)

Latihan:

NOMBOR KOMPLEKSNombor Kompleks ialah nombor yang berbentuk a + ib

di mana a dan b adalah nombor nyata terdiri drpd bahagian nyata (a) dan bahagian khayal (ib)

Secara amnya,

Contoh :1. = = = 3i2. = = = 5 i

PERLU INGAT !!!

i2 = -1(-1)nombor genap = 1(-1)nombor ganjil = -1

Contoh :a. i 8 = i 2 (4) = (-1) = 1

b. i 15 = i 2(7) i = (-1) 7 i = (-1) i = -i

c. 3i34 - i13

= 3i2(17) - i2(6) i = 3 (-1)17 - (-1)6 i = 3 (-1) – 1 i = -3 - i

d. –2i3 + 2 i18 - 3 i51

= -2 i2 i + 2 i2(9) - 3 i2(25) i = -2 (-1) i + 2 (-1) 9 - 3 (-1) 25 i = 2 i + 2 (-1) – 3 (-1) i= 2 i – 2 +3 i= 5 i – 2

CONTOH SOALAN :1. Ringkaskan kuasa bagi i yang berikut:

a. i7

1

)

b. i 12

c. i 20

d i 36

e. 7i 56 – i 3 6

f. 8i 59 + 5i 97

2. Permudahkan bentuk nombor-nombor berikut:a. c. b. d.

Penambahan & Penolakan Nombor Kompleks

Jika z = x + yi dan w = u + vi

Maka, z + w = ( x + yi ) + ( u + vi ) = ( x + u ) + ( yi + vi )

z – w = ( x + yi ) - ( u + vi ) = ( x - u ) + ( yi - vi )

CONTOH :

a) ( 3 + 4i ) + ( 5 + 6i )

= ( 3 + 5 ) + ( 4i + 6i)= 8 + 10i

b) ( 5 + 3i ) – ( 8 + 2i )

= ( 5 – 8 ) + ( 3i – 2i )= -3 + i

c) ( 7 + 5i ) + ( 2 – 3i )

= ( 7 + 2 ) + ( 5i + (–3i) )= ( 7 + 2 ) + ( 5i – 3i )= 9 + 2i

d) ( 4 – 2i ) – ( 2 – 3i ) = ( 4 – 2 ) + ( -2i – (-3i) )= ( 4 – 2 ) + ( -2i + 3i )= 2 + i

Pendaraban Nombor Kompleks

Jika z = a + bi dan w = p + qi

2

Nombor nayata tolak

nombor nyata

Nombor kompleks

tolaknombor

kompleks

Nombor nayata

tambahnombor nyata

Nombor kompleks tambahnombor

kompleks

Kembangkan

ungkapan

)

Maka, z + w = ( a + bi ) x ( p + qi ) = (a x p) + (a x qi) + (bi x p) + (bi x qi) = ap + aqi + pbi + bqi2

= ap + aqi + pbi + bq(-1)= ap + aqi + pbi – bq= (ap-bq) + (aq+pb)i

CONTOH :

a) Jika z = 3 + 4i dan w = 2 – 3i

maka zw = ( 3 + 4i ) ( 2 – 3i ) = ( 3 x 2 ) + ( 3 x (-3i) ) + ( 4i x 2 ) + ( 4i x (-3i) ) = 6 + (-9i) + 8i +( -12i2 ) = 6 + ( -i ) – 12(-1) = 6 – i +12 = 18 – i

b) Jika z = 4 + i dan w = 3 + 2i

maka zw = ( 4 + i ) ( 3 + 2i ) = ( 4 x 3 ) + ( 4 x 2i ) + ( i x 3 ) + ( i x 2i ) = 12 + 8i + 3i + 2i2 = 12 + 11i + 2(-1) = 12 + 11i - 2 = 10 + 11i

Pembahagian Nombor Kompleks

3

)

Bagi proses pembahagian, perlu gunakan konjugat supaya penyebut jadi nombor nyata

Contoh : 1.

2.

Kesamaan Nombor Kompleks

Katakan z = x + yi dan w = u + vi Jika z = w, x + yi = u + vi maka, x = u dan yi = vi

Contoh:

4

Saling memusn

ahkan

a2 + b2

Bahagian

khayalBahagi

an nyata

Jika z = a + bi dan w = a – bi

Maka, zw = ( a + bi ) ( a – bi ) = a2 – abi + abi – b2i2 = a2 – b2i2 = a2 – b2(-1) = a2 – (-b2) = a2 + b2

Oleh itu, w dikenali sbg konjugat kompleks bagi z

Jika z = a + bi, konjugat bagi z ialah z* = a – bi zz* = a2 + b2

Nombor nyata

)

Diberi 3 – 2i = ( p + qi )( 5 + i ). Carikan nilai p dan q.

( p + qi )( 5 + i ) = 5p + pi + 5qi + qi2

= 5p + pi + 5qi + q(-1) = 5p + pi + 5qi – q = ( 5p – q ) + ( p + 5q )i

MAKA, x = u dan y = v

3 = 5p – q q = 5p – 3 q = 5( -5q – 2 )- 3 q = -25q – 10 – 326q = -13

-2 = p + 5q p = -5q – 2

CONTOH SOALAN :

1. Ungkapkan yang berikut dalam bentuk a + ib a. 3 + b. 2 + c. 8 -

2. Ringkaskan setiap yang berikut: a. ( 3 + 4i) + ( 5 – 2i) b. ( 7 + 6i) – ( -4 – 3i)

3. Ungkapkan yang berikut dalam bentuk a + ib: a. b.

4. Dalam setiap kes berikut, cari nilai x dan y. a. x + iy = ( 3 + i )(2 – 3i) b. ( x + iy ) ( -2 + 7i ) = -11 – 4i

c. x + iy =

RAJAH ARGAND

5

y

x y

u v

x

)

MODULUS z

HUJAH z

CONTOH :Cari modulus dan hujah bagi setiap nombor kompleks berikut

CONTOH SOALAN :

Cari modulus dan hujah bagi setiap nombor kompleks berikut:a 1 – 3i b) 1 + 2i

6

a)

1 – iz = = Huj z = tan –1 (-1/1) = tan –1( -1) = - 45 = 360º - 45º

b)

–3 + 4i

z = = = 5Huj z = tan –1 (4/-3)

= -53 8 = 180º - 53 8 = 126 52’

x

paksi khayal

paksi nyata

P ( x, y )

P’ ( x, -y )

Mewakili nombor kompleksz = x + yi

r

Modulus z

Hujah z

r

x

y

x

y

r

tan –ve di

sukuan 2 & 4

Sudut Ө dr

asalan paksi-x

)

)c)

3 – 5i d) -5 + 12i

e)

-7 – 4i f) 6 + (-2i)

PENAMBAHAN dan PENOLAKAN RAJAH ARGAND

Langkah-langkah : 1. Buatkan penambahan atau penolakan kepada nombor kompleks dulu2. Dari hasil penambahan atau penolakan td, baru plotkan rajah argand. 3. Then tandakan hasil yg br td pd graf.

CONTOH :

Tunjukkan pada Rajah Argand, garis-garis yang mewakili nombor kompleks berikut kemudian dapatkan modulus dan hujah bagi setiap satunya:

Z1 = 2 + 4i Z2 = -3 + 2iZ3 = -5 – 3i Z4 = 3 - 5i

a) Z1 , Z2 , Z3 , Z4

b) Z1 + Z2= ( 2 + 4i) + ( -3 + 2i )= ( 2 + (-3) ) + ( 4i + 2i)= -1 + 6i

c) Z2 + Z3= ( -3 + 2i ) + ( -5 – 3i )= ( -3 + (-5) ) + ( 2i + (-3i) )= -8 - i

d) Z1 - Z3= ( 2 + 4i) - ( -5 – 3i) )= ( 2 - (-5) ) + ( 4i – (-3i) )= 7 + 7i

e) Z3 - Z4= ( -5 – 3i) – ( 3 - 5i )= ( -5 – 3 ) + ( -3i – (-5i) )= -8 + 2i

f) Z2 - Z3= ( -3 + 2i ) – ( -5 – 3i )= ( -3 – (-5) ) + ( 2i – ( -3i) )= 2 + 5i

g) Z2 - Z4 = ( -3 + 2i ) – ( 3 - 5i )= ( -3 – 3 ) + ( 2i – ( -5i) )= -6 + 7i

h) Z1 + Z4= ( 2 + 4i) + ( 3 - 5i )= ( 2 + 3 ) + ( 4i + (-5i) )= 5 - i

i) Z1 - Z2 = ( 2 + 4i) - ( -3 + 2i )= ( 2 - (-3) ) + ( 4i - 2i )= 5 + 2i

RAJAH ARGAND

7

)

MODULUS dan HUJAH

8

)

Soalan Modulus Hujah Rajah Argand

a) Z1 = 2 + 4i

z = = = 4.47

Huj z = tan –1 (4/2)= 63 26’

= 63 26’

Z2 = -3 + 2i

z = = = 3.61

Huj z = tan –1 (2/-3)= -33 41’

= 180º - 33 41’ = 146º 19’

Z3 = -5 – 3i

z = = = 5.83

Huj z = tan –1 (-3/-5)= 30 57’

= 180º + 30 57’ = 210º 57’

Z4 = 3 - 5i z = = = 5.83

Huj z = tan –1 (-5/3)= -59 2’

= 360º - 59 2’ = 300º 58’

b) -1 + 6i z = = = 6.08

Huj z = tan –1 (6/1)= 80 32’

c) -8 - i z = = = 8.06

Huj z = tan –1 (-1/-8)= 7 7’

= 180º + 7 7’ = 187º 7’

d) 7 + 7i z = = = 9.90

Huj z = tan –1 (7/7)= 45º

= 45º

9

x

y

x

y

x

y

x

x

y

x

y

x

)

e) -8 + 2i z = = = 8.25

Huj z = tan –1 (2/-8)= -14º 2’

= 180º - 14º 2’ = 165º 58’

f) 2 + 5i z = = = 5.39

Huj z = tan –1 (5/2)= 68º 11’

= 68º 11’

g) -6 + 7i z = = = 9.22

Huj z = tan –1 (7/-6)= -49º 23’

= 180º - 49º 23’ = 130º 37’

h) 5 - i z = = = 5.10

Huj z = tan –1 (-1/5)= -11º 18’

= 360º - 11º 18’ = 348º 42’

i) 5 + 2i z = = = 5.39

Huj z = tan –1 (2/5)= 21º 48’

= 21º 48’

Tunjukkan pada Rajah Argand, garis-garis yang mewakili nombor kompleks berikut kemudian dapatkan modulus dan hujah bagi setiap satunya:

Z1 = -3 + 5i Z2 = 5 - 3iZ3 = -2 – 2i Z4 = 6 + 3i

a) Z1 , Z2 , Z3 , Z4 b) Z1 + Z2c) Z2 + Z3 d) Z1 - Z3e) Z3 - Z4 f) Z2 - Z3g) Z2 - Z4 h) Z1 + Z4i) Z1 - Z2 j) Z1 - Z4

BENTUK-BENTUK NOMBOR KOMPLEKS

a) Bentuk Cartesian a + bi

10

paksi nyata

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

)

b) Bentuk Trigonometri |z| ( kos Ө + i sin Ө ) R ( kos Ө + i sin Ө )

c) Bentuk Kutub (Polar) |z| Ө R Ө

d) Bentuk Eksponen RejӨ (Ө dlm bacaan radian)

CONTOH :

1. Tukarkan nombor kompleks z = -5 + 2i ke dalam bentuk Trigonometri, Kutub dan Eksponen.

PENYELESAIAN :a)

Lakar rajah Argand untuk pastikan kedudukannya

b)

Modulus z R = z = = = 5.39

c)

Hujah z Huj z = ß = tan –1

= tan –1 = tan –1 ( -0.4) = 21.8 atau 0.38 radMaka Ө = 180º - 21.8º = 158.2º

d)

Bentuk kutub |z| Ө atau R Ө5.39 158.2º

e)

Bentuk eksponen RejӨ

=5.39ei0.38

f) Bentuk trigonometri |z| ( kos Ө + i sin Ө ) atau R ( kos Ө + i sin Ө )=5.39 ( kos 158.2º + i sin 158.2º )

2. Tukarkan nombor kompleks z = 2.5 ( kos 189 + i sin 189 ) ke dalam bentuk Cartesian, Kutub dan Eksponen

PENYELESAIAN :

11

y

xӨ

)

dapatkan nilai kos 189 dan sin 189 melalui kalkulator kos 189 = - 0.988 sin 189 = - 0.156

a)

Bentuk cartesian a + bi= 2.5 ( ( - 0.988 ) + i(- 0.156 ) )= - 2.47 - 0.39i

b)

Bentuk eksponen RejӨ

Ө = 0.157 rad=2.5ei0.157

c)

Bentuk kutub |z| Ө atau R Ө2.5 189º

CONTOH SOALAN :

1. Tukarkan nombor kompleks berikut ke dalam bentuk Cartesian, Kutub dan Eksponen.

a. z = 4 ( kos 54º + i sin 54º )b. z = 15 ( kos 200º + i sin 200º )c. z = 3.5 ( kos 175º + i sin 175º )d. z = 5 ( kos 250º + i sin 250º )

2. Tukarkan nombor kompleks berikut ke bentuk Trigonometri, Kutub dan Eksponen.a. 3 + 3ib. –5 + 2ic. –3 – 3id. 5 – 2i

TEOREM DE MOIVRE

( a + bi )n = |z|n ( kos n Ө + i sin n Ө )

12

Ө + 360kJika kuasanya ialah punca kuasa atau

kuasa pecahan

)

CONTOH :

1. Ungkapkan dalam dalam sebutan kos n dan sin n:a)

( kos - i sin )4 b)

= kos 4 - i sin 4 = ( kos 2 - i sin 2 )-1 = kos (-2) - i sin (-2)= - kos 2 - i sin 2

2. Dapatkan nilai bagia)

(8 – 5i )3

PENYELESAIAN :i) Modulus z R = z

ii) Hujah z Hujah z = 360 – tan –1 ( 5/8 ) = 360 – 32 = 328

iii) 8 – 5i = 9.43 ( kos 328 + i sin 328 )

iv)

Menggunakan Teorem De Moivre ( a + bi )n = |z|n ( kos n Ө + i sin n Ө )MAKA : ( 8 – 5i )3 = 9.43 3 kos 3(328) + i sin 3 (328) ]

= 838.56 ( kos 984 + i sin 984 ) = 838.56 kos ( 984 - 720 ) + i sin ( 984- 720 ) = 838.56 ( kos 264 + i sin 264 )

b) ( -5 + 2i )1/4

13

8 - 5i terletak di sukuan 4

hujah dibaca sebagai 360 -

984º lebih drpd 2 pusingan maka kena tolakkan 2 pusingan

penuh ( 2 x 360º)

)

PENYELESAIAN :i) Modulus z R = z

ii) Hujah z Hujah z = 180 – tan –1 ( -5/2 ) = 180 – 68 = 112

iii) -5 + 2i = 5.39 ( kos 112 + i sin 112 )

iv) Menggunakan Teorem De Moivre ( a + bi )n = |z|n ( kos n ( Ө + 360K ) + i sin n ( Ө + 360K ) )MAKA :

( -5 + 2i )1/4

= 5.391/4 kos (158.2+ 360k )/4 + i sin ( 158.2 + 360k)/4 = 1.52 kos (158.2+ 360k )/4 + i sin ( 158.2 + 360k)/4

Sekarang perlu selesaikan nilai k tersebut mulakan dengan nilai k = 0 sehingga jumlah (Ө + 360k) tidak melebihi 360º

Bagi k = 0

( -5 + 2i )1/4 = 1.52 (kos 39.6+ i sin 39.6)

Bagi k = 1

( -5 + 2i )1/4

= 1.52 kos (158.2+ 360 )/4 + i sin ( 158.2 + 360 )/4 = 1.52 ( kos 129.6 + i sin 129.6)

Bagi k = 2

( -5 + 2i )1/4 = 1.52 kos (158.2+ 720 )/4 + i sin ( 158.2 + 720)/4 = 1.52 ( kos 219.6 + i sin 219.6)

Bagi k = 3

( -5 + 2i )1/4 = 1.52 kos (158.2+ 1080 )/4 + i sin ( 158.2 + 1080)/4 = 1.52 ( kos 309.6 + i sin 309.6)

Bagi k = 4

( -5 + 2i )1/4 = 1.52 kos (158.2+1440 )/4 + i sin ( 158.2 + 1440)/4

14

-5 + 2i terletak di sukuan 2

hujah dibaca sebagai 180 -

)

= 1.52 ( kos 399.6 + i sin 399.6)

Bila k = 4, jawapan tidak diterima kerana hujah telah melebihi 360CONTOH SOALAN :

1. Dapatkan nilai bagi.a) ( 3 + 3i )½

b) ( –5 + 2i )3

c) ( –3 – 3i ) 1/4

d) ( 5 – 2i )5

15