Selamat Datang Dalam Kuliah Terbuka Ini

1

Kuliah terbuka kali ini berjudul

“Pilihan Topik Matematika -I”

2

Disajikan olehSudaryatno Sudirham

melaluiwww.darpublic.com

3

Isi KuliahFungsi dan GrafikFungsi LinierGabungan Fungsi LinierMononom dan PolinomBangun GeometrisFungsi TrigonometriGabungan Fungsi SinusFungsi Log Natural,

Eksponensial, HiperbolikKoordinat Polar

4

5

Sesi pertama ini akan membahas

Fungsi dan Grafik

Fungsi

6

Apabila suatu besaran y

memiliki nilai yang tergantung dari nilai besaran lain x

maka dikatakan bahwa

y merupakan fungsi x

(Pembahasan Tentang Fungsi dan Grafikdibatasi pada fungsi dengan peubah bebas tunggal

yang berupa bilangan nyata)

panjang sebatang batang logam (= y)

merupakan fungsi temperatur (= x)

Secara umum pernyataan bahwa y merupakan fungsi x dituliskan

)(xfy

y disebut peubah tak bebas

nilainya tergantung x

x disebut peubah bebas

bisa bernilai sembarang

Dalam pelajaran ini kita hanya akan melihat x yang berupa bilangan nyata.

Selain bilangan nyata kita mengenal bilangan kompleks yang dibahas dalam pelajaran mengenai bilangan kompleks.

Walaupun nilai x bisa berubah secara bebas, namun nilai x tetap harus ditentukan sebatas mana ia boleh bervariasi

Contoh:

7

Domain

Domain ialah rentang nilai (interval nilai) di mana peubah-bebas x bervariasi.

a brentang terbuka

a < x < b a dan b tidak termasuk dalam rentang

rentang setengah terbuka a b

a x < b a masuk dalam rentang, tetapi b tidak

rentang tertutup a b

a x b a dan b masuk dalam rentang

Ada tiga macam rentang nilai yaitu:

8

Sistem koordinat x-y atau koordinat sudut-siku

P[2,1]

Q[-2,2]

R[-3,-3]

S[3,-2]

-4

-3

-2

-1

1

2

3y

0-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

IV

III

III

sumbu-x

sumbu-y

Bidang dibatasi oleh dua sumbu, yaitu sumbu mendatar yang kita sebut sumbu-x dan sumbu tegak yang kita sebut sumbu-y.

Bidang terbagi dalam 4 kuadran yaitu Kuadran I, II, III, dan IV

(koordinat Cartesian, dikemukakan oleh des Cartes)

Posisi titik pada bidang dinyatakan dalam

koordinat [x, y]

9

Kurva dari Suatu Fungsi

xy 5,0

Setiap nilai x akan menentukan satu nilai y

x -1 0 1 2 3 4 dst.

y -0,5 0 0,5 1 1,5 2 dst.

x

y

10

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

-1

0 1 2 3 4 x

y

ΔxΔy

P

RQ

xy 5,0Kurva

Titik P, Q, R, terletak pada kurva

Kemiringan kurva:

Kita lihat fungsi:

(kita baca: “delta x per delta y”)

Kekontinyuan

Suatu fungsi yang kontinyu dalam suatu rentang nilai x tertentu, akan membentuk kurva yang tidak terputus dalam rentang tersebut.

Suatu fungsi y = f(x) yang terdefinisi di sekitar x = c dikatakan kontinyu di x = c jika dipenuhi dua syarat:

(1) fungsi tersebut memiliki nilai yang terdefinisi sebesar f(c) di x = c;

(2) nilai f(x) akan menuju f(c) jika x menuju c; pernyataan ini kita tuliskan sebagai

yang kita baca: limit f(x) untuk x menuju c sama dengan f(c).)()(lim cfxf

cx

11

Contoh:

y = 1/x

y = 1/x

y

x

-1

0

1

-10 -5 0 5 10

Tak terdefinisikan di x = 0

y = u(x)1

y

x00

Terdefinisikan di x = 0

yaitu y|x=0 = 1

(y untuk x = 0 adalah 1)

(y untuk x = 0 tidak dapat ditentukan nilainya)

12

Kesimetrisan

1. Jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan x maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y;

2. Jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III.

3. Jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-x.

4. Jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan x dan y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].

13

Contoh:

y = 0,3x2

y = 0,05x3

y2 + x2 = 9

x

-6

-3

0

3

6

-6 -3 0 3 6

y

tidak berubah jika x dan y diganti dengan x dan y

tidak berubah bila x diganti x

tidak berubah jika:x diganti xx dan y diganti dengan x dan yx dan y dipertukarkany diganti dengan y

(simetris terhadap sumbu-y)

(simetris terhadap titik [0,0])

14

Pernyataan Fungsi Bentuk Implisit

8

1

1

22

2

22

yxyx

xy

xy

yx

)(xfy Pernyataan fungsi

Pernyataan bentuk implisit

Walaupun tidak dinyatakan secara eksplisit, setiap nilai peubah-bebas x akan memberikan satu atau lebih nilai

peubah-tak-bebas y

dapat diubah ke bentuk eksplisit

/1

1 2

xy

xy

xy

0)8( 22 xxyy

2

)8(4

2

22

xxxy

disebut bentuk eksplisit.

-8

-4

0

4

8

-4 -2 0 2 4

x

y

15

Fungsi Bernilai Tunggal

Fungsi bernilai tunggal adalah fungsi yang hanya memiliki satu nilai peubah-tak-bebas

untuk setiap nilai peubah-bebas

0

4

8

-1 0 1 2 3 4x

y25,0 xy

0

0,8

1,6

0 1 2x

y

xy

-1,6

-0,8

00 1 2

x

y xy

-0,8

0

0,8

0 1 2 3 4x

y xy 10log

0

2

4

-4 -2 0 2 4x

y

2xxy

Contoh:

16

Fungsi Bernilai Banyak

-2

-1

0

1

2

0 1 2 3

x

y

xy

Fungsi bernilai banyak adalah fungsi yang memiliki lebih dari satu nilai peubah-tak-bebas

untuk setiap nilai peubah-bebas

-10

-5

0

5

10

0 1 2 3x

y

xy /12 xy /1

Contoh:

17

Fungsi Dengan Banyak Peubah Bebas

Secara umum kita menuliskan fungsi dengan banyak peubah-bebas:

),,,,( vuzyxfw

Fungsi dengan banyak peubah bebas juga mungkin bernilai banyak, misalnya

2222 zyx

Fungsi ini akan bernilai tunggal jika dinyatakan sebagai

222 zyx

18

Sistem Koordinat Polar

Selain sistem koordinat sudut-siku di mana posisi titik dinyatakan dalam skala sumbu-x dan sumbu-y, kita mengenal pula sistem

koordinat polar.

Dalam sistem koordinat polar, posisi titik dinyatakan oleh jarak titik ke titik-asal [0,0] yang diberi simbol r, dan sudut yang terbentuk antara r dengan sumbu-x yang diberi simbol

Hubungan antara koordinat sudut siku dan koordinat polar adalah sebagai berikut

sinry

cosrx

22 yxr

)/(tan 1 xyx

P

r

y

rsin

rcos

19

Mengenai koordinat polar akan kita pelajari lebih lanjut di sesi terakhir. Berikut ini hanya sekedar contoh.

Contoh:

-3

-2

-1

0

1

2

3

-5 -3 -1 1

y

x

r

P[r,]

Bentuk ini disebut cardioid

)cos1(2 r

20

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

-1 0 1 2 3x

y

r

P[r,]y = 2

2rContoh:

21

Kuliah Terbuka

Pilihan Topik Matematika

Sesi 1

Sudaryatno Sudirham

22