BENTUK BILINEAR DAN KUADRAT

BENTUK BILINEAR Suatu ekspresi yang linear dan homogen pada setiap himpunan peubah (x1, x2, ...xn) dan (y1, y2, ...yn) disebut bentuk bilinear dari peubah-peubah ini.

Bentuk umum: f(x,y) = a11x1y1 + a12x1y2 + ... + a1nx1yn + a21x2y1 + a22x2y2 + ... + a2nx2yn + ................................................ + am1xmy1 + am2xmy2 + ... + amnxmyn

BENTUK BILINEAR

BENTUK BILINEAR Contoh1: Bentuk bilinear x1y1 + x1y3 + x2y1 + x2y2 + x3y3

BENTUK BILINEAR Contoh 2: MisalkanNyatakan dalam bentuk matriks, Dimana

BENTUK KUADRAT Polinom homogen:

Yang koefisien-koefisien aij adalah elemen bentuk kuadrat dalam peubah-peubah x1, x2, , xn.

BENTUK KUADRAT Contoh:q = x12 + 2x22 7x32 4x1x2 + 8x1x3

Matriks simetri A = [aij] disebut matriks dari bentuk kuadrat dan rank A disebut rank bentuk kuadrat. Jika rank r

BENTUK KUADRAT TRANSFORMASITransformasi X = BY akan membawa bentuk kuadrat dengan matriks A ke dalam bentuk kuadrat;

Dengan matriks simetris BTABContoh: reduksi

BENTUK KUADRAT REDUKSI LAGRANGEq = x12 + 2x22 7x32 4x1x2 + 8x1x3

= {x12 4x1(x2 -2X3)}+ 2x22 7x32

= (x1 2X2 + 4X3)2 2(x2 4x3)2 + 9X32

BENTUK KUADRAT Jadi:

y1 = x1 - 2x2 + 4x3y2 = x2 4x3y3 = x3

x1 = y1 + 2y2 + 4y3x2 = y2 + 4y3x3 = y3

Mereduksi q menjadi y12 2y22 + 9y32

NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUMTEOREMAAnggap A adalah matriks simetris nxn yang nilai eigennya dalam urutan yang menurun ukurannya adalah . Jika x dibatasi sehingga x = 1 relatif terhadap hasilkali dalam Rn, maka:

jika x adalah suatu vektor eigen dari A yang berpadanan dengan dan jika x adalah suatu eigen vektor dari A yang berpadanan dengan

NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUMDari teorema didapatkan bahwa berdasarkan batasan

Bentuk kuadratik mempunyai nilai maksimum (nilai eigen terbesar) dan suatu nilai minimum (nilai eigen terkecil)

Contoh: Cari nilai maksimum dan minimum dari bentuk kuadratik: berdasarkan batasan , dan tentukan nilai x1 dan x2 di mana maksimum dan minimum muncul

NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUMPenyelesaian: Nilai eigen dari A adalah yang masing-masing merupakan nilai maksimum dan minimum dari bentuk keuadratik berdasarkan batasan yang ditentukan. Dengan menormalkan vektor-vektor eigen untuk memenuhi syarat diperoleh:

Matriks definit positifDEFINISI:Suatu bentuk kuadratik disebut definit positif jika untuk semua , dan semua matriks simetris A disebut matriks semi definit positif jika adalah suatu bentuk kuadratik definit positif

TEOREMA:Suatu matriks simetris A definit positif jika dan hanya jika semua nilai eigen dari A positif.

Matriks definit positifTEOREMA:Suatu matriks simetris A definit positif jika dan hanya jika determinan dari setiap sub-matriks utamanya positif.

Contoh: matriks

Definit positif karena:

Matriks definit positifCATATAN:Suatu matriks simetris A dan bentuk kuadratik disebut:

Semi Definit Positif jika untuk semua xSemi Negatif jika untuk semuaSemi Definit Negatif jika untuk semua xNon Definit jika mempunyai nilai positif dan negatif

Contoh SoalCari nilai maksimum dan minimum dari bentuk kuadratik berdasarkan batasan , dan tentukan nilai x1 dan x2 yang merupakan nilai maksimum dan minimum

Contoh SoalCari nilai maksimum dan minimum dari bentuk kuadratik berdasarkan batasan dan tentukan nilai x1, x2 dan x3 dimana maksimum dan minimum

Contoh SoalKlasifikasikan matriks yang diberikan sebagai matriks yang definit positif, semi definit positif, definit negatif atau semi definit negatif