3 y-2 + C = 0

c). (x2 + 4) sin y - x = 0

sin y - = 0

sin y dy =

- cos y =

Jadi solusi umumnya adalah : Cos y + = 0

2. Persamaan Diferensial Homogen (PD Homogen)

Dari bentuk M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 , dikatakan PD Homogen apabila M(x,y)dx dan N(x,y)dy homogen dan berderajat sama (berpangkat sama).Metode penyelesaian PD orde pertama (orde satu) homogen dilakukan dengan

subsitusi z = , sehingga PD berubah menjadi variabel terpisah.

Dengan subsitusi z = , maka y = x z dan dy = x dz + z dx .

6

Contoh :a). (x+y) dx + (y-x) dy = 0

+ = 0

.............................................................................. ( a )

Misal : z = atau y = x z , maka dy = x dz + z dx

Subsitusikan ke dalam persamaan (a) , didapat :

x

x

=

=

(

- =

Arc tg z - = ln x + C

Arc tg z = ln ( 1 + z2 )1/2 + ln x + C

7

Arc tg = ln ( 1 + 1/2 + C

b). Tentukan solusi umum PD :

2 x y + x2 - 2 y2 = 0

Jawab :

2 xy + x2 - 2 y2 = 0

......................................................................................... ( b )

Misal : z = atau y = x z dan dy = x dz + z dx

Subsitusikan ke dalam persamaan ( b ), didapat :

z + x = z -

x

- 2 z dz =

=

- z2 = ln x + C

- ln x + C atau y2 = - x2 (ln x + C)

Persamaan Diferensial yang dapat di homogenkan :

Bentuk Umum

( ax + by + c ) dx + ( px + qy + r ) dy = 0

8

Subsitusi : x = x0 + u maka dx = du y = y0 + v maka dy = dv

Persamaan Diferensial menjadi : ( a x0 + a u + b y0 + b v + c ) du + ( p x0 + p u + q y0 + q v + r ) dv = 0

Atau

( ax0 + by0 + c + au + bv ) du + ( px0 + qy0 + r + pu + qv ) dv = 0

Pilih x0 dan y0 sedemikian rupa, sehingga persamaan :

a x0 + b y0 + c = 0

p x0 + q y0 + r = 0

dengan cara determinan atau cramer dapat dicari atau dihitung x0 dan y0 , dengan syarat determinan dari persamaan tersebut tidak boleh sama dengan nol . Persamaan Diferensial sekarang menjadi :

( a u + b v ) du + ( p u + q v ) dv = 0 , sudah homogen.

PD dapat diselesaikan bila determinan ≠ 0

Contoh :

( 2 x – 4 y – 10 ) dx + ( 5 x – y – 7 ) dy = 0

= - 2 + 20 = 18 ≠ 0

Misal : x = x0 + u maka dx = du y = y0 + v maka dy = dvPD menjadi :

( 2 x0 + 2 u – 4 y0 – 4 v – 10 )du + ( 5 x0 + 5 u – y0 – v – 7 ) dv = 0( 2 x0 – 4 y0 – 10 + 2 u – 4 v )du + ( 5 x0 – y0 – 7 + 5 u – v ) dv = 0

2 x0 – 4 y0 – 10 = 0 5 x0 – y0 – 7 = 0

Dari persamaan tersebut dengan cara determinan didapat :

9

x0 = = = 1 ; y0 = = = - 2

Jadi : x = 1 + u atau u = x - 1

y = - 2 + v atau v = y + 2

Sehingga PD menjadi :

( 2u – 4v )du + ( 5u – v ) = 0

Misal : z = atau v = u z maka dv = u dz + z du, disubsitusikan menjadi :

( 2u – 4 uz )du + ( 5u – uz ) (u dz + z du) = 0

(2u – 4uz +5uz – uz2) du + ( 5u2 – u2z ) dz = 0

(2u + uz – uz2)du + u2 (5 – z) = 0

u (2 + z – z2) du + u2 (5 – z) dz = 0

+ = 0

ln u – ln (z – 2) + 2 ln (z + 1) = C

ln = C

= C1 ; z = , u = x – 1 dan v = y + 2

= C1

(x-1) ( = C1 (

= C1 (

10

( y + x + 1 )2 = C1 ( y – 2x + 4 )

Note : =

=

= =

Disamakan koefisiennya , yg ada z : 1 = A + B

tak ada z: -5 = A -2 BDidapat : A = -1 dan B = 2

Cara lain untuk menghomogenkan Persamaan Diferensial

B U :

(ax + by + c) dx ± (px + qy + r) dy = 0

Misal : ax + by + c = u maka a dx + b dy = du px + qy + r = v maka p dx + q dy = dv

didapat :

dx = ; dy =

Persamaan Diferensial menjadi :

u( = 0

u q du – u b dv + v a dv – v p du = 0

11

( u q – v p ) du + ( v a – u b ) dv = 0 , sudah homogen dapat diselesaikan.

Contoh : ( 3y – 7x + 7 ) dx + ( 7y – 3x + 3 ) dy = 0

= -9 + 49 = 40 ≠ 0

Misal : 3y – 7x + 7 = u maka 3 dy – 7 dx = du

7y – 3x + 3 = v maka 7dy – 3 dx = dv

dy =

dx =

Persamaan Diferensial menjadi :

u (

(-7 u – 3 v) du + ( 3 u + 7 v ) dv = 0

Misal : z = atau v = u . z maka dv = u dz + z du

Sehingga PD menjadi : (-7u –3 uz)du + (3u + 7uz) (u dz + z du) = 0

-7u du – 3uz du + 3 u2 dz + 3 uz du + 7 u2 z dz + 7 u z2 du = 0

(-7u + 7 uz2) du + ( 3 u2 + 7 u2z ) dz = 0

7u (z2 – 1) du + u2 (7 z + 3) dz = 0

7 (z2 - 1)du + u (7z + 3)dz = 0

7 dz = 0

12

7

7 ln u +

ln u7 + 2 ln (z+1) + 5 ln (z-1) = C

ln u7 (z+1)2 (z-1)5 = C u7 .(z+1)2 . (z-1)5 = C1

u7.(

u7 (

(v+u)2 . (v-u)5 = C1

( 7y – 3x + 3 + 3y – 7x + 7 )2 . (7y – 3x + 3 – 3y + 7x – 7)5 = C1

(10y – 10x + 10)2. (4y + 4x – 4)5 = C1

Yang kita bicarakan sebelumnya determinannya tidak boleh sama dengan 0, jika

determinannya sama dengan 0 maka penyelesaiannya sbb :

BU : ( ax + by + c ) dx ± ( px + qy + r ) dy = 0

= 0

Misal : maka (ax + by) = m (px + qy)

Andaikan : z = px + qy maka dz = p dx + q dy , dan

dy =

P D menjadi :

( m z + c ) dx + ( z + r ) dy = 0 , dy disubsitusi sehingga menjadi :

(mz + c) dx + (z + r) ( ) = 0

(qmz + qc) dx + (z + r) (dz – p dx) = 0

13

(qmz + qc) dx + ( z + r)dz – (z p + pr) dx = 0

qmz dx + qc dx + z dz + r dz – zp dx – pr dx = 0

(qm – p) z dx + (qc – pr) dx + (z + r) dz = 0

dx + (z + r) dz = 0

dx =

Contoh :

(x – 2y + 9) dx – (3x – 6y + 19) dy = 0

= - 6 + 6 = 0

Maka m =

z = px + qy = 3 x – 6 y maka dz = 3 dx – 6 dy dan

dy =

Sehingga P D menjadi :

(

(2 z + 54) dx – (z + 19) (3 dx – dz ) = 0

2 z dx + 54 dx – 3 z dx – 57 dx + z dz + 19 dz = 0

- z dx – 3 dx + z dz + 19 dz = 0

- (z + 3) dx + (z + 19) dz = 0

dx =

x =

14

x = z + 16 ln (z + 3) + C = (3x – 6y) + 16 ln (3x – 6y + 3) + C

(2x – 6y) + 16 ln (3x – 6y +3) + C = 0

Atau

3. Persamaan Diferensial Exact (PD Eksak) dan Faktor Integral

Persamaan umum M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 , dikatakan PD Exact apabila :

Untuk mendapatkan jawaban persamaan diferensial, kita peroleh dengan cara sbb :

= M(x,y) ......................................................................... ( 1 )

= N(x,y) ........................................................................... ( 2 )

Dari persamaan ( 1 ) :

= M(x,y)

(2x-6y) + ln (3x-6y+3)16 + C = 0

15

f(x,y) =

Dari persamaan ( 2 ) :

= N(x,y)

atau

C(y) = -

Jadi jawaban PD adalah :

F(x,y) = 0

= 0

Contoh :

1). ( 3 x2 + 3 y2 ) dx + 6 x y dy = 0 M(x,y) = 3 x2 + 3 y2 N(x,y) = 6 x y

f(x,y) =

16

f(x,y) = x3 + 3 x y2 + C(y)

= 6 x y + C’(y)

6 x y + C’(y) = 6 x y C’(y) = 0 C(y) = k

Jadi fungsinya :

f(x,y) = x3 + 3 x y2 + k

2). ey dx + ( x ey + 2 y ) dy = 0

M(x,y) = ey ; N(x,y) = x ey + 2 y

= M(x,y) = ey

f(x,y) = = x ey + C(y)

= x ey + C’(y)

= N(x,y) = x ey + 2 y

x ey + C’(y) = x ey + 2 y

17

C’(y) = 2 y C(y) = y2

Jadi fungsinya :

f(x,y) = x ey + y2

Faktor Integral

Jika PD tersebut tidak exact maka dapat dijadikan exact dengan mengalikan suatu faktor tertentu, sehingga mudah diselesaikan dengan integral , faktor ini disebut faktor integral ( ).

Cara untuk menentukan faktor integral ( )

Misal PD : M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 Tidak Exact Maka :

atau

.................................................... ( 1 )

Sekarang kita tinjau beberapa kasus sbb :

Kasus 1 :

Misalkan yaitu fungsi dari x saja , maka dan

Persamaan ( 1 ) menjadi :

=

= ............................................................. ( 2 )

18

Bila suatu fungsi dari x saja ; jadi misalkan

= g(x) , maka dari persamaan ( 2 ) dapat di tulis :

= g(x) atau

=

ln µ = =

Jadi faktor integralnya adalah :

=

Dimana : g(x) =

Contoh : y dx + ( x2 y - x ) dy = 0

M = y N = x2 y - x

≠ Tidak Exact

g(x) =

19

= = =

= -

=

= e -2 ln x

= faktor integralnya

Faktor integralnya dikalikan dengan PD semula didapat :

= 0

= 0

M = N = y -

Sudah Exact dapat diselesaikan .

Kasus 2 :

Misalkan fungsi dari y saja, maka dan

Dari persamaan ( 1 ) di dapat :

=

=

= ................................................................. ( 3 )

20

Bila - suatu fungsi dari y saja , misalnya :

= g(y)

Maka persamaan ( 3 ) menjadi :

atau

ln

Jadi faktor integralnya :

Dimana : g(y) =

Contoh : 2 x y dx + ( y2 - 3 x2 ) dy = 0

M = 2 x y N = y2 - 3 x2

≠ Tidak Exact

g(y) =

= =

21

=

= e- 4 ln y

= y-4 = dapat diselesaikan

Persamaan Diferensial menjadi :

= 0

= 0

M = 2x y-3 N = ( y-2 - 3 x2 y-4 )

= Sudah Exact

f(x,y) =

= x2 y-3 + C(y)

- 3 x2 y-4 + C’(y) = y-2 - 3 x2 y-4

C’(y) = y-2

C(y) =

= -

22

Jadi f(x,y) = x2 y-3 – y-1 atau f(x,y) =

Kasus 3 :

Miasal fungsi dari x dan y , kita subsitusi z = x y

dan

. = . y ......................................................... ( a )

= . x ............................................................... ( b )

. Persamaan ( a ) dan ( b ) dimasukkan ke dalam persamaan ( 1 ) :

) = .............................................................. ( 1 )

) =

( y N – x M ) =

=

Bila :

= h(z) ; z = x y ,

Maka faktor integralnya adalah

23

Contoh : y dc + ( x + 3 x3 y4 ) dy = 0

M = y N = ( x + 3 x3 y4)

≠ Tidak Exact

h(z) =

=

=

= -

= -

Maka faktor integralnya :

=

= e-3ln z

=

=

Sehingga persamaan diferensial menjadi :

= 0

24

+ ( = 0

M = x-3 y-2 N = ( x-2 y-3 + 3 y )

- 2 x-3 y-3 = - 2 x-3 y-3

Sudah Exact dapat diselesaikan

= x-3 y-2

f(x,y) = x-3 y-2 dx + C(y)

= - + C(y)

. 2 y-3 + C’(y)

= x-2 y-3 + C’(y)

sedangkan

x-2 y-3 + C’(y) = x-2 y-3 + 3 y

C’(y) = 3 y

C(y) =

Jadi fungsinya adalah : f(x,y) = - = - ( x-2 y-2 – 3 y2 ) .

BAB III PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDE SATU

Suatu persamaan diferensial disebut linear bilamana dan y berpangkat satu dan

tidak diperbanyakan satu dengan yang lain (tidak boleh dikalikan y dan y’)

B U

± P(x). y = Q(x) ................................................................. ( 1 )

25

Persamaan diferensial semacam ini dapat diselesaikan menurut cara :

a). Bernoulli

b). Lagrange

c). Faktor Integral

a. Cara Bernoulli

Masukkan subsitusi y = U V , dimana U dan V fungsi dari x saja , sehingga :

y = U V

Persamaan ( 1 ) menjadi :

U + P(x) . UV = Q(x)

U + V ( = Q(x) ..................................................... ( 2 )

U ditentukan sedemikian rupa, sehingga :

+ P(x) U = 0

+ P(x) dx = 0

= - P(x) dx

ln U = ln atau U =

Sehingga persamaan ( 2 ) menjadi :

U = Q(x)

26

= Q(x)

dV = . Q(x) dx

V = . Q(x) dx + C

Jadi :

y = U . V

y = . . Q(x) dx + C

Contoh : 1) -

Misal : y = U V

P D menjadi :

U - = ( x + 1 )3

U + V ( = ( x + 1 )3

= 0

ln U = 2 ln (x+1) U = (x+1)2

U = (x+1)3

(x+1)2 = (x+1)3

= (x+1) dV = (x+1) dx

V =

V =

27

Jadi : y = U . V

= (x+1)2 . (

2). + = 3 x

Misal : y = U V

P D menjadi :

U + = 3 x

U = 3 x

= 0

ln U = - ln x

U =

U = 3 x

+ C

y = U V = ) = x2 +

Soal : 1. 2 xy

2.

3.

4. ( x2 – a2 ) dy - y dx = 0

28

b. Cara Lagrange

Ruas ke dua dari PD ............................................ ( 1 )

di tiadakan terlebih dahulu, sehingga

.................................................................................... ( 2 )

ln y + ln = ln C

ln y = ln C - ln

= ln

y = C . ........................................................................( 3 )

C dianggap sebagai suatu fungsi dari x, dan ditentukan sedemikian rupa sehingga

persamaan ( 3 ) juga memenuhi persamaan ( 1 ) .

ln y + ln = ln C di deferensialkan, menjadi

=

. y =

Q(x) = .

= .

29

= Q(x) .

dC = Q(x) . dx

C = dx + C1

Jadi :

y = ................................................. ( 3 )

Contoh :

ln y + ln x = ln C

ln xy = ln C

x y = C

x dy + y dx = dC

x

30

a = . dx

dC

a x dx = dC =

C = a x2 + C1

x y = a x2 + C1

2 x y = a x2 + C1

c. Cara faktor Integral

B U : M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0

Ruas kiri adalah suatu differensial total, berarti ada fungsi F(x,y) yang memenuhi :

M(x,y) = ; N(x,y) =

Pemecahannya / solusinya sbb : F(x,y) = C

Dari M(x,y) = = M(x,y)

F = + C(y)

Dari + C’(y) = N(x,y)

C'(y) = N(x,y) -

31

C(y) =

Jadi :

F(x,y) = +

Contoh :

(x2 – 4 xy – 2 y2) dx + (y2 – 4 xy – 2 x2 ) dy = 0

M = x2 – 4 xy – 2 y2 N = y2 – 4 xy – 2 x2

PD Exact

M =

= (x2 – 4 xy – 2 y2)

F =

= ( + C(y)

C’(y)

= N(x,y)

( - 2 x2 – 4 x y ) + C’(y) = ( y2 – 4 x y – 2 x2 )

32

C’(y) = y2

C(y) =

C(y) = + C1

Jadi :

F(x,y) = + C1

S o a l – S o a l

A . Selesaikan dengan cara Bernoulli

1. - a y = x4

2.

3.

4.

5.

B. Selesaikan dengan cara Lagrange

1.

2. ( 1 – x2 ) x y = a

3. 2 y’ + x y = 3 x

4. y’ + 3 y = x

33

C. Selesaikan dengan cara faktor Integrasi ( Integral )

1. ( 3 x2 + 8 x y ) dx + ( 4 x2 + 3 y2 ) dy = 0

2. ( x2 y + y + 1 ) dx + ( x + x2 ) dy = 0

3. x y3 dx + ( x2 y2 – 1 ) dy = 0

4.

5. y ( x2 + y2 – 1 ) dx + x ( x2 + y2 + 1 ) dy = 0

6. ( 3 x y2 – x2 ) dx - ( 1 – 3 x2 y + 6 y2 ) dy = 0

7.

8.

9. ( 3 x2 y + 2 x y ) dx + ( x3 + x2 + 2 y ) dy = 0

10. ey + y ex + ( x ey + ex ) = 0

BAB IV PERSAMAAN DIFERENSIAL BERNOULLI

BU :

+ y. P(x) = yn . Q(x)

Penyelesaiannya :

Persamaan tersebut dibagi dengan yn , sehingga menjadi :

P(x) = Q(x)

Misal : = Z y1-n = Z

34

(1-n) y-n =

Persamaan Diferensial menjadi :

+ z. P(x) = Q(x)

Disederhanakan menjadi :

- + z. P(x) = Q(x)

sudah dapat diselesaikan karena sudah linear

Contoh :

x y2

= - x

Misal : = z y-1 = z

- y-2

PD menjadi :

. - y2 = - x

- = - x atau = x

Misal : z = u . v

, sehingga PD menjadi :

35

( u. - = x

u + v ( = x

= 0

ln u = ln x atau u = x

u x

dv = dx v = x + C

z = u . v

= x ( x + C )

= x2 + x C

= x2 + x C atau y =

BAB V Persamaan Diferensial Linear Orde Dua Homogen

Bentuk Umum :

a ............................................................................... ( 1 )

dimana : a , b dan c adalah konstanta .

Bila dipakai operator D = , jadi Dy = , maka bentuk PD tersebut menjadi

( a D2 + b D + c ) y = 0 ............................................................................ ( 2 )

Persamaan ( 2 ) ini dikenal sebagai persamaan karakteristik dari PD ( 1 ) dan akar-

akarnya disebut akar-akar karakteristik PD ( 1 ).

Ada 3 kemungkinan akar-akar persamaan karakteristik ( 2 ) yaitu :

1. Akar Real Berbeda

36

Bila D1 dan D2 , dua akar real berbeda maka : eD1x dan eD2x adalah solusi

yang bebas linear, jadi solusi umum PD ( 1 ) adalah : y = k1 eD1x + k2 eD2x

Contoh :

a). PD : = 0

Penyelesaian :

Persamaan karakteristiknya adalah :

( D2 – 3 D + 2 ) y = 0

( D – 2 ) ( D – 1 ) y = 0

D1 = 2 dan D2 = 1

Maka solusi umum PD adalah :

y = k1 e2x + k2 ex

b). PD : = 0

Persamaan karakteristiknya adalah :

( D2 – 2 D – 3 ) y = 0

( D + 1 ) ( D – 3 ) y = 0

D1 = - 1 dan D2 = 3

Maka solusi umum PD tersebut adalah :

y = k1 e-x + k2 e3x

37

2. Ke dua Akar Sama

Umpama ke dua akar persamaan ( 2 ) adalah sama yaitu D1 = D2 , maka solusi umumnya adalah sbb :

y = k1 eDx + k2 x eDx atau y = eDx ( k1 + k2 x )

Contoh :

a). PD : = 0

( D2 – 4 D + 4 ) y = 0 ( D – 2 ) ( D – 2 ) y = 0 D1 = D2 = 2

Maka solusi umumnya adalah : y = e2x ( k1 + k2 x ) b). Tentukan solusi umum dari PD

= 0

Jawab : Persamaan karakteristiknya adalah :

( D2 – 2 D + 1 ) y = 0

( D – 1 )2 y = 0 D1 = D2 = 1

Maka solusinya :

y = ex ( k1 + k2 x )

3. Akar Komplek

38

Apabila persamaan ( 2 ) adalah komplek atau b2 – 4 a c < 0 , maka akar-akarnya

adalah :

D1.2 = , dimana i2 = - 1

Maka harga

D1 = dan D2 =

Karena D1 ≠ D2 maka :

Q1 = eD1x = e(

Q2 = eD2x = e(

Adalah penyelesaian dasar untuk penyelesaian persamaan ( 1 ), jadi solusi umum untuk PD ( 1 ) adalah sbb :

y = k1 e( + k2 e(

= k1 e( e( + k2 e( e(

= k1 e( ( cos + i sin x ) + k2 e( ( cos x - i sin x )

= e(

Dengan memisalkan k1 + k2 = A dan k1 i - k2 i = B , maka solusi umum

persamaan diferensial ( 1 ) dapat ditulis dalam bentuk :

y = e( ( A cos x + B sin x )

Contoh :

39

1. Selesaikan PD = 0

Persamaan karakteristiknya adalah : ( D2 – 2 D + 2 ) y = 0

Akar-akarnya adalah :

D1.2 =

=

=

= 1 i

Jadi solusi umum PD adalah :

y = ex ( A cos x + B sin x )

2. PD : = 0

Persamaan karakteristiknya : ( D2 + 4 D + 8 ) y = 0 Akar-akarnya adalah :

D1.2 =

=

=

= -2 2 i (ambil yang positip saja)

Jadi solusi umumnya adalah :

y = e-2x ( A cos 2 x + B sin 2 x )

3. Tentukan solusi umum dari PD = 0 ,

40

dengan syarat awal y(0) = 4 dan (0) = 1 .

Jawab :

Persamaan karakteristiknya adalah :

( D2 – 2 D + 10 ) y = 0

D1.2 =

= 1 3 i

Jadi solusi umumnya adalah y = ex ( A cos 3 x + B sin 3 x )

Konstanta A dan B dapat di cari dengan menggunakan syarat awal y(0) = 4 dan

= 1 , sebagai berikut :

Solusi umumnya : y = ex ( A cos 3 x + B sin 3 x ) ; y(0) = e0 ( A cos 0 + B sin 0 ) 4 = A

= ex ( A cos 3 x + B sin 3 x ) + ex (-3A sin 3 x + 3B cos 3 x )

= A + 3 B

1 = 4 + 3 B B = - 1

Jadi solusi PD yang memenuhi y(0) = 4 dan adalah :

y = ex ( 4 cos 3 x – sin 3 x )

Kita tinjau persamaan yang berbentuk :

± n2 y = 0

Ini adalah sebuah kasus khusus dari persamaan :

a PD Linear Orde 2 Homogen

41

Maka : a + c y = 0 atau + y = 0 yang dapat ditulis

sebagai ± n2 y = 0 , agar bisa mencakup kalau-kalau koefisien dari y

bernilai positip atau negatip .

a). Jika + n2 y = 0

( D2 + n2 ) y = 0

D2 = - n2 D1.2 = ± i n ( ini seperti D = α ± i β , dimana α = 0

dan β = n )

Jadi : y = e0.x ( A cos n x + B sin n x )

y = A cos nx + B sin nx

b) Jika : - n2 y = 0

( D2 - n2 ) y = 0

D2 = n2 D1.2 = ± n

D1 = + n dan D2 = - n .

Solusinya adalah :

y = k1 . enx + k2 . e- nx

Hasil yang terakhir ini dapat ditulis dalam bentuk lain, yang kadang kala jauh lebih mudah sebagai berikut : ( hiperbolik )

Cosh n x = enx + e-nx = 2 cosh nx

42

Sinh n x = enx - e-nx = 2 sinh nx

Penjumlahan dari kedua persamaan di atas didapat :

2 enx = 2 cosh nx + 2 sinh nx atau

enx = cosh nx + sinh nx

Pengurangan dari kedua persamaan diatas didapat :

2 e-nx = 2 cosh nx + 2 sinh nx atau

e-nx = cosh nx - sinh nx

Sehingga penyelesaian dari persamaan kita adalah :

y = k1 . enx + k2 . e-nx

dapat kita tulis sebagai :

y = k1 ( cosh nx + sinh nx ) + k2 ( cosh nx – sinh nx )

= cosh nx ( k1 + k2 ) + sinh nx ( k1 – k2 )

y = A cosh nx + B sinh nx

Kesimpulan :

1. + n2 y = 0 y = A cos nx + B sin nx

2. - n2 y = 0 y = A cosh nx + B sinh nx

43

BAB VI. PERSAMAAN DIFERENSIAL TINGKAT TINGGI (Ordo n)

Definisi :Sebuah persamaan diferensial tingkat tinggi (ordo n) disebut linear bilamana fungsi yang tak diketahui dan masing-masing hasil bagi diferensialnya berpangkat satu dan tidak diperbanyakan satu sama lainnya.

B U :

ao = f(x)

dimana : a0 , a1 , a2 ....... an adalah fungsi dari x.Bilaman ruas kanan sama dengan nol atau f(x) = 0 , persamaan disebut PD tanpa ruas kedua atau homogen atau PD yang diredusir. Dan bila a0 , a1 , a2 ..... an konstan, disebut persamaan diferensial dengan koefisien-koefisien konstan.

Persamaan diferensial yang diredusir dan koefisien konstan

a0 = 0

Metode Euler :Misal : y = etx

= t2 etx

= t3 etx

= tn etx

Sehingga persamaan diferensial menjadi :

a0 tn etx + a1 tn-1 etx + a2 tn-2 etx + ........ + an etx = 0

a0 tn + a1 tn-1 + a2 tn-2 + .......... + an = 0

Akar-akarnya :

44

t1 y1 = c1 et1x

t2 y2 = c2 et2x

t3 y3 = c3 et3x

tn yn = cn etnx

Jadi solusi umumnya adalah :

y = y1 + y2 + y3 + ............

= C1et1x + C2 et2x + C3 et3x + ...............+ Cn etnx

45