PRESENTASI

GEOMETRINON EUCLID

7 SEPTEMBER 2010

KELOMPOK 1

• DIANA WAHYUNING FITAWATI

• AHMAD DZULFIKAR• ARNASLI YAHYA

Geometri Empat Titik•Aksioma 1: terdapat

tepat empat titik.•Aksioma 2: sebarang dua titik berbeda, pada tepat

satu garis.•Aksioma 3: setiap garis

pada tepat dua titik.

Interpretasi

DefinisiDua garis pada titik yang sama

dikatakan berpotongan dan dua garis itu disebut garis-garis berpotongan.

Contoh:

k dan g, l dan g, l dan m, m dan n, n dan g, h dan l, h dan m, k dan n adalah garis-garis berpotongan. Sedangkan garis h dan k tidak

berpotongan.

DefinisiDua garis yang tidak

berpotongan dikatakan sejajar.Contoh:

garis h sejajar k, l sejajar n, dan m sejajar g.

Teorema 1Jika dua garis berbeda berpotongan maka

mereka mempunyai satu titik sekutu.Bukti:

Menurut definisi dua garis berpotongan mempunyai minimal satu titik sekutu.

Sebut garis itu g dan h, dan titik sekutu itu A. Berarti A pada g dan A pada h.

Andai ada satu titik sekutu lain sebut titik B, berarti B pada g dan B pada h. berarti melalui A dan B terdapat lebih dari satu

garis, hal ini kontradiksi dengan aksioma 2. Jadi pengandaian salah . Terbukti 2

garis berpotongan mempunyai tepat satu titik sekutu.

Teorema 2Terdapat enam garis.

Bukti:Menurut aksioma 1: ada empat

titik.Menurut aksioma 2: sebarang

dua titik berbeda terdapat satu garis, sehingga dari

kedua aksioma ini didapat banyaknya garis ada

kombinasi 2 dari 4, yaitu 6 garis.

Teorema 3Setiap titik pada tepat tiga garis.

Bukti:Menurut aksioma 1 ada tepat 4 titik, sebut

titik-titik itu A, B, C, dan D. Menurut aksioma 2: dua titik berbeda menentukan tepat satu garis. Berarti dari satu titik ada minimal 3

garis. Andaikan ada garis keempat, menurut aksioma 3 setiap garis pada tepat 2 titik.

Berarti garis keempat pasti melalui satu dari ketiga titik lainnya, sehingga ada dua titik berbeda yang mempunyai lebih dari satu garis pad keduanya. Hal ini kontradiksi dengan aksioma 2. Jadi tidak ada garis keempat, terbukti ada tepat 3 garis.

Teorema 4Setiap garis mempunyai tepat satu garis

yang sejajar dengannya.Bukti:

Menurut aksioma 1: ada tepat empat titik, sebut P, Q, R, dan S. Menurut aksioma 2:

melalui sebarang titik Q dan R ada tepat satu garis, sebut l. Sedangkan menurut teorema 3, setiap titik ada tepat tiga garis, berarti di suatu titik P tidak pada l ada tepat 3 garis.

Dua dari tiga garis ini pasti memotong l (aksioma 2). Andaikan garis ketiga

memotong l maka perpotongannya adalah satu titik. Titik ini pasti berbeda dengan dua titik pada l (karena aksioma 2), berarti ada

titik yang ketiga. Kontradiksi dengan aksioma 3, sehingga pengandaian salah.

Terbukti ada tepat satu garis yang sejajar l.

Geometri FanoInisiatif pertama dalam mempelajari geometri finite datang dari Gino Fano. Pada tahun 1892,

fano menemukan geometri finite 3 dimensi yang mempunyai 15 titik, 35 garis, dan 15 bidang.

Satu dari bidang-bidang tersebut adalah geometri fano. Sebagai undefined terms

ditetapkan titik, garis, dan pada. Aksioma-aksiomanya adalah:

Aksioma 1: terdapat minimal satu garisAksioma 2: terdapat tepat tiga titik pada setiap

garisAksioma 3: tidak semua titik segaris

Aksioma 4: terdapat tepat satu garis pada sebarang dua titik berbeda

Aksioma 5: terdapat minimal satu titik pada sebarang dua garis berbeda

Penyajian dari Suatu Model Geometri Fano

A A A B C C EB G E G G F BC F D D E D Fl1 l2 l3 l4 l5 l6 l7

Teorema 1 FanoDua garis berbeda mempunyai tepat satu

titik sekutuBukti:

Menurut aksioma ke 5 terdapat minimal satu titik pada sebarang dua garis berbeda.Sebut garis itu k dan g dengan titik sekutu

P, andaikan ada titik sekutu lain yaitu Q maka:

P pada k dan Q pada k, demikian pula P pada g dan Q pada g.

Berarti untuk dua titik berbeda P dan Q terdapat dua garis.

Hal ini kontradiksi dengan aksioma ke 4. Jadi dua garis berbeda mempunyai tepat

satu titik sekutu.

Teorema 2 FanoGeometri Fano mempunyai tepat 7 titik dan 7

garisBukti:

Menurut aksioma -1, terdapat minimal 1 garis, garis itu kita sebut l. Menurut aksioma -2, pada garis l ada tepat tiga titik, sebut titik A, B, dan

C.Menurut aksioma -3, tidak semua titik pada garis l, berarti minimal 1 titik tidak pada l, sebut titik

itu P.Jadi ada minimal 4 titik, yaitu A, B, C, dan P.Menurut aksioma -4, P dan setiap titik pada l

menentukan garis-garis berbeda.Menurut aksioma -2, garis-garis ini masing-

masing memuat tiga titik. Karena untuk setiap dua titik hanya ada 1 garis (aksioma -4) maka 3

titik tadi pasti bukan A, B, C ataupun P.Jadi minimal ada 7 titik, A, B, C, P, Q, R, dan S.

Teorema 2 FanoAndaikan ada titik ke -8 yaitu K, maka P dan K menentukan garis

h=garis PQ (aksioma -4).Menurut aksioma -5, h dan l pasti

berpotongan.Titik potong h dan l pasti bukan A, B, ataupun C, karena setiap 2 titik

menentukan garis tunggal.Karena ini berarti l memuat 4 titik.Hal ini kontradiksi dengan aksioma

-2.Jadi tidak mungkin ada titik

kedelapan, sehingga tepat ada 7 titik.

Geometri YoungGeometri Young mempunyai

lima aksioma, empat aksioma pertama sama dengan empat aksioma pertama geometri

Fano. Sedangkan aksioma ke -5 menyatakan:

”Untuk setiap garis l dan titik P tidak pada l terdapat tepat

1 garis yang melalui P dan tidak memuat titik pada l”.

Geometri Young

Teorema 1 YoungDi setiap titik terdapat minimal 4

garis.Bukti:

Menurut aksioma -1: ada minimal satu garis, sebut garis itu l.

Menurut aksioma -2: ada tepat 3 titik pada setiap garis.

Berarti di l ada 3 titik, sebut titik itu A, B, dan C.

Menurut aksioma -3: tidak semua titik segaris.

Berarti ada titik tidak pada l, sebut P.

Teorema 1 YoungMenurut aksioma -4: ada tepat satu

garis pada sebarang dua titik berbeda.

Jadi ada minimal 3 garis melalui sebarang titik P.

Menurut aksioma -5: di P tidak pada l ada satu garis yang tidak memuat

titik pada l.Jadi ada minimal 4 garis di P.

Teorema 2 YoungTerdapat tepat 9 titik.

Bukti:Berdasarkan aksioma 1 dan 2 didapat ada

minimal 3 titik pada garis l.sedang menurut aksioma 3 tidak semua titik

segaris, berarti ada minimal 1 titik yang tidak pada l, sebut titik P.

sehingga ada minimal 4 titik.Aksioma -4 menyatakan setiap 2 titik

menentukan garis.Berarti P dan titik-titik pada l menentukan

garis, yaitu l1, l2, dan l3.Di setiap garis ini ada tepat 3 titik (aksioma 2).3 titik ini pasti bukan 4 titik tadi karena untuk

setiap 2 titik ada tepat 1 garis, sehingga minimal ada 7 titik.

Teorema 2 YoungTerdapat tepat 9 titik.

Bukti:Menurut teorema 1: di P ada minimal 4 garis.

Menurut aksioma 5: l4 tidak memotong l.Menurut aksioma 2: di l4 ada tepat 3 titik. Jadi

ada minimal 9 titik.Andai ada titik ke -10 yaitu Q.

Menurut aksioma 4: P dan Q menentukan 1 garis.Titik Q pasti tidak pada l, karena kalau Q pada l

berarti di l ada lebih dari 3 titik. Kontradiksi dengan aksioma 2.

Sehingga di P ada lebih dari 1 garis yang tidak memuat titik pada l.

kontradiksi dengan aksioma 5.Jadi tidak ada titik yang ke 10.

Terbukti ada tepat 9 titik.

Teorema 3 YoungTerdapat tepat 12 garis.

Bukti:Menurut teorema -2 ada tepat 9 titik.

Untuk memudahkan kita sebut saja titik-titik itu A, B, C, D, E, F, G, H, dan I.

Jadi di dapat:A A A B B B C C D D G HB D E E D F F E E H H FC G I H I G I G F C I Al1 l2 l3 l4 l5 l6 l7 l8 l9 l10 l11 l12

Geometri InsidensiAksioma 1: setiap dua titik

berbeda pada tepat satu garis.Aksioma 2: untuk setiap garis, minimal dua titik berbeda pada

garis itu.Aksioma 3: terdapat minimal tiga

titik berbeda.Aksioma 4: tidak semua titik

segaris.Suatu geometri yang memenuhi

keempat aksioma tersebut disebut Geometri Insidensi.

PadananGeometri empat titik adalah geometri

insidensi. Hal ini dapat dilihat dari padanan berikut ini.

Jelas semua aksioma-aksioma geometri Insidensi dipenuhi oleh aksioma-aksioma

geometri 4 titik.Jadi geometri 4 titik merupakan geometri

Insidensi.

Geometri Insidensi Geometri 4 titikAksioma 1 Aksioma 2Aksioma 2 Aksioma 3Aksioma 3 Aksioma 1Aksioma 4 Aksioma 1, Aksioma 2,

Aksioma 3

PadananGeometri Fano dan Young adalah

geometri insidensi. Hal ini dapat dilihat dari padanan berikut ini.

Jelas semua aksioma-aksioma geometri Insidensi dipenuhi oleh aksioma-aksioma

geometri Fano dan young.Jadi geometri Fano merupakan geometri

Insidensi.

Geometri Insidensi Geometri FanoAksioma 1 Aksioma 4Aksioma 2 Aksioma 2Aksioma 3 Aksioma 1, aksioma 2Aksioma 4 Aksioma 3

PadananGeometri Young adalah geometri

insidensi. Hal ini dapat dilihat dari padanan berikut ini.

Jelas semua aksioma-aksioma geometri Insidensi dipenuhi oleh aksioma-aksioma

geometri Young.Jadi geometri Young merupakan geometri

Insidensi.

Geometri Insidensi Geometri YoungAksioma 1 Aksioma 2, Aksioma 3Aksioma 2 Aksioma 2Aksioma 3 Aksioma 4Aksioma 4 Aksioma 1

Aksioma 3, Aksioma 4

Teorema 1 Geometri InsidensiJika dua garis berbeda berpotongan maka

perpotongannya pada tepat satu titik.Bukti:

Misalkan garis itu l dan m.Jika l dan m berpotongan menurut definisi mereka berpotongan pada minimal satu

titik, sebut P.Andaikan l dan m juga berpotongan di Q, maka melalui P dan Q terdapat garis PQ, sehingga melalui P dan Q ada lebih dari

garis.Kontradiksi dengan aksioma 1 insidensi.Terbukti l dan m berpotongan pada tepat

satu titik.

Teorema 2 Geometri InsidensiUntuk setiap titik terdapat minimal dua garis

yang memuat titik itu.Bukti:

Menurut aksioma 3: terdapat minimal 3 titik berbeda

Menurut aksioma 4: tak semua titik segarisBerarti untuk setiap titik P terdapat minimal 1

garis yang tidak memuat P.Menurut aksioma 2: setiap garis memuat minimal

2 titik berbeda.Sehingga garis yang tak memuat P tadi minimal

memuat 2 titik berbeda.Menurut aksioma 1, P dan titik-titik pada garis

tadi terdapat tepat 1 garis.Jadi di setiap titik P ada minimal 2 garis.

Teorema 3 Geometri Insidensi

Terdapat tiga garis yang tidak bersekutu di satu titik

Bukti:Menurut aksioma 3 dan 4

berarti ada 3 titik yang tidak segaris.

Jadi minimal ada 3 garis (aksioma 1) dan garis-garis

tidak bersekutu di satu titik.

Kesejajaran pada Geometri Insidensi

Jika l suatu garis dan P sebarang titik tidak pada l, maka terdapat tiga

kemungkinan (alternatif) untuk aksioma kesejajaran, sebagai

berikut:• Tidak ada garis yang melalui P

sejajar l.• Ada tepat satu garis melalui P

sejajar l.• Ada lebih dari satu garis melalui P

sejajar l.Geometri insidensi yang memenuhi

alternatif ke-1 atau ke-3 disebut geometri non Euclid, sedang yang memenuhi alternatif ke-2 disebut

geometri Euclid.

KesimpulanGeometri insidensi sebagai suatu sistem aksiomatik

menetapkan titik, garis, dan pada sebagai undefinied terms dengan 4 aksioma, yaitu:

• Aksioma 1: setiap dua titik berbeda pada tepat satu garis

• Aksioma 2: untuk setiap garis minimal 2 titik berbeda pada garis itu

• Aksioma 3: terdapat minimal tiga titik berbeda• Aksioma 4: tidak semua titik segaris

Terdapat tiga alternatif kesejajaran pada geometri insidensi jika g suatu garis dan P titik tidak pada

garis g, maka:• Tidak ada garis melalui P sejajar g

• Ada tepat satu garis melalui P sejajar garis g• Ada lebih dari satu garis melalui P sejajar garis g

Geometri insidensi yang memenuhi alternatif kesejajaran i) atau iii) disebut geometri non euclid, dan yang memenuhi alternatif iii) disebut geometri

euclid.