PERSAMAAN LINGKARAN DAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

Tujuan PembelajaranKompetensi Dasar :- Mengaplikasikan konsep lingkaran dan garis singgung dalam pemecahan masalah.Standar Kompetensi :Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, anda diharapkan dapat :- merumuskan persamaan lingkaran berpusat di O(0,0) dan (a,b).- menentukan pusat dan jari-jari lingkatan yang persamaannya diketahui.- menentukan persamaan lingkaran yang memenuhi kriteria tertentu.- menentukan persamaan garis singgung yang melalui suatu titik pada lingkaran.- menentukan persamaan garis singgung yang gradiennya diketahui.

Pengertian Irisan KerucutMenurut Appolonius lingkaran adalah salah satu bentuk irisan kerucut. Selain lingkaran, terdapat tiga macam irisan kerucut lainnya, yaitu : Ellips, parabola, dan hiperbola. Ilmuwan lain yang mempelajari irisan kerucut adalah Pierre de Fermat dan Rene Descartes.

MateriA. Persamaan Lingkaran1. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di O (0,0) dan Berjari-jari r

Misalkan titik P(x,y) adalah sembarang titik yang terletak pada keliling lingkaran. Titik P’ adalah proyeksi titik P pada sumbu x sehingga ΔOP’P adalah segitiga siku-siku di P’.

Dengan menggunakan teorema Phytagoras pada ΔOP’P, makaOP =√OP’)2+(PP’)2Substitusi OP = r, OP’= x dan PP’ = yr = √x2+y2r2 = x2 + y2x2 + y2 = r2

Karena titik P(x,y) sembarang, maka persamaan x2+y2 = r2 berlaku untuk semua titik, sehingga :Persamaan lingkaran dengan pusat 0 dan jari-jari r adalah :x2+y2 = r2

2. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di A (a,b) dan Berjari-jari r

Misalkan titik P(x,y) adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran. Buat garis g melalui pusat A(a,b) dan sejajar dengan sumbu x. Proyeksi P pada garis g adalah P’, sehingga ΔAP’P adalah segitiga siku-siku di dengan AP’ = x – a, PP’ = y – b dan AP = r (jari-jari lingkaran).

Dengan menggunakan Teorema Phytagoras pada ΔAP’P, diperoleh :AP = √(AP’)2 + (PP’)2r2 = √(x – a)2 + (y – b)2r2 = (x – a)2 + (y – b)2(x – a)2 + (y – b)2 = r2

Karena titk P(x,y) sembarang, maka persamaan (x – a)2 + (y – b)2 = r2 berlaku untuk semua titik, sehingga :Persamaan lingkaran dengan pusat A(a,b) dan jari-jari r adalah :(x – a)2 + (y – b)2 = r2

B. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran1. Menyatakan Bentuk Umum Persamaan LingkaranBentuk baku persamaan lingkaran :● Lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari r :L ≡ x2+y2 = r2● Lingkaran dengan pusat A(a,b) dan jari-jari r :L ≡ (x – a)2 + (y – b)2 = r2

Yang dimaksud dengan bentuk umum persamaan lingkaran contohnya :Lingkaran dengan pusat (1,2) dan jari-jari 4, persamaannya adalahL ≡ (x – 1)2 + (y – 2)2 = 16

Jika persamaan tersebut dijabarkan kemudian disusun berdasarkan aturan abjad dan pangkat turun, diperoleh :L ≡ (x – 1)2 + (y – 2)2 = 16L ≡ (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) = 16

L ≡ x2 + y2 – 2x – 4y –11 = 16

Persamaan yang terakhir inilah yang disebut bentuk umum persamaan lingkaran dengan pusat (1,2) dan jari-jari r = 4.

Jadi, bentuk umum persamaan lingkaran dapat dinyatakan dengan persamaan :x2 + y2 + Ax + By + C = 0 (A, B, C bilangan real)atauAx2 + Ay2 + Bx + Cy + D = 0 (A, B, C, D bilangan bulat A ≠ 0

2. Menentukan Pusat dan Jari-jari LingkaranCara menentukan pusat dan jari-jari lingkaran jika bentuk umum persamaan lingkaran diketahui adalahL ≡ x2 + y2 + Ax + By – C = 0L ≡ (x2 + Ax + A2) – A2 + (y2 + By + B2) – B2 + C4 4 4 4L ≡ (x + A)2 + (y + B)2 = A2 + B2 - C4 4 4 4

Berdasarkan persamaan di atas, dapat ditetapkan :● Pusat lingkaran di (-A)B● Jari-jari lingkaran r = √A2 + B2 - C4 4

C. Persamaan Garis Singgung Lingkaran1. Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Melalui Suatu Titik pada Lingkaran

● Lingkaran dengan pusat di O (0,0) dan jari-jari r Garis singgung dapat ditentukan sebagai berikut :1. Gradien garis singgung OP adalah Mop = y1x12. Karena garis singgung g tegak lurus OP, maka gradiennyamg = -1 = -1 = -x1Mop y1 y13. Persamaan garis singgung g :y – y1 = mg (x – x1)

y – y1 = x1 (x – x1) y1y1y – y12 = - x1x + x12x1x + y1y = x12 + y12x1x + y1y = r2

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran L ≡ x2+y2 = r2 yang melalui titik P(x1, y1) pada lingkaran ditentukan dengan rumus :x1x + y1y = r2

• Lingkaran dengan pusat di A (0,0) dan jari-jari r

Garis singgung g dapat dinyatakan sebagai berikut1. Gradien garis AP adalah Map = - y1 - bx1 - a2. Garis singgung g tegak lurus garis AP, sehingga gradien garis singgung g adalahmg = -1 = - x1 - aMap - y1 - b 3. Persamaan garis singgung g adalah :y – y1 = mg (x – x1)y – y1 = - x1 - a - y1 - a(y – y1) (y1 – b) = – (x1 – a) (x – x1)y1y – y12 – by + b y1 = – (x1x – ax – x12 + ax1)x1x – ax – x12 + ax1 + y1y – y12 – by + b y1 = 0

x1x – ax + ax1 + y1y – by + b y1 = x12 + y12 ......(*)Karena P(x1, y1) terletak pada lingkaran L ≡ (x – a)2 + (y – b)2 = r2, maka berlaku :(x1 – a)2 + (y1 – b)2 = r2x12 – 2ax1 + a2 + y12 – 2by1 + b2 = r2x12 + y12 = 2ax1 – a2 + 2by1 – b2 + r2substitusi x12 + y12 = 2ax1 – a2 + 2by1 – b2 + r2 ke (*), diperoleh :x1x – ax + ax1 + y1y – by + b y1 = 2ax1 – a2 + 2by1 – b2 + r2(x1x – ax + ax1 – 2ax1 + a2) + (y1y – by + b y1 – 2by1 – b2) = r2(x1x – ax – ax1 + a2) + (y1y – by – b y1 + b2) = r2(x1 – a) (x – a) + (y1 – b) (y – b) = r2

Rumus persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ (x – a)2 + (y – b)2 = r2 yang melalui titik singgung P(x1, y1) adalah (x1 – a) (x – a) + (y1 – b) (y – b) = r2

2. Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien Diketahui● Lingkaran dengan pusat di O (0,0) dan jari-jari r1. Persamaan garis dengan gradien m adalah y = mx + n2. Substitusi y = mx + n ke persamaan lingkaran L ≡ x2+y2 = r2, diperoleh :x2 + (mx + n)2 = r2x2 + m2x2 + 2mnx + n2 = r2(1+ m2)x2 + 2mnx + (n2 – r2) = 0

Nilai diskriminan persamaan kuadrat (1+ m2)x2 + 2mnx + (n2 – r2) = 0 adalahD = (2mn)2 – 4(1+ m2) (n2 – r2)D = 4 m2n2 – 4(m2n2 – m2r2 + n2 – r2)D = 4 m2n2 – 4 m2n2 + 4m2r2 – 4n2 + 4r2D = 4 (m2r2 – n2 + r2)

3. Karena garis menyinggung lingkaran, maka nilai diskriminan D = 0.4 (m2r2 – n2 + r2) = 0m2r2 – n2 + r2 = 0n2 = r2 (1 + m2)n = ± r √1 + m2

Substitusi n = ± r √1 + m2 ke persamaan garis y = mx + n, diperoleh y = mx ± r √1 + m2

Jadi, rumus Persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x2+y2 = r2 dengan gradien m adalahy = mx ± r √1 + m2

● Lingkaran dengan pusat di A (0,0) dan jari-jari r1. Persamaan garis dengan gradien m adalah y = mx + n2. Substitusi y = mx + n ke persamaan lingkaran L ≡ (x – a)2 + (y – b)2 = r2, diperoleh :

(x – a)2 + (mx + n – b)2 = r2x2 – 2ax + a2 + m2x2 + n2 + b2 + 2mnx – 2bmx – 2bn – r2 = 0(1 + m2)x2 – 2(a – mn + bm)x + (a2 + n2 + b2 – 2bn – r2)= 0

Nilai diskriminan persamaan kuadrat di atas adalahD = {– 2(a – mn + bm)}2 – 4 (1 + m2)(a2 + n2 + b2 – 2bn – r2)D = 4(a – mn + bm) 2 – 4(1 + m2)(a2 + n2 + b2 – 2bn – r2)3. Karena garis menyinggung lingkaran, maka nilai diskriminan D = 04(a – mn + bm) 2 – 4(1 + m2)(a2 + n2 + b2 – 2bn – r2) = 0(a – mn + bm) 2 – (1 + m2)(a2 + n2 + b2 – 2bn – r2) = 0a2 + m2n2 + b2m2 – 2amn + 2abm – 2bm2n – a2 – n2 – b2 + 2bn + r2 – a2m2 – m2n2 – b2m2 + 2bm2n + m2r2 = 0– 2amn + 2abm – n2 – b2 + 2bn + r2 – a2m2 + m2r2 = 02amn – 2abm + n2 + b2 – 2bn – r2 + a2m2 – m2r2 = 0(n2 + a2m2 + b2 + 2amn –2bn – 2abm) – r2 (1+ m2) = 0(n + am – b)2 = r2 (1+ m2)(n + am – b) = r √1 + m2n = (–am + b) ± r√1 + m24. Substitusi n = (–am + b) ± ke persamaan garis y = mx + n, diperolehy = mx + (–am + b) ± r √1 + m2(y – b) = m(x – a) ± r √1 + m2

Jadi, rumus Persamaan Garis Singgung pada lingkaran L ≡ (x – a)2 + (y – b)2 = r2 dengan gradien m adalah(y – b) = m(x – a) ± r√1 + m2

3. Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Melalui sebuah Titik di Luar LingkaranCara untuk menentukan persamaan-persamaan garis singgung yang terletak di luar lingkaran dapat dilakukan melalui langkah-langkah sebagai berikut.Langkah 1.Persamaan garis melalui P(x1,y1), dimisalkan gradiennya m. Persamaannya adalah y – y1 = m(x – x1) atau y = mx – mx1 + y1

Langkah 2.Substitusikan y = mx – mx1 + y1 ke persamaan lingkaran, sehingga diperoleh persamaan kuadrat gabungan. Kemudian nilai diskriminan D dari persamaan kuadrat gabuangan itu dihitung.

Langkah 3.Karena garis menyinggung lingkaran, maka nilai diskriminan D = 0. Dari syarat D = 0 diperoleh nilai-nilai m.Nilai-nilai m itu selanjutnya disubstitusikan ke persamaan y = mx – mx1 + y1, sehingga diperoleh persamaan-persamaan garis singgung yang diminta.

Contoh :Persamaan Lingkaran

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik A (-3,5)Penyelesaian :Lingkaran berpusat di O(0,0) dan melalui titik A(-3,5), maka jari-jari r adalahr = √(-3)2 + 52 = √34r2 = 34Persamaan lingkarannya x2 + y2 = r2x2 + y2 = 34Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik A(-3,5) adalahL ≡ x2 + y2 = 34

2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik A (-3,5)Penyelesaian :

Pusat di (2,-4) dan r = 5 jadi r2 = 25Persamaan lingkarannya :(x – 2)2 + (y – 4)2 = 25

Bentuk Umum Persamaan Lingkaran3. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran L ≡ x2 + y2 + 4x – 10y + 13 = 0Penyelesaian :L ≡ x2 + y2 + 4x – 10y + 13 = 0L ≡ (x + 4x)2 + (y2 – 10y) = - 13L ≡ (x2 + 4x + 4) – 4 + (y2 + 4x – 10y + 25) – 25 = - 13L ≡ (x + 2)2 + (y – 5)2 = 16Dari persamaan yang terakhir ini, dapat diketahui bahwa lingkaran L ≡ x2 + y2 + 4x – 10y + 13 = 0 mempunyai pusat (-2,5) dan jari-jari r = 4

Persamaan Garis Singgung Lingkaran4. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L ≡ x2 + y2 = 13 yang melalui titik (-3,2)Penyelesaian :Titik (-3,2); x1 = -3 dan y1 = 2, terletak pada L ≡ x2 + y2 = 13Persamaan garis singgungnya : (-3)x + (2)y = 13-3x + 2y = 13

5. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L ≡ (x – 3)2 + (y + 1)2 = 25 yang melalui titik (7,2)Penyelesaian :Titik (7,2); x1 = 7 dan y1 = 2, terletak pada L ≡ (x – 3)2 + (y + 1)2 = 25Persamaan garis singgungnya : (7 – 3)(x – 3) + (2 + 1)(y +1) = 254x – 12 + 3y – 34 = 254x + 3y – 34 = 0Jadi, persamaan garis singgung lingkaran L ≡ (x – 3)2 + (y + 1)2 = 25 yang melalui titik (7,2) adalah 4x + 3y – 34 = 0

6. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x 2 + y2 = 16, jika diketahui mempunyai gradien 3.Penyelesaian :Lingkaran L ≡ x 2 + y2 = 16, pusat di O(0,0) dan jari-jari r = 4, mempunyai gradien m = 3.Persamaan garis singgungnya : y = 3x ± 4√1 + (3)2y = 3x ± 4√10y = 3x + 4√10 atau 3x – 4√10Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x 2 + y2 = 16 dengan gradien m = 3 adalahy = 3x + 4√10 dan 3x – 4√10

7. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L ≡ (x – 1)2 + (y + 2)2 = 9 yang mempunyai gradien m = 5/12

Penyelesaian :Persamaan garis singgungnya : (y + 2) =5/12(x – 1) ± 3√(1 + (5/12)2(y + 2) = 5/12(x – 1) ± 39/12 12y + 24 = 5x – 5 ± 395x – 12y – 29 ± 39 = 05x – 12y – 10 = 0 dan 5x – 12y – 68 = 0Jadi, persamaan garis singgung lingkaran L ≡ (x – 1)2 + (y + 2)2 = 9 yang mempunyai gradien m = 5/12 adalah5x – 12y – 10 = 0 dan 5x – 12y – 68 = 0

PERSAMAAN LINGKARAN DAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

{ Desember 24, 2009 @ 12:00 pm } · { Uncategorized }

PERSAMAAN LINGKARAN DAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

1. Persamaan lingkaran 1. Defenisi

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu yang digambarkan pada bidang cartesius.Titik tertentu tersebut pusat lingkaran dan jarak yang sama disebut jari-jari.Beberapa formula menentukan jarak

1. Jarak antara dua titik A (X1, Y1) dan B (X2, Y2), ditentukan oleh2. Jarak titik A (X1, Y1) terhadap garis lurus ax+by+c = 0 ditentukan oleh

1. Persamaan lingkaran yang berpusat di 0 (0, 0) dan berjari-jari rDengan menggunakan teorema phytagoras diperoleh

Persamaan lingkaran dengan pusat 0 (0,0) dan jari-jari r ditentukan oleh

Contoh: Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di 0(0,0) dan jari-jari:

Jawaban: a. Pusat di 0(0, 0) dan r =4

b. Pusat di 0 (0,0) dan r =

1. Persamaan lingkaran yang berpusat di A (a,b) dan berjari-jari r

Persamaan lingkaran (x-a)2+(y-b)2=r2 dinamakan persamaan lingkaran dengan pusat a(a,b) dari jari-jari r.

Contoh:1. Tentukan persamaan setiap lingkaran berikut iniPusat (4, 3) dan jari-jari=6Jawaban: pusat (4, 3) dan r=6; r2= 36Persamaan lingkaran(x-4)2+(y-3)2 = 36

2. Tentukan persamaan tiap lingkaran berikut iniPusat A(5, -1) melalui titik P (-1, 7)Jawaban : pusat A (5, -1) dan melalui titik P(-1, 7)Persamaan lingkaran

3. Tentukan pusat dan jari-jari setiap lingkaran berikut (x-1)2 + (y-2)2 = 25Jawaban : Pusat A (1, 2) dan r = 5

Posisi suatu titik P (c, d) terhadap lingkaran L= ( x – a )2 + ( y – b )2 = r2Posisi suatu titik P (c, d ) terhadap lingkaran L= ( x – a )2 + ( y – b )2 = r2 dilakukan dengan mensubtitusikan p(c, d) keliling lingkaran tersebut dan membandingkan dengan nilai r2, kemungkinan posisi titik p (c, d ) sebagai berikut:1. P (c, d ) didalam lingkaran L

2. P (c, d ) pada lingkaran L

3. P (c, d ) diluar lingkaran L

Contoh 01 :

Tampa menggambar pada bidang cartesius, tentukan posisi setiap titik berikut ini terhadap lingkaran yang disebut.a. P(1, 1) dan lingkaranJawaban;P(1, 1) danJadi titik P (1, 1) terlatakContoh 02:Tentukan batas-batas nilai a agara) P(-a, 1) terletak didalam lingkaran maka

1. BENTUK UMUM PERSAMAAN LINGKARAN1. Menyatakan bentuk umum persamaan lingkaranContoh: Tentukan bentuk umum persamaan lingkaran yang berpusat di titik A (3, 4) dan berjari-jari = 3Jawaban:

Jadi bentuk umum persamaan lingkarannya adalah x2+y2-6x-8y+16=0

2. Posisi suatu titik T (p, q) terhadap lingkaran

1) T(p, q) didalam lingkaran

2) T(p, q) pada lingakaran L

3) T(p, q) diluas lingkaran

Contoh : Tentukan nilai K agar titik N (k, 2) terletak di luar lingkaranJawaban: Kn > 0 = K2 + 22 + 4 K – 3.2 – 10 > 0= K2 + 4 K – 12 > 0= ( k + 6 ) ( K – 2 ) > 0= k < -6 atau K > 23. jarak titik A (x1, y1) terhadap lingkaran L yang berpusat di P (a, b) dengan jari-jari ri. Jika titik A (x1, y1) pada lingakaran L maka L (x1, y1) = 0 dan jarak nya = 0ii. Jika titik A (x1, y1) di dalam lingkaran L maka L (x1, y1)< ) dan- Jarak terdekat = AB di tentukan oleh AB = r – AP- Jarak terjauh = AC ditentukan oleh AC = AP + r dengan jarak AP = jarak titik A kepusat lingkaraniii. JIka titik A (x1, y1) di luar lingkaran L maka L (x1, y1) > 0 dan- Jarak terdekat = AB ditentukan Oleh AB = AP – r- Jarak terjauh = AC = =

1. Kedudukan garis terhadap lingkaranKedudukan garis G dengan persamaan y = mx + k terhadap lingkaran ditentukan berdasarkan diskriminasi D = b2 – 4 aci. Bila D > 0 maka garis G memotong lingkaran L di dua titik berlainanii. Bila D = 0 maka garis G menyinggung lingkaraniii. Bila D < 0 maka garis G tidak memotong maupun menyinggung lingkaran LContoh: Selidikilah kedudukan setiap garis dibawah ini dengan , dengan garis G; y=3x+2Jawaban: Hasil subsitusi 10×2 + 13 x +3 = 0Hasil test diskriminan D = 132 – 14 x 10 x 3= 169 – 120= 49 > 0Kesimpulan:Garis G: y = 3x +2 memotong lingkaran L didua titik berlainan.

2. Persamaan garis singgung lingkaran(1). Persamaan garis singgung lingkaran lingkaran melalui titik singgung T (X1, Y1) pada lingkaran La. Lingkaran L berpusat di 0 (0, 0) dan berjari-jari rX1X + Y1Y= r2Contoh:Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung A (1, -2)Jawaban:Persamaan garis singgung x-2y = 5 atau x – 2y – 5 = 0b. lingkaran L perpusat di A (a, b) dan berjari-jari r(x1 – a) (x – a) + (y1-b) ( y – b) = r2

Contoh: Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran di titik singgung A (-3, 1)Jawaban: Persamaan garis singgung( -3 -1) (x – 1) + ( a – 4 )( y – 4 ) = 25-4 ( x – 1) -3 (y – 4) -25 = 0-4x + 4 -3x + 12 – 25 = 0-4x – 3 y – 9 = 04x + 3y + 9 = 0Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung A (-3, 1) adalah 4x + 3y + 9 = 0c. Lingkaran L dengan bentuk umum x2 + y2 + Ax + By + C= 0

1. Persamaan garis singgung dengan gradient tertentu (m)i. Lingkaran L berpusat di 0 (0, 0) dan berjari-jari r

Persamaan garis singgung pada lingkaran dengan gradient m di tentukan oleh formulaii. Lingkaran L berpusat di A (a, b) dan berjari-jari r penentuan garis singgung pada lingkaran serupa dengan penentuan garis singgung pada lingkaran dengan gradient tertentu (m).

Dengan mensubtitusikan x menjadi (x – a) dan y menjadi ( y – b) pada persamaan garis singgung di peroleh

1. Persamaan garis singgung melalui sebuah titik di luar lingkaranPersamaan lingkaran1) X2 + y2 = r22) (x – a)2 + (y – b)2 = r23) x2 + y2 + Ax + By + C= 0Persamaan garis polar1. x1 x + y1 y = r22. (x1 – a) (x – a) + (y1-b) ( y – b) = r23.

2. HUBUNGAN DUA LINGKARAN (PENGAYAAN)

MIsalnya lingkaran L1 dengan pusat P1 dan berjari-jari r1 serta lingkaran L2 dengan pusat P2 dan berjari-jari r2, maka hubungan ke dua lingkaran tersebut depat diuraikan sebagai berikuti. L1 Sepusat dengan L2 = syaratnyaii. L1 dan L2 bersinggungan didalam = syaratnyaiii. L2 didalam L1 = syaratnyaiv. L1 berpotongan dengan L2 = syaratnya

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di 0 (0, 0) dan jari-jari r = 2+Jawab:Pusat di 0 (0, 0) dan r = 2+

+3

atau

2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di 0 (0, 0) dan melalui masing-masing titik berikut ini A (2, 4)Jawab:Karena lingkaran x2+y2=r2 melalui titik A (2, 4) maka nilai r2 ditentukan oleh r2 =22 + 42 r2 = 4 + 16r2 = 203. Tentukan tempat kedudukan titik-titik P(x, y) yang memenihi setiap hubungan berikut.a. apa bila A (0, 1) dan B (0, 16)Jawaban:PB = 4PA PB2 =16PA2(0 – x)2 + (16 – y)2 = 16

4. Tampa menggambar pada bidang cartesius, tentukan posisi titik P(a, b) terhadap lingkaran L berikut ini P(-1, 6) danJawaban : P(-1, 6) dan L x2 + y2 = 40(-1)2 + 62 = 3 < 405. Tentukan pusat dan jari-jari setiap lingkaran berikut ini.a. (x + 3)2 + (y – 2)2 = 9b. (x + 4)2 + (y – 5)2 = 24Jawaban:a. Pusat A (-3, 2) dan r = =3b. Pusat B (-4, -5) dan r = =6. Tentukan persamaan lingkaran yang diameternya merupakan garis yang menghubungjkan titik A (1, 5) dengan B (9, -1)Jawaban:

7. Tentukan nilai a agar titiuk P (a, ) terletak pada lingkaran 2+y2=12Jawaban:P (a, ) terletak pada lingkaran 2+y2=122+3=12 2 =12-32 =92 =32= ±3 jadi a = 3 – 4 = -1 dan

8. Tentukan persamaan lingkaran yang berdiameter garis AB dengan A (3, 2) dan B (0, -1)

Persamaan lingkaran

9. Tentukan nilai n agar titik T (3, n) terletak pada lingkaranJawaban:Nilai kuasa titik r (3, n) sama dengan nol, hal ini berarti:Kr = 32 + n2 + 15 – 13 n + 6 = 0= 9 + n2 + 15 – 13 n + 6 = 0

= n2 – 13 n + 30 = 0= (n – 10) (n – 3) = 0= n = 10 atau n = 310. Tentukan titik potong garis y=2x dengan lingkaranJawaban:Hasil subsitusi:x2 + 2 x – 15 = 0= (x – 5) (x – 3) = 0= x1 = -5 atau x2 = 3Penemuan nilai yX1 = -5; Y = 2 (-5) = -10X2 = 3; Y = 2 (3) = 6Jadi titik potong dengan lingkaran adalah ( -5, -10) dan (3, 6)

11. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran di titik singgung B (12, -5)Jawaban:Persamaan garis singgung

12. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung B (0, 9)Jawaban:Persamaan garis singgung

Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung B ( 0, 9) adalah

13. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung A (2, 1)Jawaban:Titik singgung A (2, 1) berarti x1 = 2 dan y1 =1 persamaan garis singgung