e-mail

: swi

dodo

@un

y.ac.i

d

41

BAB 4BAB 4BAB 4BAB 4

ANALISIS STRUKTUR BALOK

4.1. Kekakuan Balok (Beam)

Struktur beam merupakan suatu sistem struktur yang merupakan

gabungan dari sejumlah elemen (batang) yang lurus (a = 0) di mana pada

setiap titik simpulnya dianggap berperilaku sebagai jepit dan setiap

elemennya dapat menerima gaya berupa gaya aksial, geser dan momen

lentur. Pembahasan dalam bab ini hanya dipelajari struktur balok yang

tidak menerima pengaruh (beban) aksial.

Gambar 4.1. Struktur Beam

Sumbu X-Y adalah sistem koordinat global struktur, yang nantinya

diacu semua elemen. Sedangkan sumbu Z tegak lurus terhadap bidang

gambar (mengarah pembaca) mengikuti kaidah tangan kanan, sehingga

terbentuk sistem koordinat yang mengikuti right-handed rule. Sumbu x-y

merupakan sistem koordinat lokal elemen, yang hanya berlaku untuk satu

elemen tertentu saja, yang orientasinya disesuaikan dengan arah elemen

yang bersangkutan.

Setiap elemen balok selalu memiliki dua nodal (titik simpul) ujung.

Ujung awal elemen diberi notasi nodal i sedangkan ujung lainnya diberi

notasi j. Pusat sumbu lokal elemen adalah nodal i , dan arah sumbu x lokal

X

Y

e-mail

: swi

dodo

@un

y.ac.i

d

42

positif selalu dibuat dari nodal i ke nodal j dari elemen tersebut. Sumbu y

lokal dibuat tegak lurus sumbu x, sedangkan sumbu lokal arah z dibuat

searah dengan sumbu Z global dan tegak lurus terhadap bidang struktur

(bidang X-Y).

Orientasi elemen secara global dapat dikenali berdasarkan sudut α,

yang dibuat oleh sumbu x lokal dari elemen yang ditinjau dengan sumbu

X global dari struktur. Sudut α diberi tanda positif berdasarkan kaidah

tangan kanan (right-handed rule), yaitu diukur dari sumbu X global

berputar menuju sumbu x lokal dengan poros sumbu Z positif.

Selanjutnya karena semua elemen tersusun segaris (lurus), seperti terlihat

pada gambar 4.1, maka sudut transformasi (α) akan bernilai nol.

Hubungan antara aksi dan deformasi pada elemen balok secara

umum dapat diformulasikan dengan orientasi sumbu lokalnya sebagai

berikut :

Konvensi Arah Tanda Positif

Transalasi Melintang (satu satuan)

2

6

L

EImm ji ==

3

12

L

EIgg ji =−=

vi, gi vj, gj ui, fi

uj, fj

θi, mi θj, mj

e-mail

: swi

dodo

@un

y.ac.i

d

43

2

6

L

EImm ji −==

3

12

L

EIgg ji −=−=

Rotasi Akibat Lentur (satu satuan)

L

EImi

2= ;

L

EIm j

4=

2

6

L

EIgg ji =−=

L

EImi

4= ;

L

EIm j

2=

2

6

L

EIgg ji =−=

Gambar 4.2. Hubungan Aksi-Deformasi pada Elemen Beam

Persamaan hubungan antara aksi dan deformasi elemen balok dalam

sistem koordinat lokal yang diperoleh berdasarkan prinsip superposisi

dapat diuraikan sebagai berikut :

jjiiiL

EIv

L

EI

L

EIv

L

EIg θθ .

6.

12.

6.

12

2323

+

−+

+

=

jjiiiL

EIv

L

EI

L

EIv

L

EIm θθ .

2.

6.

4.

6

22

+

−+

+

=

jjiijL

EIv

L

EI

L

EIv

L

EIg θθ .

6.

12.

6.

12

2323

−+

+

−+

−=

e-mail

: swi

dodo

@un

y.ac.i

d

44

jjiijL

EIv

L

EI

L

EIv

L

EIm θθ .

4.

6.

2.

6

22

+

−+

+

= (4.1)

di mana :

x : sumbu batang

x, y : sistem koordinat lokal (elemen)

vi : displacement arah tegak lurus sumbu batang pada nodal i

θi : rotasi pada titik nodal i

gi : gaya tegak lurus sumbu batang pada titik nodal i yang

sesuai dengan vi

mi : momen lentur pada titik nodal i yang selaras dengan θi

Persamaan hubungan aksi-deformasi yang ditunjukkan Persamaan (4.1)

dapat dinyatakan dalam bentuk matrix :

−

−−−

−

−

=

j

j

i

i

j

j

i

i

v

v

LLLL

LL

LLLL

LL

L

EI

m

g

m

g

θ

θ.

4626

612612

2646

612612

22

22

3 (4.2)

sehingga diperoleh matrix kekakuan elemen lokal sebagai berikut :

[ ] .

4626

612612

2646

612612

22

22

3

−

−−−

−

−

=

LLLL

LL

LLLL

LL

L

EIki (4.3)

4.2. Beban Sepanjang Elemen balok (Element Loads)

Analisis struktur dengan metode matrix kekakuan mensyaratkan

bahwa beban yang bekerja harus berada tepat di titik simpul, sehingga

dapat disusun sistem persamaan kekakuan struktur. Dalam

kenyataannya, struktur balok maupun portal pada umumnya juga

menerima beban yang bekerja di sepanjang bentang elemen struktur

(element load). Agar dapat dibentuk persamaan kekakuan struktur, maka

e-mail

: swi

dodo

@un

y.ac.i

d

45

beban-beban yang berupa element load harus dipindahkan menjadi beban

setara yang bekerja di dua nodal dalam elemen yang bersangkutan. Beban

setara pada dua titik nodal akibat adanya beban yang bekerja di sepanjang

bentang elemen disebut sebagai equivalent joint load, di mana kasus yang

sering dijumpai berikut cara perhitungannya disajikan pada Tabel 4.1.

Apabila semua komponen equivalent joint load yang dibutuhkan

telah terhitung, maka sekarang semua beban telah terletak di titik nodal

dalam sistem struktur, selanjutnya dapat dibentuk sistem persamaan

kekakuan struktur total dalam orientasi sumbu global sebagai berikut :

{ } [ ]{ } { }0FDKF s −= (4.4)

di mana; { }0F : vektor beban berupa equivalent joint load.

{ } [ ] { }iT

i fTF 00 =

{ }F : vektor beban yang berupa nodal load.

[ ]sK : Matrix Kekakuan Struktur Total.

{ }D : vektor displacement sumbu global.

selanjutnya sistem persamaan kekakuan elemen struktur dalam orientasi

sumbu lokal dinyatakan dalam persamaan berikut :

{ } [ ]{ } { }iiii fdkf 0−= (4.5)

atau { } [ ][ ]{ } [ ]{ }iiiiii FTDKTf 0−=

di mana; { }if : gaya dalam elemen (sumbu lokal).

{ }if0 : vektor beban yang berupa equivalent joint load

(sumbu lokal).

[ ]ik : matrix kekakuan elemen lokal.

{ }id : vektor displacement elemen sumbu lokal.

[ ]iK : matrix kekakuan elemen global.

[ ]iD : vektor displacement elemen sumbu global.

[ ]iT : matrix transformasi elemen.

e-mail:

swido

do@uny

.ac.id

46

Tabel 4.1. Beban Titik Ekuivalen

No. f1y m1 Kasus Pembebanan f2y m2

1.

2

P−

8

PL−

2

P−

8

PL

2.

3

2 )2(

L

aLPb +−

2

2

L

Pab−

3

2 )2(

L

bLPa +−

2

2

L

bPa

3.

P−

( )PLαα −− 1

P−

( )PLαα −1

4.

2

.Lw−

12

2wL−

2

.Lw−

12

2wL

5.

20

7wL−

20

2wL−

20

3wL−

30

2wL

6.

4

wL−

96

5 2wL−

4

wL−

96

5 2wL

L/2 L/2

P

b a

P

P P

aL aL

w

L

L

w

L

w

e-mail

: swi

dodo

@un

y.ac.i

d

47

4.3. Contoh Penerapan

Contoh 4.1 : Suatu struktur balok kantilever sepanjang l = 10 ft seperti

ditunjukkan pada Gambar 4.3, menerima beban merata

searah gravitasi sebesar w = 1800 lb/ft di sepanjang batang.

Tentukan besarnya displacement ke arah X dan Y serta

besarnya gaya dalam pada masing-masing nodal, jika

diketahui nilai Elastisitas (E) = 3x107 psi dan inersia

tampang (I) = 200 in4.

Dalam kasus ini hanya terdapat satu elemen balok, sehingga matrix

kekakuan struktur global dapat disusun sebagai berikut :

[ ]

−

−−−

−

−

=

22

22

2211

3

4626

612612

2646

612612

LLLL

LL

LLLL

LL

DD

L

EIK

yy

s

θϑ

(4.6)

mengingat nodal 1 merupakan tumpuan jepit, maka kondisi batas

(boundary conditions) yang dapat diterapkan dalam kasus ini adalah :

D1X = 0 dan θi = 0

Y

X

w

l

2

wl

2

wl

12

2wl

12

2wl

e-mail

: swi

dodo

@un

y.ac.i

d

48

sehingga diperoleh sistem persamaan kekakuan struktur yang telah

direduksi dalam bentuk sebagai berikut :

{ } { } [ ]{ }DKFF s=+ 0

−

−=

+

2

223

0

2

2

2

46

612

θ

y

z

yy D

LL

L

L

EI

M

F

M

F (4.7)

di mana { }0F merupakan vektor equivalent joint load

Persamaan di atas dapat diselesaikan untuk memperoleh besaran D2X dan

θ2 sebagai berikut :

−

=

12

2

126

64.

12

12

23

22

2

wL

wL

L

LL

EI

L

L

D y

θ

atau;

−

=

12

2

63

32

62

2

2

2

wL

wL

L

LL

EI

LD y

θ (4.8)

sehingga diperoleh :

−

−

=

−

−

=

−

−

=

rad

inchi

xxx

x

xxx

x

EI

wL

EI

wLD y

0072,0

648,0

2001036

)1210)(12/1800(

2001038

)1210)(12/1800(

6

8

7

3

7

4

3

4

2

2

θ (4.9)

Gaya dalam pada setiap titik nodal dapat dihitung menurut persamaan

berikut :

{ } [ ]{ } { }0FDKF s −=

atau;

e-mail

: swi

dodo

@un

y.ac.i

d

49

02

2

1

1

3

4

22

22

2211

2

2

1

1

6

8

0

0

4626

612612

2646

612612

−

−

−

−

−−−

−

−

=

M

F

M

F

EI

wL

EI

wL

LLLL

LL

LLLL

LL

DD

L

EI

M

F

M

F

y

yyy

y

y

θϑ

(4.10)

=

=

−

−

−

−

−=

0

02

)1210()12/1800(

)1210()12/1800(

0

02

12

2

12

2

12

2

12

5

2

22

2

2

2

2

2

2

1

1xx

xx

wL

wL

wL

wL

wL

wL

wL

wL

wL

wL

M

F

M

F

y

y

(4.11)

=

0

0

.1080000

18000

2

2

1

1

inlb

lb

M

F

M

F

y

y

(4.12)

di mana F1y dan M1 merupakan reaksi pada tumpuan jepit di nodal 1.