PERSAMAAN LINGKARAN DAN GARIS SINGGUNG 1.1PERSAMAAN-PERSAMAAN LINGKARAN Lingkaranadalahtempatkedudukantitik-titikyangberiaraksamaterhadapsebuah titiktertentuyangterletakpadabidangdatar.Jarakyangsamadisebutiari-iari lingkaran dan sebuah titik tertentu disebut pusat lingkaran. Untuktempatkedudukantitik-titikyangmembentuklingkaran,persamaanyang menghubungkan peubahdan peubah y tadi disebut Persamaan Lingkaran Bentuk persamaan lingkaran ditentukan : Letak Pusat Lingkaran M Paniang iari-iari r 1.1.1 Persamaan Lingkaran yang Berpusat di O (0.0) dan berjari-jari r misalkan titik P(x,y) adalah sembarang titik terletak pada keliling lingkaran. titik P1 adalah proyeksi titik P pada sumbu X sehingga A O P1 Pmerupakan segitiga siku-siku di P1 persamaan lingkaran dengan pusat O dan r : Contoh : Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O (0,0) melalui titikA (-3, 5) ? Penyelesaian : Lingkaran berpusat di O (0,0) dan melalui titik A (-3, 5), Maka iari-iari r adalah : r 34 ) 5 ( ) 3 (2 2= +sehingga r2 )234 34 Persamaan lingkarannya x2 y2 r2 x2 y2 34 iadi, persamaan lingkarannya yang berpusat di O, (0,0) yang melalui titik A (-3, 5) Adalah L= x2 y2 34 1.1.2 Persamaan Lingkaran yang berpusat di A (a. b) dan jari-jari rdengan menerapkan teorema phytagoras pada A A P1 P, diperoleh hubungan AP ) )2121!! ! + r ) )2 2b v a x+ r2 ( xa)2 ( yb )2 (xa)2 (yb)2 r2 Persamaan Lingkaran ditulis Persamaan Lingkaran (x-a)2 (y-b)2 r2 disebut Persamaan Lingkaran dalam bentuk baku. x2 y2 r2 L= ) v x, ) ) 2 2 27 b v a x =+ Contoh : Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di A (2, -1) dan menyinggung garis 3x 4y12 0 di titik P ? Penyelesaian : iari-iari lingkaran r AP, Jarak Titik a (2, -1)garis 3x 4y12 0 r AP )25104 312 ) 1 ( 4 2 32 2=

=++=Jadi, persamaan lingkaran dengan pusat di A (2, -1) dan menyinggung garis3x 4y12 0, adalah L= (x -2)2 (y 1)2 4 1.1.3 Bentuk Umum Persamaan Lingkaran A. Menyatakan Bentuk Umum Persamaan Lingkaran Berdasarkan aturan abiad dan pangkat turun, maka diperoleh : L= (x -1)2 (y2)2 16 L= (x22x 1) (y24y 4) 16 L=x2 y2 - 2x11 0

Bentuk umum lingkaran dapat dinyatakan dengan persamaan x2 y2 Ax By C 0( A, B, C, Bilangan Real) Ax2 Ay2 Bx Cy D 0( A, B, C, D Bilangan Bulat A = 0) B. Menentukan Pusat dan iari-iari Lingkaran L= x2 y2 Ax By C 0 dapat ditentukan sebagai berikut : L= x2 y2 Ax By C 0 L='+

'

4A Ax x22 - '+

'

+ +422

v v- 42

C 0 L=

v

x+ = '+

'

+ '+

'

+4 4 2 22 22 2 Pusat Jari-iari Lingkaran Pusat'+

'

2,2 Jari-iari r +4 42 2 Contoh: Tentukan Pusat Jari-iari untuk lingkaran Berikut! L=2x2 2y22x by3 0! Penyelesaian : L=2x2 2y22x by3 0Ekuivalen L=x2 y2x 3y - 23 0 sehingga, A -1, B 3, C -23 Pusat Lingkaran'+

'

= '+

'

23,2123,21 L= (x-1)2 (y-2)2 16 Jari-iari Lingkaran r ) )2 4 2234341'+

'

+

r 464941+ + r 2 4 = iadi, Lingkaran L=2x2 2y22x by3 0berpusat'+

'

23,21dan r 2 1.2 POSISI SUATU TITIK TERHADAP LINGKARAN 1.2.1 Posisi suatu titik terhadap lingkaran L=2 + y2 r2 dapat dirumuskan : 1. Titik P (a, b) terletak di dalam lingkaran L a2 b2 r2 2. Titik P (a, b) terletak pada lingkaran L a2 b2 r2 3. Titik P (a, b) terletak di luar lingkaran La2 b2 ~ r2 Tempat kedudukan titik-titik P (a, b) terhadap lingkaran L=x2 y2 r2 (didalam, pada, diluar lingkaran) dapat diperhatikan pada gambar berikut : Contoh : Tanpa menggambar pada bidang Cartecius, tentukan posisi titik P Terhadap lingkaran L Berikut ini.Titik P (2, -3) terhadap L= x2 y2 13 Penyelesaian P (2, -3) Terhadap L=x2 y2 13 (2)2 (-3)2 13 13 13 iadi titik P (2, -3) terletak pada lingkaran L=x2 y2 13 1.2.2 Posisi Suatu titik terhadap Lingkaran L=( - a)2 + (y - b)2 r2 Posisi suatu titik / kedudukan titik P (h, k) terhadap lingkaran L=(xa)2 (yb)2 r2 dapat dirumuskan sebagai berikut ! 1. titik P(h, k) terletak di dalam lingkaran L iika dan hanya iika (ha)2 (kb)2 r2 2. titik P(h, k) terletak pada lingkaran L iika dan hanya iika (ha)2 (kb)2 r2 3. titik P(h, k) terletak diluar Lingkaran L iika dan hanya iika (ha)2 (kb)2 ~ r2 a. P(a, b) didalam Lb. P(a, b) pada Lc. P(a, b) diluar L Contoh TanpaMenggambarbidangCartecius,tentukanposisisetiaptitikberikutiniterhadap lingkaran yang disebutkan a. titik (1, 1) L= (x 3)2 (y5)2 16 b. titik (-3, 2)L= (x1)2 (y5)2 25 c. titik (-4, -1)L= (x 2)2 (y 3)2 12 Penyelesaian a. (1, 1) dan L= (x 3)2 (y5)2 16 (1 3)2 (15)2 16 16 16 16 32 ~ 6 iadi, titik (1, 1) terletak diluar lingkaran L= (x 3)2 (y5)2 16 b. (-3, 2) dan L=(x1)2 (y5)2 25 (-3 (-1))2 (25)2 25 16 9 25 25 25 Jadi, titik (-3, 2) terletak pada lingkaran L= (x -1)2 (y5)2 25 c. (-4, -1) dan L= (x 2)2 (y 3)2 12 (-4 2)2 (-1 3) 12 4 4 12 8 12 iadi, titik (-4, -1) terletak diluar lingkaran L=(x 2)2 (y 3)2 12 1.2.3. Posisi Suatu Titik Terhadap Lingkaran L=2 + y2 + A + By + C 0 Posisi / kedudukan titik P(h, k) terhadap lingkaran L dapat dirumuskan sebagai berikut : 1. titik P(h, k) terletak didalam lingkaran L=K 0 2. titik P(h, k) terletak pada lingkaran L=K 0 3. titik P(h, k) terletak diluar lingkaranL=K ~ 0 Dimana K h2 k2 Ah Bk C Contoh diketahui Persamaan Lingkaran L= x2 y28x2y8 0 hitunglah nilai kuasa titik-titik A(1, 3)B(7, 5) C (9, 2) Terhadap Lingkaran Penyelesaian ilai kuasa titik A (1, 3) K A (1, 3) (1)2 (3)28(1)2(3)8 -12 ilai kuasa titik B (7, 5) K B (7, 5) (7)2 (5)28(7)2(5)8 0 ilai kuasa titik C (9, 2) K C (9, 2) (9)2 (2)28(9)2(2)8 1 a. P (h, k) didalam Lb. P (h, k) pada Lc. P(h, k) diluar L 1.3 POSISI GARIS TERHADAP LINGKARAN garis g memotong di dua titik yang berlainan garis g memotong di satu titik garis g tidak memotong maupun menyinggung lingkaran. Contoh Diketahui garis g=x y 1 dan Lingkaran L=x2 y2 4 a. gambarlah garis dan lingkaran L pada bidang Cartecius ! b. Tentukan Persamaan Kuadrat gabungan antara garis dan lingkaran ! Penyelesaian . a. Garis g= x y 1 L=x2 y2 4 garis g= x y 1 memotong lingkaran L=x2 y2 4 Dari persamaan garis g= x y 1 diperoleh y - x 1 subtitusi x2 (-x 1)2 1 x2 x22x 1 4 2x22x 1 4 2x22x3 0 1.4 PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN 1.4.1 Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Melalui Sebuah Titik Pada Lingkaran. A. Untuk lingkaran dengan pusat O (0,0) dan iari-iari r Gradien garis OP adalah : Karena garis singgung g tegak lurus OP maka gradienya : Persamaan Garis singgung g adalah : yy1 mg (xx1) yy1 11vx (xx1) y1y - y21- x1x 21x 2121 1 1v x v v x x + = + Contoh :tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran L= x2 y2 10 yang melalui titik (-3, 1) Penyelesaian Titik (-3, 1) ~1x -3 1v 1 Persamaan Garis singgung : 21 17 v v x x = +(-3) x (1) y 10 -3 x y 10 iadi, Persamaan Garis Singgung Lingkaran L= x2 y2 10 adalah -3 x y 10 B. Untuk Lingkaran Dengan Pusat di A (a, b) dan iari-iari r 11xvmop= 111111vxxvmopmg= == 21 17 v v x x = +Terletak pada L= x2 y2 10 Gradien Garis AP adalah Garis Singgung g tegak lurus garis AP Persamaan garis singgung adalah Berdasarkan persamaan garis singgung pada L=(xa)2 (yb)2 r2 yang melalui titik P (1 1, v x ) di dapatkan rumus (1x-a) (x a) ( b v 1 ) (yb) r2 Contoh : Tentukan Persamaan garis singgung L= (x3)2 (y1)2 25, titik (7, 2) Penyelesaian : titik (7, 2) X1 7 y 2 L=(x3)2 (y 1)2 25 Persamaan Garis Singgung :(7, 3)(x3) (2 1) (y 1) 25 4x12 3y 3 25 4x 3y34 0 Jadi, Persamaan garis singgung lingkaran L=(x3)2 (y 1)2 2, titik (7, 2) adalah 4x 3y34 0 1.4.2 Persamaan Garis Singgung Lingkaran Yang Gradiennya Diketahui A. Untuk lingkaran dengan pusat di (0,0) dan iari-iari r Persamaan garis singgung L=x2 y2 r2 Persamaan garis dengan gradien M adalah M adalah y Mx n Subtitusi y Mx n ke persamaan L= x2 y2 r2 Persamaan garis singgung lingkaran L=x2 y2 r2 dengan gradient M dapat ditentukan dengan rumus : Contoh : Tentukan Persamaan garis singgung pada lingkaran L=x2 y2 16, iika gradienya persamaan garis singgungnya 3. a xb vM!

=11 b va xM!Mg

==111 ) (1 1x x Mg v v= 21 m 7 Mx v + = Penyelesaian L=x2 y2 16 berpusat di O (0,0) dan r 4 Persamaan garis singgung yang mempunyai gradien 3 adalah : y 3x42) 3 ( 1+ y 3x410 y 3x410dan y 3x410 Jadi, Persamaan garis singgung pada lingkaran L=x2 y2 16 yang gradien 3 adalahy 3x 4 10 dan y 3x - 4 10 B. Untuk lingkaran dengan pusat di A(a, b) dan iari-iari r pada lingkaran L= (xa)2 (yb)2 r2 dengan gradien m dengan rumus : Contoh : Tentukan persamaan garis singgung pada L=x2 y22x 4y 0 seiaiar dengan garis 5x12y 15 0 Penyelesaian L=x2 y22x 4y4 0 L=(x1)21 (y 2)24 4 L=(x -1)2 (y 2)2 9, pusat (1, -2) dan r 3 garis 5x12 y 15 0 y 125x 215~ gradien 125 garis singgung seiaiar dengan garis 5x12y 15 0 mempunyai gradien m 125 Pers: (y 2) 125(x -1)321251'+

'

+ (y 2) 125 (x -1)1239 12 y 24 5x539 5x12y2939 0 5x12y 10 0 dan5x12y68 0 iadi persamaan garis singgung pada lingkaran L=x2 y22x 4y4 0 maka seiaiar dengan garis 5x12y 15 0, adalah 5x12y 10 0 dan 5x12y68 0 (y b) m (x a)r 21 m +1.4.3PersamaanGarisSinggungPadaLingkaranYangMelaluiSebuahTitikDi Luar Lingkaran Langkah 1 Persamaan garis melalui P )1 1, v x , missal m, Persamaannya adalah) (1 1x x m v v= atau 1 1v Mx Mx v += Langkah 2 Subtitusi 1 1v Mx Mx v += , ke persamaan lingkaran Langkah 3 maka nilai D 0, dari D 0 diperoleh nilai-nilai m, subtitusi nilai m ke persamaan 1 1v Mx Mx v += 1.5 POSISI DUA LINGKARAN (PENGAYAAN) Berpotongan di dalam Berpotongan di luar Bersinggungan di dalam Bersinggungan di luar Tidak berpotongan maupun bersinggungan di dalam Tidak berpotongan maupun bersinggungan di luar Saling lepas Daftar Pustaka Emiah Takari R, dkk. 2002. Buku Matematika Umum. Bandung : Epsilon Group Sumarno,Ade,Baharudin,danDediRohendri.1980.PenuntunBelaiarMatematika. Bandung : Elipson Group. KATA PENGANTAR Puii Syukur kehadirat Allah SWT. karena atas nikmat dan karunia-ya sehingga penyusunandapatmembuatModulPersamaanLingkarandanGarisSinggungini. Dalam penyusunanmodulini, penyusunmenyadaribahwa dalam pembuatanmodulini masih terdapat banyak kekurangan, maka dari itu penyusun berusaha untuk memperbaiki modul ini demi kesempurnaan di masa yang akan datang, maka dari itu kritik dan saran yang bersiIat membangun sangat di harapkan. Akhirkatapenyusunbanyakmengucapkanterimakasihkepadasemuapihak yangtelahberpartisipasidalampembuatanmodulini,dansemogamodulinidapat bermanIaat bagi yang membacanya. Pagaralam,Juni 2011 Penyusun Daftar Isi Kata Pengantar ................................................................................................................DaItar Isi ......................................................................................................................... PERSAMAA LIGKARA DA GARIS SIGGUG 1.1 PERSAMAA-PERSAMAA LIGKARA .........................................................1.1.1 Persamaan lingkaran yang berpusat di O (0,0) dan beriari-iari r ..............................1.1.2 Persamaan lingkaran yang berpusat di A (a,b) dan beriari-iari r ..............................1.1.3 Bentuk umum persamaan lingkaran ........................................................................A. Menyatakan bentuk umum persamaan lingkaran ................................................B. Menentukan pusat dan iari-iari lingkaran ...........................................................1.2 POSISI SUATU TITIK TERHADAP LIGKARA ................................................1.2.1 Posisi suatu titik terhadap lingkaran L=x2 y2 r2 ..........................................................................1.2.2 Posisi suatu titik terhadap lingkaran L=(xa)2 (yb)2 r2 ................................................ 1.2.3 Posisi suatu titik terhadap lingkaran L= x2 y2 Ax By C 0 .......................1.3 POSISI GARIS TERHADAP LIGKARA ............................................................1.4 PERSAMAA GARIS SIGGUG LIGKARA .................................................1.4.1 Persamaan garis singgung lingkaran yang melaluisebuah titik pada lingkaran .....................................................................................A. Untuk lingkaran pada pusat O (0,0) dan iari-iari r ..............................................B. Untuk lingkaran pada pusat A (a, b) dan iari-iari r ..............................................1.4.2 Persamaan garis singgung lingkaran yang gradienya diketahui ...............................A. Untuk lingkaran dengan pusat di O (0,0) dan iari-iari r .......................................B. Untuk lingkaran dengan pusat di A (a, b) dan iari-iari r ......................................1.4.3 Persamaan garis singgung lingkaran yang melaluisebuah titik di luar lingkaran...................................................................................1.5 POSISI DUA LIGKARA (PEGAYAA) ......................................................... DaItar Pustaka MODUL PERSAMAAN LINGKARAN DAN GARIS SINGGUNG Disusun Oleh : Ari Kurniawan Suhada Akum Tri Oktarin Yuswita Sari Dosen Pengasuh : Halimah Tusa`diah, S.Pd Smester : IV. G / Matematika SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP) MUHAMMADIYAH PAGARALAM TAHUN AKADEMIK 2010/2011