Matematika III
-
Upload
arminnezic -
Category
Documents
-
view
100 -
download
2
description
Transcript of Matematika III
-
MATEMATIKAIII
SkriptazastudenteMainskogfakulteta
Autor:Dr.sc.AlmirHuskanovi
-
2
BROJNI(NUMERIKI)REDOVI
1.Konvergencijabrojnogreda
Teorija brojnih redova se veim dijelom zasniva na teoriji nizova, koja je raena u okviru predmetaMatematikaI.Zbogtogasepreporuujestudentimakojipoinjudaueredove,dasepodsjetenajvanijihteoremaidefinicijauokviruteorijeonizovima,atakoeidasepodsjetenanajvanijelimesenizova.
Pod redom se umatematici podrazumijeva neka beskonana suma. Postavlja se pitanje da limoemosabratibeskonanomnogobrojeva,padarezultatbudekonaanbroj.Npr.svesljedeesume:
1 2 3 4 ...+ + + + (sumasvihprirodnihbrojeva)1 1 1 1 ...+ + + + (sumabeskonanomnogojedinica),paaki0,001 0,001 0,001 ...+ + + subeskonane.
No,akosaberemobeskonanomnogonula,dobiemonulu:
0 0 0 ... 0.+ + + = Akoposmatramoduduine1,pa jeprepolovimo,pa jednuod tedvijepoloviceopetprepolovimo,pa ipolovicuodpoloviceprepolovimo,itd.,jasnojedasabiranjemsvihpolovljenihdijelovaduidobijemocijeludu,takodajeoigledno:
1 1 11 ...2 4 8
= + + +
Ovajnetrivijalniprimjerredakojiimakonanusumujespecijalnisluajgeometrijskogredaokomeemouskororeivie.
Definicija1:Nekaje{ }na realniniz.Sumusvihlanovatogniza,uoznaci
1 2 31
... (1)nn
a a a a
== + + +
zovemobrojniilinumeriki(beskonani)red,aesto,kratkoeradi,kaesesamored.Zabroj na kaemodajeoptilanreda.
Namajeciljnairedovekojiimajukonanusumu.Tajproblememorijeitipomounizova.UteorijinizovauMatematici Igovorili smodanizovimogubiti konvergentni (ako imaju konanugraninu vrijednost ililimes niza) i divergentni (u svim ostalim sluajevima). Zato emo i za redove govoriti da mogu bitikonvergentni(akoimajukonanusumu)ilidivergentni(akoimjesumabeskonanailitasumanepostoji).
Red(1)emopovezatisanizomparcijalnihsumatogreda.Naime,brojeve
-
3
1 1 2 1 2 3 1 2 3, , ,...S a S a a S a a a= = + = + + zovemoparcijalnesumereda(1).Openitoje
( )1 2 ...n nS a a a n= + + + ` i tusumuzovemon taparcijalnasuma reda (1).Sapoveavanjembrojan,oito jeda sevrijednost tesume pribliava vrijednosti sume cijelog reda (1), ukoliko ta suma postoji i konana je. Zato je logino
zahtijevatida ,n tj.traiti lim .nn S
Definicija2:Zared(1)kaemodajekonvergentanakojekonvergentannjegovnizparcijalnihsuma{ } ,nS tj.postoji ikonaan je lim .nn S S = Tadakaemoda jeSsuma tog reda.Usuprotnom, tj.ako lim nn S nepostoji ili je lim nn S = + ili je lim ,nn S = kaemo da je red (1) divergentan. U prvom sluajudivergencijekaemodajeredneodreenodivergentan,auostaladvasluajadajeodreenodivergentan.
Napomena1:Sobziromnadefinicijugraninevrijednostiniza,moemoreidajered(1)konvergentanida
mujesumajednakaS,ukolikozasvako 0, > postojiprirodanbroj ( )0 0n n = kojizavisiod , takoda0 .nn n S S < Naravno, ovakav nain nije pogodan za praktino dokazivanje konvergencije
konkretnog reda, ali nammoe pomoi u dokazivanju nekih osobina redova, dakle u dokazima nekih
teorema.Zapazimojodaje 1 21
... .n k n nk n
S S a a a
+ += +
= = + + Razliku sume reda i njegove n te parcijalne sume zovemo ostatak i oznaavamo sa .nR Dakle,
( )1 2 ... .n n n nR S S a a n+ += = + + ` Istotakomoeseiskoristititzv.Koijev*kriterijzakonvergencijunizova.Naime,niz{ }nx konvergiraakoisamoako
( ) ( )( )( )( )0 0 00 .n p nn n n n p x x + > = = = + + + i p` takodaje 1 2 ... .n p n n n n pS S a a a + + + + = + + +
-
4
*Augustin Louis Cauchy (1789.1857.) francuski matematiar, najzasluniji za uvoenje pojmakonvergencijenizaireda.
Primjeri1:
a) Red { }( )20
... , \ 0 , 1nn
aq a aq aq a q q
== + + + \ zovemo geometrijski, jer je niz { }naq
geometrijski.Brojqzovesekolinikomreda.Naimegeometrijskiniz,patime ired lakoprepoznajemopotome to sumu istikolinici susjednih lanova.Obziromda znamo formulu za sumugeometrijskogniza,moemoizraunatintuparcijalnusumudatogreda
( )2 1 1 1... 1 ... .1n
n nn
qS a aq aq aq a q q aq
= + + + + = + + + =
Iz teorije nizova znamo da je
, 1lim 1, 1 ,
0, 1 1
n
n
qq q
q
+ >= = <
odnosno , akoje 0.a <
Ukolikoje 1,q geometrijskired0
n
naq
= jeneodreenodivergentan.
b)Dokaimodajered 22
1n n n
= konvergentanidamujesuma1.Naime,njegovantaparcijalnasumaje
( )1 1 1
22 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 ... 1 .1 1 2 2 3 1
n n n
nk k k
Sk k k k k k n n n
+ + +
= = =
= = = = + + + = Oitoje lim 1,nn S = todokazujepostavljenutvrdnju.
Teorem1:AkojeSsumareda1
,nn
a
= acproizvoljnakonstanta,tadajecSsumareda
1.n
nca
=
Dokaz:Slijedidirektnoizjednakosti
-
5
1 1lim lim .
n n
k kn nk kca c a cS = =
= =
Teorem2:Akoje 1 2 1 21 1
i , , ,n nn n
a S b S S S
= == = \ tadaje ( )1 2
1.n n
nS S a b
= =
Dokaz:Slijedidirektnoizjednakosti
( ) 1 21 1 1 1 1
lim lim lim lim .n n n n n
k k k k k kn n n nk k k k ka b a b a b S S = = = = =
= = =
Teorem3:Akojered1
nn
a
= konvergentan,tadaje lim 0.nn a =
Dokaz:Nekaje 1 2 1 11
... .n
n k n n n nk
S a a a a a S a =
= = + + + + = + Akodatiredkonvergiraondapostojiikonaanje lim ,nn S S = pajeondai 1lim .nn S S = Potojeoito 1,n n na S S = imamodajeondalim 0.nn a S S = =
Napomena2:Ovajteoremnamdajepotrebanuslovzakonvergencijureda.Naime,akotajuslov(optilanredateikanuli)nijeispunjen,rednijekonvergentan.Aliakotajuslovjesteispunjen,tonemoraznaitidaredkonvergira,kaotosevidiizPrimjera2b).
Primjeri2:
a)Red1 2n
nn
= + jedivergentan,jerje lim 1.2nn
n=+
b)Red1
1n n
= (kojisezoveharmonijski)jetakoedivergentan,iakoje 1lim 0.n n = Naime,akoiskoristimo
Koijevoptikriterij,uzimajui14
= i ,p n= tadaje
21 1 1 1 1 1 1 1 1... ... .
1 2 2 2 2 2 2 2 4n nS S n
n n n n n n n = + + + > + + + = = > =+ +
Alternativno,metodommatematikeindukcijemoesedokazatinejednakost ( )2 11 .2nS n n + ` Otudaje
2lim ,nn
S = + pajezatoi lim .nn S = +
-
6
Zadaci
Ispitatikonvergencijuredapodefiniciji(raunanjemparcijalnesume)iakokonvergira,naisumureda:
1. 21
1 .36 24 5n n n
= 2. ( )( )11 .
1 2n n n n
= + + 3. ( )2212 1 .
1nn
n n
=
++ 4. 3 21
3 2 .3 2nn
n n n
=
++ +
5. ( ) ( )11 .
1 3n n n n
= + + 6. 221ln 1 .
3 4n n n
=
+ + 7. 1 113 4 2 3 .5 4
n n n
n nn
+
=
++
8. ( )( )( )1 1 2 3nn
n n n
= + + + .9. 211 .
4 8 3n n n
= + + 10.3
32
1ln1n
nn
=
+ .11. 1 .2nn
n
=
12. ( )1
2 2 1 .n
n n n
=+ + + 13. 22
2ln .
1nn
n
=
Rjeenja:
1. Najprije se rastavi na faktore polinom ( )( )236 24 5 6 5 6 1n n n n = + i pokae se da je2
1 1 1 1 .36 24 5 6 6 1 6 5n n n n
= + Daljeslijedi:
21 1
1 1 1 1lim lim36 24 5 6 6 5 6 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1lim6 6 1 5 6 1 1 6 2 5 6 2 1 6( 1) 5 6( 1) 1 6 5 6 1
1 1 1 1 1lim 1 .6 6 1 5 6 1 6 6
k k
k kn n
k
k
n n n n
k k k k
k
= =
= + = + + + + + + + + = = = +
"
-
7
2.Redovisapozitivnimlanovimakriterijiporeenja
Definicija3:Red1
nn
a
= zovemoredsapozitivnimlanovima,ilikraepozitivnired,akoje 0na zasve
.n` Odmahsezapaadajenizparcijalnihsumapozitivnogredarastuiniz,jer
1 1 2 1 2 1 1 1 10, ,..., .n n n nS a S a a a S S S a S = = + = = + Kad je u pitanju konvergencija, odnosno divergencija rastueg niza, poznato je da taj niz nemoe bitineodreenodivergentan,dakleonuvijekimalimes,konaanilibeskonaan.
Izveemonekolikotvrdnji,tzv.kriterijailitestovakonvergencije,kojinamomoguavajudaustanovimoda
lidatipozitivni red1
nn
a
= konvergira ilidivergira.Tikriterijinemogunampomoi iuodreivanjusume
reda,ukolikoredkonvergira.
Teorem4:Nekasuredovi1
nn
a
= i
1n
nb
= pozitivniinekaje
( )(2) .n na b n ` a)Akojered
1n
nb
= konvergentan,tadajeired
1n
na
= konvergentan.
b)Akojered1
nn
a
= divergentan,tadajeired
1n
nb
= divergentan.
Dokaz:Nekaje1 1
, .n n
n k n kk k
A a B b= =
= = Iz(2)slijedidaje ( )(3) .n nA B n ` a)Akojered
1n
nb
= konvergentan,niz{ }nB jeogranien,pajeiniz{ }nA ogranien.Kakojetajnizujednoi
rastui,onjekonvergentan.
b)Akojered1
nn
a
= divergentan,tadaje lim nn A = + ,paiz(3)slijedi lim .nn B = +
-
8
Teorem5:Nekasuredovi1
nn
a
= i
1n
nb
= pozitivni(stimdaje 0nb )inekaje
(4) lim 0.nn
n
a lb
=
Tadasuredovi1
nn
a
= i
1n
nb
= istovremenokonvergentni,odnosnodivergentni.
Dokaz:Iz(4)slijedidazasvako 0 > vai( ) ( ) ,n n n n n n
n n n
a a al l l l l b a l bb b b
< < < < < + < < +
zadovoljnovelikon.Nakontogasezakljuuje:
1)Akored1
nn
a
= konvergira,premaTeoremu4slijedidakonvergiraired ( )
1
,nn
l b=
patimeired
1n
nb
= (premaTeoremu1).
2)Akored1
nn
a
= divergira,premaTeoremu4slijedidadivergiraired ( )
1,n
nl b
=+ patimeired
1n
nb
=
(premaTeoremu1).
Napomena 3: Ako je lim 1,nn
n
ab
= kae se da su nizovi { }na i { }nb asimptotski jednaki i pie se:( ).n na b n Kodutvrivanjakonvergencijepozitivnogreda,dozvoljeno jeoptilanredazamijeniti
sanizomkoji jeasimptotski jednakdatom.Sobziromnapoznategraninevrijednosti funkcijakoje smoradiliuMatematiciI,moguseizdvojitisljedeerelacije,kojeseestokoristezarjeavanjezadataka.
( )( )( )
( )2
sin 0
1 0
arcsin 01cos 1 02
x
x x x
e x x
x x x
x x x
+
( )( )
tg 0
arc tg 0
x x x
x x x
-
9
( ) ( )( ) ( )ln 1 0
1 1 , 0 .
x x x
x x x +
+ + \
Primjer3:Red1
1 ,n n
= priemuje realnakonstanta,zovesehiperharmonijskired.
Akoje 0, optilanredaneteinuli(zato?),papremaTeoremu3slijedidajetadareddivergentan.
Harmonijskired1
1n n
= (vidiPrimjer2b.)jeoitospecijalansluajhiperharmonijskogidobijeseza 1. =
Dokazalismodaharmonijskireddivergira.KoristeiTeorem4,tvrdnjab),zakljuujemodahiperharmonijski
reddivergirazasve 1, jer 1 11 .n nn n
UPrimjeru1b)dokazalismodared 22
1n n n
= konvergira.Potojeoito ( )2 2 2,3,...n n n n < = slijedi( )2 21 1 2,3,...nn n n> = ,paopetpomouTeorema4,alisadtvrdnjea)zakljuujemodakonvergiraired
21
1 .n n
= Akoristeiistutvrdnjuimamoondadakonvergirahiperharmonijskiredzasve 2, jer
22
1 12 .n nn n
Koristeikriterijekonvergencijekojeemouskoroupoznati,moesezakljuitidahiperharmonijskired
konvergiraiza ( )1,2 . Zakljuak:Hiperharmonijskired
1
1n n
= konvergiraza 1, > adivergiraza 1.
Zadaci
1.UtvrditidalidatiredkonvergirailidivergirapomouTeorema4:
a)2
ln ,n
nn
= b)
1
12 sin ,3
nn
n
= c)
2
1 ,lnn n
= d)
1
1 ,2nn n
= e) ( )1 1 ,n n n
=+ +
f)( )142
2,0011
cos 3.
n
n
n
=
+
2.Uzavisnostiodparametraadiskutovatiokonvergencijireda1
1 ,1 nn a
= + akoje 0.a > IskoristitiTeorem4.
-
10
3.UtvrditidalidatiredkonvergirailidivergirapomouTeorema5:
a) 21
3 5 ,2 4 1n
nn n
=
++ + b) 21
2,1n
nn
=
++ c) ( )21 ln 1 ,n nn e e
=+ d)
5
1ln ,2cosnn
=
e)3
25
11 arc tg ,
2 7n
ne
n +
=
+ f)2
1sin2
11 .n n
ne
+ =
4.Diskutovatikonvergencijudatogredauzavisnostiodparametra :
a)4
1
11 cos ,n n
=
b) 1 ,nn n n n
n
=
+ + c) 3 32 2
1
1 1,n
n nn
=
+
d) ( )241
1 ,n
n n n=
+ + + e) 1tg1
1 ,nn
e
=
f)2
1
1cos ,n
n nnn
=
g)1 1cos
1
11 ,n nn
en
=
5.Zadanjeniz ( )2 2 ... 2 ,na n= + + + ` gdjenadesnojstraniimamotanonkorijena.Dokazatimetodommatematikeindukcijedaje ( )12cos .2n na n
+= ` Zatimdokazatidakonvergirared
12
2 .nn
a
=
-
11
3.Kriterijikonvergencijezapozitivneredove
Teorem6(Koijevkorjenikriterij):Nekaje 0n fiksiranprirodnibroj.Akozaoptilan na pozitivnogreda
1n
na
= vrijedinejednakost 1n na q < zasve 0 ,n n> priemuqnezavisiodn,tadajered
1n
na
=
konvergentan.
Akojepak 1n na zasve 0 ,n n> tadajered1
nn
a
= divergentan.
Dokaz:Iz n na q slijedidaje .nna q Poto ( )0,1 ,q red1
n
nq
= konvergira,pazatokonvergiraidati
red(kriterijporeenja).
Akoje 1,n na tadaje 1,na pajejasnodatadaoptilanredaneteikanuli.Teoremjedokazan.
Posljedica1:Nekajered1
nn
a
= pozitivaninekaje lim .n nnq a=
Akoje 1,q < datiredkonvergira,aakoje 1,q > datireddivergira.Za 1,q = ovajkriterijnemoeodreditidalidatiredkonvergirailidivergira.
Napomena4:Znamodared1
1n n
= divergira,ared 2
1
1n n
= konvergira.Uobasluajadobijesedaje 1q =
(provjeriti!),takodajeoiglednoKoijevkorjenikriterijneupotrebljivusluajukadje 1.q =
Teorem7 (Dalamberov*kriterij):Neka je 0n fiksiranprirodnibroj ineka jered1
, 0,n nn
a a
= pozitivan.
Akoje 1 1nn
a qa+ < zasve 0 ,n n priemuqnezavisiodn,tadajered
1n
na
= konvergentan.Akojepak
1 1,nn
aa+ datireddivergira.
*JeanleRondd'Alembert(1717.1783.)francuskimatematiar.
Dokaz:Nekaje 1n
n
a qa+ zasve 0.n n Tadaje ( )1 0 .n na qa n n+ Zasvako 0n n vrijedi:
-
12
1n na qa
1 2n na qa ...
0 01.n na qa+
Mnoenjemovihnejednakostislijedi:
0
0 0 0 01 2 1 1 2 1 1 2 1... ... / : ...n nn n n n n n n n n n na a a a q a a a a a a a
+ + +
0
0.n nn na a q
Potoje 1,q < geometrijskired 00
1
n nn
na q
= jekonvergentan,papomoukriterijaporeenjazakljuujemo
dadatiredkonvergira.
Akoje 1 1,nn
aa+ tadaje 1 ,n na a+ daklepozitivniniz{ }na jerastuiizatonjegovagraninavrijednostne
moebiti0.Teoremjedokazan.
Posljedica2:Nekajered1
, 0,n nn
a a
= pozitivaninekaje 1lim .nn
n
aqa+
=
Akoje 1,q < datiredkonvergira,aakoje 1,q > datireddivergira.Za 1,q = ovajkriterijnemoeodreditidalidatiredkonvergirailidivergira.
Napomena5:Znamodared1
1n n
= divergira,ared 2
1
1n n
= konvergira.Uobasluajadobijesedaje 1q =
(provjeriti!),takodajeoiglednoDalamberovkriterijneupotrebljivusluajukadje 1.q = MoesepokazatidajeKoijevkriterijipakoptijiodDalamberovog,tj.imaredovakodkojihKoijevkriterijmoedaodluio
konvergenciji, a Dalamberov ne moe. Npr. u sluaju reda0
,nn
a
= pri emu je
( )2 2 11 2, 0,1, 2,...4 4n nn na a n+= = = imamo da je 2 12 2n
n
aa
+ = i 22 1
1 ,8
n
n
aa
= to znai da ne postoji
1lim .nn
n
aqa+
= Meutim, 1lim ,
4n
nna
= takodaKoijevimkorjenimkriterijemmoemozakljuitidadatired
konvergira.
-
13
Teorem8(Rabeov*kriterij):Nekajered1
, 0,n nn
a a
= pozitivaninekaje
1
lim 1 .nn
n
ap na +
= Akoje
1,p > redkonvergira,aakoje 1p < reddivergira.Za 1,p = potrebnasudaljaispitivanja,jerkriterijtadanemoedatiodgovor.
*JosephLudwigRaabe(1801.1859.)vicarskimatematiar
Napomena6:RabeovkriterijjeoptijiodKoijevogkorjenogiDalamberovogkriterija.
Primjer4:
Rabeovkriterijmoeodreditizakoje konvergirahiperharmonijskired1
1 ,n n
= jerje
( ) ( ) ( )1 1lim 1 lim 1 1 1 1 , 0
lim 1 1 .
n n
n
np n n x x x
n n
nn
+ = = + = + + = = + =
\
Otudakonstatujemodahiperharmonijskiredkonvergirazasve 1. > Teorem9(Koijevintegralnikriterij):Nekaje ( )f x neprekidna,pozitivnainerastuafunkcijaza 0 ,x npriemuje 0n fiksanprirodnibroj.Tadared ( )
0n nf n
= konvergira,odnosnodivergiraistovremenosa
redom ( )0
.n
f x dx+
Napomena 7: Koijev integralni kriterij je od svih pobrojanih u ovoj lekciji najoptiji (najjai), ali je inajkomplikovanijizaupotrebu.Akoseuzadatku ispitivanjakonvergencije redanekaekojikriterijdaseupotrijebi,preporuujesenajprijeisprobatijednostavnijekriterije.
Zadaci
1.Naiopilanreda1 1 5 1 5 9 ...2 2 5 2 5 8
+ + + izatimispitatidalitajredkonvergirakoristeinekiodkriterijakonvergencijezapozitivneredove.
-
14
2.Ispitatikonvergencijureda:
a) 11
tg ,2nn
n +=
b) ( ) ( )( )11 4 7 ... 3 2 2 5 8 ... 3 2
,! 1 !9nn
n nn n
=
++ c) ln1
1 ,2 nn
= d) ( )( )1
1 5 9 ... 4 3,
2 6 10 ... 4 2n
nn
=
e)1
,nn
ne = f) 5
1,
2 3n nnn
= + g)( )( )1
2 !,
2 !nn
nn n
= h) ( )( )331
3 !,
4 !nn
nn
= i) ( )3
1 ,ln ln lnn n n n
= j) ( )( )
3
21
!,
2 !n
n
n
=
k)
3
1
1cos ,n
n n
=
l) 1 ,nn e = m)
2
1
1
23 ,3
nn
n
nn
+=
+ + n) 22ln ,
n
nn
= o) ( ) ( )2 21
1 ,1 ln 1n n n
= + +
p)( )
( )12 5 ... 3 2
,2 1 !nn
nn
=
++
3.Zakojuvrijednostparametara i konvergirared:
a) ln
1
,nn
= b) ( )( ) ( ) 31
1 !, 0,
1 ...n
nn n
=
+ >+ + c) ( )( ) ( )( )( ) ( )2
1
1 2 ....
1 2 ...n
nn
=
+ + + + + + ( )( )( )1
2 5 8 ... 6 7 6 4,
3 2 !nn
n nn
=
4.Alternativniredovi
Definicija4:Brojniredijisulanovinaizmjeninopozitivniinegativnizovemoalternativnired.
Zapisujemogauobliku:
( ) 1 1 2 3 41
1 ...n nn
a a a a a +
= = + + ili
( ) 1 2 3 41
1 ...n nn
a a a a a
= = + +
Pritomeje(uobjevarijantezapisa) ( )0 .na n ` Uveemosadajojednuvrstukonvergencijereda.Radiseoapsolutnojkonvergenciji,kojaseprovjeravasamokodredovakojinisupozitivni.
-
15
Definicija5:Zared1
nn
a
= kaemodajeapsolutnokonvergentanakojered
1n
na
= konvergentan.
Teorem10:Akojered1
nn
a
= konvergentan,tadajered
1n
na
= takoekonvergentan.
Dokaz:Posmatrajmonizove ( ), .2 2
n n n nn n
a a a ab c n
+ = = ` Direktnosedokaedaje
1) ( )0, 0n nb c n ` 2) ( ),n n n nb a c a n ` 3) ( ).n n nb c a n = ` Tadajejasnodasuredovi
1n
nb
= i
1n
nc
= pozitivniikonvergentni(premakriterijuporeenja).Zato
konvergiraired1
nn
a
= kojijerazlikaredova
1n
nb
= i
1.n
nc
=
Dakle,akojeredapsolutnokonvergentan,ondajeonikonvergentan(nauobiajeninain,premaDefiniciji2).Obrnutonemoradavrijedi,toemouskorovidjetinaprimjerima.
Teorem 11 (Lajbnicov* kriterij): Red ( ) 11
1 , 0,n n nn
a a +
= je konvergentan ako je lim 0nn a = i
( )1 ,n na a n+ ` tj.niz{ }na monotonoopadakanuli.
*GottfriedWilhelmLeibniz(1646.1716.)njemakimatematiarifilozof
Dokaz:Nizparcijalnih suma { }nS datog reda razdvojimonadvapodniza, { }2nS saparnim i { }2 1nS saneparnimindeksima.Oitoje
( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 3 4 2 1 2... , .n n nS a a a a a a n= + + + ` Poto je ( )1 ,n na a n+ ` oito jeonda ( )2 0 ,nS n ` atopovlaida jeniz { }2nS rastui.Sdrugestrane,
( ) ( ) ( )2 1 2 3 4 5 2 2 2 1 2 1... ,n n n nS a a a a a a a a a = toznaidajeniz{ }2nS konvergentan,jerjerastuiiogranienodozgo.Zatopostoji 2lim .nn S S =
-
16
Potoje 2 1 2 2 ,n n nS S a = slijedidaje 2 1 2 2lim lim lim 0 .n n nn n nS S a S S = = =
Dakle,podnizovi { }2 1nS i { }2nS niza { }nS parcijalnihsumadatogredakonvergirajuka istombroju.Topovlaidajeiniz{ }nS konvergentan,pajedatiredkonvergentan.
Primjeri5:
a)Red( ) 1
1
1 1 1 11 ...2 3 4
n
n n
=
= + + oiglednozadovoljavaobauslova izLajbnicovogkriterija, jer jekodnjega ( )1 ,na nn= ` pajetajredkonvergentan.Meutim,onnijeapsolutnokonvergentan.
b) Openito, red( ) 1
1
1, 0
n
n n
=
> konvergira apsolutno ako je 1, > zbog poznate injenice okonvergenciji hiperharmonijskih redova. Ako je 0 1,< taj red ne konvergira apsolutno, ali ipakkonvergirapoLajbnicovomkriteriju.
Definicija6:Zakonvergentniredkojinekonvergiraapsolutnokaemodajeuslovnokonvergentan.
Primjer6:Red( ) 1
1
1 n
n n
=
jekonvergentanuslovnoakoje0 1.<
Kadispitujemokonvergencijunekogalternativnogreda,najprijebitrebaloprovjeritidalitajredkonvergiraapsolutno.Akonekonvergiraapsolutno,ondabitrebaloprovjeritidaliredkonvergirauslovno,koristeiLajbnicovkriterij.
Primjer7:Ispitatiapsolutnuiuslovnukonvergencijureda ( )21sin 1 .
nn
=+
Oitoje ( ) ( )2 2sin 1 sin 1 ,n n n n + = + + pakakoje( ) ( )sin sin cos sin cos 1 sin ,nn n n + = + = slijedi:( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 222 2 2 2 11sin 1 1 sin 1 1 sin1 1n n n nn nn n n n n n n + + + + = + = + + + +
-
17
( ) 22
1 sin ,1
n
n n
= + + asadrugestrane2 2 2
2 2sin ,
2 21 1 n nn n n n
=+ + + + kad.n Topovlaidadatirednekonvegiraapsolutno,alikonvergirauslovno(Primjer5b)).
Zadaci
1.Dokazatida je red2
1 11 1 1 1n n n
=
+ + + divergentan, raunanjemn teparcijalne sume reda.ZatosenaovajrednemoeprimjenitiLeibnizovkriterij?
2.Ispitatikonvergencijureda
a) ( )1
1 1 cos ,nn n
=
b)( )( )1 ,2 !
n
n
nn
=
c) 42
sin 2 ,lnn
nn n
= d) 2
1
5 2 1sin arcsin ,6 4 6n
nnn n
=
+ + +
e)2
21
5 2 4 4cos ln ,4 2 3 7n
n nnn n
=
+ + + + f) ( ) 113 11 ,3 5
n
n
nn
+
=
+ + g) ( )111 arcsin ,n
n n
= h) 2
1cos .
1nn
n
= + 3.Ispitatiapsolutnuiuslovnukonvergencijuredazaraznevrijednostirealnogparametrap:
a)( )
1,
n
n
pn
=
b) ( ) ( )11
1 2 1 ,pn n
n
+
= c) ( )( )
1
21
1 !.
2 !
n
nn
np n
+
=
-
18
FUNKCIONALNIREDOVI
1.Konvergencijafunkcionalnogreda
Definicija1:Red ( ) ( ) ( ) ( )1 21
... ...n nn
f x f x f x f x
== + + + + ijisulanovifunkcijenezavisnepromjenljive
xzovesefunkcionalnired.Funkciju ( )nf x zovemooptimlanomtogreda.
Akoumjestoxuovaj reduvrstimo fiksiranuvrijednost 0 ,x tadadati funkcionalni redpostajebrojni red
( )01
.nn
f x
= Odinteresanamjedanaemosvevrijednostpromjenljivexzakojefunkcionalnired ( )
1n
nf x
=
konvergira.
Primjer1:Red1
1x
n n
= konvergiraza 2,x = adivergiraza 1.x =
Definicija 2: Skup svih vrijednosti promjenljive x za koje funkcionalni red ( )1
nn
f x
= konvergira zovemo
oblastkonvergencijetogreda.
Akored ( )1
nn
f x
= konvergirazasve ( ), ,x a b tadazatexpostojisuma ( )S x datogreda,kojazavisiod
x.Dakle, ( )1
( ) nn
S x f x
== zasve ( ), ,x a b azasve ( ),x a b funkcija ( )S x nijedefinisana.
Primjer2: Znamoda je0
11
n
nx
x
== ako je ( )1,1 .x Akobismou tu jednakost stavilida je 2,x =
dobilibismo02 1,n
n
== tonijetanojerje
02 .n
n
== +
Konvergencijufunkcionalnogredadefinisaemoanalognodefinicijikonvergencijekodbrojnihredova,dakle
prekonizaparcijalnihsuma.Utusvrhu,zadatifunkcionalnired ( )1
nn
f x
= kojikonvergirananekomskupuI
uvedimostandardneoznake:
-
19
( ) ( )1
nn
S x f x
== sumaredaza ,x I ( ) ( )
1
n
n kk
S x f x=
= ntaparcijalnasumaredaza ,x I te( ) ( ) ( ) ( )1 2
1...n k n n
k nR x f x f x f x
+ +
= += = + + ostatakredaza .x I Oitoje
( ) ( ) ( ) ( ).n nR x S x S x x I=
Definicija3:Za funkcionalni red ( )1
nn
f x
= kaemodakonvergiranaskupu I \ akozasvako 0 > i
svako x I postoji prirodan broj ( ),N N x= koji zavisi od i od x, tako da je ( )nR x < im je( ), .n N x>
UkolikosebrojNizDefinicije3moeodabratitakodazavisisamood alineiodx,tadamoemogovoritioposebnojvrstikonvergencijefunkcionalnogreda.Zvaemojeravnomjernailiuniformnakonvergencija.
Definicija 4: Za funkcionalni red ( )1
nn
f x
= kaemo da uniformno (ravnomjerno) konvergira na skupu
I \ akozasvako 0 > postojiprirodanbroj ( )N N = kojizavisiod inezavisiodx, takoda je( )nR x < imje ,n N> zasvako .x I
Jasno jedauniformnakonvergencijananekomskupupovlaiobinukonvergencijunatomskupu,tj.akoredravnomjernokonvergiranaskupuI,ontadaikonvergiranaskupuI,dokobrnutonemoradavai,tosevidiizsljedeegprimjera.
Primjer3:Datjered ( )11
1 1nn
x x =
+ iskupovi [ ) [ ]1 20,1 , 0, , 1.I I q q= = < Dokaimodaredkonvergiranaobaovaskupa,alistimdakonvergiraravnomjernona 2 ,I alinekonvergiraravnomjernona 1.I Potoje
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 11 1
1 1 1 1 1 ... ,n n
k k k n n nn
k kS x x x x x x x x x x x
= == + = + = + + + + = imamodaje
( ) 0S x = iza 1x I iza 2.x I Oitoje 2 1.I I Otuda je ( ) ( ) ( ) .nn nR x S x S x x= = Ako za dato 0 > pretpostavimo da je ,nx < tada za sve
[ )0,1x vai: loglog log log log .log
nx n x nx < < > Toznaida jenemogueodreditibrojN iz
definicijedanezavisiodx.
-
20
Meutim,ako [ ]0, ,x q tada log loglog log ,log log
x q x qx q > pasemoeodabratibrojNtako
danezavisiodx.Naime,uzelibismonajveiprirodanbrojsadranubrojulog .log q
Dakle,datifunkcionalni
redkonvergiraravnomjernonaskupuna 2 ,I alinekonvergiraravnomjernona 1.I
Teorem1 (Vajertrasov* kriterijuniformnekonvergencije):Ako za svako [ ],x a b i svako n` vainejednakost ( ) ,n nf x c pri emu je
1n
nc
= pozitivan i konvergentanbrojni red, tada je red ( )
1n
nf x
=
uniformnokonvergentannasegmentu[ ], .a b
*KarlTheodorWilhelmWeierstrass(1815.1897.)njemakimatematiar.
Dokaz:Obziromdajered1
nn
c
= konvergentan,zadato 0 > postojiprirodanbroj ( ) ,N kojizavisisamo
od , takav da je1
,kk n
c = +
No za takve n je onda i( ) ( ) ( )
1 1 1,n k k k
k n k n k nR x f x f x c
= + = + = +=
-
21
Teorem2:Akosufunkcije ( ) , 1,2,3,...nf x n = neprekidnenasegmentu [ ],a b iako jenatomsegmentured ( )
1n
nf x
= uniformno konvergentan, tada je zbir tog reda ( )S x neprekidna funkcija na segmentu
[ ], .a b
Slijede jodva teorema,kojeneemodokazivati ikojima seobjanjavajuznaajneosobine funkcionalnihredova.Naime,znamoizMatematikeIdazakonaniprirodnibrojnvrijedeformule:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2... ... ,n nf x f x f x f x f x f x + + + = + + + odnosno( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2... ... ,n nf x f x f x dx f x dx f x dx f x dx+ + + = + + + tj. izvodzbira jednak jezbiru
izvodafunkcijaiintegralzbirafunkcijajednakjezbiruintegralaposvakojodtihfunkcija,poduslovomdasusvedatefunkcijediferencijabilne,odnosno integrabilne.Analognaosobinavai izaodreeni integraluzetnaintervalunakomesusvefunkcijeintegrabilne.Sljedeadvateoremanamgovorepodkojimuslovimabiteformulevrijedilezabeskonanusumufunkcija,tj.
( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 1 2... ...,f x f x f x f x + + = + + odnosno( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 1 2... ...b b b
a a a
f x f x dx f x dx f x dx+ + = + + Tadabismoreklidasefunkcionalnireddiferencira,odnosnointegriralanpolan.
Teorem3:Akosufunkcije ( ) , 1,2,3,...nf x n = neprekidnenasegmentu [ ],a b iako jenatomsegmentured ( )
1n
nf x
= uniformnokonvergentan,tadasetajredmoeintegriratilanpolanugranicamaod do
, gdjeje ,a b < tj.
( ) ( )1 1
.n nn n
f x dx f x dx
= =
=
Teorem4:Nekasufunkcije ( ) , 1,2,3,...nf x n = diferencijabilnenasegmentu [ ],a b inekasunjihoviizvodi( ) , 1,2,3,...nf x n = neprekidnenasegmentu [ ], .a b Akojered ( )
1n
nf x
= konvergentanna [ ], ,a b ared
( )1
nn
f x
= jeuniformnokonvergentannadatomskupu,tadasered ( )
1n
nf x
= moediferenciratilanpo
lanna[ ], ,a b tj.vairelacija:
-
22
( ) ( ) [ ]( )1 1
, .n nn n
f x f x x a b
= =
=
2.Stepeni(potencijalni)red
Definicija5:Funkcionalniredoblika0
nn
na x
= ili ( )0
0,nn
na x x
= priemusu ( )0, ,na x n \ ` zovese
stepeniilipotencijalnired.
Napomena1:Smjenom 0x x y = red ( )00
nn
na x x
= svodisenaredoblika
0.nn
na x
= Zatojedovoljno
prouavatistepeneredoveutomobliku.
Oito je svaki stepeni red 20 1 20
...nnn
a x a a x a x
== + + + konvergentanza 0.x = Ciljnam jenainajvei
intervalnakometajredkonvergira.
Teorem5:Akored 0
nn
na x
= konvergirautaki 0,x p= onkonvergiraondaapsolutno izasvakoxza
kojeje .x p<
Akored0
nn
na x
= divergirautaki ,x q= ondivergiraisvexzakojeje .x q>
Dokaz:Nekakonvergirared0
.nnn
a p
= Tadaje lim 0,nnn a p = pazbogogranienostitognizapostoji
konstantaMtakvadaje ( ).nna p M n< ` Daljeondaslijedi:
( ).n nn
n n nn n nn
x x xa x a p a p M np p p
= = `
Red0
n
n
xMp
= konvergirazasve ( ), ,x p p x p < jerjegeometrijskiredi 1.xx p p< < Zato
datiredkonvergiraapsolutnopoVajertrasovomkriteriju.
-
23
Pretpostavimosadadajered0
nn
na q
= divergentan,nekaje 0x q> inekakonvergirared 0
0.nn
na x
= Prema
vedokazanom,slijedidakonvergiraired0
,nnn
a q
= tojenemogue.Teoremjedokazan.
Posljedica1:Zasvakistepenired0
nn
na x
= postojiR,0 ,R + takoda
1)datiredkonvergiraakoje x R< i
2)datireddivegiraakoje .x R>
Definicija6:BrojRgoreopisanzovesepoluprenik iliradijuskonvergencijereda0
.nnn
a x
= Ako je 0,R >
interval ( ),R R zoveseinterval(krug)konvergencijedatogreda.Napomena:Ako je 0,R = stepeni red
0
nn
na x
=
konvergirasamou taki 0,x = aako je ,R = + onda
stepeniredkonvergirazasve .x\ Poluprenikkonvergencijestepenogredazgodno jeodreditipomouDalamberovog iliKoijevogkorjenogkriterija.MoeseizvestiipraktinaformulazaodreivanjepoluprenikaRuobasluaja.
Naime, prema Dalamberovom kriteriju, red0
nn
na x
= konvergira apsolutno za sve realne x za koje je
11 1
11
1lim 1 lim 1 lim .lim
nn n n
nn n nn n nn
nn
a x a ax xa x a aa
a
++ +
++
< < < =
Otudamoemozakljuitidaje1
lim .nn
n
aRa +
=
Prema Koijevom korjenom kriteriju, red0
nn
na x
= konvergira apsolutno za sve realne x za koje je
1lim 1 lim 1 .lim
n nnn nn n n
nn
a x a x xa
< < <
Otudaslijedidaje1 .
lim n nnR
a=
-
24
Kad se pronae interval konvergencije datog reda, posebno se treba provjeriti da li red konvergira urubovima(krajevima)naenogintervala.
Primjer 5: Dat je red( )( )212 !
.!
n
n
nx
n
= Poluprenik konvergencije izraunaemo pomou Dalamberovog
kriterija.Uoimodaje( )( )22 !
0!nn
an
= > zasve .n` Zatoje
( )( )
( )( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )
2 2
2
2 !! 2 ! 1 ! 1 ! 1 1lim lim lim .
2 2 ! ! ! 2 ! 2 1 2 2 2 1 2 1 41 !
n n n
nn n n n n
Rn n n n n n n n
n
+ + += = = =+ + + + +
+
Dakle,1 .4
R = PremaPosljedici1,toznaidajeintervalkonvergencijedatogreda 1 1, .4 4
Ostajejoda
seposebnoprovjeridalidatiredkonvergiraurubnimtakama1 .4
x =
Akouvrstimo14
x = udatired,dobiemored ( )( )212 !
.! 4nn
nn
=
Rabeovimkriterijemselakoprovjeridaovajreddivergira.Inae,moesepokazatidaje( )
( )22 !
lim 0,! 4nn
nn
takodadivergira i red( )
( )212 !
,! 4nn
nn
= ali i red( ) ( )( )211 2 !
,! 4
n
nn
nn
=
koji sedobije za
1 .4
x = Prema tome,
konanizakljuakjedajeintervalkonvergencijedatogreda1 1, .4 4
Zadaci
Naipoluprenikiintervalkonvergencijedatogstepenogreda:
1. ( )1
2 1 2 ,3 2
nn
n
n xn
=
+ + 2.1
2,
3 ln
n
nn
xn n
= 3.2
1
11 ,n
n
nx
n
=
4.( )
22
2 1,
ln
nn
n
xn n
=
+ 5. ( )0
1,
2 1
n n
n
xn
=
+
6. ( ) ( )( ) ( )1
1
1
3 21 ,
1 ln 1
nnn
n
xn n
=
+ + 7. ln1 2 .n nn x = 8. ( ) ( )( )
2
3 11
2 3 14 1 5
n
nn
n xn
+=
+ 9.
( ) ( )1
1
2 1 1.
2
n n
n nn
n xn
=
+
-
25
10.( )3 2
1
2.
4
n
nn
x
n
=
+ 11. ( )
3
41
3 2 .4
n
n
n xn n
=
+ ++ 12. ( )1 .3 2 1n
n nn
xn
= + +
3.Osobinestepenih(potencijalnih)redova
Direktnoseprovjeravadasvakistepenired0
nn
na x
= unutarsvog intervalakonvergencijezadovoljavasve
usloveizTeorema3i4,vezanozamogunostdiferenciranjaiintegriranjafunkcionalnihredovalanpolannanekomintervalu.Otudavaesljedeadvateorema.
Teorem6:NekajeRpoluprenikkonvergencijestepenogreda0
nn
na x
= inekaje .R a b R < < < Zasvako
[ ],x a b red0
nn
na x
= semoe integrirati i diferencirati lan po lan. Redovi dobijeni od datog reda
0
nn
na x
= integriranjemilidiferenciranjemlanpolanimajuistipoluprenikkonvergencijeR.
Posljedica2:Neka jeRpoluprenikkonvergencijestepenogreda0
nn
na x
= ineka je .R a b R < < < Red
0
nn
na x
= semoe integrirati idiferenciratinasegmentu [ ],a b lanpo lanproizvoljanbrojputa.Redovidobijeni od datog reda
0
nn
na x
= integriranjem ili diferenciranjem lan po lan imaju isti poluprenik
konvergencijeR.
Primjer6:Naiintervalkonvergencijeisumureda ( )1 .1n
n
xn n
= +
Uzimajuida je ( ) ( )1 0 ,
1na n
n n= > + ` lakosedobije 1
lim 1.nn
n
aRa +
= = Otuda ( )1,1 ,x papotored 2
1
1n n n
= + oitokonvergirajerje ( )2 21 1 ,n
n n n+ intervalkonvergencijedatogredaje [ ]1,1 .
-
26
Pretpostavimodaje ( ) ( )1 ,1n
n
xS xn n
== + za [ ]1,1 .x Oitoje ( )0 0.S = Nekaje 0x proizvoljanbroj
izintervala [ ]1,1 . Slijedi:( ) ( ) ( )
1 1 1
12 21 1 1
1 1 ,1 1 1
n n n
n n n
nx x xS x S xn n n x n x
+
= = = = = = =+ + + priemuje ( ) [ ]( )
1
11
1,1 .1
n
n
xS x xn
+
== +
Tadaje ( ) ( ) 2 311 1
1... ,
1 1
nn
n n
n x xS x x x x xn x
= =
+ = = = + + + =+ [ ]1,1 .x Otuda je ( ) ( )1 1 1 ln 1 ,1 1
x xS x dx dx x x Cx x
+= = = + a poto je ( )1 0 0S C= = slijedi da je( )1 ln(1 ).S x x x=
Zatim,izjednakosti ( ) 2ln(1 )x xS x x = zakljuujemodaje
( ) ( )2 2ln 1ln(1 ) 1 ln ,xx xS x dx dx dx x Ix x x = = = gdjeje
( ) ( ) ( ) ( )2
2
ln 1ln 1 1 1ln 11 1
1
dxu x dvx xI dx x dxdxx x x xdu v
x x
= == = = = =
( ) ( ) ( )ln 11 1 1ln 1 ln ln 1 ,1
xx dx x x K
x x x x = + = + + dakle,
Uoimodaje ( ) ( )1 11 1 11 ,
1 1n nS
n n n n
= =
= = + + paraunanjemparcijalnesume1 1 1 1 1 11 ... 1 ,2 2 3 1 1n
Sn n n
= + + + = + + zakljuujemodaje ( )1 1.S = Sdrugestrane,
( ) ( ) ( ) ( )( )
. .
1 1 1 1
2
11 ln 1 ln 11 1lim 1 ln 1 lim lim lim 0,1 1
1 1
L P
x x x x
x x x xxx x
x x
= = = =
paje 1.K = Dakle,
( ) ( ) [ ] { }1 1 ln 1 1, 1,1 \ 0 .S x x xx
= +
( ) ( ) ( ) ( )ln 1 1ln 1 1 ln 1 .xS x x K x Kx x = + = +
-
27
Zadaci
Naiintervalisumureda:
1. ( ) ( )1 2 21
1 2 1 ,n nn
n x =
2.1
,nn
nx
= 3. ( )
11 ,n
nn n x
=+ 4. ( )
1 2 1
21
1 2,
4 1
n n
n
xn
+ +
=
5. 21 ,nn n x
=
6. ( )2
1
,3
n
n
xn n
+
= + 7. ( )( )1 ,1 2n
n
xn n n
= + + 8. 31 .nn n x
=
4.Razvijanjefunkcijeustepenired
Za zadanu funkciju ( )f x elimonai stepeni red0
nn
na x
= takodapostoji interval ( ),a b nakomevai
jednakost ( )( )0
( ) , .nnn
f x a x x a b
== Pritomejeinterval ( ),a b sadranuintervalukonvergencijedatog
reda0
.nnn
a x
=
Kaemodasmotadafunkciju ( )f x razviliustepenirednaintervalu ( ), .a b Ako je ( )( )20 1 2
0( ) ... , ,nn
nf x a x a a x a x x a b
== = + + + oito je ( ) 00f a= i
( )( )1 1 21
( ) 2 ... , ,nnn
f x na x a a x x a b =
= = + + odakle slijedi ( ) 10 .f a = Zatim, opet diferencirajuizadnjujednakostiuvrtavajui 0,x = dobilibismo ( ) 20 2 ,f a = itd.
Metodompotpunematematikeindukcijemoesedokazatidaje
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 21 ! 2 !!(1) ... .0! 1! 2!
n n nn n a n an af x x x n+ ++ += + + + `
Zaista,za 1,n = tvrdnjajeoigledna.Akopretpostavimodajezanekiprirodnibroj 1k > ( ) ( ) ( ) ( )1 2 21 ! 2 !! ...,
0! 1! 2!k k kk k a k ak af x x x+ +
+ += + + + tadaje( ) ( ) ( ) ( )1 1 21 ! 2 ! ...,
0! 1!k k kk a k af x x+ + +
+ += + + todokazujenautvrdnju.
-
28
Iz(1)slijedi ( ) ( ) ( )0 ! .n nf n a n= ` Timejedokazansljedeiteorem.
Teorem7:Akosefunkcija ( )f x moerazvitiustepenired,tadaje ( ) ( ) ( )0
0.
!
nn
n
ff x x
n
==
Nekeelementarnefunkcijesupogodnezarazvijanjeustepenired.Tosuonefunkcijekodkojihmoemo
dobitiizrazzantiizvodzaproizvoljno .n` Npr.
1. ( ) ( ).nx xy e y e n= = ` Topovlaidaje ( ) ( )0 1,ny = padakle( )
0 !
nx
n
xe xn
== \
2. Nekaje sin .y x= Tadaje( )cos sin , sin sin sin 2 ,
2 2y x x y x x x = = + = = + = +
cos sin 3 , sin sin 4 ,...2 2
IVy x x y x x = = + = = +
Moemonaslutitiizatimmatematikomindukcijomdokazatiformulu ( ) ( )sin .2
ny x n n = + `
Otudaje ( ) ( ) ( )0, 2
0 , 0,1,2,...1 , 2 1
nk
n ky k
n k
== = = +pasedobijarezultat
( )( ) ( )
2 1
0
1sin
2 1 !
n n
n
xx x
n
+
=
= + \
3. Akoje cos ,y x= analognimpostupkommoesedobitidaje ( ) ( )cos2
ny x n n = + ` izatimizvestirazvoj
( )( ) ( )
2
0
1cos
2 !
n n
n
xx x
n
=
= \ 4. Nekaje ( )ln 1 .y x= + Tadaje
( ) ( ) ( ) ( )2 3 4
21 1, 1 , 2 1 , 6 1 ,...
1 1IVy y x y x y x
x x = = = + = + = ++ +
-
29
pasenasluujedaje ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 1 ! 1 .n nny n x n = + ` Dokaimotomatematikomindukcijom.Za 1,n = tvrdnja oigledno vrijedi. Neka je za neko 1k > tana tvrdnja
( ) ( ) ( ) ( )11 1 ! 1 .k kky k x = + Tadaje ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 1 1 ! 1 1 ! 1 ,k k k kky k k x k x ++ = + = + todokazujenautvrdnju.Zatoje ( ) ( ) ( ) ( ) ( )10 1 1 ! .nny n n= ` Najzad,potoje
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 10 1 1 ! 1
,! !
n nny nn
n n n
= = ` moemopisatidaje
( ) ( ) ( )1
1
1ln 1 , 1,1
nn
nx x x
n
=
+ = Interval ( )1,1 je izabran zbog toga to dobijeni red konvergira na tom intervalu.Meutim, red
( ) 11
1 n nn
xn
=
konvergiraiakoje 1,x = jertadaimamoalternativnired( ) ( )1 1
1
1 11 1 11 ... ... .2 3 4
n n
nn n
=
+ + + + = U4.lekciji,primjer5a),smokonstatovalikonvergencijuovogredapomouLajbnicovogkriterija.Prematome:
( ) ( ) ( ]1
1
1ln 1 , 1,1 .
nn
nx x x
n
=
+ = Uvrtavajui 1x = utujednakost,dobijemodaje
( ) 11
1ln 2.
n
n n
=
=
5. Stepeniredoblika0
n
n
mx
n
=
gdjejem\ proizvoljnakonstanta,zovesebinomnired.Pojambinomnogkoeficijenta,kojegsmodefinisaliuMatematiciI,moeseuoptiti,takodaje
( )( ) ( ) ( )1 2 ... 1 .!
m m m m m nm
n n + = \ UMatematiciIsmoinsistiralidambudeprirodan
broj,pajeoitodasmonapravilipooptenjepojmabinomnogkoeficijenta.Odredimopoluprenikkonvegencijebinomnogreda.Imamodaje
( )( ) ( )( )( ) ( )
( )
1 2 ... 11! .
1 2 ...1 !1
m m m m m nn nn
m m m m nm m nnn
+ + = = ++ Otudaje
1lim 1.n
nRm n+= =
-
30
Dakle,red0
n
n
mx
n
=
konvergirauintervalu ( )1,1 . Pretpostavimodaje ( ) 0 .nnm
f x xn
=
= Tadaje( ) ( )1
1 1,n n
n n
m mf x n x xf x n x
n n
= =
= = paje( ) ( ) ( )1
1 1 0 01 1
1n n n n
n n n n
m m m mx f x n x n x n x n x
n n n n
= = = =
+ = + = + + +
( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )
0 0
1 1 ... 1 ... 11
1 1 ! !n n
n n
m m n m m n m m nn n x m n x
n n n n
= =
+ + = + + = + + + ( )( ) ( )( ) ( )
0 0
1 2 ... 1.
!n n
n n
mm m m n m n nm x m x mf x
nn
= =
+ + = = =
Dakle, ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )1 1 1
f x f xm mx f x mf x dx dxf x x f x x + = = =+ +
( ) ( ) ( ) ( )ln ln 1 ln 1 .mf x m x C f x C x = + + = +
Specijalno,za 0,x = oitojered0
n
n
mx
n
=
jednak1,tj. ( )0 1.f = No,izdobijenogizrazaimamodaje ( )0 1.f C C= = Znai,
( ) ( )( )0
1 , 1,1m nn
mx x m x
n
=
+ = \ Primjer7:Razvitiustepeniredfunkciju ( ) arcsin .f x x=
Funkcijajedefinisanaza [ ]1,1 .x Oitoje ( ) ( ) 12 22
1 1 .1
f x xx
= = Premarezultatuza
binomnired,uzimajui12
m = istavljajui ( )2x umjestox,dobijamo( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
0 0 1
1 1 11 1 1 .2 2 2
n n nn n
n n nf x x x x
n n n
= = =
= = = +
Pritomeje ( ) ( ) ( )( )1 1 1 1 3 2 11 ... 11 ... 2 1 !!2 2 2 2 2 21 1 .2
! ! 2 !!n n
nn nn n nn
+ = = =
-
31
Zatoje ( ) ( ) ( )( ) ( )212 1 !!
1 1 , 1,1 .2 !!
n n
n
nf x x x
n
=
= + Naosnovutogaje( ) ( )( ) ( ) ( )2 11
2 1 !!, 1,1 .
2 !! 2 1n
n
nf x x x C x
n n
+=
= + + + Potoje ( )0 0f = i ( )0 ,f C= toje 0,C = paje
( ) ( )( ) ( ) ( )2 112 1 !!
, 1,1 .2 !! 2 1
n
n
nf x x x x
n n
+=
= + +
Primjer8:Naisumeredova ( )01 1 11 ...
2 ! 2! 4!n n
== + + + i ( )0
1 1 1 1. ...2 1 ! 1! 3! 5!n n
== + + ++
Potoje ( )0
,!
nx
n
xe xn
== \ slijedi:
0
1 1 1 11 ...! 1! 2! 3!n
en
== = + + + + i ( )1
0
1 1 1 11 ...! 1! 2! 3!
n
ne
n
=
= = + + Sabiranjemovadvaredadobijamo:
( )1 02 2 12 ... 2 ,2! 4! 2 !n
e en
=
+ = + + + = aoduzimanjem:
( )1 02 2 12 ... 2 ,3! 5! 2 1 !n
e en
=
= + + + = + toznaidaje
( )1
0
1 ch 12 ! 2n
e en
=
+= = i ( )1
0
1 sh1.2 1 ! 2n
e en
=
= =+
Inae,zaproizvoljno
x\
imamodaje
( ) 2 3 4 2 3 40 0
1 1ch 1 ... 1 ...2 2 ! ! 2 1! 2! 3! 4! 1! 2! 3! 4!
nx x n
n n
xe e x x x x x x x x xxn n
= =
+= = + = + + + + + + + =
( )2 4 2
0
1 2 1 ... .2 2! 4! 2 !
n
n
x x xn
=
= + + + =
Analogno, ( ) ( )2 1
0sh .
2 1 !
n
n
xx xn
+
== + \
-
32
Primjer9:Naisumureda 21
1 .8 4n n n
= Najprijesezakljuidaje
( ) ( )21 1 1 1 1 1 ,
8 4 4 2 1 2 1 4 2 4n
n n n n n n n= = pajen taparcijalnasumadatogreda1 1 1 1 1 1 11 ... ...3 5 2 1 2 4 6 4n
Sn n
= + + + + + + + + =
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 ... ... ...2 3 2 2 4 6 2 2 4 6 4n n n
= + + + + + + + + + + + + =
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 ... 1 ... 1 ... .2 3 2 2 2 3 2 2 3 2n n n
= + + + + + + + + + + + +
Nekaje ( )1 1 11 ... .2 3n
H nn
= + + + + `
Oitojetada ( ) ( )2 2 2 21 1 1 1 1 .2 2 2 2 2n n n n n n n nS H H H H H H H n= = = `
Potoje( ) 1
1
1ln 2,
n
n n
=
= a 2n taparcijalnasumaovogredaje2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 ... 1 ... ...2 3 4 2 1 2 3 5 2 1 2 4 2n
Tn n n n
= + + + = + + + + + + + =
1 1 1 1 1 1 1 1 11 ... ... ...2 3 2 2 4 2 2 4 2n n n
= + + + + + + + + + + =
2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 11 ... 2 ... 2 1 ... ,2 3 2 2 4 2 2 2 3n n n
H H Hn n n
= + + + + + + + = + + + + = oitoje
( )2lim ln 2.n nn H H =
Zbogtogaje121lim ln 2 ln 2 ln 2.
2nnS = = =
Sumadatogredaje ln 2.
Primjeri10:Iskoristiemorazvojfunkcijaustepenireddaseispitakonvergencijaredova.
a)
3
1
1sin .n
nn
n
=
-
33
Iskoristimo Koijev korjeni kriterij, poto je dati red pozitivan. Imamo da je3 2
1 1lim sin lim sin .n n
nn n
q n nn n
= =
Poznata asimptotska jednakost ( )sin 0x x x ovdje nam nee pomoi poto bi imali da je( )1 1sin 1 .n n n
n n =
Znamodaje( )( ) ( )
2 1 3 5
0
1sin ...
2 1 ! 3! 5!
n n
n
x x xx x xn
+
=
= = + + \
Otuda,moemopostavitisljedeurelaciju: ( )3sin 0 .3!xx x x
Zatoje
2 2 21
16 66
3 2 21 1 1 1lim lim 1 lim 1 1,
6 6 6
n n n
n n nq n e
n n n n
= = = =
-
34
( ) 2 2 2 21 1 2 11 22 2 2 22
1
1 2 1 1.2 2
n n p p p pn pnn n n nn n n n
n
a p pe e ea e n n
+ + + +
= = +
IskoristiemosadaRabeovkriterij.Imamodaje
21
2 1 2 1lim 1 lim .2 22
nn nn
a p p pn na n n +
= =
Prematome,datiredkonvergiraakoje2 1 31 2 3 .
2 2p p p > > >
c) 33 2 21
1 34 8 .n
nn n
= + +
Uputa: ( )12
2 2 2 21 1 1 14 4 1 2 1 2 1 ,
4 4 8n
n n n n + = + = + + jerje
( ) ( )1 1 0 .x x x + +
Meutim,nasliannainbismodobilii: 3 2 23 18 2 1 ,
8n n + +
pavidimodarelaciju ( ) ( )1 1 0x x x + + trebapoboljati.
Znamodaje ( ) ( )( )20
1 1 ... , 1,1 .2
m n
n
m mx x mx x m x
n
=
+ = = + + + \
Otudaimamo: ( ) ( ) ( )11 1 0 .2
x x x + + +
d) 31ln tg .nn
Uputa:Poznatarelacija ( )tg 0x x x ovdjenamnemoekoristiti.Potosuizvodifunkcije ( ) tgf x x= jednaki:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 232 3 41 2sin 2cos 6sin, 2cos sin , ,...cos cos cosx x xf x f x x x f x
x x x + = = = =
imamodaje ( ) ( ) ( )0 1, 0 0, 0 2,...f f f = = =
dakle:32tg ... ...
3! 3x xx x x
3= + + = + +
-
35
(Inae,moesepokazatidaje5 72 17tg ...
3 15 315x x xx x3
= + + + + )
Otudaje ( )tg 0 .3xx x x3
+
Iskoristitiovurelacijuisvestidatirednaharmonijski.
Zadaci
1.Napisatiuvidustepenogredafunkcijuiodreditiintervalukomevaitajrazvoj:
a) ( ) 2 2sin 2 cos 3 .f x x x= + b) ( ) ( )2ln 3 2f x x x= + + c) ( ) 2 31xf x x = d) ( ) 2 2 13 4xf x x x+= + e) ( ) arcsinf x x x= f) ( ) arctgf x x= g) ( ) ( ) ( )
2
22 3
1 2x xf xx x+ += + h) ( ) ( )
322
1 sin1
f x xx
= ++
i) ( ) 5cos , .f x x x= \ j) ( ) 5sin , .f x x x= \ k) ( ) 1 1 1ln arc tg 4 1 2
xf x xx
+= +
l) ( ) 4 213 7 2f x x x= + +
2.Naisumureda:
a) ( )02 1,2 !nnn
=
+ b) ( )2 ,2 1 !nn
n
= + c) 211 .
2n n n
= + 3.Ispitatikonvergencijureda:
a)
2
1
1arcsinn
nn
n
= b)
1
1
2 2sin cosnn
en n
=
c)
1
2 11 ln2 1n
nnn
=
+
d)
2
1 ln .1n
nn n
=
-
36
5.Furieroviredovi
Definicija7:Funkcionalniredoblika
0
1(1) ( cos sin )
2 n nna a nx b nx
=+ +
zovemoFurierov*red.Ovajredmoemozvatiitrigonometrijskired.
*JeanBaptisteJosephFourier(17681830)francuskimatematiar
Teorem8:Akosunumerikiredovi1
nn
a
= i
1n
nb
= konvergentni,tadajered(1)uniformnoiapsolutno
konvergentanzasve .x\
Dokaz:Slijedidirektnoiznejednakosti
cos sin cos sinn n n n n na nx b nx a nx b nx a b+ + + iVajertrasovogkriterijazauniformnukonvergencijufunkcionalnogreda.
Definicija8:Nekaje{ }1 2, ,...f f skupneprekidnihfunkcijanaintervalu[ ], .a b Zatajskupfunkcijakaemodajeortogonalannaintervalu[ ],a b akoje ( ) ( ) 0b m n
a
f x f x dx = za .m n Direktnoseprovjeravadajeskupfunkcija{ } { }{ }sin | cos | 0kx k kx k ` ` ortogonalannabilokomsegmentuoblika[ ], 2 , .a a a+ \ Npr. ( ) ( )2 21, sin cos sin sin
2
a a
a a
m n mx nx dx m n x m n x dx + +
= + + = ` ( ) ( )cos cos 21 0,
02m n x m n x
m n m n + = + = +
jerje
( ) ( )cos 2 cos 2 cos 0 1.m n m n + = = = Istotako,direktnoseprovjeravadavai:
-
37
( )2 sin 0 ,aa
mx dx m+
= ` ( )2 cos 0 ,aa
mx dx m+
= ` ( )2 sin sin 0 , , ,aa
mx nx dx m n m n+
= ` ( )2 cos cos 0 , , .a
a
mx nx dx m n m n+
= `
Pretpostavimodaje(1)uniformnokonvergentanrednaintervalu[ ], . Tadajesumatogredaneprekidnafunkcijakojajeperiodinasaperiodom2.
Obrnuto,nekajefunkcija ( )f x periodinasaperiodom2inekaje( ) [ ]0
1(2) ( cos sin ), , ,
2 n nnaf x a nx b nx x
== + +
priemujerednadesnojstraniu(2)uniformnokonvergentan.Tadasetajredmoeintegralitilanpolan
naintervalu[ ], . Imamodaje
( ) 0 01 1
0 0
( cos sin ) 2 cos sin2 2n n n nn na af x dx dx a nx b nx dx a nxdx b nxdx
= =
= + + = + +
( )0 0 1 .a a f x dx
= = Akojednakost(2)pomnoimosa cos nx iintegralimood()dodobiemo:
( ) 01
0 0
cos cos cos cos sin cos2 m mmaf x nxdx nxdx a mx nxdx b mx nxdx
=
= + +
2 1 cos 2 1cos sin 2 22 2 2 2
n nn n n
a anxa nxdx a dx x nx an
+ = = = + = =
paje ( ) ( )1 cos .na f x nxdx n
= `
Analogno,mnoeijednakost(2)sa sin nx iintegraleioddodobiemo:
( ) 2sin sin ,n nf x nxdx b nxdx b
= = paje ( ) ( )1 sin .nb f x nxdx n
= `
-
38
Timejedokazansljedeiteorem.
Teorem9:Akosefunkcija ( )f x moerazvitiured(1)kojijeuniformnokonvergentannaintervalu[ ], , tadaje
( ) { }( )1 cos 0na f x nxdx n
= ` i ( ) ( )1 sin .nb f x nxdx n
= `
Akoje ( )f x parnafunkcijanaintervalu [ ], , tadaje ( ) { }( )cos 0f x nx n ` takoeparnapaje( ) ( )
0
2 cos ,na f x nxdx n
= ` dokje ( ) ( )sinf x nx n` neparna,paje ( )0 .nb n= ` Ako je ( )f x neparna funkcija na intervalu [ ], , tada je ( ) { }( )cos 0f x nx n ` neparna, a( ) ( )sinf x nx n` parna na [ ], , pa je zato ( )0 0,1,2,...na n= = i
( ) ( )0
2 sin .nb f x nxdx n
= ` Definicija9:Kaemodajered(1)Furierovredfunkcije ( )f x akosenjegovikoeficijenti na i nb raunajupoformulamaizTeorema9.TekoeficijentezovemopreciznijeFurierovimkoeficijentimafunkcijef.
IakosmoFurierovekoeficijentefunkcijef dobilipodpretpostavkomdavrijedi(2),Furierovredfunkcijef
nemorakonvergiratikatojfunkciji,tj.sumareda(1)nemorabiti ( )f x kad [ ], .x Naime,dabisetodesilomorajubitiispunjenitzv.Dirihleovi*uslovi,kojeemosadanavestiiobjasniti.
*JohannPeterGustavLejeuneDirichlet(1805.1859.)njemakimatematiar
Definicija10:Kaemodajefunkcija [ ]: ,f a b \ podijelovimaneprekidnanaintervalu [ ],a b akojeonaneprekidnanatomintervaluilinatominervaluimasamokonanomnogotaakaprekida.
Napomena: IzMatematike I znamo da je 0x x= taka prekida prve vrste funkcije ( )f x ako postoje ikonanisulijeviidesnilimestefunkcijeudatojtaki ( )0f x i ( )0 ,f x + alisurazliiti.
-
39
Definicija11:Kaemodafunkcija ( )f x zadovoljavanaintervalu[ ],a b Dirihleoveusloveakovrijedi1)fjepodijelovimaneprekidnanaintervalu[ ],a b isvinjeniprekidisuprvevrste;2)fjemonotonafunkcijanaintervalu [ ],a b iliimanajviekonanomnogostrogihekstrema(maksimumaiminimuma)natomintervalu.
Teorem 10: Ako je ( )f x periodina funkcija sa periodom 2 koja na intervalu [ ], zadovoljavaDirihleoveuslove,tadanjenFurierovredkonvergiranaintervalu[ ], kafunkciji ( ) ,S x priemujea) ( ) ( )S x f x= usvakojtakixukojojjefunkcijafneprekidna,
b) ( ) ( ) ( ) ,2
f x f xS x
+ += akojextakaprekidafunkcijef
c) ( ) ( ) ( ) ( ) .2
f fS S
+ + = =
Primjer 11: elimo funkciju ( ) 2f x x= napisati u obliku Furierovog reda za [ ], .x Poto je ovafunkcijaparna,slijedidaje 0nb = zasve .n` Osimtoga,
3 3 22
00
2 2 2 203 3 3
xa x dx
= = = = i2
22
0 0
cos2 2 2cos sin sin1 02 sinnu x dv nxdx xa x nxdx nx x nxdx
n ndu xdx v nxn
= = = = = = =
0 0
0
sin4 4 1sin cos cos1 0cos
u x dv nxdxxx nxdx nx nxdx
n n n ndu dx v nxn
= = = = = + = =
( )2 24 4cos 1 ,nnn n= = zasvako .n` Akodobijenekoeficijenteuvrstimou(2)dobijamo:
( ) [ ]22 21
14 cos , , .
3
n
nx nx x
n
=
= + Akouzadnjujednakostuvrstimodaje ,x = slijedi:
-
40
( )2
2 2 22
2 2 21 1 1
21 2 1 1 34 cos 4 .
3 3 4 6
n
n n nn
n n n
= = =
= + = = = Akouvrstimodaje 0,x = tadaimamo:
( ) ( )2
2 2
2 21 1
1 1 30 4 cos0 .3 4 12
n n
n nn n
= =
= + = =
Zadaci
Datufunkciju ( )f x napisatiuoblikuFurierovogredaako [ ], :x 1. ( ) 2 , 0
3 , 0x x
f xx x
< = < 2. ( )2sinf x x= 3. ( ) sinf x x x= 4. ( ) 2 2f x x= 5.
( ) 1 11 cos sin2 2
f x x x x = 6. ( )3f x x= 7. ( ) ( )( )
2 2 , 0,
1, ,0
x x xf x
x
+ =
8. ( )2
x xe ef x+= 9. ( ) .
2
x xe ef x=
5.1RazvijanjefunkcijeuFurierovrednaintervalu[ ],a b Skupfunkcija { }2 2sin | cos | 0k x k xk k
b a b a ` ` jeortogonalannasegmentu [ ], , .a b a b<
Dokaiteovozavjebu!
Koristeiovu injenicu i radeina istinainna koji smo izveli formule za Furierove koeficijente zadatu
funkciju ( ) ,f x polazeiodpretpostavkedaje( ) [ ]0
1
2 2(3) cos sin , , ,2 n nna n x n xf x a b x a b
b a b a
=
= + + moemodobitiformulezakoeficijente
( ) { }( )2 2(4) cos 0bna
n xa f x dx nb a b a
= ` i
-
41
( ) ( )2 2(5) sin .bna
n xb f x dx nb a b a
= ` Specijalnoza a l= i 0,b l= > moemoiz(3)dobitirazvojfunkcije ( )f x uFurierovreduintervalu[ ],l l :
( ) [ ]01
cos sin , , ,2 n nna n x n xf x a b x l l
l l
=
= + + priemuje
( ) { }( )1 cos 0lnl
n xa f x dx nl l
= ` i ( ) ( )1 sin .lnl
n xb f x dx nl l
= ` Ukolikojefunkcija ( )f x parnanaintervalu[ ],l l tadaje ( )0 ,nb n= ` aakojeneparnanatomintervalu,tadaje ( )0 0 .na a n= = `
Primjer12:RazvitiuFourierovreduintervalu ( )5,15 funkciju ( ) 10 .f x x= 1515 2
05 5
2 1 1 225 25(10 ) 10 150 50 015 5 5 2 5 2 2
xa x dx x = = = + =
15
5
102 2(10 )cos
15 5 15 52 10 2cos sin15 5 2 15 5
k
u xk xa x dx du dx
k x k xv dxk
= = = =
= =
15 15
55
1 10 2 1 10 2(10 ) sin sin5 2 15 5 5 2 15 5
k x k xx dxk k
= + 15
5
1 10 2 15 10 2 5 1 10 2(10 15) sin (10 5) sin cos5 2 15 5 2 15 5 2 15 5
k k k xk k k k
= 2 2
1 25 25 5sin 3 sin (cos3 cos )5
k k k kk k k
=
2 2
1 25 25 50 0 (cos3 cos ) 0 0 05
k kk k k
= = =
Naime,
1 ( 1), ako je neparnocos3 cos
1 1, ako je parnok
k kk
= ,pajeuobasluaja cos3 cos 0k k =
-
42
Dakle, 0ka = zasvako 0k` .
15
5
2 2(10 )sin15 5 15 5k
k xb x dx= 10
2 10 2sin cos15 5 2 15 5
u xdu dx
k x k xv dxk
= = =
= =
15 15
55
1 10 2 1 10 2(10 ) cos cos5 2 15 5 5 2 10
k x k xx dxk k
= 15
5
1 10 2 15 10 2 5 1 10 2(10 15) cos (10 5) cos sin5 2 10 2 10 2 10
k k k xk k k k
= 2 2
1 25 25 5cos3 cos (sin 3 sin )5
k k k kk k k
= +
1 25 25 5 10cos3 cos 0 (cos3 cos ) ( 1)5
kk k k kk k k k
= + = + =
Prematome,Furierovreddatefunkcijeje: ( )1
( 1)( ) 10 sin , 5,15 .5
k
k
k xf x xk
=
=
Zadaci
1.RazvitiuFourierovredfunkciju ( ) 2 5f x x= + naintervalu[ ]1,5 .2.Razloitifunkciju cosy x x= uFourierovreduintervalu , .
2 2
3.Razloitifunkciju cosy x= uFourierovreduintervalu[ ]0,1 .4.RazvitiuFourierovreduintervalu[ ]1,1 funkciju ( )f x x= izatimsumiratired ( )20
1 .2 1n n
= +
5.Razloitifunkciju siny x x= uFourierovreduintervalu , .2 2
-
43
6.RazvitiuFourierovredfunkciju ( ) sin , ,2 2
f x x x = isumiratired 211 .
4 1n n
=
7.RazvitiuFourierovreduintervalu[ )0,3 funkciju ( )[ ]( )
[ )
, 0,1
1, 1,2
3 , 2,3
x x
f x x
x x
= .
8. Razviti u Fourierov red u intervalu [ ]0, 2 funkciju ( ) [ ]2 , 0,2f x x x = i sumirati red ( )
21
1 n
n n
=
. 9.Razvitifunkciju ( ) 1, 1,5 2
3 , 2 3x
f xx x
< = < zadovoljava Dirihleove uslove. elimo tu funkcijuprikazatiuoblikuredasinusa,tj.
( ) [ ]1
sin , 0, .nn
n xf x b x ll
==
Oitobifunkcijaodreenaredomnadesnojstranimoglabitineparna,ukolikoseposmatranasimetrinom
intervalu.Zatoemodefinisatifunkciju ( )F x koja jeneparnana intervalu [ ], ,l l akojasena intervalu[ ]0, l podudara sa datom funkcijom. Funkciju ( )F x zovemo neparnim proirenjem funkcije ( )f x ivrijedi:
( ) ( ) [ ]( ) [ ), 0,
., ,0
f x x lF x
f x x l
=
Furierovredfunkcije ( )F x naintervalu[ ]0, l podudarasesaFurierovimredomfunkcije ( ) ,f x aizraenjeiskljuivoprekosinusa.
-
44
Analogno,akofunkciju ( )f x elimonaintervalu[ ]0, , 0l l > prikazatiuoblikuredakosinusa,tj.( ) [ ]0
1cos , 0, ,
2 nna n xf x a x l
l
== +
priemunatomintervaludatafunkcijazadovoljavaDirihleoveuslove,tadanajprijedefiniemofunkciju
( ) ( ) [ ]( ) [ ), 0,
, ,0
f x x lF x
f x x l
=
kojajeparnanaintervalu[ ], ,l l akojasenaintervalu[ ]0, l podudarasadatomfunkcijom.Funkciju( )F x zovemoparnimproirenjemfunkcije ( ).f x
Furierovredfunkcije ( )F x naintervalu[ ]0, l podudarasesaFurierovimredomfunkcije ( ) ,f x aizraenjeiskljuivoprekokosinusa.
Primjer 13: Funkciju ( ) 2f x x= smo razvili u Furierov red u intervalu [ ], i dobili smo da je( ) [ ]22 2
1
14 cos , , .
3
n
nx nx x
n
=
= + Toznaidajedatafunkcijarazvijenauredkosinusauintervalu[ ], pabi istaformulavaila izarazvojtefunkcijeu intervalu [ ]0, . Akoelimorazvititufunkcijuuredsinusauintervalu[ ]0, , tadabismokrenuliodfunkcije ( ) [ ][ )
2
2
, 0,.
, ,0
x xF x
x x
=
Ovu funkciju emo razviti u Furierov red u intervalu [ ], . Poto je ona neparna, imamo da je( )0 0na a n= = ` idaje
( ) ( )2
2
0 0
sin1 2 2sin sin sin 12 cosnu x dv nxdx
b F x nxdx F x nxdx x nx dxdu xdx v nx
n
= =
= = = = = =
2
0
2 1 2cos cos .0
I
x nx x nx dxn n
= +
( ) ( )0 0
2 2
cos1 1cos sin sin1 0sin
1 1 1 1cos cos cos0 1 1 .0
n
u x dv nxdxI x nx dx x nx nx dx
n ndu dx v nxn
nx nn n n n
= == = = == =
= = =
-
45
Dakle, ( ) ( )( ) ( )2 32 21 1 1 .n nnb nn n = + ` Slijedi:
( ) ( )( ) [ ]22 31
2 21 1 1 sin , 0, .n nn
x nx xn n
=
= +
Zadaci
1. RazvitiuFourierovreduintervalu[ ]0, pokosinusimaviestrukihuglovafunkciju
( ),0
2 2
0 ,2
x xf x
x
<
-
46
DIFERENCIJALNEJEDNAINE
1.Osnovnipojmovi
Jednainaukojoj,porednepoznatefunkcije,uestvujuinjeniizvodizovesediferencijalnajednaina.Takonpr.,jednaina
( )(1) , , 0,F x y y = gdjejeFneprekidnafunkcijanezavisnihpromjenljivih , ,x y y zoveseobinadiferencijalnajednainaprvogreda.Pri tome je ( )y y x= nepoznata funkcija,a ( )y y x = njen izvod.Diferencijalna jednainaprvogredamoeseposmatratiiuobliku
( ) ( )2 , .y f x y = Pritomeje ( ),f x y neprekidnafunkcijadvijenezavisnepromjenljiveunekojoblastiravni .xOy Ovajoblikzovemonormalnioblikdiferencijalnejednaineprvogreda.Oiglednose(2)moevrlolakotransformisatinaoblik(1),aliobrnutonijeuvijekmogue,tj.jednaina(1)senemoenekadrijeitipoy'.
Akosu ( ),P x y i ( ),Q x y poznateneprekidnefunkcijedvijenezavisnepromjenljive,tadasediferencijalnajednainaprvogredamoepisatiiuobliku
( ) ( ) ( )3 , , 0.P x y dx Q x y dy+ = Akoovujednainupodijelimosadxiuzmemouobzirdaje ,dyy
dx = dobijamoiz(3):
( ) ( ) ( )( ),
, , 0 ,,
P x yP x y Q x y y y
Q x y + = = dakle,napisalismojednainuuobliku(2).Takoe,jednaina
(2)sevrlolakodovodinaoblik(3),uzimajuiopetuobzirdaje .dyydx
=
Diferencijalnajednainadrugogredamoesepisatiuobliku
( ), , , 0F x y y y = ili ( ), , .y f x y y = Red diferencijalne jednaine odreuje se prema najveem redu izvoda nepoznate funkcije koji u njojfigurie.Openito,jednainu
( )( ), , ,..., 0nF x y y y = za neko n` zovemo diferencijalnom jednainom n tog reda, dok se( ) ( )( )1, , ,...,n ny f x y y y = zovediferencijalnomjednainomntogredaunormalnomobliku.
Miemonajviepanjeposvetitirjeavanjudiferencijalnihjednainaprvogreda,aliemoistotakovidjetiirjeavanjenekihdiferencijalnihjednainaviegreda.
-
47
Ope(opte)rjeenje(integral)jednaine(1)jefunkcija ( ),y x C= kojaidentikizadovoljavazadovoljavatu jednainu za sve vrijednosti konstanteC, tj. ( ) ( )( ), , , , 0F x x C x C = za sve x iznekog intervala( ), .a b PritomekonstantaCnemorauzetisverealnevrijednosti,negosamovrijednostiiznekogintervala.Ako je C fiksirano (tj. C je konkretan broj): 0 ,C C= tada se funkcija ( )0,y x C= zove partikularnorjeenje(integral)jednaine(1).
Najzad,moesedesitidapostojinekafunkcijakojajerjeenjejednaine(1),alidanijesadranauopemrjeenju.Kaemodajetafunkcijaondasingularnorjeenjejednaine(1).
Primjer1:Diferencijalnajednainaxyy
= imaoperjeenje 2 , 0.y C x C= >
Zaista, 22 2
2 .2
x x xy C x yyC x C x
= = = =
Akoje 0,C < tadaje 2 0,C x < patadafunkcija 2y C x= nijedefinisana.Akouzmemodaje 1,C = tadafunkcija 21y x= predstavljapartikularnorjeenjedatejednaine.
Primjer2:Opterjeenjejednaine y y = je , .x Cy e C+= \ Nooitoifunkcija 0y = zadovoljavadatujednainu,aliseta funkcijanemoedobiti izoptegrjeenjaniza jednuvrijednostkonstanteC.Timesezakljuujedajetafunkcijasingularnorjeenjedatejednaine.Meutim,opterjeenjesemoenapisatiiu
obliku , .xy C e C= \ Tada funkcija 0y = nije singularno rjeenje, jer semoe dobiti iz opteg za0.C =
Nekad se uz diferencijalnu jednainu (2)postavi idodatniuslov,da je ( )0 0 ,y x y= pri emu su 0 0,x y fiksirani realni brojevi. To znai da se trai kriva ( )y x= koja zadovoljava jednainu (2) i osim toga,prolazikroztaku ( )0 0, .T x y
Problemodreivanjajedneiliviekrivihkojezadovoljavajusistem:( )
( )0 0,y f x y
y x y
= =zoveseKoijev(Cauchy)
problem. Uslov ( )0 0y x y= nam pomae da u optem rjeenju ( ),y x C= odredimo vrijednostkonstanteC.
Primjer3:RijeitiKoijevproblem ( ) 3 .3 2y yy e
= =
-
48
Ako u optem rjeenju xy C e= jednaine y y = (Primjer 2) stavimo da je 33 i 2x y e= = slijedi3 32 2.e C e C= = Otudaje 2 xy e= rjeenjedatogproblema.
Zadaci
1. Dokazatida je2xy C e= opte rjeenjediferencijalne jednaine 2 0y xy + = i zatimnaionu
krivuiztefamilijekrivihkojaprolazikroztaku ( )0,1 .A 2. Dokazatidaje ( )xay aCe C= \ opterjeenjediferencijalnejednaine , 0.y ay a= >
2.Diferencijalnajednainakojarazdvajapromjenjive
Diferencijalna jednaina koja razdvaja promjenjive je oblika ( ) ( )y f x g y = i rjeava se ovako:( )( ) ( ) .
( )dy dyf x g y f x dxdx g y
= = Pritomeobaveznopretpostavljamodaje ( ) 0.g y Posebnoseprovjeridaliejednainabitizadovoljenaakoje ( ) 0,g y = jertadamoemoeventualnodobitisingularnarjeenja.Ukolikojejednainazadataprekodiferencijaladxidy,npr.
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 0,P x Q y dx P x Q y dy+ = jednainupodijelimosa ( ) ( )2 1 ,P x Q y podpretpostavkomdaje( ) ( )2 10 i 0 :P x Q y ( )( )
( )( )1 22 1 0,
P x Q ydx dy
P x Q y+ = aodatleje
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )1 2 1 22 1 2 1 .
P x Q y P x Q ydx dy dx dy C
P x Q y P x Q y= = +
Za diferencijalnu jednainu ( )y f ax by c = + + , uzimamo smjenu .u ax by c= + + Dalje slijedi( ) ,
( )du dua by a bf u dxdx a bf u
= + = + =+
aovojediferencijalnajednainakojarazdvajapromjenjive.
-
49
Primjeri4:
a)Rijeitidiferencijalnujednainu: ( )1 0xy dx x dy+ + = .
Rjeenje:Datajednainasetransformieovako
( ) 11 ,1
xxy dx x dy dx dyx y
= + = +
priemupretpostavljamodaje 1, 0.x y Integriranjemobjestraneslijedi
1 111
ln 1 ln ln
ln ln 1 ln
ln ln1
1 ope rjeenje.x
dx dyx y
x x y C
y x C x
y Cx x
xy Ce
= + + = + + = =+
+ =
Ako je 1,x = tada je 0,dx = pa je jednaina zadovoljena, a isto tako 0y = je oito rjeenje datejednaine.Meutim, rjeenje 0y = semoedobiti izopegza 0,C = dokse rjeenje 1x = nemoedobitiizopegizakljuujemodajetosingularnorjeenjedatejednaine.
b)Nairjeenjejednaine ( )2 21 ' 2 0x y xy + = kojeprolazikroztaku ( )0,1 .T
Rjeenje:Uzpretpostavkuda je 0 i 1y x dijeljenjem sa ( )2 2 1y x jednainudovodimonaoblik:2 2
' 21
y xy x
= .
Ovuemojednainusadpomnoitisa dx iintegrirati,pasedobije:
( )2 21 ln 1 ln 1 1,x C y C xy = + + = imesmodobilioperjeenjejednaine.
Akoje 0y = tadajei ' 0y = pazakljuujemodaje 0y = singularnorjeenje.
IzpoetnoguslovadatraenakrivaprolazikroztakuTimamodaje ( )1 ln1 1,C + = pajeoito 1.C = Toznaidajetraenopartikularnorjeenjenaejednainedatosa:
-
50
( )21 ln 1 1.y x+ = c)Rijeitijednainu ( )' cos .y y x=
Rjeenje:Napraviemosmjenupromjenljive .y x z = Tadaje ' 1 ', tj. ' ' 1.y z y z = = + Jednainasadglasi: ' 1 cos .z z+ = Daljeslijedi:
( ) 22
'' cos 1 * ... ' 2sin 2,2 sin
2
z zz z z z= = =
priemupretpostavljamodaje sin 0 2 , .2z z k k ] Otudaje
2 2 2 .2 2 2z z y xctg x C ctg x C ctg x C= + = + = +
Tojeoperjeenjedatejednaine.No,moemodobitiijednugrupusingularnihrjeenja.jerakoje
2 , ,z k k= ] tadaje ' 0,z = pauvrtavanjemu ( )* dobijemoidentitet.Dakle,imamosingularnarjeenja 2 , .y x k k = ]
Zadaci
1. Rijeitidiferencijalnejednaine:a) 2' 2y xy xy =
b) ' 4 2 1.y x y= +
c) 2 21 1 0.x y dx y x dy + =
d) ( )2
2 2
85 6 cos
xyx x y y
+ = +
e) ( ) ( )2 3 28 12 2 2 2 .y y y x y y y x + = +
2. Naipartikularnorjeenjedatejednainekojezadovoljavadatiuslov:a) ( )' 2, 0 1y ctgx y y+ = = b) ( )2 9' cos 2 1,
4x y y y = + =
-
51
c) ( )2' , 1 0,5.xy y y y+ = = 3. Rijeitidiferencijalnujednainu 2 42 1 0xy y x y y + + = pomousmjene ( ), .zy z z x
x= =
4. Rijeitidiferencijalnujednainu2
2
1 smjenom .2 2yy xy z
x + = =
3.Homogenediferencijalnejednaine
Homogenediferencijalnejednainesuoblikady yfdx x
= .Uvodisesmjena
y u y xu y u x ux
= = = + .
Nakonuvrtavanjaupolaznujednainudobijasediferencijalnajednainakojarazdvajapromjenjive:
( ) ( ) ( ) .du dxu x u f u u x f u u
f u u x + = = =
Primjeri5:
1. Rijeitidiferencijalnujednainu: ( ) ( ) 0.x y dx x y dy + + =
Rjeenje: ( ) ( )x y dy x y dx+ = ,padijeljenjemsa ( ) ,x y x y+ ,dobijamodaje1
' .1
ydy x y xy ydx x y
x
= = + +
Uzeemosmjenu ' ' ,yu y u x ux
= = + paslijedi 1' .1
uu x uu
++ = Daljesejednainalahkodovededooblika
( )2 22 21 1 1 1 1 1' ' ln 1 ln ,1 1 1 2u u uu x u du dx u arctgu x Cu u x u x + += = = + + = ++ + + odnosnonakonsreivanja 2ln 1x u C arctgu+ = .Nakrajuumjestouuopemrjeenjuuvrstiemoyxidobijaseoperjeenje: 2 2ln .yx y C arctg
x+ =
2. Rijeitidiferencijalnujednainu: ' .yxxy y xe=
-
52
Rjeenje:Dijeljenjemsa , 0,x x dobijemohomogenujednainu 'yxyy e
x= .Nakonuvoenjasmjene
' ' ,yu y u x ux
= = + dobijamo ' ,uu x u u e+ = odnosno ' 1 .uu x=
Poslijemnoenjasadxiintegriranjaslijedi
( ) ( )ln ln ln ln ln ln ln .u ue x C e Cx u Cx y x Cx = = = =
3. NaikrivekodkojihjeodsjeaktangenteMTodtakedodiraMdopresjekaTsaxosomjednakodsjekuOTnaxosi.
Rjeenje:ImamodajejednainatangenteMTdatasa: ( )' .Y y y X x = Akoovdjeuvrstimodaje 0Y = dobijamodaje .
'yX xy
= Dakle ,0 .'
yT xy
Zatoje2
2 .'
yMT y x xy
= + Potoje
,'
yOT xy
= iz MT OT= slijedinakonkvadriranja
( ) ( )2 2
2 2 2 22 2 22 2
22 22 ' .' '' ' 1
yy y y xy xy xx x y x y yy y x yy y y
x
+ = + = = =
Uzmimosmjenu ' ' .yu y u x ux
= = + Tadaje3
2 2
2' '1 1
u u uu x u u xu u
++ = = .Razdvajanjem
promjenljivihdobiemo: ( )2
2
1 1 .1
u du dxxu u
=+
Potoje ( ) ( )2
222
1 1 2 ln ln 1 ,11
u udu du du u u Cu uu u
= = + +++ slijedi
( )2 222 22
ln ln .1 1 1
yu u xCx Cx Cx y C x y
yu ux
= = = = ++ + +
Otudatraenekrivesukrunicesacentromnayosikojeprolazekrozkoordinatnipoetak.
Zadaci
1. ( )3 2 22 ' 2x y y x y=
-
53
2. ( )' ln x yxy y x yx+ = +
3. 2 2' .xy y x y= +
4. ( )2 2 4 2 2 4.x y x y x y y = 5.
( )2 23
3'
2y y x
yx+= akoje ( )1 1y = .
6. Rijeitidiferencijalnujednainu 4 4 62 4x yy y x + = smjenom ( )32 , .y z z z x= =
7. 2.y xyx yy
=+
4.Diferencijalnejednainekojesesvodenahomogene
Diferencijalna jednainaoblika 1 1 1
2 2 2
a x b y cy fa x b y c
+ + = + + se svodinahomogenudiferencijalnu jednainu.
Razlikujemosljedeesluajeve:
1 1 2 0c c= =
1 11 1
2 22 2
ya ba x b y xy f f ya x b y a bx
+ + = = + + .Ovojehomogenajednaina.
2 1 1 1 11 2 2 1 1 2 2 12 2 2 2
0 0a b a ba b a b a b a b ka b a b
= = = = = = 1 21 2
a kab kb= =
.
Zamjenimoupolaznujednainu: 2 2 1 1
2 2 2 2
( )k a x b y c kt cy f fa x b y c t c
+ + + = = + + + ,uzmemosmjenu 2 2a x b y t+ =
,odakleslijedi 22 22
t aa b y t yb + = = .
-
54
Tadadobijamojednainu 2 1
2 2
t a kt cfb t c
+= + ,atojediferencijalnajednainakojarazdvajapromjenjive.
3 1 1
2 2
0a ba b
=
Tadauvodimosmjenu: x u = + , y v = + ,gdjesuu,vnovepromjenjive,aineodreenekonstante.dx du dy dvdy dv dx du
= == ,pasedobijajednainaponepoznatojfunkciji ( )v v u=
( ) ( )( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
a u b v cdv a u b v a b cf fdu a u b v c a u b v a b c
+ + + + + + + += = + + + + + + + +
Dabiovobilahomogenajednainamorabitiprema1
1 1 1
2 2 2
00
a b ca b c + + =+ + = .
Ovajsistemimajedinstvenorjeenje,jerje 1 1
2 2
0a ba b
= .
Primjeri6:
1. Rijeitidiferencijalnujednainu ( ) ( )2 1 4 2 3 0.x y dx x y dy+ + + =
Rjeenje: ( ) ( ) 2 12 1 4 2 3 .4 2 3
dy x yx y dx x y dydx x y
+ ++ + = + = + Potoje2 1
4 4 0,4 2
= = = moe
seodabratismjenafunkcije.Zaista, ( )2 1' ,
2 2 3x yyx y+ = + paemouzetismjenu 2 ' ' 2.x y z y z+ = =
Tadaje1 5 7 2 3 2 3' 2 ' ' 1 .
2 3 2 3 5 7 5 7z z z zz z z dz dxz z z z = = = =
Potoje2 3 1 1 1 12 2 ln 5 75 7 5 5 7 5 5
z dz dz z z Cz z = = + ,slijedi
2 1 4 2 1ln 5 7 ln 5 10 7 5 10 ln 5 10 7 .5 25 5 25z x yz x C x y x C x y x y C+ = + + = + + + =
2. Rijeitidiferencijalnujednainu2 4 6' .
3x yyx y
+ = +
-
55
Rjeenje:Potoje2 4
2 4 6 0,1 1
= = = uzeemosmjenefunkcijeiargumenta,( ), , , a ix u y v v v u = + = + = supogodnoizabranekonstante.Tadaje ' 'u xv y= paslijedi:
( )( )
2 4 2 4 6' .
3u v
vu v
+ + + = + + +
Ovajednainamoebitihomogenaakoje 2 4 6 0 i 3 0, + = + = odaklesedobijedaje1, 2. = = Dakle,uzimajusesmjene 1, 2,x u y v= + = + tj. 1,u x= 2.v y= Datajednainase
svodina2 4' .u vvu v
+= + Akoposljednjirazlomakskratimosau,dolazimodohomogenejednaine
2 4' .
1
vuv v
u
+=
+
Sadanapravimojojednusmjenufunkcije ( ), ' ',v z z z u v zu v z uzu= = = = + pasedobije
( )( )2
2
2 4 3 2 1 1 1 1' ' ' .1 1 3 2 1 2
z z z z zz uz uz z dz duz z z z u z z u
+ + + ++ = = = = + + +
Pritomepretpostavljamodaje 1 i 2.z z Imajuiuvidudaje ( )( )1 2 31 2 1 2
z dz dzz z z z
+ = + ,dolazimodorjeenjapoz:
( )( )
( )( )
3 3
2 2
2 22ln 1 3ln 2 ln ln ln ln .
1 1z zC Cz z u C
u uz z + = + = =
Uvrstimosad :vzu
= ( )( ) ( ) ( )3
33 2
2 2
2 22 .
1
vv uC Cu v u C v u
u uu v uvu
= = =
Najzad,uvrtavamouovorjeenjedaje 1,u x= 2.v y= Slijedi:
( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 22 2 1 2 1 2 1 .y x C y x y x C y x = = Akoje 1z = slijedi 1 2 1 1.v v u y x y x
u= = = = +
Akoje 2z = slijedi ( )2 2 2 1 2 .v u y x y x= = = Direktnoseprovjeravadasuovedvijefunkcijerjeenjadatejednaine.Meutim,funkcija 2y x= semoedobitiizopegrjeenja,dokfunkcija 1y x= + nemoe.Zatoje 1y x= + singularnorjeenje.
-
56
Zadaci
1. ( )1 2 ' 0x y y x y + + = 2. ( ) ( )2 4 2 5 0x y dy x y dx + + + = 3. ( ) ( )2 2 5 0.y x dx y x dy = 4. ( ) ( )3 16 3 8 0.x y dx x y dy+ + + = 5. ( ) ( )3 7 7 3 7 3y x dx x y dy + = 6. ( ) ( )2 1 3 0.x y dx x y dy+ + + + = 7. ( ) ( )2 4 6 3 0.x y dx x y dy + + + =
5.Egzatktnadiferencijalnajednaina
Definicija1:Akoje ( ),u u x y= diferencijabilnafunkcijanezavisnihpromjenljivihxiy,tadajeu udu dx dyx y = + totalni(potpuni)diferencijalfunkcijeu.
Teorem 1: Neka su ( ),P x y i ( ),Q x y funkcije dvije nezavisne promjenljive, koje su definisane ineprekidneunekojoblasti \2D inekautojoblastiimajuneprekidneparcijalneizvode i .P Q
y x Dabi
izraz ( ) ( ), ,P x y dx Q x y dy+ bio totalnidiferencijalneke funkcije ( ), ,u x y potrebno je idovoljnodauoblastiD bude
(4) .P Qy x =
Dokaz:Najprijedokazujemoda jeuslovpotreban.Pretpostavimodapostojifunkcija ( ), ,u x y takvada je( ) ( ), , .u udu dx dy P x y dx Q x y dy
x y = + = +
Oitojeonda ( ) ( ), i , .u uP x y Q x yx y = =
Tadaslijedi( ) ( )2 2, ,i .P x y Q x yu u
x y y y x x = =
Zbogneprekidnostiparcijalnihizvoda,mjeovitiparcijalniizvodidrugogredafunkcijeusujednaki.Otudaje
.P Qy x =
-
57
Dokaimosadadajeuslov(4)dovoljan.Odrediemotadafunkciju ( ),u x y zakojuje( ) ( ), , .du P x y dx Q x y dy= + Oitoje ( , ) i ( , ).u uP x y Q x y
x y = = Zatoje
( ) ( ) ( ), , ,u x y P x y dx y= + gdjeje ( )y funkcijakojazavisisamoody.Slijedi:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,u P x y dx y Q x y y Q x y P x y dx
y y y = + = = paje
( ) ( , ) ( , ) , .y Q x y P x y dx dy C C consty
= + =
Najzad, ( ) ( ), , ( , ) ( , ) , .u x y P x y dx Q x y P x y dx dy C C consty
= + + = Teoremjedokazan.
Definicija 2: Diferencijalna jednaina ( ) ( ), , 0P x y dx Q x y dy+ = zove se egzaktnom ili jednainomtotalnogdiferencijala,akojenjenalijevastranatotalnidiferencijalnekefunkcije ( ), .u x y
Rjeavanje egzaktne diferencijalne jednaine zasniva se na nalaenju funkcije u. Ta jednaina je onda
ekvivalentnasajednainom 0 .du u c= = Naravno,najprijetrebaprovjeritidajezadovoljenuslov(4).
Primjer7:Rijeitidiferencijalnujednainu ( )2 22 0.xydx x y dy+ = Rjeenje: ( ) ( ) 2 2, 2 , 2 .P QP x y xy Q x y x y x
y x = = = =
Potraimosadafunkciju ( ),u u x y= takvuda je 2 22 .u uxy x yx y = = Izprvogodovadvauslovaje
( ) ( )2 22 .uu xydx x y y x yy
= = + = + Dakle,
( ) ( ) ( ) 32 2 2 2 .3yx y x y y y y k + = = =
Zakljuujemodaje3
2 , .3yu x y k k= + \ Opterjeenjejednaineglasi:
32 .
3yx y c =
-
58
Primjer 8: Jednaina ,ax by cybx fy g
+ = + + pri emu su , , , ,a b c f g\ je egzaktna. Naime, ona je
ekvivalentnasa ( ) ( ) 0,by ax c dx bx fy g dx + + + = zakojuje .P Q by x = =
Primjer9:Akosu ( )f x i ( )g y proizvoljnefunkcije,diferencijalnajednaina ( )( )f x y
yx g y
= + jeegzaktna.
Zadaci
1. Pokazati da je diferencijalna jednaina ( )2ln 5 sin 5 2 cos5 0xy y x dx y x dyy + + = jednainatotalnogdiferencijalainaipartikularnorjeenjetejednainetakodaje ( )0y e= .
2. Dokazatidajediferencijalnajednainaegzaktna,pazatimrijeititujednainu.a) ( ) ( )2 0.y ye x dx xe y dy+ + = b) ( ) ( )2 2 0.x y dx x y dy+ + = c) ( ) ( ) ( ) ( )sin cos .mdx ndy mx ny ndx mdy nx my+ + = + + d) 2 22 2
.1xdx ydy xdy ydx
x yx y+ = ++ +
3. Dokazati da se diferencijalna jednaina2 2 2
2 2
y x x yy
xy x y x = + smjenom
yux
= svodi nadiferencijalnujednainutotalnogdiferencijala,pazatimrijeititujednainu.
-
59
6.Integracionimnoilac
Pretpostavimo da diferencijalna jednaina ( ) ( ), , 0P x y dx Q x y dy+ = nije egzaktna. To znai da je.P Q
y x Postavljasepitanjemoemolitujednainupopraviti,tj.transformisatijeunjojekvivalentnujednainu(kojaimaistarjeenjakaopolazna),takodaonapostaneegzaktna.
Primjer10:Zadiferencijalnujednainu ( )2 23 2 0x y dx xydy + = je 6 2 .P Qy yy x = = Znai,onanijeegzaktna.Aliakojepodijelimosa 4 ,x dobijemo:
2
2 4 3
1 3 2 0,y ydx dyx x x
+ = kojajeegzaktna,jer
2
2 4 4
1 3 6 ,y P yPx x y x
= = 3 4
3 4
2 62 6 .y Q y PQ yx yxx x x y
= = = = =
Uoptemsluaju,traimofunkciju ( ),x y = kojuzovemointegracionimnoilactakodajejednaina( ) ( ) ( ) ( ), , , , 0x y P x y dx x y Q x y dy + = egzaktna.SobziromnaTeorem1,toznaidaje( ) ( ) .P Q
y x = Koristeipravilozaizvodproizvoda,dobiemo:
P QP Qy y x x
+ = +
(5) .P Q Q Py x x y
=
Integracionimnoilactraiemoudvaspecijalnasluaja,kadonzavisisamoodxilisamoody.
01 Pretpostavimodaje ( ).x = Tadaje 0y = i .
dx dx = Tadaiz(5)slijedi
(6) .
P Qd y x dx
Q
=
Ukolikojerazlomaknadesnojstraniu(6)funkcijakojazavisisamoodx,jednaina(6)jesarazdvojenimpromjenljivimimoemobezproblemadoidomnoioca .
-
60
02 Pretpostavimodaje ( ).y = Tadaje 0x = i .
dy dy = Tadaiz(5)slijedi
(7) .
P Qd y x dy
P
=
Ukolikojerazlomaknadesnojstraniu(6)funkcijakojazavisisamoody,jednaina(6)jesarazdvojenimpromjenljivimimoemoopetbezproblemadoidomnoioca .
Primjer11: ( )2 23 2 0 8 .P Qx y dx xydy yy x + = = Jednaina(6)tadaglasi:48 4 4 ln 4ln ln ,
2d y d d dxdx dx x x
xy x x
= = = = = paje 4 41 .x x = =
Zadaci
Rijeitidiferencijalnujednainuakoseznadasemoenaiintegracionimnoilackojizavisisamoodjednevarijable.
1. ( ) ( )2 2 2 0.y x y dx x y dy + + = 2. ( ) ( )2sin cos ln 0x y y dx x y x x dy+ + + = 3. ( )2 1 0y dx xy dy+ = 4.
3 4
2 2
2 ln3
xy x xyx y =
5. ( )32 2 22 0.3yxy x y dx x y dy + + + + =
-
61
7.Linearnadiferencijalnajednainaprvogreda
Nekasu ( ) ( )ip x q x neprekidnefunkcijenaintervalu ( ), .a b Jednainu( ) ( ) ( )8 y p x y q x + = zovemo linearnadiferencijalna jednainaprvog reda.Ako je ( ) 0q x = za sve ( ), ,x a b kaemoda jejednaina(8)homogenalinearna,ausuprotnomnehomogenalinearnadiferencijalnajednainaprvogreda.Postojinekolikonainazarjeavanjeovejednaine.
Imetodavarijacijekonstante(Lagran)*
*JosephLouisLagrange(1736.1813.)francuskimatematiar
Rijeimo najprije homogenu jednainu koja odgovara jednaini (8), tj. ( ) 0.y p x y + = Ova jednainadoputarazdvajanjepromjenljivih,jerjeekvivalentnasa
( )( ) ln ( ) ln .
p x dxy p x y p x dx C y C ey
= = + = Akouoptem rjeenjuhomogene jednainepretpostavimodaCnijekonstanta,negoneka funkcijakojazavisi od x, moemo potraiti opte rjeenje jednaine (8) u tom obliku, tj.
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ,p x dx p x dx p x dxy C x e y C x e C x p x e = = pauvrtavanjemu(8)slijedi:( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )p x dx p x dx p x dxC x e C x p x e p x C x e q x + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) .p x dx p x dx p x dxC x e q x C x q x e C x q x e dx = = = Zakljuujemo da je opte
rjeenjejednaine(8)datoformulom:
( )( ) ( )(9) .p x dx p x dxy e c q x e dx = + IImetodanepoznatihfunkcija(metodazamjene)
Rjeenje jednaine (8) traiemo u obliku proizvoda dvije nepoznate funkcije ( )u u x= i ( ) ,v v x= tj.( ) .y uv y u v uv u v uv uvp q u v u v vp q = = + + + = + + =
Imamopravoodabratiproizvoljnojedanuslovkojiseodnosinanepoznatefunkcijeuiv,paseodabereda
je 0 ,pdxv vp v e + = = a nakon toga dobijemo funkciju u iz jednaine
,pdx pdxu e q u e qdx c = = + teuvrtavajuiuformulu ,y uv= dobijemoopetformulu(9).
-
62
IIImetodaintegracionogfaktora(Ojler)
Jednaina(8)ekvivalentnajejednaini
( ) ( )8' ( ) ( ) 0.p x y q x dx dy + = Za ( ) ( ) ( )P x p x y q x= i ( ) 1,Q x = imamo da je ( ), 0,P Qp x
y x = = to znai da (8') nije egzaktna
diferencijalnajednaina.Akopotraimointegracionifaktorovejednaineuobliku ( ) ,x = izjednaine(6)dobijemodaje
( )( ) ln ( ) .
p x dx
P Qd y x dx p x dx p x dx e
Q
= = = =
Mnoei(8)sa( )p x dxe slijedi: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .p x dx p x dx p x dx p x dx p x dxy e p x ye q x e ye q x e + = =
Odatlesedirektnodolaziponovodorjeenja(9).
IVmetoda
Linearnudiferencijalnujednainu(8)moemodirektnorjeavatipomouizvedeneformule(9).
Primjeri12:Rijeitidiferencijalnejednaine
1. 4' 2 2xy y x =
Rjeenje:Koristiemometoduvarijacijekonstanti.Najprijeemorijeitihomogenujednainu ' 2 0.xy y = Imamodajetada
2 2' 2 2' 2 ln 2ln ln ln ln ,y dyxy y dx y x C y Cx y Cxy x y x
= = = = + = = paemooperjeenjepolaznejednainetraitiuobliku ( ) 2.y C x x= Tadaje ( ) ( )2' ' 2y C x x xC x= + ,pauvrtavanjemupoetnujednainudobijemo
-
63
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 4 3 4 2' 2 2 2 ' 2 ' 2 ,x C x x xC x C x x x x C x x C x x C x x K + = = = = + pazakljuujemodajeoperjeenjedatejednaine ( )2 2 4 2.y x K x x Kx= + = +
2. ( ) 0xxy e dx xdy+ =
Rjeenje: ( ) ' ,x xx dy xy e exy e dx xdy y ydx x x++ = = = uzuslov 0.x Koristiemometodunepoznatihfunkcija.Operjeenjetraimouobliku ,y uv= gdjesuuivneodreenefunkcije.Tadaje ' ' ',y u v uv= + pauvrtavanjemujednainuslijedi
( ) ( )' ' ' ' ... *x xe eu v uv uv u v u v vx x
+ = + =
Izaberimovtakodaje ' 0.v v = Tadaje '' 1 ln .xv dvv v dx v x v ev v
= = = = =
Sadaiz ( )* slijedidaje 1' ' ln .xx eu e u u x Cx x
= = = + Zatoje ( )ln .xy e x C= + Akoje 0,x = tadajei 0,dx = pajepoetnajednainaoitozadovoljena.Prematome,datajednainaimasingularnorjeenje 0.x =
3. ( )2 ' 1ye x y =
Rjeenje:Oitoje1' ,
2 yy
e x= tonamjenepovoljnavarijanta.Noakoposmatramoxkaofunkcijuody,
imalibismodaje ' 2 ' 2y yx e x x x e= + = Radiemodaljepometodiintegracionogfaktora.Dakle,mnoeiposljednjujednainusa
( )p y dy dy ye e e= = ,dobiemo ( ) 2 2 22 2y y y y yxe e xe e dy e K = = = + odakleslijedi:( )2 .y y y yx e K e e Ke = + = +
Zadaci
1. ( )2 1 ' 4 2x y x y+ = + 2. ( )2 4lnx y dy ydx ydy+ = +
-
64
3. ( )1 ,1
nxnyy e xx
= ++ akoje1(1) 2 , .ny n+= `
4. ( )2sin ' 1y xctgy y+ = 5. ' tg
cos
xey yy
= 6. Pokazatidasamojednorjeenjediferencijalnejednaine ( )2 22 1xy x y x + = ostajeogranieno
kada x inaitorjeenje.7. Naikrivukojaimaosobinudadiosvakenjenenormaleizmeukoordinatnihosaimastalnuduinu
2.a
8.Bernulijeva*diferencijalnajednaina
Bernulijevadiferencijalnajednainaimaoblik
(10) ( ) ( ) , , 0, 1ny p x y q x y n n n + = \ gdjesu ( )p x i ( )q x poznatefunkcije,kojesudefinisaneineprekidnenanekomintervalu ( ), .a b Za 0n = i 1n = jednaina (10) svodi se na linearnu diferencijalnu jednainu. Oito je linearnadiferencijalnajednainaspecijalansluajBernulijeve.
Dijeljenjemjednainesa ny dobijamo
1
1( ) ( ), , 0, 1n ny p x q x n n ny y + = \ .
Smjenom1
11
1 ,nn z y zy
= = Bernulijevadiferencijalnajednainasemoesvestinalinearnujednainu:
(1 ) ( ) ( )1 1
nn
y z zz n y y p x z q xy n n
= = + = .
Bernulijevajednainasemoerijeitiidirektnometodomneodreenihfunkcija.
*JacobBernoul