persamaan diferesial
-
Upload
ayu-nareswari -
Category
Documents
-
view
145 -
download
5
description
Transcript of persamaan diferesial
PERSAMAAN DIFFERENSIAL (DIFFERENTIAL EQUATION)
Suatu persamaan dimana terdapat hubungan antara variabel bebas, variabel tak
bebas dan turunan-turunannya dinamakan persamaan differensial.
Contoh : 0...,.........,,,, 2
2
=
dx
yddxdyzyxf
0...,.........,,,,2
=
∂∂
∂∂∂
yxz
xzzyxg
Ada 2 jenis persamaan differensial :
- Persamaan differensial biasa → 02
2
=++ ydxdyxy
dxydx
- Persamaan differensial partial → 0 ∂ ∂
∂ ∂
∂ 222
2
2
=+++ yxyx
zxz
Pembahasan hanya dibatasi pada persamaan differensial biasa.
PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA.
Definisi :
- Turunan tertinggi di dalam suatu persamaan differensial (PD) disebut orde dari
persamaan differensial tersebut
3 ⇒ 03
3
2
2
ordealdifferensipersamaanydxdy
dxydy
dxydx =+++
- Pangkat tertinggi dari turunan tertinggi persamaan differensial disebut pangkat
dari persamaan differensial tersebut.
2 3 . ⇒062
3
33
2
2
pangkatordediffpersamaanydxdy
dxydy
dxydx =+
+
+
PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 PANGKAT 1
I. Persamaan differensial dengan variabel yang dapat dipisahkan
Bentuk Pers. Diff. )y,x(fdxdy
= → dipisahkan menjadi M(x) dx + N(y) dy=0
Dengan demikian variabel x dipisahkan dengan variabel y
Contoh :
1. oyx
dxdy
=+2
ydy + x2dx = 0
∫ ∫ 2 cdxxdyy =+
) (3312
21 umumJawabCxy =+
2. ex 0dyxydxy1 2 =+−
�𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 + �𝑦𝑑𝑦
�1 − 𝑦2= 𝐶
�𝑥𝑑(𝑒𝑥) − 12�
𝑑(1 − 𝑦2)�1 − 𝑦2
= 𝐶
𝑥𝑒𝑥 − �𝑒𝑥𝑑𝑥 − 12 2 �1 − 𝑦2 = 𝐶
𝑒𝑥(𝑥 − 1) −�1 − 𝑦2 = 𝐶
3. 𝑥2(𝑦2 + 1)𝑑𝑥 + 𝑦√𝑥3 + 1 𝑑𝑦 = 0
𝑥2(𝑦2 + 1)𝑑𝑥 = −𝑦√𝑥3 + 1 𝑑𝑦
�𝑥2𝑑𝑥
√𝑥3 + 1+ �
𝑦𝑑𝑦𝑦2 + 1
= 0
13�
𝑑(𝑥3 + 1)√𝑥3 + 1
+ 12�
𝑑(𝑦2 + 1)𝑦2 + 1
= 𝐶
23√𝑥3 + 1 + 12𝑙𝑛(𝑦2 + 1) = 𝐶
Soal-soal :
Carilah jawaban umum persamaan differensial berikut :
1. 𝑑𝑦𝑑𝑥
= sin2 𝑥sin𝑦
2. dxdyyxy
dxdyx 222 =−
3. xxdxdyy
dxdy 2sectanln +=
4. dyedxxy
y )1(arcsin1−=
II. Persamaan Differensial Homogen (PDH)
Definisi :
Suatu f(x, y) dikatakan homogen, bila mempunyai sifat f(λx, λy) = λn f(x, y)
Dimana λ = konstanta dan n = suatu bilangan
Contoh :
a) f(x, y) = )( ),( 44444 yxyxfyx +=→+ λλλ
= λ2 44 yx +
= λ2 f(x, y) → orde 2
b) f(x, y) = )xy(
)yx()y,x(fxy
yx2
22222
λ+λ
=λλ→+
= λo nolorde)y,x(fxy
yx o22
λ=
+
Persamaan differensial M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0, disebut Persamaan
Diferensial homogen bila berlaku M(x, y) dan N(x, y) adalah fungsi homogen
dengan orde yang sama.
Contoh :
a) (x2 + y2) dx + x3 dy = 0 → bukan PDH karena orde N(x, y) ≠ M(x, y)
b) (x2 + xy) dx + x2 dy = 0 → PDH dimana M(x, y) dan N(x, y) adalah
fungsi homogen orde 2
Bentuk persamaan differensial )y,x(Q)y,x(P
dxdy
= juga disebut persamaan diferensial
homogen bila terpenuhi fungsi homogen f(x, y) = )y,x(Q)y,x(P mempunyai orde nol.
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL HOMOGEN
Untuk penyelesaian persamaan differensial homogen maka dapat digunakan:
- permisalan y = ux dimana u = u(x) , sehingga didapat dy = x du + u dx
- permisalan x = vy dimana v = v(y) , sehingga didapat dx = y dv + v dy
Contoh :
Pecahkan persamaan differensial berikut :
1) (x2 + xy) dx + x2 dy = 0
Jawab :
M(x,y) = x2 + xy adalah fugsi homogen orde dua
N(x,y) = x2 adalah fungsi homogen orde dua juga, dengan demikian
persamaan differensial diatas adalah pers. diff. Homogen
Misal : y = ux → dy = x du + u dx
Sehingga : (x2 + ux2) dx + x2 (x du + u dx) = 0
(x2 + ux2 + ux2) dx + x3 du = 0
x2 (1 + 2u) dx + x3 du = 0
1213
2 Cdx udu
xx =+∫ ∫ +
ln x + 1)21(ln21 Cu =+
ln x (1 + 2u)1/2 = ln C
x (1 + 2u)1/2 = C
x Cxy21 =
+
(jawab umum)
2) Carilah jawab umum dari : 𝑑𝑦𝑑𝑥
= 3𝑦3−𝑥3
3𝑥𝑦2
Jawab:
f(x,y) = 3𝑦3−𝑥3
3𝑥𝑦2 adalah fungsi homogen orde nol, sehingga pers. diff.
diatas adalah pers diff homogen
misal : y = ux → dxdu
xudxdy
+=
𝑢 + 𝑥 𝑑𝑢𝑑𝑥
= 3𝑢3𝑥3−𝑥3
3𝑢2𝑥3
𝑢 + 𝑥 𝑑𝑢𝑑𝑥
= 3𝑢3−13𝑢2
𝑥 𝑑𝑢𝑑𝑥
= 3𝑢3−1−3𝑢3
3𝑢2
𝑥𝑑𝑢𝑑𝑥
=−13𝑢2
�𝑑𝑥𝑥
+ �3𝑢2𝑑𝑢 = 0
𝑙𝑛𝑥 + 𝑢3 = 𝐶
𝑙𝑛𝑥 + �𝑦𝑥�3
= 𝐶
𝑙𝑛 𝑥 + 𝑙𝑛 𝑒�𝑦𝑥�3
= 𝑙𝑛𝐶
𝑥𝑒�𝑦𝑥�3
= 𝐶
Pecahkan soal-soal berikut:
1. xxyy
dxdy
xyx −=
coscos
2. yxdxdyyx −=+ )(
3. x
yxydxdy 22 −−
=
4.
xyx
yxy
dxdy
ln+=
Rumus-rumus Differensial yang dapat dipergunakan untuk pemecahan persamaan
differensial
1. d(xy) = xdy + y dx
2. 2xdxydyx
xyd −
=
3. 2ydxydyx
yxd −
=
−
4. 221tan
yxdxydyx
xyd
+−
=
−
5. 22ln21
yxdxydyx
yxyxd
−−
=
−+
6. 2
22 2x
dxydyxyxyd −
=
7. 2222 )(ln
21
yxdxydxxyxd
++
=
+
Contoh soal :
1. xdy + ydx = 2 x2 y dx
dxx2yx
dxydyx=
+
∫ d {ln (xy)} =∫ 2x dx dengan demikian : ln (xy) = x2 + C
2. x2 (xdx + y dy) + y (x dy – y dx) = 0
Jawab :
x dx + y dy = )(21 22 yxd + dan x dy – y dx = x2 d (y/x)
Persamaan menjadi :
x2 . 21 d(x2 + y2) + yx2 d(y/x) = 0
Substitusi : x2 + y2 = r2 , y/x = tan θ, x = r cos θ , y = r sin θ
Sehingga didapat :
21 r2 Cos 2 θ 2dr + r3 Sin θ Cos2 θ .
θθ
2Cosd = 0
r3 Cos2 ϴ dr + r3 Sin θ dθ = 0
∫ dr + ∫ θθ
2CosSin dθ = C
r + θCos
1 = C
r + xr = C ⇒ r ( 1 +
x1 ) = C
Cx
xyx =
+
+122
(x2 + y2) (1 + x)2 = Cx2
Carilah Jawab dari Persamaan Differensial berikut :
1. (x + e-x Sin y) dx – (y + e-x cos y) dy = 0
2. x dy – y dx = 2 x3 dx
III. PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER
Bentuk umum : dxdy + P(x) y = Q(x) ………. ( 1 ) pers. Bernoulli
Cara pemecahan :
Misalkan : y = uv ………….............................. ( 2 )
dimana : u = u (x) dan v = v (x)
dengan demikian didapat:
dxdvu
dxduv
dxdy
+= …………................. ( 3 )
Dari (1), (2) dan (3) diperoleh :
)()( xQuvxPdxduv
dxdvu =++
)(.)( xQuxPdxduv
dxdvu =
++ ………… ( 4 )
Selanjutnya pilihlah u sedemikian rupa sehingga :
0)( =+ uxPdxdu ……………...................................... ( 5 )
∫ ∫−= dxxPudu )(
ln u = ∫ +− 1)( CdxxP
ambil C1 = 0, sehingga : u =𝑒−∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 .......................................( 6 )
dari (4) dan (5) didapat : u )x(Qdxdv
= …………….. ( 7 )
subsitusi pers (6) ke pers (7) didapat )()(
xQdxdve
dxxP=∫−
dv = dxe)x(Qdx)x(P
∫
v = ∫
∫ dxe)x(Q
dx)x(P
Dengan demikian y = uv dapat diselesaikan.
Contoh soal :
Selesaikan persamaan differensial berkut :
1. 2/5)1x(1x
y2dxdy
+=+
−
Jawab :
2/5)1x(y1x
2dxdy
+=+
−
2/5)1()( 1
2)( :dimana +=+
−= xxQdanx
xP
Misal : y = uv
dxduv
dxdvu
dxdy
+=
2/5)1(1
2+=
+
−+ xx
vdxdvu
dxduv
Pilihlah v sedemikian rupa sehingga :
01
2=
+−
xv
dxdv
∫ ∫ +=
12
xdx
vdv
ln v = 2 ln x + 1 + C1 → ambil C1 = 0
∴ v = (x + 1)2
v 2/5)1( += xdxdu
2/52 )1()1( +=+ xdxdux
du = (x + 1)1/2 dx
Cxu ++= 2/3)1(32
Maka : y = u v
[ ] 22/332 )1( )1( +++= xCxy
2.
yxedxdy x 2 : dari jawabTentukan
2
−= −
Jawab:
menjadian disederhak 22
yxedxdy x −= −
2
2 xexydxdy −=+
Misal : y = uv → dxdvu
dxduv
dxdy
+=
2
2 xeuxdxduv
dxdvu −=
++
Pilihlah u sedemikian rupa sehingga :
02 =+ xudxdu
dxxudu 2−=
ln u = - x2 + C1 → ambil C1=0
2xeu −=
222
maka xxx edxdvee
dxdvu −−− ==
dv = dx
v = x + C
2
)( umumnya jawab jadi xecxyuvy −+==
Soal-soal :
Pecahkan Persamaan Differensial berikut :
1. x
yxdxdy 22 +
=
3. 22 2)1( xxydxdyx =++
2. xyxdxdy coscos3 −=
4.
11
2 +−
=xy
dxdy
IV. PERSAMAAN DIFFERENSIAL NON LINIER YANG DAPAT
DIJADIKAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER
nyxQyxPdxdy )()( =+ ………………………………….………. ( 1 )
Disebut persamaan differensial non linier.
Pemecahan dilakukan dengan memisalkan : Z = y-n+1 ………..… ( 2 )
maka ,)1( karena .. nyndydz
dxdy
dydz
dxdz
dxdz
dzdy
dxdy −+−==⇒=
didapat : dxdyy)1n(
dxdz n−+−=
dxdzy
1n1
dxdy n
+−= …………………………. ( 3 )
Dari (1), (2) dan (3) maka diperoleh :
didapat sehinggadengan kalikan,)()(1
1 nnn yyxQyxPdxdzy
n−=+
+−
didapat sehingga 1dengan kalikan)()(1
1 1 )(-nxQyxPdxdz
nn +=+
+−+−
)()1()()1( 1 xQnyxPndxdz n +−=+−+ +−
)x(Q)1n(Z.)x(P)1n(dxdz
+−=+−+
⇒=+ )(.)( xWzxHdxdz persamaan differensial linier.
Dengan memisalkan uvz = maka persamaan differensial dapat diselesaikan.
Contoh soal :
1. ⇒=+→=+ 3
)(1
3 )( yxyxPdxdyxyy
dxdy
xQpersamaan differensial non linier
Misalkan z = y-n+1 sehingga z= y-3+1 atau z= y-2 , dengan demikian maka
xydxdz 22 2 −=− −
xzdxdz 22 −=−
Mis : z = uv ⇒ xuvdxduv
dxdvu 22 −=−+
xudxduv
dxdvu 22 −=
−+
Pilihlah u sedemikian rupa sehingga :
02 =− udxdu ⇒ dxu
du ∫∫ = 2
ln u = 2 x + C1 , ambil C1= 0 sehingga didapat
u = e2x
xdxdvex
dxdvu x 22 2 −=⇒−=
dv = -2x e-2x dx
v = ∫ x d e-2x
v = x e-2x + 21 e-2x + C
= e-2x (x + ½) + C
∴ Z = e2x [e-2x (x + ½) + C]
y-2 = x + 21 + C e2x
2. 256
11 xxydx
dyy
=+
→=
+⇒=+ 6262 )(1 yxy
xdxdyyx
xy
dxdy pers. differensial non linier
Dengan memisalkan : z = y-5 maka didapat :
→−=− 255 xxz
dxdz persamaan differensial linier
Persamaan differensial diselesaikan dengan mengambil z = uv
Soal-soal :
1. 02
2
=+−xy
xy
dxdy
2. xyydxdyx ln2=+
3. 2
2
2 x1yx
x1xy
dxdy
−=
−−
V. PERSAMAAN DIFFERENSIAL EXACT
Suatu persamaan differensial : N(x, y) dx + M (x, y) dy = 0, disebut persamaan
differensial exact bila mempunyai sifat bahwa :
xM
yN
∂∂
=∂∂
Misalkan F (x, y) = C merupakan jawaban persamaan differensial tersebut. maka
0≡∂∂
+∂∂
= dyyFdx
xFdF
bila ),( yxNxF
=∂∂
⇒ N (x, y) dx + M(x, y) dy = 0
),( yxMyF
=∂∂
xy
FyN
∂∂∂
=∂∂ 2
∴ x
MyN
∂∂
=∂∂
yx
Fx
M∂∂
∂=
∂∂ 2
Dari xF
∂∂ = N (x, y) didapat : F(x, y) = ∫ N(x, y) dx + g(y), sedangkan
),( yxM
yF
=∂∂
sehingga M(x, y) = [ ]∫ +
∂∂ )(),( ygdxyxNy
∴ g(y) = …………. ? (dapat dicari)
Contoh soal :
1. (x2 + xy) dx + (y2 + 21 x2) dy = 0
xyNyxNxyx =
∂∂
⇒=+ ),(2
Exact PDmerupakan jadi ,x
MyN
∂∂
=∂∂
xMyxMxy∂
∂⇒=+ ),(
21 22 = x
misal : F(x,y)=C adalah jawab persamaan differensial Exact tersebut
maka ),( yxNxF
=∂∂ F (x, y) = ∫ N (x, y) dx
= ∫ (x2 + xy) dx
sehingga F (x, y) = 31 x3 +
21 x2 y+ g(y)
222
21)(
21),( xyygxyxM
yF
+=′+⇒=∂∂
jadi : 132
31)( )( Cyygsehinggayyg +==′
Dengan demikian didapat : F(x, y) = 21
323
323CCyyxx
=+++
sehingga: tersebutPDE jawabmerupakan 31
21
31 323 Cyyxx =++
2. (2xey + ex) dx + (x2 + 1) ey dy = 0
Karena N (x, y) = 2 x ey + ex → yxeyN 2=
∂∂ dan
yy xex
MexyxM 2)1(),( 2 =∂
∂→+=
...
: jadi
EDP
xM
yN
∂∂
=∂∂
maka),( Karena yxNxF
=∂∂ F(x, y) = ∫ + )(),( ygdxyxN
= ∫ ++ )()2( ygdxeex xy
= x2 ey + ex + g(y)
yy exygexyxMyF )1()(),( sedangkan 22 +=′+⇒=
∂∂
𝑔′(𝑦) = 𝑒𝑦
𝑔 (𝑦) = 𝑒𝑦 + 𝐶1
Jadi : F(x, y) = x2 ey + ex + ey + C1 = C2
Dengan demikian maka : ex + (x2 + 1) ey = C jawab umumnya
Soal-soal :
1. (y2 + 2 xy + 1) dx + (2x y + x2) dy = 0
2. xCos
xyxdxdy sin2 +
=
3. 1( 2 ++ yx ) dx – (y - 0)12
=+
dyyxy
E
R1
R2 L
S1
2
R2
R1
Li(t)
4. (ex + ln y + 0sinln) =
+++ dyyx
yxdx
xy
5. 0)sinh2tan2(21
12
2
=+−+
−
+− dyyxxydxy
xy
6. 0sin=
−+ dx
xxydy
APLIKASI PERSAMAAN DIFFERENSIAL PADA RANGKAIAN LISTRIK
1.
pada t < 0, saklar s di 1
Pada t > 0, saklar s di 2
Tentukan i(t) pada t>0
Penyelesaian
Pada t > 0, rangkaian menjadi :
(R1 + R2) i(t) + L 0)(=
dttdi
)()()(21 tiRR
dttdiL +−=
dtL
RR)t(i)t(di 21 +
−=
Jadi : ∫ ∫+
−= dtL
RRidi 21
ln i = ktL
RR+
+
− 21
L
tRR
keti)21(
)(+−=
Dari rangkaian diatas untuk t = 0 maka didapat i(0) = 1R
E
i(t)
t
1RE
R2
R11
E C
2
R2
R1
Ci(t)
sedangkan dari perhitungan untuk t=0 maka didapat i(0) = k
dengan demikian LtRR
etik RE
RE
)21(
11)(didapat sehingga
+−==
Sehingga dapat digambarkan sebagai berikut :
2. Selesaikan rangkaian berikut :
Pada t < 0, saklar di 1
Pada t > 0, saklar di 2
Tentukan i(t) pada t > 0
Penyelesaian :
Pada t > 0, rangkaian menjadi :
(R1 + R2) i(t) + 0dtiC1
=∫
(R1 + R2) 0C
)t(idtdi
=+
sehingga : C)RR(
)t(idtdi
21 +−=
∫∫ +
−= dtCRRti
tdi)(
1)()(
21
ln i = kCRR
t+
+−
)( 21
CRR
t
ekti )21( )( +−=
Dari persamaan diatas didapat, pada t = 0 maka 𝑖(0) = 𝑘 , sedangkan dari
rangkaian pada t=0 didapat 𝑖(0) = 𝐸𝑅1+𝑅2
, sehingga 𝑘 = 𝐸𝑅1+𝑅2
jadi dengan
demikian akan diperoleh 𝑖(𝑡) = 𝐸𝑅1+𝑅2
𝑒− 𝑡
(𝑅1+𝑅2)𝐶
E
R1
R2
L
S
R2
Li(t)E
3.
Pada t < 0, saklar s dibuka
Pada t > 0, saklar s ditutup
Tentukan i(t) pada t > 0
Jawab :
Pada t > 0, rangkaian seperti terlihat disebelah :
sehingga didapat R2 i(t) + L Edtdi
=
LEti
LR
dttdi
=+ )()( :didapat demikian dengan 2
Misalkan : i = pq → dtdqp
dtdpq
dtdi
+=
LEpq
LR
dtdqp
dtdpq =++ 2
LEq
LR
dtdqp
dtdpq =
++ 2
Pilih q sedemikian rupa sehingga :
02 =+ qLR
dtdq
ktLRqdt
LR
qdq
+−=⇒−= 22 ln
t
LR
eq2−
=
LE
dtdpe
LE
dtdpq
tLR
==− 2
sehingga
∫ ∫= dteLEdp
tL
R2
22
2
. keRL
LEp
tL
R
+=
E
R1
R2
L
S
R2
R1 S
E
1
2
C
22
2
keREp
tL
R
+=
Dengan demikian didapat :
+=
−
22
22
)( keREeti
tL
RtL
R
t
LR
ekREti
2
22
)(−
+=
Untuk t = 0 ⇒ 21
)0(RR
Ei+
=
Jadi : 2221
kRE
RRE
+=+
−
+=
2212
11RRR
Ek
+−−
=)( 212
212
RRRRRRE
jadi : 221
12 )( RRR
REk+
−=
maka
+−=
− tL
R
eRR
RREti
2
21
1
2
1)(
TUGAS 1 (dikumpulkan minggu depan)
Carilah penyelesaian rangkaian berikut ini:
1.
pada t < 0, s ditutup
pada t > 0, s dibuka
Tentukan i( t ) pada t > 0
2.
pada t < 0, s di 1
pada t > 0, s di 2
Tentukan i( t ) pada t > 0
m F
X
-ky
Perhatikan gambar berikut, bagaimanakah persamaan diffrensial
penyelesaiannya ?
VI. PERSAMAAN DIFFERENSIAL DENGAN ORDE LEBIH DARI SATU
I. Bentuk : )()( xxxfdx
ydn
n
≡=
Penyelesaian dengan menurunkan ordenya.
Ambil : dxdp
dxydp
dxdy
2
2
=⇒=
2
2
3
3
dxpd
dxyd
=
1
1
−
−
= n
n
n
n
dxpd
dxyd
Bila : q = 2
2
dxpd
dxdq
dxdp
=⇒
∴ 2
2
1
1
−
−
−
−
= n
n
n
n
dxpd
dxqd ......... dst.
Contoh :
Selesaikan persamaan differensial : x3
3
exdx
yd=
Jawab :
misal : p = 2
2
dxyd
dxdp
dxdy
=⇒
3
3
2
2
dxyd
dxpd
=
x2
2x
3
3
exdx
pdexdx
yd=→=
ambil : q = 2
2
dxpd
dxdq
dxdp
=→
∴ xexdxdq
=
dq = x ex dx
q = x ex – ex + C1
Dengan demikian maka : 1Ceexdxdp xx +−=
dp = (x ex – ex + C1) dx
p = x ex – ex – ex + C1 x + C2
∫ ∫ ++−== dxCxCexysehinggapdxy x )})2{( 21
322
1)3( CxCxCex x +++−=
II. Bentuk : )()( ygyfdx
ydn
n
≡=
Misalkan : dydpp
dxdy
dydp
dxdpmaka
dxdyp === .
dydpp
dxyd2
2
=
dxdy
dydpp
dyd
dxyd3
3
=
= p 2
22
2
dypdp
dydp
+
demikian seterusnya
Contoh :
yadx
ydyadx
yd 22
22
2
2
0 :berikut PD Selesaikan 1. −=⇒=+
Penyelesaian :
Misalkan : p = dxdy
2
2
dxyd
dydpp
dxdy.
dydp
dxdp
===
∴ p yadydp 2−=
p dp + a2y dy = 0
1222 Cya
21p
21
=+
p2 + a2y2 = C2 → ambil C2 = c2
p2 = c2 – a2 y2
p = + 222 yac −
222 yacdxdy
−±= → ambil +
dx = 222 yac
dy−
x = ∫− 222 yacdy = 3sin1 C
cayarc
a+
∴ ax = arc sin
cay + C3
)(sin 4caxcay
+=
= sin ax cos c4 + cos ax sin c4
y = P cos ax + Q sin ax
Soal-soal:
Selesaikan persamaan differensial : 1. xexdx
yd −=3
3
0 2. 2
2
2
=− yadx
yd
PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER ORDE N
Persamaan umum : F 0dx
yd,.....,dx
yd,dxdy,y,x n
n
2
2
=
Bila variabel bebas dan turunan-turunannya mempunyai pangkat tertinggi sama
dengan 1, maka persamaan differensial ini disebut persamaan differensial linier.
Bentuk umum persamaan differensial linier orde-n :
(*) .................)()(.....)()( 011
1
1 xgyadxdyxa
dxydxa
dxydxa n
n
nn
n
n =++++ −
−
−
bila : g(x) = 0 ⇒ disebut persamaan differensial homogen
g(x) ≠ 0 ⇒ disebut persamaan differensial in-homogen
Sifat Persamaan Differensial Homogen
1. Jika y1 merupakan jawaban persamaan * dan y2 juga merupakan jawaban
persamaan *, maka y1+y2 juga merupakan jawaban persamaan *.
Bukti :
)()(.....)()(21
2111
211
121 yya
dxyyda
dxyyda
dxyyda on
n
nn
n
n +++
+++
++
−
−
−
++++
+++ −
−
−−
−
− 2o1n2
1n
1nn2
n
n1o1n1
1n
1nn1
n
n ya.....dx
ydadx
ydaya.....dx
ydadx
yda
2. Jika y1 merupakan jawaban persamaan *, maka cy1, juga merupakan jawaban
persamaan *.
Bukti :
=++++ −
−
− 1o1
11n1
1n
1nn1
n
n cyadx
dcya.....dx
)cy(dadx
)cy(da
0yadxdya.....
dxyda
dxydaC 1o
111n
11n
1nn1
n
n =
++++ −
−
−
3. Jika y1 dan y2 adalah jawaban persamaan *, maka y=c1y1+c2y2 juga
merupakan jawaban persamaan *.
Bukti : dari sifat 1 dan 2 dapat disimpulkan bahwa y=c1y1+ c2y2
merupakan juga persamaan *.
4. Suatu persamaan differensial orde n akan mempunyai n jawaban yang bebas
linier dan n jawaban yang linier. Bila y1, y2, y3, y4, ....., yn merupakan jawaban
persamaan * maka y = c1 y1 + c2 y2 + c3 y3 + ..... + cn yn juga merupakan
jawaban.
VII. PEMECAHAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL HOMOGEN
DENGAN MENGGUNAKAN OPERATOR D
Didefinisikan : D = dxd
Sehingga : D2 = 2
2
dxd
D3 = 3
3
dxd
Dn = n
n
dxd
Contoh :
D sin x = cos x D2 x2 = D . Dx2
Dx2 = 2 x = D.2x= 2
D3 cos x = - D2 sin x (Dx2) sin x = 2 x sin x
= - D cos x x2 D sin x = x2 cos x
= sin x ∴ Dx2 ≠ x2 D
Hitung : θ2 sin x bila θ sin x = x cos x
Jawab :
θ2 sin x = θ . θ sin x
= θ . x cos x
= )cos( xxdxdx
= x (cos x - x sin x)
= x cos x – x2 sin x
Dengan menggunakan operator D persamaan diferensial homogen dapat ditulils :
0..... 11
1
1 =++++ −
−
− yadxdya
dxyda
dxyda on
n
nn
n
n
an Dny + an-1 Dn-1 y + ..... + a1 Dy + ao y = 0
atau
(an Dn + an-1 Dn-1 + ..... + a1 D + ao) y = 0
Dapat ditulis pula sebagai:
Φ (D) y = 0
Sehingga persamaan differensial ln-homogen dapat ditulis : Φ (D) y = g(x)
SIFAT-SIFAT OPERATOR D
I. (Dr + Ds) u = (Ds + Dr) u ⇒ Hk. Komutatif
II. {Dr + (Ds + Dt)} u = {(Dr + Ds) + Dt} u ⇒ Hk. Asosiatip
III. (Dr . Ds) u = (Ds . Dr) u ⇒ Hk. Komutatif Perkalian
IV. Dr (Ds . Dt) u = (Dr Ds) . Dt u ⇒ Hk. Asosiatip
V. Dr (Ds + Dt) u = (Dr Ds + Dr Dt) u ⇒ Hk. Distributip
VI. (Dr Ds) u= Dr+s u ⇒ Rumus Pangkat
VII. Dr (cu) = c Dr u ⇒ Sifat Turunan
r, s, t = konstanta
SIFAT-SIFAT DARI φ (D)
I. φ (D) emx = φ (m) emx (m = konst)
Bukti : D emx = m emx
D2 emx = m2 emx
D3 emx = m3 emx
Dn emx = mn emx
Sedangkan :
φ(D) emx = (an Dn + an-1 Dn-1 + ..... + a1 D + ao) emx
= (an mn + an-1 mn-1 + ..... + a1 m + ao) emx
= φ (m) emx
(q e d)
Contoh :
a). (D2 – 2.D + 3) e2x = (22 – 2.2 + 3) e2x
= 3 e2x
b). (D3 – D2 – D + 6) e3x = (33 – 32 – 3 + 6) e3x
= (27 – 9 – 3 + 6) e3x
= 21 e3x
II. φ(D) (u.emx) = emx φ(D + m) u dimana u = f(x)
Bukti :
Du emx = emx Du + mu emx
= emx (D + m) u
D2 (emxu) = D[D (emx.u)]
= D[emx (D + m) u] misalkan (D+m)u = v
= D(emx v)
= emx (D + m)v
= emx (D + m) (D + m) u
= emx (D + m)2 u Jadi :
φ(D) (u. emx) = (an Dn + an-1 Dn-1 + ..... + a1.D + ao) (u emx)
= emx [an (D+m) n + an-1 (D+m)n-1 + ..... + a1 (D+m) + ao ]u
= emx φ (D + m) u
(q . e . d)
Contoh :
1. (D2 – D + 6) e2x . x2 = e2x {(D + 2)2 – (D + 2) + 6} x2
= e2x (D2 + 3 D + 8) x2
= e2x (2 + 6 x + 8 x2)
2. (D2 + 2 D-3) (tan x - x2 ) = D2 (tan x -
x2 ) +2D(tan x -
x2 ) – 3 (tan x -
x2 )
= D (sec2 x + 2
2x
) + 2 (sec2 x + 2
2x
) – 3 tan x + x6
= 2 tan x sec2 x - 3
4x
+ 2 sec2 x + 2
4x
- 3 tan x + x6
= 2 sec2 x + 2 sec2 x tan x - 3 tan x + 3
1x
(4 x + 6 x2 - 4)
Kerjakan Soal berikut : 1) (D2 + 2 D – 3) (e2x sin x + ex cos x+ e-3x x2)
2) (D2 – 3 D +2) ex (x2 – 3 sin x)
3) (3 D2 + D + 2) e2x (ln 2 x - 2
1x
)
PERSAMAAN KARAKTERISTIK
Telah diketahui bahwa bila φ(D)y=0 disebut persamaan differensial homogen
sedangkan bila φ(D) y = g(x) disebut persamaan differensial in homogen
Bila φ(D) = (D - m1) (D - m2) ..... (D - mn) = 0
Maka φ(m) = (m – m1) (m – m2) .... (m – mn) = 0,
sehingga :
m = m1, m = m2 ....., m = mn
Jadi bila φ(D) y = A (D – m1) (D – m2) ..... (D – mn) y = 0
sedang A = konstanta ≠ 0, maka akan berlaku : (D – m1) (D – m2) ..... (D – mn) y = 0 ........... ( 1 ) Misalkan: (D – m1) y1 = 0 memenuhi persamaan ini, maka
111
111 0 ym
dxdyym
dxdy
=→=−
xmydxmy
dy111
1
1 ln =→=
y1 = c1 em1x
Jelaskan bahwa y1 memenuhi φ(D)y = 0
Demikian pula jika (D – m2) y2 = 0 memenuhi persamaan (1)
Maka y2 = c2 em2x akan memenuhi φ(D) y = 0
Sehingga : Didapat jawaban umum dari φ(D) y = 0 adalah :
y = C1 em1x + C2 em2x + C3 em3x + ..... + Cn emnx
Contoh soal:
Tentukan jawaban umum dari :
1. (D – 1) (D + 2) (D – 3) (D + 1) y = 0
Jawab :
y = c1 ex + c2 e-2x + c3 e3x + c4 e-x
2. 0652
2
=++ ydxdy
dxyd
Jawab :
(D2 + 5D + 6) y = 0
(D + 3) (D + 2) y = 0
∴ y = c1 e-3x + c2 e-2x atau y = Ae-2x + Be-3x
3. 0)44(044 22
2
=++⇒=++ yDDydxdy
dxyd
(D + 2)2 y = 0
maka y = ce-2x bukan jawaban lengkapnya karena akar harus ada dua
jadi misalkan jawaban umumnya y = u(x) e-2x
Substitusi ke (D + 2)2 y = 0 didapat (D + 2)2 u(x) e-2x = 0
Dengan menggunakan sifat : φ(D) u emx = emx φ (D + m) u
Didapat : e-2x [D – 2 + 2]2 u(x) = 0 ⇒ e-2x D2u= 0
D2u = 0
Du = A
u = Ax + B
∴ y = (Ax + B) e-2x atau y = (c1x + c2) e-2x merupakan jawaban umumnya.
Secara umum dapat diperoleh :
Bila ∅(D) y = A (D – m1) (D – m2) ..... (D – ms)s ..... (D – mn) y = 0
Maka jawaban dari (D – ms)s ys = 0 adalah ys = u emsx
∴ (D – ms)s u emsx = emsx (D + ms – ms)s = 0
emsx Ds u = 0 ⇒ Dsu = 0
u = co + c1 x + c2 x2 + ..... + cs-1 xs-1
∴ Jawaban umumnya : ys = (co + c1 x + c2 x2 + ..... + cs-1 xs-1) ems x
Contoh :
1. (D – 1) (D + 2)3 (D – 3) (D + 1) y = 0
Jawab umumnya: xx
rangkapKarena
xx ececexcxccecy −− +++++= 63
5
3
224321 ) (
2. (D – 1)2 (D + 1)3 (D – 2)2 Dy = 0
Akan mempunyai jawaban umum :
y = (c1 + c2 x) ex + (c3 + c4 x + c5 x2) e-x + (c6 + c7x) e2x + C8
3. (D – 3)2 (D + 1)3 D5 y = 0
Akan mempunyai jawaban umum :
y = (c1 + c2 x) e3x + (c3 + c4 x+ c5 x2) e-x + c6 + c7 x + c8 x2 + c9 x3 + c10 x4
Bila persamaan karakteristik mempunyai akar kompleks :
m1 = α + i β atau m2 = α - i β, maka jawaban umum :
y = c1 em1x + c2 em2x
= c1 e(α+iβ)x + c2 e(α-iβ)x
= c1 eαx eiβx + c2 eαx e-iβx
= eαx (c1 eiβx + c2 e-iβx)
= eαx (c1 cos βx + i c1 sin βx + c2 cos βx – i c2 sin βx)
= eαx [(c1 + c2) cos βx + i(c1 – c2) sin βx]
= eαx [A cos βx + B sin βx)] dimana : A = c1 + c2
B = i(c1 – c2)
∴ y = eαx (A cos βx + B sin βx)
Jika α = 0 ⇒ y = A cos βx + B sin βx
Contoh :
1. (D2 – 4D + 13) y = 0 ⇒ {(D – 2)2 + 9} y = 0
{(D – 2) +i3} {(D – 2) –i3} y = 0
(D – 2 + 3i) (D – 2 – 3i) y = 0
∴ y = e2x (A cos 3x + B sin 3x)
2. (D6 + 4D4) y = 0 ⇒ D4 (D2 + 4) y = 0
D4 (D + 2i) (D – 2i) y = 0
∴ y = (c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3) + (A cos 2x + B sin 2x)
DAPAT DISIMPULKAN :
Jika persamaan karakteristik φ(m) = 0 atau m2 + pm + q = 0, mempunyai akar-
akar sebagai berikut :
a. m1 dan m2 riel, maka : y = c1 em1x + c2 em2x
b. m1 = m2 = m (riel rangkap), maka : y = (c1 + c2 x) emx
c. m1 = α + iβ & m2 = α-iβ, maka : y = eαx (A cos βx + B sin βx)
dan bila α = 0 ⇒ y = A cos βx + B sin βx
Kerjakan Soal-soal berikut :
1. (D2 – 4 D + 4) y = 0 6. (D3 – 3 D2 – D + 3) y = 0
2. (D3 + 3D2 + 3D + 1) y = 0 7. (4D3 – 3D2 + D) y = 0
3. (D3 + 9D) y = 0 8. (D2 – 2D + 4) y = 0
4. (D4 – 2D3) y = 0 9. (D2 – 6 D + 10) y = 0
5. (D6 – 4D4+ 4D2) y = 0 10. (D3 – 1) y = 0
PERSAMAAN DIFFERENSIAL IN HOMOGEN
)(..... 011
1
1 xgyadxdya
dxyda
dxyda n
n
nn
n
n =++++ −
−
− .......................... ( I )
Sifat-sifat:
a. Bila yc = c1 y1 + c2 y2 + ..... + cn yn merupakan salah satu jawaban persamaan I
(yc = jawaban complementer) dan yp merupakan jawaban lain dari persamaan I
(jawaban partikelir / khusus), maka y = yc + yp merupakan jawaban umum dari
persamaan I.
yc didapat dengan mengambil g(x) = 0 , sedangkan yp tergantung dari g(x)
Bukti :
=++++
++
−
−
− )yy(a.....dx
)yy(da
dx)yy(d
a pco1npc
1n
1nnpc
n
n
)(
1
1
11
1
1 ..........)(
xg
ponp
n
nnp
n
n
O
conc
n
nnc
n
n yadx
yda
dxyd
ayadx
ydadx
yda
++++
+++ −
−
−−
−
−
b. Dari persamaan an )x(g)x(gya.....dx
ydadx
yd21o1n
1n
1nn
n
+=+++ −
−
− ............. ( II )
Bila yp1 dan yp2 merupakan jawaban khusus dari persamaan II maka yp = yp1
+ yp2 merupakan jawaban khusus persamaan II.
Bukti :
)(.....)()(211
211
121 ypypa
dxypypda
dxypypda on
n
nn
n
n ++++
++
−
−
− =
0..... 212
1
12
11
1
11 =
++++
++ −
−
−−
−
− ponp
n
nnp
n
nponp
n
nnp
n
n yadx
yda
dxyd
ayadx
yda
dxyd
a
φ (D) y = g(x) ⇒ A (D – m1) (D – m2) ..... (D – mn) y = g(x)
Dapat diselesaikan dengan metode reduksi sebagai berikut :
A (D – m1) (D – m2) (D – m3) ..... (D – mm) y = g(x)
Mis : A (D – m2) (D – m3) ..... (D – mn) y = u(x)
Shg : (D – m1) u(x) = g(x), merupakan persamaan differensial linier.
Maka : u(x) dapat diperoleh.
Dengan cara yang sama dapat dimisalkan :
A (D – m3) D – m4) ..... (D – mn) y = v(x)
Shg: (D – m2) v(x) = u(x) ⇒ v(x) diperoleh
Demikian seterusnya sehingga akhirnya diperoleh :
(D – mn) y = w(x) ⇒ y dapat dicari.
Contoh :
(D + 1) (D – 1) (D + 2) y = x
Dengan mengambil : 0)2)(1)(1( =+−+ cyDDD
maka didapat : xxxc ecececy 2
321−− ++=
untuk mencari yp ambil : )()2)(1( xuyDD =+− sehingga didapat
xudxduxxuD =+=+ maka ,)()1( (persamaan differensial linier)
Misalkan : u = p . q
xqpdxdpq
dxdqp =++ .
xpdxdpq
dxdqp =
++
Pilih q sedemikian rupa sehingga : 0=+ pdxdp
dxp
dp−=
p = e-x
xdxdqex
dxdqp x =⇒= −
- sehingga ∫∫ ∫ == dxexeqdxxedq xxx
1)-(x- xxx eexeq ==
didapat sehingga )1( jadi −= xu 1)2)(1( −=+− xyDD
sekarang misalkan 1)()1( diperoleh sehingga )()2( −=−=+ xxvDxvyD
1 maka −=− xvdxdv (persamaan differensial linier)
Misalkan : v = p . q
1. −=−+ xqpdxdpq
dxdqp
1−=
−+ xp
dxdpq
dxdqp
Pilih q sedemikian rupa sehingga : 0pdxdp
=−
dxp
dp=
p = ex
11 −=⇒−= xdxdqex
dxdqp x
)1( sehingga )1( ∫∫ ∫ −−− +−−=−= dxeexqdxexdq xxx
)1( xxx xeeexq −−− −=−−−=
Jadi xv −=
xyD −=+ )2( :demikian dengan
Misalkan : y = p . q
xqpdxdpq
dxdqp −=++ .2
xpdxdpq
dxdqp −=
++ 2
Pilih q sedemikian rupa sehingga : 02 =+ pdxdp
dxp
dp 2−=
p = e-2x
xdxdqex
dxdqp x −=⇒−= −21
) ( sehingga 22212 ∫∫ ∫ −−=−= dxexeqdxxedq xxx
)( 241
212
412
21 xxx exexeq +−=+−=
Jadi 41
21 +−= xy p
Dengan demikian jawab umumnya adalah :
41
212
321 +−++=+= −− xecececyyy xxxpc
MENCARI py DENGAN KOEFISIEN TAK TENTU
Untuk mencari py tergantung daripada bentuk persamaan diferensial inhomogen yang ingin dicari {tergantung dari g(x)}. I. a). ɸ(𝐷)𝑦 = 𝑥𝑟 atau (𝑎𝑛𝐷𝑛 + 𝑎𝑛−1𝐷𝑛−1+. . +𝑎𝑛−𝑚𝐷𝑛−𝑚)𝑦 = 𝑥𝑟
pada ruas kiri pangkat x yang tertinggi ditentukan oleh 0dengan 00 ≠ayayang berarti bahwa pangkat tertinggi dari polynom py adalah rx sehingga
py dapat dimisalkan sebagai : 𝑦𝑝 = (𝑏0 + 𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑥2 + 𝑏3𝑥3 + ⋯+ 𝑏𝑟𝑥𝑟)
Contoh: Pecahkan persamaan diferensial: (𝐷2 − 5𝐷 + 6)𝑦 = 2𝑥3 + 5𝑥 − 6 Penyelesaian: ambil : (𝐷2 − 5𝐷 + 6)𝑦𝑐=0 sehingga 𝑦𝑐 = 𝐴𝑒2𝑥 + 𝐵𝑒3𝑥 misal : 𝑦𝑝 = (𝑐0 + 𝑐1𝑥 + 𝑐2𝑥2 + 𝑐3𝑥3) 𝑦𝑝′ = (𝑐1 + 2𝑐2𝑥 + 3𝑐3𝑥2)
𝑦𝑝′′ = (2𝑐2 + 6𝑐3𝑥 )
jadi: (𝐷2 − 5𝐷 + 6)𝑦𝑝 = 2𝑐2 + 6𝑐3𝑥 − 5𝑐1 − 10𝑐2𝑥 − 15𝑐3𝑥2 + 6𝑐0 + 6𝑐1𝑥 + 6𝑐2𝑥2 + 6𝑐3𝑥3 = 6𝑐3𝑥3 − (15𝑐3 − 6𝑐2)𝑥2 + (6𝑐3 − 10𝑐2 + 6𝑐1)𝑥
+(2c2 − 5c1 + 6c0) ≡ 2𝑥3 + 5𝑥 − 6
dari koefisien 𝑥3 didapat 6c3=2 jadi c3= 13
𝑥2 didapat −15c3 + 6𝑐2=0 jadi c2= 56
𝑥1 didapat 6c3−10𝑐2 + 6c1=5 jadi c1= 179
𝑥0 didapat 2c2−5𝑐1 + 6c0 = −6 jadi c0= 827
dengan demikian didapat 𝑦𝑝= 8
27 + 179 𝑥 + 5
6𝑥2+13𝑥
3 jadi jawab umumnya adalah 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝
=𝐴𝑒2𝑥 + 𝐵𝑒3𝑥 + 827 + 17
9 𝑥 + 56𝑥
2+13𝑥
3
b). Bila ∅(𝐷)𝑦 = ∅1(𝐷)𝐷𝑠𝑦 = 𝑥𝑟 dimana ∅1(𝐷) ≠ 0 yang berarti bahwa pangkat tertinggi polynom ∅ (𝐷)𝑦 ditentukan oleh orde turunan terendah 𝐷𝑠𝑦 ∅1(𝐷)𝐷𝑠𝑦 = 𝑥𝑟 maka 𝐷𝑠𝑦𝑝 = (𝑏0 + 𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑥2 + 𝑏3𝑥3 + ⋯+ 𝑏𝑟𝑥𝑟) , dengan mengintegralkan 𝐷𝑠𝑦 sampai s kali maka didapat : 𝑦𝑝 = 𝑥𝑠(𝑐0 + 𝑐1𝑥 + 𝑐2𝑥2 + 𝑐3𝑥3 + ⋯+ 𝑐𝑟𝑥𝑟) Contoh : 1. Pecahkan persamaan diferensial: (𝐷 − 1)(𝐷 + 1)𝐷2𝑦 = 𝑥2 Penyelesaian: ambil : (𝐷 − 1)(𝐷 + 1)𝐷2𝑦𝑐=0 sehingga 𝑦𝑐 = 𝐴𝑒𝑥 + 𝐵𝑒−𝑥 + (𝐶 + 𝐷𝑥) misal : 𝑦𝑝 = 𝑥2(𝑔0 + 𝑔1𝑥 + 𝑔2𝑥2) = 𝑔0𝑥2 + 𝑔1𝑥3 + 𝑔2𝑥4 𝑦𝑝′ = (2𝑔0𝑥 + 3𝑔1𝑥2
+ 4𝑔2𝑥3)
𝑦𝑝′′ = (2𝑔0 + 6𝑔1𝑥 + 12𝑔2𝑥2 )
𝑦𝑝′′′ = (6𝑔1 + 24𝑔2𝑥)
𝑦𝑝′′′′ =
24𝑔2 jadi: (𝐷4 − 𝐷2)𝑦𝑝 = 24𝑔2 − 2𝑔0 − 6𝑔1𝑥 − 12𝑔2𝑥2 ≡ 𝑥2 dari koefisien 𝑥2 didapat −12𝑔2=1 jadi 𝑔2 = − 1
12
𝑥 didapat −6𝑔1=0 jadi 𝑔1=0 𝑥0 didapat 24𝑔2 − 2𝑔0 = 0 jadi 𝑔0 = − 1
dengan demikian didapat 𝑦𝑝=−𝑥2− 112𝑥4
jadi jawab umumnya adalah 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 =𝐴𝑒𝑥 + 𝐵𝑒−𝑥 + (𝐶 + 𝐷𝑥) − 𝑥2 − 1
12𝑥4
2. Pecahkan PD: (𝐷 + 1)(𝐷 + 3)(𝐷 − 2)𝐷2𝑦 = 2𝑥3 + 5𝑥2 + 6
𝑦𝑐 = 𝐴𝑒−𝑥 + 𝐵𝑒2𝑥 + 𝐶𝑒−3𝑥 + (𝐷 + 𝐸𝑥) 𝑦𝑝 = 𝑥2(𝐹𝑥3 + 𝐺𝑥2 + 𝐻𝑥 + 𝐼)
II. a) Bentuk ɸ(𝐷)𝑦 = 𝑥𝑟𝑒𝑞𝑥 karena ruas kanan mengandung qxe , maka permisalan yang diambil
)( dimana xuuuey qxp == ini berarti bahwa:
∅(𝐷)𝑢𝑒𝑞𝑥 = 𝑥𝑟𝑒𝑞𝑥 sehingga 𝑒𝑞𝑥∅(𝐷 + 𝑞)𝑢 = 𝑥𝑟𝑒𝑞𝑥
∅(𝐷 + 𝑞)𝑢 = 𝑥𝑟 misal ∅(𝐷 + 𝑞)𝑢 = 𝐹(𝐷)𝑢 sehingga 𝐹(𝐷)𝑢 = 𝑥𝑟
𝑢𝑝 = 𝑔0 + 𝑔1𝑥 + 𝑔2𝑥2 + ⋯+ 𝑔𝑟𝑥𝑟, sehingga 𝑦𝑝 = (𝑔0 + 𝑔1𝑥 + 𝑔2𝑥2 + ⋯+ 𝑔𝑟𝑥𝑟)𝑒𝑞𝑥
b). Bila ∅1(𝐷)𝐷𝑠𝑦 = 𝑥𝑟𝑒𝑞𝑥 dan D=0 maka ∅(𝑞) = 𝐹(0) = 0, mempunyai 𝑞 rangkap s kali, sehingga:
𝑦𝑝 = 𝑥𝑠(𝑏0 + 𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑥2 + 𝑏3𝑥3 + ⋯+ 𝑏𝑟𝑥𝑟)𝑒𝑞𝑥
Contoh: 1.(𝐷 + 1)(𝐷 + 3)𝑦 = 2𝑒2𝑥,karena 𝑦𝑐 tidak mengandung 𝑒2𝑥 , maka
misalkan : 𝑦𝑝 = 𝐴𝑒2𝑥 2.(𝐷 + 1)(𝐷 + 2)𝑦 = 2𝑥2𝑒2𝑥,karena 𝑦𝑐 tidak mengandung 𝑒2𝑥 , maka
misalkan : 𝑦𝑝 = (𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶)𝑒2𝑥 3.(𝐷 + 1)(𝐷 − 1)(𝐷 − 2)𝑦 = 3𝑥2𝑒2𝑥,karena 𝑦𝑐 mengandung 𝑒2𝑥 , maka
misalkan : 𝑦𝑝 = 𝑥(𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶)𝑒2𝑥
4.(𝐷 + 2)(𝐷 − 3)(𝐷 − 4)3𝑦 = 4𝑒4𝑥,karena 𝑦𝑐 mengandung 𝑒4𝑥 , maka misalkan : 𝑦𝑝 = 𝐴𝑥3𝑒4𝑥
5.(𝐷 − 1)(𝐷 + 1)3𝐷2𝑦 = 𝑥2𝑒−𝑥,karena 𝑦𝑐 mengandung 𝑒−𝑥 , maka misalkan : 𝑦𝑝 = 𝑥3(𝐴 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑥2)𝑒−𝑥
6.(𝐷 − 1)(𝐷 + 1)3𝐷2𝑦 = 𝑥2𝑒−𝑥 + 𝑥3,karena 𝑦𝑐 mengandung 𝑒−𝑥 , maka
misalkan : 𝑦𝑝 = 𝑥3(𝐴 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑥2)𝑒−𝑥 + 𝑥2(𝐷 + 𝐸𝑥 + 𝐹𝑥2 + 𝐺𝑥3)
III. a) Bentuk ɸ(𝐷)𝑦 = 𝑥𝑟𝑐𝑜𝑠 𝑞𝑥 karena )( cos 2
1 iqxiqx eeqx −+= ,maka berarti bahwa:
∅(𝐷)𝑦 = 12𝑥𝑟𝑒𝑖𝑞𝑥 +
12𝑥𝑟𝑒−𝑖𝑞𝑥 atau ∅(𝐷)𝑦 = 𝑥𝑟𝑒𝑖𝑞𝑥 + 𝑥𝑟𝑒−𝑖𝑞𝑥
Jadi 𝑦𝑝 = (𝑎0 + 𝑎1𝑥 + ⋯+ 𝑎𝑟𝑥𝑟)𝑒𝑖𝑞𝑥 + (𝑏0 + 𝑏1𝑥 + ⋯+ 𝑏𝑟𝑥𝑟)𝑒−𝑖𝑞𝑥 sehingga : 𝑦𝑝 = (𝑎0 + 𝑎1𝑥 + ⋯+ 𝑎𝑟𝑥𝑟)(𝑐𝑜𝑠 𝑞𝑥 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝑞𝑥) +
(𝑏0 + 𝑏1𝑥 + ⋯+ 𝑏𝑟𝑥𝑟)(𝑐𝑜𝑠 𝑞𝑥 − 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝑞𝑥)
dengan demikian : 𝑦𝑝 = (𝑐0 + 𝑐1𝑥 + ⋯+ 𝑐𝑟𝑥𝑟)(𝑐𝑜𝑠 𝑞𝑥) + (𝑑0 + 𝑑1𝑥 + ⋯+ 𝑑𝑟𝑥𝑟)(𝑠𝑖𝑛 𝑞𝑥)
maka : 𝑦𝑝 = (𝑔0 + 𝑔1𝑥 + ⋯+ 𝑔𝑟𝑥𝑟)(𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑞𝑥 + 𝐵𝑠𝑖𝑛 𝑞𝑥)
b). Bila ∅1(𝐷)𝐷𝑠𝑦 = 𝑥𝑟𝑐𝑜𝑠 𝑞𝑥 maka : 𝑦𝑝 = 𝑥𝑠(𝑔0 + 𝑔1𝑥 + ⋯+ 𝑔𝑟𝑥𝑟)(𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑞𝑥 + 𝐵𝑠𝑖𝑛 𝑞𝑥)
Contoh: 1.(𝐷 + 1)(𝐷 − 1)𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 2𝑥, karena 𝑦𝑐 tidak mengandung 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 , maka
misalkan : 𝑦𝑝 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 𝐵𝑠𝑖𝑛 2𝑥 2.(𝐷 + 1)(𝐷 + 2)𝑦 = 2𝑥 𝑐𝑜𝑠 2𝑥,karena 𝑦𝑐 tidak mengandung 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 ,
maka misalkan : 𝑦𝑝 = (𝐴𝑥 + 𝐵)(𝐶𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 𝐷𝑠𝑖𝑛 2𝑥) 3.(𝐷 + 1)(𝐷 − 1)2(𝐷 + 2)𝑦 = 2𝑥3𝑐𝑜𝑠 2𝑥,
karena 𝑦𝑐 tidak mengandung 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 , maka misalkan : 𝑦𝑝 = (𝐴𝑥3 + 𝐵𝑥2 + 𝐶𝑥 + 𝐷)(𝑃𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 𝑄𝑠𝑖𝑛 2𝑥)
4.(𝐷 − 1)(𝐷 − 2𝑖)2(𝐷 + 2𝑖)2(𝐷 + 4)𝐷2𝑦 = 𝑥2𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑥3𝑐𝑜𝑠 2𝑥, karena 𝑦𝑐 mengandung 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 , maka misalkan : 𝑦𝑝 = (𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶)(𝐷𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐸𝑠𝑖𝑛 𝑥) +
𝑥2(𝐹𝑥3 + 𝐺𝑥2 + 𝐻𝑥 + 𝐼)(𝑃𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 𝑄𝑠𝑖𝑛 2𝑥)
Soal-soal yang diselesaikan 1. (𝐷2 − 1)𝑦 = 𝑥2 maka (𝐷 + 1)(𝐷 − 1)𝑦 = 𝑥2
𝑦𝑐 = (𝐴𝑒−𝑥 + 𝐵𝑒𝑥) misalkan : 𝑦𝑝 = (𝐶𝑥2 + 𝐷𝑥 + 𝐸) maka didapat : 𝑦 = 𝐴𝑒−𝑥 + 𝐵𝑒𝑥 − (𝑥2 + 2)
2. (𝐷4 + 𝐷2)𝑦 = 2𝑥 maka 𝐷2(𝐷2 + 1)𝑦 = 2𝑥 , sehingga dapat ditulis sebagai (𝐷 + 𝑖)(𝐷 − 𝑖)𝐷2𝑦 = 2𝑥 𝑦𝑐 = (𝐴𝑥 + 𝐵) + (𝐶 cos 𝑥 + 𝐷 sin 𝑥) misalkan : 𝑦𝑝 = 𝑥2(𝐸𝑥 + 𝐹) maka didapat : 𝑦 = (𝐴𝑥 + 𝐵) + (𝐶 cos 𝑥 + 𝐷 sin 𝑥) + 1
3 𝑥2
3. (𝐷2 − 3𝐷 + 2)𝑦 = 𝑥𝑒2𝑥 maka (𝐷 − 2)(𝐷 − 1)𝑦 = 𝑥𝑒2𝑥
𝑦𝑐 = (𝐴𝑒2𝑥 + 𝐵𝑒𝑥) misalkan : 𝑦𝑝 = 𝑥(𝐶 + 𝐷𝑥)𝑒2𝑥 maka didapat : 𝑦 = ( 1
2𝑥2 − 𝑥 + 𝐴)𝑒2𝑥 + 𝐵𝑒𝑥
4. (𝐷2 − 1)𝑦 = 3𝑥2 − 4𝑥 + 2𝑒𝑥 maka
(𝐷 + 1)(𝐷 − 1)𝑦 = 3𝑥2 − 4𝑥 + 2𝑒𝑥 , sehingga didapat 𝑦𝑐 = (𝐴𝑒−𝑥 + 𝐵𝑒𝑥) misalkan : 𝑦𝑝 = (𝐶 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑥2) + 𝐹𝑥𝑒𝑥 maka didapat : 𝑦 = 𝐴𝑒−𝑥 + (𝑥 + 𝐵)𝑒𝑥 − (3𝑥2 − 4𝑥 + 6) Kerjakan dirumah : 1. (𝐷2 − 5𝐷 + 6)𝑦 = 12𝑥2 − 20𝑥 + 4 + 𝑒2𝑥 2. (𝐷2 + 1)𝑦 = 2 cos 𝑥 − 3 cos 2𝑥 3. (𝐷2 + 5𝐷 + 5)𝑦 = 3 𝑒−𝑥sin 𝑥 − 10 4. (𝐷4 − 2𝐷3 + 𝐷2)𝑦 = 6𝑒𝑥 − 2 5. (𝐷3 − 4𝐷)𝑦 = 24𝑥2 + 12 + 8 sin 2𝑥 6. (2𝐷2 − 3𝐷 − 2)𝑦 = (15𝑥2 + 12𝑥 − 5)𝑒2𝑥 − 18𝑒𝑥 7. (𝐷4 + 𝐷2)𝑦 = 18𝑥 − 4 sin 𝑥
IX. PERSAMAAN DIFFERENSIAL EULER
Persamaan Differensial Euler adalah suatu persamaan differensial dengan
bentuk umum: (an XnDn + an-1Xn-1Dn-1+… + a1XD + ao)y = g(x), atau dapat
pula ditulis sebagai )()( xgyXD =φ
22
22
3
33 763 :contoh xy
dxdyx
dxydx
dxydx =+++
Untuk memecahkan Persamaan Differensial Euler dapat dilakukan dengan
memisalkan : x = ez sehingga ln x = z, Jadi : xdxdz 1= , sedangkan
diketahui pula bahwa : dzd
xdxd
dxdz
dzd
dxd 1didapat sehingga , == ,
jadi : xdzd
dxd
=
bila diambil DdxddanDz
dzd
== , maka diperoleh : XD = Dz
2
2
22
2
2
2
11
11
1 : dicaridapat maka 1 Dari
dzd
xdzd
x
dzd
dxd
xdzd
x
dzd
xdxd
dxd
dzd
xdxd
+−=
+−=
==
Dengan demikian maka : ( )zz DDx
D −= 22
2 1 atau ( )zz DDDX −= 222
Selanjutnya dapat dicari : ( ) ( )233
233
3 12zzzz DD
xDD
xdxd
−+−−=
atau : ( ) ( )23233 2 zzzz DDDDDX −+−−=
( )zzz DDD 23 23 +−=
( )( )21 −−= zzz DDD
Dengan cara yang sama akan didapat :
( )( )( )32144 −−−= zzzz DDDDDX
( )( )( )( )432155 −−−−= zzzzz DDDDDDX
..
..
( )( )( ) ( ))1(.......321 −−−−−= nDDDDDDX zzzzznn
Contoh :
1. Selesaikan Persamaan Diferensial : (X3D3 + X2D2 – 4XD) y = 0
Jawab :
Misal : ez = x maka z= lnx
XD = Dz
X2D2 = Dz (Dz – 1)
X3D3 = Dz (Dz – 1) (Dz – 2)
Dengan demikian : {Dz (Dz – 1) (Dz – 2) +Dz (Dz – 1) – 4 Dz} y = 0
Dz [D2z– 3Dz + 2 + Dz – 1 – 4] y = 0
Dz (D2z– 2Dz – 3) y = 0
Dz (Dz – 3) (Dz + 1) y = 0
Sehingga jawabannya : y = c1 + c2 e3z + c3 e-z
y = c1 + c2 x3 + c3 x-1
2. Carilah Jawab Umum PD : (X2D2 – XD + 5) y = x + 1
Jawab:
Misalkan: x = ez ⇒ z = ln x, dengan demikian (X2D2 – XD + 5) y = x + 1 menjadi: [Dz (Dz-1) – Dz + 5] y = x + 1 (D2z – 2 Dz + 5) y = x + 1 Sekarang ambil : (D2z – 2 Dz + 5)yc = 0 p.k : m2 – 2 m + 5 = 0
m1,2 = 2
5.442 −±
= 1 + 1621
− = 1 + 2 i
Jadi : yc = ez [A cos 2 z + B sin 2 z] = x [A cos 2 (ln x) + B sin 2 (ln x)] misal : yp = cez +E y'p = cez y''p = cez Jadi : (D2z - 2Dz + 5)yp = ez + 1 cez – 2 cez + 5 cez +5E = ez + 1 4 cez +5E = ez + 1 dari koefisien ez didapat 4 c = 1 → c = ¼ dan E=1/5 ∴ yp = ¼ ez +1/5
Sehingga : y = x [A cos 2 (ln x) + B sin 2 (ln x)] + 41 x +1/5
Kerjakan soal-soal berikut ini dirumah: 1. (X2D2 + 2XD - 2) y = 0 2. (X3D3–3X2D2 +7 XD - 8) y = 0 3. (X2D2 – 3XD + 5) y = 0 4. (X2D2 – XD + 3) y = 4x 5. (X2D2 – XD + 1) y = 6x + 2x3
6. (X2D2 + 2XD – 5) y = 4 + x2
X. PERSAMAAN DIFFERENTIAL SIMULTAN
Untuk mencari persamaan diferensial simultan :(x)f (D)z y (D)(x)f z (D) y (D)
242
131
=+=+
φφφφ
,
maka dilakukan hal sebagai berikut
[ ] −=−
=+=+
(x)f (D)-(x)f (D) z (D)} (D) (D) (D){(x)f (D) z (D) (D) y (D) (D)(x)f (D) z (D) (D) y (D) (D)
21121423
211421
122321
φφφφφφφφφφφφφφφφ
melalui eliminasi y akan diperoleh nilai z, dengan demikian nilai y dapat
pula dicari.
Contoh soal :
1. Selesaikan Persamaan Diferensial (D – 1) y – (2D + 1)z = (1 – x)
Dy + (D + 4)z = 1 + 4x
Penyelesaian:
(D – 1) y – (2 D + 1) z = (1 – x) kalikan D
Dy + (D + 4) z = 1 + 4x kalikan D – 1, sehingga didapat:
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( ) ( )−
−−+−=+−+++−=−++−
−=+−−
xDxDzDDDDxDzDDyDD
xDzDDyDD
1411 4112 411 141
1. 12 1
(3D2 + 4D – 4) z = 4 –1 – 4x + 1
(3D – 2) (D + 2) z = 4 – 4x
(3D – 2) (D + 2) zc = 0 → zc = c1 e2/3 x + c2 e-2x
Misal : zp = Ax + B
z'p = A
z''p = 0
sehingga didapat : (3D2 + 4D – 4) zp = 4 – 4x
4A – 4Ax – 4B = 4 – 4x
pada komponen x didapat -4A= -4 → A= 1
pada komponen x0 didapat 4 – 4B= 4 → B= 0
jadi zp= x
Maka jawab umum adalah : z = c1 e 2/3 x + c2 e-2x + x
Untuk mencari y maka subsitusi z ke salah satu persamaan sehingga
didapat:
Dy + (D + 4) z = 1 +4 x
Dy = 1 + 4 x – (D + 4) (c1 e2/3 x + c2 e-2x + x)
dengan demikian y = dxecec xx
∫
−− −2
232
1 23
14
cec xx++= −2
232
1 e c 7-
2. Selesaikan Persamaan Diferensial berikut: ywDzzwDyzywD
+=+=+=
Jawab:
dari zyDw += didapat DzDywD +=2 )()( ywzw +++=
)(2 yzw ++= wDw 2+= jadi : 022 =−− wDwwD 0)1)(2( =+− wDD sehingga: xx ececw −+= 2
21
dari zwDy += didapat DzDwyD +=2 )()( wyzy +++=
)(2 zwy ++= yDy 2+= jadi : 022 =−− yDyyD 0)1)(2( =+− yDD sehingga: xx ededy −+= 2
21
dari yxDz += didapat DyDxzD +=2 )()( zxzy +++=
)(2 yxz ++= zDz 2+= jadi : 022 =−− zDzzD 0)1)(2( =+− zDD sehingga: xx eaeaz −+= 2
21
3. Selesaikan Persamaan Diferensial berikut: ( )
xeDzyDzyDD
−=+−
=+−
4)1( 1 1
Penyelesaian:
( )xeDzyD
zyDD−=+−
=+−
4)1( 1 1
dapat ditulis sebagai ( )
=
−
−−xez
yDD
DD4
1 1
1 1
Dengan cara crammer didapat :
De411
yD1D1)1D(D
x−=−−
……………….. ( 1 ) , dan
xe41D1)1D(D
zD1D1)1D(D
−−−
=−−
...……………… ( 2 )
Dari (1) didapat: {D2 (D-1) – (D-1) } y = 0 – 4 e-x (D3 – D2 – D+1) y = - 4 e-x (D2 – 1) (D – 1) y = - 4 e –x (D + 1) (D-1)2 y = - 4 e-x
Ambil : (D+1)(D-1)2 yc = 0 ∴ yc = A e-x + (Bx + C) ex Missal : yp = Px e-x y'p = P e-x – Px e-x y''p = -Pe-x - Pe-x + Pxe-x = -2 Pe-x + Pxe-x y'''p = 2Pe-x + Pe-x – Pxe-x = 3Pe-x – Pxe-x (D3-D2–D+1)yp =-4e-x jadi 3Pe-x–Pxe-x+2Pe-x–Pxe-x–Pe-x+Pxe-x+Pxe-x = -4e-x maka 4Pe-x = -4e-x , sehingga didapat P = -1 , jadi : yp = -xe-x Jawab umum PD adalah: y = yc + yp = Ae-x + (Bx + C) ex – xe-x = (A-x) e-x + (B x+ C) ex Dari persamaan 2 maka z dapat dicari (cari sendiri dirumah) Soal : Selesaikan Persamaan Diferensial dibawah ini 1. (D+1) y + Dz = ex sin x
(D+3) y + (D+2) z = ex cos x 2. Dy = z
Dz = w Dw = y
3. Dy + 3 Z = 4 X D2y + (2 D + 1) Z = 3
4. 2y + DZ = e3x (2D-3) y + D2 z = 2e2x – 6
5. 8 )1( )22(
)32()233(22
22
=+++−−
=+++++
zDDyDDezDDyDD x