)
Latihan:
NOMBOR KOMPLEKSNombor Kompleks ialah nombor yang berbentuk a + ib
di mana a dan b adalah nombor nyata terdiri drpd bahagian nyata (a) dan bahagian khayal (ib)
Secara amnya,
Contoh :1. = = = 3i2. = = = 5 i
PERLU INGAT !!!
i2 = -1(-1)nombor genap = 1(-1)nombor ganjil = -1
Contoh :a. i 8 = i 2 (4) = (-1) = 1
b. i 15 = i 2(7) i = (-1) 7 i = (-1) i = -i
c. 3i34 - i13
= 3i2(17) - i2(6) i = 3 (-1)17 - (-1)6 i = 3 (-1) – 1 i = -3 - i
d. –2i3 + 2 i18 - 3 i51
= -2 i2 i + 2 i2(9) - 3 i2(25) i = -2 (-1) i + 2 (-1) 9 - 3 (-1) 25 i = 2 i + 2 (-1) – 3 (-1) i= 2 i – 2 +3 i= 5 i – 2
CONTOH SOALAN :1. Ringkaskan kuasa bagi i yang berikut:
a. i7
1
)
b. i 12
c. i 20
d i 36
e. 7i 56 – i 3 6
f. 8i 59 + 5i 97
2. Permudahkan bentuk nombor-nombor berikut:a. c. b. d.
Penambahan & Penolakan Nombor Kompleks
Jika z = x + yi dan w = u + vi
Maka, z + w = ( x + yi ) + ( u + vi ) = ( x + u ) + ( yi + vi )
z – w = ( x + yi ) - ( u + vi ) = ( x - u ) + ( yi - vi )
CONTOH :
a) ( 3 + 4i ) + ( 5 + 6i )
= ( 3 + 5 ) + ( 4i + 6i)= 8 + 10i
b) ( 5 + 3i ) – ( 8 + 2i )
= ( 5 – 8 ) + ( 3i – 2i )= -3 + i
c) ( 7 + 5i ) + ( 2 – 3i )
= ( 7 + 2 ) + ( 5i + (–3i) )= ( 7 + 2 ) + ( 5i – 3i )= 9 + 2i
d) ( 4 – 2i ) – ( 2 – 3i ) = ( 4 – 2 ) + ( -2i – (-3i) )= ( 4 – 2 ) + ( -2i + 3i )= 2 + i
Pendaraban Nombor Kompleks
Jika z = a + bi dan w = p + qi
2
Nombor nayata tolak
nombor nyata
Nombor kompleks
tolaknombor
kompleks
Nombor nayata
tambahnombor nyata
Nombor kompleks tambahnombor
kompleks
Kembangkan
ungkapan
)
Maka, z + w = ( a + bi ) x ( p + qi ) = (a x p) + (a x qi) + (bi x p) + (bi x qi) = ap + aqi + pbi + bqi2
= ap + aqi + pbi + bq(-1)= ap + aqi + pbi – bq= (ap-bq) + (aq+pb)i
CONTOH :
a) Jika z = 3 + 4i dan w = 2 – 3i
maka zw = ( 3 + 4i ) ( 2 – 3i ) = ( 3 x 2 ) + ( 3 x (-3i) ) + ( 4i x 2 ) + ( 4i x (-3i) ) = 6 + (-9i) + 8i +( -12i2 ) = 6 + ( -i ) – 12(-1) = 6 – i +12 = 18 – i
b) Jika z = 4 + i dan w = 3 + 2i
maka zw = ( 4 + i ) ( 3 + 2i ) = ( 4 x 3 ) + ( 4 x 2i ) + ( i x 3 ) + ( i x 2i ) = 12 + 8i + 3i + 2i2 = 12 + 11i + 2(-1) = 12 + 11i - 2 = 10 + 11i
Pembahagian Nombor Kompleks
3
)
Bagi proses pembahagian, perlu gunakan konjugat supaya penyebut jadi nombor nyata
Contoh : 1.
2.
Kesamaan Nombor Kompleks
Katakan z = x + yi dan w = u + vi Jika z = w, x + yi = u + vi maka, x = u dan yi = vi
Contoh:
4
Saling memusn
ahkan
a2 + b2
Bahagian
khayalBahagi
an nyata
Jika z = a + bi dan w = a – bi
Maka, zw = ( a + bi ) ( a – bi ) = a2 – abi + abi – b2i2 = a2 – b2i2 = a2 – b2(-1) = a2 – (-b2) = a2 + b2
Oleh itu, w dikenali sbg konjugat kompleks bagi z
Jika z = a + bi, konjugat bagi z ialah z* = a – bi zz* = a2 + b2
Nombor nyata
)
Diberi 3 – 2i = ( p + qi )( 5 + i ). Carikan nilai p dan q.
( p + qi )( 5 + i ) = 5p + pi + 5qi + qi2
= 5p + pi + 5qi + q(-1) = 5p + pi + 5qi – q = ( 5p – q ) + ( p + 5q )i
MAKA, x = u dan y = v
3 = 5p – q q = 5p – 3 q = 5( -5q – 2 )- 3 q = -25q – 10 – 326q = -13
-2 = p + 5q p = -5q – 2
CONTOH SOALAN :
1. Ungkapkan yang berikut dalam bentuk a + ib a. 3 + b. 2 + c. 8 -
2. Ringkaskan setiap yang berikut: a. ( 3 + 4i) + ( 5 – 2i) b. ( 7 + 6i) – ( -4 – 3i)
3. Ungkapkan yang berikut dalam bentuk a + ib: a. b.
4. Dalam setiap kes berikut, cari nilai x dan y. a. x + iy = ( 3 + i )(2 – 3i) b. ( x + iy ) ( -2 + 7i ) = -11 – 4i
c. x + iy =
RAJAH ARGAND
5
y
x y
u v
x
)
MODULUS z
HUJAH z
CONTOH :Cari modulus dan hujah bagi setiap nombor kompleks berikut
CONTOH SOALAN :
Cari modulus dan hujah bagi setiap nombor kompleks berikut:a 1 – 3i b) 1 + 2i
6
a)
1 – iz = = Huj z = tan –1 (-1/1) = tan –1( -1) = - 45 = 360º - 45º
b)
–3 + 4i
z = = = 5Huj z = tan –1 (4/-3)
= -53 8 = 180º - 53 8 = 126 52’
x
paksi khayal
paksi nyata
P ( x, y )
P’ ( x, -y )
Mewakili nombor kompleksz = x + yi
r
Modulus z
Hujah z
r
x
y
x
y
r
tan –ve di
sukuan 2 & 4
Sudut Ө dr
asalan paksi-x
)
)c)
3 – 5i d) -5 + 12i
e)
-7 – 4i f) 6 + (-2i)
PENAMBAHAN dan PENOLAKAN RAJAH ARGAND
Langkah-langkah : 1. Buatkan penambahan atau penolakan kepada nombor kompleks dulu2. Dari hasil penambahan atau penolakan td, baru plotkan rajah argand. 3. Then tandakan hasil yg br td pd graf.
CONTOH :
Tunjukkan pada Rajah Argand, garis-garis yang mewakili nombor kompleks berikut kemudian dapatkan modulus dan hujah bagi setiap satunya:
Z1 = 2 + 4i Z2 = -3 + 2iZ3 = -5 – 3i Z4 = 3 - 5i
a) Z1 , Z2 , Z3 , Z4
b) Z1 + Z2= ( 2 + 4i) + ( -3 + 2i )= ( 2 + (-3) ) + ( 4i + 2i)= -1 + 6i
c) Z2 + Z3= ( -3 + 2i ) + ( -5 – 3i )= ( -3 + (-5) ) + ( 2i + (-3i) )= -8 - i
d) Z1 - Z3= ( 2 + 4i) - ( -5 – 3i) )= ( 2 - (-5) ) + ( 4i – (-3i) )= 7 + 7i
e) Z3 - Z4= ( -5 – 3i) – ( 3 - 5i )= ( -5 – 3 ) + ( -3i – (-5i) )= -8 + 2i
f) Z2 - Z3= ( -3 + 2i ) – ( -5 – 3i )= ( -3 – (-5) ) + ( 2i – ( -3i) )= 2 + 5i
g) Z2 - Z4 = ( -3 + 2i ) – ( 3 - 5i )= ( -3 – 3 ) + ( 2i – ( -5i) )= -6 + 7i
h) Z1 + Z4= ( 2 + 4i) + ( 3 - 5i )= ( 2 + 3 ) + ( 4i + (-5i) )= 5 - i
i) Z1 - Z2 = ( 2 + 4i) - ( -3 + 2i )= ( 2 - (-3) ) + ( 4i - 2i )= 5 + 2i
RAJAH ARGAND
7
)
MODULUS dan HUJAH
8
)
Soalan Modulus Hujah Rajah Argand
a) Z1 = 2 + 4i
z = = = 4.47
Huj z = tan –1 (4/2)= 63 26’
= 63 26’
Z2 = -3 + 2i
z = = = 3.61
Huj z = tan –1 (2/-3)= -33 41’
= 180º - 33 41’ = 146º 19’
Z3 = -5 – 3i
z = = = 5.83
Huj z = tan –1 (-3/-5)= 30 57’
= 180º + 30 57’ = 210º 57’
Z4 = 3 - 5i z = = = 5.83
Huj z = tan –1 (-5/3)= -59 2’
= 360º - 59 2’ = 300º 58’
b) -1 + 6i z = = = 6.08
Huj z = tan –1 (6/1)= 80 32’
c) -8 - i z = = = 8.06
Huj z = tan –1 (-1/-8)= 7 7’
= 180º + 7 7’ = 187º 7’
d) 7 + 7i z = = = 9.90
Huj z = tan –1 (7/7)= 45º
= 45º
9
x
y
x
y
x
y
x
x
y
x
y
x
)
e) -8 + 2i z = = = 8.25
Huj z = tan –1 (2/-8)= -14º 2’
= 180º - 14º 2’ = 165º 58’
f) 2 + 5i z = = = 5.39
Huj z = tan –1 (5/2)= 68º 11’
= 68º 11’
g) -6 + 7i z = = = 9.22
Huj z = tan –1 (7/-6)= -49º 23’
= 180º - 49º 23’ = 130º 37’
h) 5 - i z = = = 5.10
Huj z = tan –1 (-1/5)= -11º 18’
= 360º - 11º 18’ = 348º 42’
i) 5 + 2i z = = = 5.39
Huj z = tan –1 (2/5)= 21º 48’
= 21º 48’
Tunjukkan pada Rajah Argand, garis-garis yang mewakili nombor kompleks berikut kemudian dapatkan modulus dan hujah bagi setiap satunya:
Z1 = -3 + 5i Z2 = 5 - 3iZ3 = -2 – 2i Z4 = 6 + 3i
a) Z1 , Z2 , Z3 , Z4 b) Z1 + Z2c) Z2 + Z3 d) Z1 - Z3e) Z3 - Z4 f) Z2 - Z3g) Z2 - Z4 h) Z1 + Z4i) Z1 - Z2 j) Z1 - Z4
BENTUK-BENTUK NOMBOR KOMPLEKS
a) Bentuk Cartesian a + bi
10
paksi nyata
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
)
b) Bentuk Trigonometri |z| ( kos Ө + i sin Ө ) R ( kos Ө + i sin Ө )
c) Bentuk Kutub (Polar) |z| Ө R Ө
d) Bentuk Eksponen RejӨ (Ө dlm bacaan radian)
CONTOH :
1. Tukarkan nombor kompleks z = -5 + 2i ke dalam bentuk Trigonometri, Kutub dan Eksponen.
PENYELESAIAN :a)
Lakar rajah Argand untuk pastikan kedudukannya
b)
Modulus z R = z = = = 5.39
c)
Hujah z Huj z = ß = tan –1
= tan –1 = tan –1 ( -0.4) = 21.8 atau 0.38 radMaka Ө = 180º - 21.8º = 158.2º
d)
Bentuk kutub |z| Ө atau R Ө5.39 158.2º
e)
Bentuk eksponen RejӨ
=5.39ei0.38
f) Bentuk trigonometri |z| ( kos Ө + i sin Ө ) atau R ( kos Ө + i sin Ө )=5.39 ( kos 158.2º + i sin 158.2º )
2. Tukarkan nombor kompleks z = 2.5 ( kos 189 + i sin 189 ) ke dalam bentuk Cartesian, Kutub dan Eksponen
PENYELESAIAN :
11
y
xӨ
)
dapatkan nilai kos 189 dan sin 189 melalui kalkulator kos 189 = - 0.988 sin 189 = - 0.156
a)
Bentuk cartesian a + bi= 2.5 ( ( - 0.988 ) + i(- 0.156 ) )= - 2.47 - 0.39i
b)
Bentuk eksponen RejӨ
Ө = 0.157 rad=2.5ei0.157
c)
Bentuk kutub |z| Ө atau R Ө2.5 189º
CONTOH SOALAN :
1. Tukarkan nombor kompleks berikut ke dalam bentuk Cartesian, Kutub dan Eksponen.
a. z = 4 ( kos 54º + i sin 54º )b. z = 15 ( kos 200º + i sin 200º )c. z = 3.5 ( kos 175º + i sin 175º )d. z = 5 ( kos 250º + i sin 250º )
2. Tukarkan nombor kompleks berikut ke bentuk Trigonometri, Kutub dan Eksponen.a. 3 + 3ib. –5 + 2ic. –3 – 3id. 5 – 2i
TEOREM DE MOIVRE
( a + bi )n = |z|n ( kos n Ө + i sin n Ө )
12
Ө + 360kJika kuasanya ialah punca kuasa atau
kuasa pecahan
)
CONTOH :
1. Ungkapkan dalam dalam sebutan kos n dan sin n:a)
( kos - i sin )4 b)
= kos 4 - i sin 4 = ( kos 2 - i sin 2 )-1 = kos (-2) - i sin (-2)= - kos 2 - i sin 2
2. Dapatkan nilai bagia)
(8 – 5i )3
PENYELESAIAN :i) Modulus z R = z
ii) Hujah z Hujah z = 360 – tan –1 ( 5/8 ) = 360 – 32 = 328
iii) 8 – 5i = 9.43 ( kos 328 + i sin 328 )
iv)
Menggunakan Teorem De Moivre ( a + bi )n = |z|n ( kos n Ө + i sin n Ө )MAKA : ( 8 – 5i )3 = 9.43 3 kos 3(328) + i sin 3 (328) ]
= 838.56 ( kos 984 + i sin 984 ) = 838.56 kos ( 984 - 720 ) + i sin ( 984- 720 ) = 838.56 ( kos 264 + i sin 264 )
b) ( -5 + 2i )1/4
13
8 - 5i terletak di sukuan 4
hujah dibaca sebagai 360 -
984º lebih drpd 2 pusingan maka kena tolakkan 2 pusingan
penuh ( 2 x 360º)
)
PENYELESAIAN :i) Modulus z R = z
ii) Hujah z Hujah z = 180 – tan –1 ( -5/2 ) = 180 – 68 = 112
iii) -5 + 2i = 5.39 ( kos 112 + i sin 112 )
iv) Menggunakan Teorem De Moivre ( a + bi )n = |z|n ( kos n ( Ө + 360K ) + i sin n ( Ө + 360K ) )MAKA :
( -5 + 2i )1/4
= 5.391/4 kos (158.2+ 360k )/4 + i sin ( 158.2 + 360k)/4 = 1.52 kos (158.2+ 360k )/4 + i sin ( 158.2 + 360k)/4
Sekarang perlu selesaikan nilai k tersebut mulakan dengan nilai k = 0 sehingga jumlah (Ө + 360k) tidak melebihi 360º
Bagi k = 0
( -5 + 2i )1/4 = 1.52 (kos 39.6+ i sin 39.6)
Bagi k = 1
( -5 + 2i )1/4
= 1.52 kos (158.2+ 360 )/4 + i sin ( 158.2 + 360 )/4 = 1.52 ( kos 129.6 + i sin 129.6)
Bagi k = 2
( -5 + 2i )1/4 = 1.52 kos (158.2+ 720 )/4 + i sin ( 158.2 + 720)/4 = 1.52 ( kos 219.6 + i sin 219.6)
Bagi k = 3
( -5 + 2i )1/4 = 1.52 kos (158.2+ 1080 )/4 + i sin ( 158.2 + 1080)/4 = 1.52 ( kos 309.6 + i sin 309.6)
Bagi k = 4
( -5 + 2i )1/4 = 1.52 kos (158.2+1440 )/4 + i sin ( 158.2 + 1440)/4
14
-5 + 2i terletak di sukuan 2
hujah dibaca sebagai 180 -
)
= 1.52 ( kos 399.6 + i sin 399.6)
Bila k = 4, jawapan tidak diterima kerana hujah telah melebihi 360CONTOH SOALAN :
1. Dapatkan nilai bagi.a) ( 3 + 3i )½
b) ( –5 + 2i )3
c) ( –3 – 3i ) 1/4
d) ( 5 – 2i )5
15