skripta_usmeni matematika

Skripta za pripremu polaganjausmenog dijela ispita iz Matematike na EFZG

Aleksandar Hatzivelkos(matematika-efzg.info)

Sadraj

1 Uvod 3

2 Elementi linearne algebre 4

3 Diferencijalni racun i primjene 15

4 Integralni racun i dinamicka analiza 27

5 Financijska matematika 32

6 Primjeri rijeenih ispitnih rokova 37

2

1 Uvod

Ova je skripta nastala kroz viegodinji rad sa studentima Ekonomskog fakulteta u Zagrebu, s ciljem kako bi se jednos-tavnim rjecnikom - a opet matematicki tocno - na jednom mjestu saelo gradivo koje je potrebno savladati za polaganjeusmenog dijela ispita iz Matematike na EFZG.

Skripta je sastavljana prema popisu ispitnih pitanja navedenih na slubenoj web stranici Katedre za matematiku EFZG,te na kraju skripte moete pronaci i nekoliko rijeenih (pismenih) usmenih ispita, koji su svojevremeno bili javno dostupnina stranicama Katedre. U ovim materijalima moete pronaci objanjenje osnovnih pojmova potrebnih za polaganje ispita,no moram napomenuti kako sama skripta nije dovoljno opirna kako bi svojim sadrajem u potpunosti pokrila gradivo kojese predaje na predavanjima kolegija, ili koje je obradeno u knjizi prof. Neralica i prof. ege "Matematika".

Skripta je prvenstveno zamiljena kao kostur i pregled osnovnih pojmova i teorema, te kao ispomoc u pripremama zapolaganje ispita iz Matematike. Nadam se da ce Vam biti od pomoci.

Aleksandar Hatzivelkos

3

2 Elementi linearne algebre

1. Definicija matrice, format matrice, tipovi matrica, trag matrice.

Rjeenje (matematika-efzg.info):

Matricom A zovemo pravokutnu tablicu brojeva, ili opcenito, simbola koji se mogu mnoiti i zbrajati. Za matricu Akaemo da ima m redaka i n stupaca, m, n N, tj da je A Mm,n, te ju piemo na slijedeci nacin:

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

.... . .

...am1 am2 . . . amn

.Matrica moe imati jednak broj redaka i stupaca, primjerice n. Tada ju nazivamo kvadratnom, i piemo A Mn.

Tipovi matrica:

Nul-matricom nazivamo svaku matricu kojoj su svi elementi jednaki nuli. Dijagonalna matrica je kvadratna matrica kojoj su svi elementi izvan glavne dijagonale jednaki nuli. Na dijago-

nali mogu biti proizvoljni brojevi, bez obzira da li su isti, razliciti ili pak jednaki nuli. Sve tri slijedece matrice sudijagonalne:

4 0 0 00 12 0 00 0 0 00 0 0 1

, 2 0 00 2 00 0 2

,[

0 00 0

].

Skalarna matrica je dijagonalna matrica kojoj su svi elementi na glavnoj dijagonali jednaki. U prethodnomprimjeru, prva matrica nije skalarna, ali druga i treca jesu.

Jedinicna matrica je skalarna matrica kojoj su svi elementi na glavnoj dijagonali jednaki 1.

Za daljnje definiranje tipova matrica, potrebno je definirati operaciju transponiranja. Transponiranje je operacija koja

matrici retke prebacuje u stupce. Ako je matrica A =

1 2 30 2 31 0 5, tada je AT =

1 0 12 2 03 3 5.

Simetricna matrica je kvadratna matrica A za koju vrijedi AT = A, tj ai j = a ji. Vizualno te matrice prepoznajemopo tome to se elementi matrice zrcale obzirom na glavnu dijagonalu, dok na dijagonali mogu biti proizvoljnibrojevi. Od slijedece dvije matrice prva jest, a druga nije simetricna: 4 5 75 0 07 0 1

,[

1 11 1

].

Antisimetricna matrica je kvadratna matrica A za koju vrijedi AT = A, tj ai j = a ji. Vizualno te matriceprepoznajemo po tome to se elementi matrice zrcale i mijenjaju predznak obzirom na glavnu dijagonalu, dok nadijagonali moraju biti nule. Od slijedece dvije matrice prva jest, a druga nije antisimetricna: 0 5 75 0 07 0 0

, 0 2 72 0 107 10 1

.Za kvadratnu matricu A = [ai j], A Mn, trag matrice definiramo kao zbroj elemenata na glavnoj dijagonali, tj.tr(A) =

ni=1 aii.

4

2. Jednakost matrica, uredaj u skupu Mmn.


Dvije matrice A = [ai j] i B = [bi j] su jednake ukoliko su:

a) jednakih dimenzija (istog tipa), tj. A, B Mmn,b) svi elementi na odgovarajucim mjestima jednaki, tj. ai j = bi j za svaki i = 1, ...,m, j = 1, ..., n.

Pojam "uredaja" na nekom skupu predstavlja pravilo pomocu kojega odredjujemo koji je element veci a koji manji udanom skupu. U skupu Mmn, tj. u skupu matrica ne postoji uredaj, tj. za proizvoljne dvije matrice A i B ne moemoreci da je jedna veca, a druga manja, no na kupu Mmn postoji parcijalni uredaj definiran na slijedeci nacin:

Za matrice A i B kaemo da je A < B ako je svaki element matrice A manji od odgovarajucegelementa matrice B, tj ako vrijedi ai j < bi j za sve i = 1, ,m i j = 1, , n.

Primjerice, matrica A =[

1 21 2

]je manja od matrice B =

[3 33 3

], no matrica A i matrica C =

[0 30 3

]su

neusporedive, tj. niti je A > C niti je A < C.

3. Zbrajanje matrica i svojstva operacije zbrajanja u skupu Mmn.


Dvije matrice moemo zbrojiti jedino ako su istog tipa (istih dimenzija), tj. ako su i A, B Mmn. Zbrajanje provodimopo koordinatama: za matricu C Mmn vrijedi C = A + B ako za sve elemente matrice C vrijedi ci j = ai j + bi j. Naprimjer: 0 4 62 1 19 12 2

+ 1 5 22 3 07 0 2

= 1 9 84 2 116 12 4

Matrice koje nisu istog tipa (istih dimenzija) ne moemo zbrajati.

Svojstva zbrajanja matrica:

Zbrajanje matrica je komutativno, tj. vrijedi A + B = B + A. Zbrajanje matrica je asocijativno, tj. vrijedi (A + B) + C = A + (B + C).

Dakle, svejedno je da li prvo zbrojimo matrice A i B, pa potom zbroju dodamo matricu C, ili pak prvo zbrojimo Bi C, pa potom zbroju dodamo A; rezultat je isti.

Zbrajanje matrica posjeduje neutralni element, tj. postoji matrica N takva da je A + N = A, odnosno N + A = A.Takva matrica je nul-matrica, tj. matrica ciji su svi elementi jednaki nuli.

4. Mnoenje broja i matrice i svojstva ove operacije.


Mnoenje broja i matrice naziva se jo "mnoenje matrice skalarom". Matrica proizvoljnog tipa (dimenzije) se mnoiskalarom na nacin da se svi elementi te matrice pomnoe tim brojem. Na primjer:

3 1 5 22 3 07 0 2

= 3 15 66 9 021 0 6

Svojstva mnoenja skalarom:Sa c, d R oznacimo skalare, a sa A, B Mmn matrice. Tada vrijedi

5

Mnoenje skalarom je distributivno obzirom na zbrajanje matrica, tj. c (A + B) = cA + cB. Mnoenje skalarom je distributivno obzirom na zbrajanje skalara, tj. (c + d) A = cA + dA. Mnoenje skalarom je komutativno, tj c A = A c. Mnoenje skalarom je asocijativno, tj (c d) A = c (d A).

Dakle, svejedno je da li prvo pomnoimo skalare c i d, pa potom tim rezultatom pomnoimo matricu A, ili pakprvo matricu A pomnoimo s d, pa potom dobivenu matricu pomnoimo sa c; rezultat je isti.

5. Skalarni produkt vektora, ortogonalnost vektora.


Vektorom zovemo jednostupcanu matricu. Dimenzijom n vektora A zovemo broj elemenata (redova) u tom vektoru, ipiemo A Rn. Evo primjera jednog trodimenzionalnog vektora A R3:

A =

3621

Na vektorima moemo upotrebljavati sve operacije koje upotrebljavamo i na matricama, poput zbrajanja (ukoliko su,naravno, vektori odgovarajucih dimenzija) ili pak mnoenja skalarom. No pored tih operacijama, na vektorima moemodefinirati jo neke dodatne operacije. Jedna od njih je skalarno mnoenje, ili skalarni produkt vektora.

Dva vektora moemo skalarno pomnoiti jedino ako su jednakih dimenzija, tj. A, B Rn. Neka su vektori A i Bdani s:

A =

a1a2...

an

, B =

b1b2...

bn

.Tada je skalarni produkt vektora A B jednak zbroju umnoaka odgovarajucih koordinata, tj.

A B =n

i=1

ai bi = a1 b1 + a2 b2 + an bn

Za primjer, skalarno pomnoimo vektore A =

3621 i B =

130:

A B = 3621

130

= 3 (1) + (6) (3) + 21 0 = 15Skalarni produkt ima geometrijsku interpretaciju: Vektori A i B su okomiti (ili ortogonalni, piemo AB) ako i samoako je njihov skalarni produkt jednak nuli (tj. A B = 0).

6. Norma vektora i svojstva norme, metrika.


Norma vektora je funkcija koja vektoru A Rn pridruuje njegovu duljinu. Postoji vie nacina za zadavanje normevektora, no najrairenija je tzv. "Euklidska norma" koju racunamo na slijedeci nacin. Neka je A = [ai] vektor iz prostoraRn. Tada je norma tog vektora (koju oznacavamo s A2 ili ponekad samo s A) dana sa:

A2 = n

i=1

a2i =

a21 + a22 + + a2n

6

Primjerice za vektor B =

130 slijedi B2 = (1)2 + (3)2 + 02 = 10.

Svojstva norme:Za vektore A, B Rn i skalar (broj) c R vrijedi Norma vektora je uvijek veca ili jednaka nuli, tj. A2 0. Za vektor A pomnoen skalarom c vrijedi: cA2 = |c| A2 Ako je A2 = 0, tada je A nul-vektor, tj. vektor kojemu su svi elementi jednaki nuli. Vrijedi nejednakost trokuta: A + B2 A2 + B2

Metrika je funkcija kojom racunamo udaljenost izmedu dva elementa nekog skupa. Kod vektora metriku (udaljenost)izmedu dva vektora A, B Rn oznacavamo s d2(A, B) i racunamo pomocu norme (indeks 2 kod funkcije metrike doznacava da metriku definiramo pomocu Euklidske norme, tj. 2):

d2(A, B) = B A2

7. Mnoenje matrica i svojstva ove operacije


Za razliku od zbrajanja koje je intuitivno jasno definirano, matrice se mnoe na specifican nacin. Prvo, da bi moglipomnoiti dvije matrice A i B, one moraju biti specificnih dimenzija - tocnije moraju biti ulancane. Matrice su ulancaneako je broj stupaca prve metrice jednak broju redaka druge matrice, tj. ako vrijedi A Mm,l, B Ml,n.Primjerice, za matrice

A =

1 5 22 3 07 0 2 , B =

2 5 2 80 1 1 44 2 2 2

moemo izracunati umnoak A B zato jer prva matrica u umnoku (A) ima tri stupca, a a druga matrica u umnoku (B)tri retka (tj, A M3,3, B M3,4).

No u isto vrijeme ne moemo izracunati umnoak B A, zbog toga jer prva matrica u umnoku (B) sad ima 4 stupca, adruga matrica u umnoku (A) ima tri retka (tj. B M3,4, A M3,3), pa matrice nisu ulancane!

Vec nam ovaj primjer pokazuje da, opcenito, mnoenje matrica nije komutativno, tj. A B , B A.

Ukoliko su matrice A Mm,l i B Ml,n odgovarajucih dimenzija, mnoenje C = A B provodimo koristeci slijedecuformulu:

ci, j =l

k=1

ai,k bk, j = ai,1 b1, j + ai,2 b2, j + ai,l bl, j

Ovom formulom se provodi slijedeci postupak: primjerice za racunanje elementa c2,3 matrice C = A B promatramodrugi red matrice A i treci stupac matrice B. Sada redom mnoimo elemente tog retka i stupca, te dobivene umnokezbrajamo a2,1 b1,3 + a2,2 b2,3 + sve dok ne dodemo do kraja retka, odnosno stupca. Buduci su matrice ulancane,redak i stupac moraju biti jednako dugacki.

Pogledajmo kako bi na gornjem primjeru matrica A i B izracunali element c2,3 matrice C = A B:c2,3 = a2,1 b1,3 + a2,2 b2,3 + a2,3 b3,3 = (2) (2) + 3 1 + 0 2 = 7

Taj je postupak potrebno ponoviti kombinirajuci sve retke iz matrice A i sve stupce iz matrice B.Svojstva mnoenja matrica:

Mnoenje matrica nije komutativno, tj. vrijedi A B , B A. Mnoenje matrica je asocijativno, tj. vrijedi (A B) C = A (B C).

7

Mnoenje matrica posjeduje neutralni element, tj. postoji matrica I takva da je A I = A, odnosno I A = A.Takva matrica je jedinicna matrica, tj. matrica ciji su svi elementi na glavnoj dijagonali jednaki 1, a van glavnedijagonale 0:

I =

1 0 00 1 0...

.... . .

...0 0 1

Mnoenje matrica je distributivno obzirom na zbrajanje matrica, tj. vrijedi A (B + C) = A B + A C.

8. Transponiranje matrica i svojstva ove operacije


Transponiranje matrice je operacija koja matrici A zamjeni retke sa stupcima. Tako prvi redak matrice A postaje prvistupac matrice AT , drugi redak matrice A drugi stupac matrice AT , itd. Formalno, ta se operacija definira na slijedecinacin: ukoliko sa ai, j oznacimo element matrice A koji se nalazi u i-tom retku i j-tom stupcu, a sa aTi, j element matriceAT koji se nalazi na toj istoj poziciji, tada vrijedi:

aTi, j = a j,i

Transponiranje matrica ima slijedeca svojstva:

(A + B)T = AT + BT , gdje su A, B Mm,n matrice (c A)T = c AT , gdje je c R realan broj, a A Mm,n matrica (A B)T = BT AT , gdje su A, B Mm,n matrice (AT )T = A, gdje je A Mm,n matrica

9. Definicija determinante, svojstva determinante.


Determinanta je preslikavanje koje kvadratnim matricama pridruuje realan broj.Sama definicija je prilicno apstraktna i glasi:

Detareminanta matrice A Mn je realan broj detA za koji vrijedi

detA =pin

sign(pi) a1,i1 a2,i2 an,in

gdje je n skup svih permutacija pi = (i1, i2, , in), a sign(pi) predznak koji se pridruuje permutaciji pi.

Svojstva determinante:

detA = detAT , tj. matrica i njoj transponirana matrica imaju jednake determinante zamjenom dvaju stupaca (ili redaka) determinante, determinante mijenja predznak determinanta se ne mijenja ako jednom stupcu (ili retku) pribrojimo neki drugi stupac (ili redak) pomnoen s

nekim brojem

determinanta sa dva jednaka ili proporcionalna stupca (ili retka) je jednaka nuli determinanta kojoj su svi elementi u nekom stupcu (ili retku) jednaki nuli, jednaka je nuli za kvadratne matrice A, B Mn vrijedi: det(A B) = detA detB (Binet - Cauchy)

8

10. Izracunavanje vrijednosti determinante pomocu Laplaceovog razvoja


Laplaceov razvoj determinante definira se na slijedeci (induktivan) nacin:

Prvo definiramo vrijednost determinante velicine 2 2: a bc d = a d c b

Potom vrijednost determinante detA reda n n definiramo pomocu vrijednosti determinante nieg reda, tj. reda(n 1) (n 1), kroz Laplaceov razvoj:

detA =n

i=1

(1)i+ j ai, j det Ai, j

gdje je Ai, j podmatrica (koju nazivamo algebarskim komplementom elementa ai j) nastala izbacivanjem retka i stupcakoji sadre element ai, j. Gornjom formulom je opisan razvoj determinante po proizvoljnom j-tom stupcu, no formulase analogno moe zapisati i za razvoj po i-tom retku:

detA =n

j=1

(1)i+ j ai, j det Ai, j

U praksi, red ili stupac po kojem cemo razvijati determinantu biramo tako da sadri to veci broju nula, kako bi to vecibroj pribrojnika u sumi bio jednak nuli.

Ilustrirajmo na jednom primjeru kako funkcionira Laplaceov razvoj. Odredimo vrijednost slijedece determinante.1 0 2 20 1 2 11 2 3 12 0 3 1

Za razvijanje determinante po Laplaceovom razvoju, najpogodnije je izabrati redak ili stupac sa to vie nula. Stoga zaovu determinantu biramo razvoj po drugom stupcu. Slijedi

= (1)1+2 0

0 2 11 3 12 3 1

+(1)2+2 1

1 2 21 3 12 3 1

+(1)3+2 (2)

1 2 20 2 12 3 1

+(1)4+2 0

1 2 20 2 11 3 1

Elementi u kojima dolazi do mnoenja s nulom nestaju, a ostale uredimo:

= (1)4

1 2 21 3 12 3 1

+ (1)5 (2)

1 2 20 2 12 3 1

=

1 2 21 3 12 3 1

+ 2

1 2 20 2 12 3 1

= ()Preostale dvije determinante takoder racunamo pomocu Laplaceovog razvoja. Prvu primjerice, moemo razviti potrecem retku, a drugu po prvom stupcu:

1 2 21 3 12 3 1

= (1)3+1 2 2 23 1

+ (1)3+2 3 1 21 1

+ (1)3+3 1 1 21 3

= 2

2 23 1 3

1 21 1 +

1 21 3

= 2 ((2) (1) 3 2

) 3

(1 (1) (1) 2

)+

(1 3 (1) (2)

)= 10

9

1 2 20 2 12 3 1

= (1)1+1 1 2 13 1

+ (1)2+1 0 2 23 1

+ (1)3+1 2 2 22 1

=

(2 1 3 1

)+ 2

((2) 1 2 2

)= 13

Sada se vratimo gdje smo stali (), i uvrstimo dobivene vrijednosti:

() = 10 + 2 (13) = 36

11. Linearna kombinacija, linearna zavisnost i nezavisnost vektora


Za dva vektora X,Y Rn linearnom kombinacijom zovemo vektorX + Y

gdje su , R neki realni brojevi.

Definicija se moe proiriti na prozvoljan broj vektora:Neka su X1, X2, , Xk Rn proizvoljni vektori. Linearnom kombinacijom tih k vektora zovemo vektor

c1X1 + c2X2 + ckXkgdje su c1, c2, , ck R realni brojevi.

Za vektor A Rn kaemo da je linearno zavisan o vektorima X1, X2, , Xk Rn, ukoliko se A moe prikazati kao li-nearna kombinacija tih vektora, tj, ukoliko postoje realni brojevi c1, c2, , ck R takvi da je A = c1X1 +c2X2 + ckXk

Za skup vektora X1, X2, , Xk Rn kaemo da su linearno nezavisni, ukoliko se nitijedan od njih ne moe prika-zati kao linearna kombinacija preostalih.

Linearna nezavisnost cesto se definira i na slijedeci nacin:Za skup vektora X1, X2, , Xk Rn kaemo da su linearno nezavisni, ukoliko sustav jednadbi

c1X1 + c2X2 + ckXk = 0gdje su c1, c2, , ck R nepoznate vrijednosti, ima samo trivijalno rjeenje, tj. ukoliko je jedino rjeenje sustavac1 = c2 = = ck = 0.

12. Singularna i regularna matrica


Za matricu A Mn kaemo da je regularna ako matrica A ima inverz (koji oznacavamo s A1), tj. ako postoji matricaA1 za koju vrijedi A A1 = I i A1 A = I (gdje je I jedinicna matrica odgovarajuceg tipa).

Osnovni kriterij za utvrdivanje regularnosti je slijedeci:Matrica A je regularna ako i samo ako je pripadna determinanta razlicita od nule, tj ako je detA , 0.

Za matricu A Mn kaemo da je singularna ako nije regularna. Tada je i determinanta matrice jednaka nuli.

10

13. Invertiranje matrice


Invertiranje je postupak traenja inverza matrice. Dva su nacina da se provede taj racun.

Prvi nacin je pomocu Gauss-Jordanovih transformacija. Postupak je da matricu A, ciji inverz traimo, proirimo sdesne strane jedinicnom matricom I. Potom takvu proirenu matricu transformiramo Gauss-Jordanovim transformaci-jama dok s lijeve strane ne dobijemo matricu I. Matrica koja se na kraju postupka nalazi s desne strane je traeni inverz,A1:

[A | I

]

[I | A1

]U postupku treba paziti na jedan detalj - ukoliko s lijeve strane proirene matrice mijenjamo stupce, zamjenu odgovara-jucih stupaca moramo provesti i s desne strane proirene matrice.

Drugi nacin traenja inverza jest pomocu matrice algebarskih komponenti koju oznacavamo sa A.Inverz se racuna na slijedeci nacin:

A1 =1

detAA

Kako racunamo A?

Taj postupak je malo sloeniji. Najjednostavniji je racun ukoliko se radi o matrici A M2. Tada je za matricu A

A =[

a bc d

] A =

[d bc a

],

tj. elementi na glavnoj dijagonali zamjene mjesta, a elementi na sporednoj dijagonali promjene predznake. To je ujednoi situacija u kojoj najcece koristimo ovu metodu.

Opcenito, za matricu A Mn postupak racunanja matrice A je slijedeci:

Za matricu A i jedan njezin element ai, j prvo odredimo matricu Ai, j koja se dobije tako da iz matrice A izbriemoredak i stupac u kojem se nalazi element ai, j. Potom odredimo determinantu tako dobivene matrice, tj. izracunamo|Ai, j| = det(Ai, j). Na kraju odredimo element nove matrice ai, j tako da izracunatu determinantu pomnoimo sa odgova-rajucim predznakom: ai, j = (1)i+ j |Ai, j|. Postupak ponovimo za sve elemente ai, j iz matrice A.

Preostalo je jo matricu s elementima [ai, j] transponirati, cime dobivamo traenu matricu algebarskih komponenti:A = [ai, j]

T .

14. Sustav linearnih jednadbi


Sustav linearnih jednadbi je skup linearnih jednadbi, tj jednadbi u kojima se nepoznanice mnoe skalarom (brojem) izbrajaju (oduzimaju). Dakle, takav sustav ne ukljucuje jednadbe u kojima se nepoznanice primjerice kvadriraju, dijele,mnoe...

Opcenito sustav m linearnih jednadbi s n nepoznanica zapisujemo na slijedeci nacin:

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2...

......

...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm

pri cemu su ai j R realni brojevi za sve vrijednosti i = 1, ,m j = 1, , n (njih nazivamo koeficjentima sustava),kao i svi koeficjenti bi R. S x1, , xn u sustavu oznacavamo nepoznanice.

11

Sustav linearnih jednadbi se moe zapisati i u matricnom obliku. Tada je zapis:

Ax = b

gdje je A matrica sustava, i sastoji se od elemenata ai j, vektor x je vektor nepoznanica xi, dok je vektor b sastavljen odkoeficjenata bi:

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

.... . .

...am1 am2 . . . amn

, x =

x1x2...

xm

, b =

b1b2...

bm

.

15. Rjeenje i egzistencija rjeenja sustava linearnih jednadbi

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2...

......

...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm


Rjeenje sustava linearnih jednadbi su vrijednosti pridruene nepoznanicama x1, x2, , xn, takve da zadovoljavajusvaku od m jednadbi sustava.

Kriterij za egzistenciju rjeenja sustava linearnih jednadbi:Sustav linearnih jednadbi ima rjeenje ako i samo ako je rang matrice sustava jednak rangu proirene matrice sustava,tj. rang(A) = rang(Ap).

Objasnimo to je tocno ovim kriterijem propisano. Uz oznake koritene u prethodnom (14.) zadatku, matrica sustava Aje matrica ciji su koeficjenti ai, j brojevi koji se nalaze uz j-tu nepoznanicu u i-toj jednadbi:

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

.... . .

...am1 am2 . . . amn

Proirena matrica sustava je pak matrica koju dobijemo kada matrici A dopiemo jo jedan stupac, stupac elemenatakoji se u jednadbama nalaze s desne strane, bi:

Ap =

a11 a12 . . . a1n | b1a21 a22 . . . a2n | b2...

.... . .

... | ...am1 am2 . . . amn | bm

Rang matrice, je pak broj linearno nezavisnih redaka (stupaca) u toj matrici. On se odreduje tako da se Gauss-Jordanovim transformacijama matrica svodi na trokutasti oblik (najcece gornjetrokutasti), tj. na oblik u kojem suelementi ispod (ili iznad) dijagonale jednaki nuli. Tada je rang jednak broju elemenata na glavnoj dijagonali koji surazliciti od nule.

12

16. Struktura rjeenja sustava linearnih jednadbi


Ukoliko sustav linearnih jednadbi ima rjeenje, tada sustav moe imati jedinstveno ili parametarsko rjeenje.

Jedinstveno rjeenje sustava je rjeenje u kojemu svaka od n nepoznanica x1, x2, , xn poprima samo jednu vrijed-nost. Sustav sa jedinstvenim rjeenjem nazivamo regularan ili Cramerov sustav. Matrica A takvih sustava je kvadratna,a vrijednost determinante detA je razlicita od nule. Jedinstveno rjeenje moemo racunati i Cramerovim postupkompomocu determinanti.

Parametarsko rjeenje sustava je rjeenje u kojem barem jedna nepoznanica x1, x2, , xn moe poprimiti vie (toc-nije, beskonacno mnogo) vrijednosti. Kod parametarskih rjeenja, matrica sustava A ne mora biti kvadratna, a ako i jest,njezina determinanta detA jednaka je nuli.

17. Rjeavanje sustava linearnih jednadbi Gauss-Jordanovim algoritmom


Gauss-Jordanova metoda je metoda transformacije matrica u njima ekvivalentne matrice koritenjem slijedecih opera-cija:

zamjena dva retka mnoenje (ili dijeljenje) retka brojem razlicitim od nule dodavanje (ili oduzimanje) retka pomnoenog brojem nekom drugom retku

Gauss-Jordanov postupak prilikom rjeavanja sustava koristimo na proirenoj matrici sustava. Cilj tog postupka je do-bivanje dijagonalne matrice (zapravo, jedinicne) matrice. Tocnije, ponekad nije uvijek moguce dobiti dijagonalnu (jedi-nicnu) matricu, no cilj je da dio matrice na kojoj su elementi na dijagonali razliciti od nule bude dijagonalan. Primjerice,slijedeca matrica je rezultat potpuno provedenog Gauss-Jordanovog postupka, iako nije u potpunosti dijagonalna:

Ap =

1 0 0 1 | 10 1 0 0 | 00 0 1 2 | 10 0 0 0 | 0

Na ovom primjeru vidimo matricu kod koje su provodenjem Gauss-Jordanovih transformacija svi elementi posljednjegretka postali jednaki nuli. Takav redak ne nosi nikakvu informaciju (u njemu je zapravo zapisana jednadba 0 = 0), paga najcece i prestanemo pisati. Na ostatku, matrica je svedena na jedinicnu na onom dijelu na kojemu postoje elementina dijagonali. Poslijednji, cetvrti supac, nema svog "predstavnika" na dijagonali, i nepoznanica cije koeficjente piemou tom stupcu (primjerice, x4) ce postati parametar.

Ukoliko je matrica sustava kvadratna, dakle, ukoliko se radi o sustavu sa n nepoznanica i n jednadbi, te ukoliko nakonprovedenih Gauss-Jordanovih transformacija dijagonala prolazi kroz cijelu matricu sustava (tj. ako se radi o matricimaksimalnog ranga), tada je rjeenje sustava jedinstveno.

Poslijednji moguci ishod provodenja Gauss-Jordanovih transformacija jest dobivanje matrice kojoj rang matrice sus-tava nije jednak rangu proirene matrice sustava. Takva je primjerice slijedeca matraica:

Ap =

1 0 0 1 | 10 1 0 0 | 00 0 1 2 | 10 0 0 0 | 3

Ovakav sustav nema rjeenja, te ga zovemo neregularnim, singularnim, nekonzistentnim, nesuglasnim ili kontradik-tornim. Razlika u rangu vidljiva je u zadnjem retku; matrica sustava (dakle, dio matrice koji nije proiren "desnomstranom" jednadbi) ima rang 3 (toliko mu je nenul elemenata na dijagonali). S druge strane proirena matrica sustavaima rang 4 buduci zamjenom zadnja dva stupca u proirenoj matrici sustava dovodimo element 3 na dijagonalu.

13

18. Medusektorski model; dovoljni uvjeti egzistencije i nenegativnost matrice (I A)1


U modelu kojim se opisuju ekonomske velicine elimo da vektor outputa Q i vektor finalne potranje q imaju svenenegativne elemente. Da bi se to postiglo, potrebno je i da invez matrice tehnologije T1 = (I A)1 ima sve elementenenegativne, a za to matrica tehnologije T = I A mora zadovoljavati slijedeci (tzv. Hawkins-Simonov) uvjet:

Kako bi matrica T1 = (I A)1 imala sve nenegativne elemente,sve vodece minore matrice T = I A moraju biti pozitivne.

Da bi razmjeli to se trai tim uvjetom, moramo prvo objasniti to su vodece minore. Ilustrirajmo to primjerom.Promortimo matricu

T =

0.5 0.3 0.10.3 0.3 00.2 0.3 0.7

Vodece minore te matrice su vrijednosti determinanti kvadratnih podmatrica koje obuhvacaju jedan, dva odnosno svatri elementa glavne dijagonale. Dakle, svaka vodeca minora je za jednu dimenziju veca od prethodne, i niz nastavljamodok ne dodemo do determinante cijele zadane matrice.

Tako bi prva minora bila |0.5| = 0.5.

Druga minora bi bila slijedeca determinanta: 0.5 0.30.3 0.3 = 0.5 0.3 (0.3) (0.3) = 0.06

Treca minora je pak vrijednost determinante same matrice T :

T =

0.5 0.3 0.10.3 0.3 00.2 0.3 0.7

= 0.027Dakle, ovim primjerom je dana matrica T cije su sve vodece minore pozitivne, pa stoga i njen inverz ima sve nenegativneclanove.

14

3 Diferencijalni racun i primjene

19. Realni brojevi, funkcije f : D R R


Realni brojevi su skup brojcanih vrijednosti u kojemu se nalaze svi brojevi koji pokrivaju brojcani pravac. Taj skupoznacavamo velikim slovom R. Skup R sadri skup racionalnih brojeva, skup Q, to je skup svih razlomaka, ali porednjih i sve iracionalne brojeve. Iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu zapisati u formi razlomka, poput

2 ili pi.

Na skupu realnih brojeva definirane su sve uobicajene operacije (zbrajanje, oduzimanje, mnoenje, dijeljenje), za kojevrijede uobicajena svojstva (komutativnost obzirom na zbrajanje i mnoenje, asocijaticnost, distributivnost...).

Oznaka f : D R R predstavlja funkciju f koja svakoj tocki iz svoje domene D (a koja je pak neki podskuprealnih brojeva R, tj. D R) pridruuje neki realni broj. Domena funkcije je skup (realnih) vrijednosti u kojimamoemo racunati vrijednost funkcije, tj u kojima je funkcija definirana.

Za velik dio funkcija domena je skup realnih brojeva R, tj, njihova se vrijednost moe racunati za svaku realnu vrijed-nost. Takve funkcije su primjerice polinomi (koje u opcenitom obliku zapisujemo f (x) = anxn +an1xn1 + +a1x+a0)i eksponenacijalna funkcija f (x) = ex.

Pored takvih funkcija, postoje i funkcije kojima domena nije cijeli skup realnih brojeva, vec poostoje neka ograni-cenja. Iako je takvih funkcija mnogo (poput primjerice funkcije f (x) = arcsin x), na ovom mjestu cemo se ograniciti natri funkcije koje zahtjevaju posvecivanje panje njihovoj domeni:

Funkcije oblika f (x) = g(x)h(x) . Kako kod razlomka nazivnik ne smije biti jednak nuli, tako kod ovakvih funkcijaimamo ogranicenje domene iskazano s h(x) , 0. Najcece su ovog oblika racionalne funkcije tj. funkcije koje i ubrojniku i u nazivniku imaju polinom. Tada je domena skup svih realnih brojeva R bez nultocki x1, , xn funkcijeh(x). PiemoD( f ) = R\{x1, , xn}.

Funkcije oblika f (x) = ng(x), gdje je n paran broj. Kod takvih funkcija izraz ispod korjena mora biti veci ilijednak nuli, tj. imamo ogranicenje g(x) 0. Naglasimo da ogranicenje postoji samo kod parnih korjena, buducise vrijednosti neparnih korjena mogu racunati i za negativne vrijednosti. Primjerice, 3

8 = 2. Funkcije oblika f (x) = ln(g(x)). Logaritmi se mogu racunati samo za pozitivne vrijednosti, pa stoga kod ovakvih

funkcija imamo ogranicenje oblika g(x) > 0. Opcenito, isto ogranicenje vrijedi za sve logaritme, bez obzira nabazu, tj. za funkcije oblika f (x) = loga(g(x)).

Ukoliko u funkciji postoji vie ogranicenja na domenu, domenu dobivamo presjekom svih njih.

20. Limes funkcije jedne varijable i operacije sa limesima


Ako se vrijednost funkcije f (x) pribliava vrijednosti a kada se varijabla x pribliava tocki x0, tada kaemo da f (x) teiprema a kada x tei prema x0, odnosno

f (x) a kada x x0.Broj a je limes ili granicna vrijednost funkcije f kada x tei prema x0, odnosno

limxx0

f (x) = a.

15

Operacije sa limesima:Neka funkcije f i g imaju limese kada x x0, te neka je A R konstanta. Tada vrijedi

limxx0

(A f )(x) = A limxx0

f (x),

limxx0

( f + g)(x) = limxx0

f (x) + limxx0

g(x),

limxx0

( f g)(x) = limxx0

f (x) limxx0

g(x),

limxx0

( f g)(x) = limxx0

f (x) limxx0

g(x),

limxx0

( fg

)(x) =

limxx0 f (x)limxx0 g(x)

, uz limxx0

g(x) , 0.

21. Neprekidnost funkcije jedne varijable


Intuitivna definicija neprekidnosti je sljedeca: funkcija je neprekidna ako njen graf moemo nacrtati bez podizanjaolovke s papira. Stroga matematicka definicija neprekidnosti koristi pojam limesa:

Funkcija f je neprekidna u tocki x0 D( f ) (prisjetimo seD( f ) je oznaka za domenu funkcije f ) ako je

limxx0

f (x) = f (x0).

Funkcija f je neprekidna ako je neprekidna u svakoj tocki svoga podrucja definicije (domene)D( f ).

Ta nam definicija zapravo govori da vrijednost funkcije f (x) tei ka vrijednosti f (x0) kada x tei ka x0, tj. upravoono to smo eljeli postici intuitivnom definicijom: da kretanjem po grafu fukcije f (x), na kraju zavrimo upravo uvrijednosti f (x0), "bez da smo podignuli olovku s papira".

Osnovno svojstvo neprekidnih funkcija, koje koristimo "automatski" podrazumijevajuci ga, je slijedece:Ukoliko su f (x) i g(x) funkcije neprekidne u tocki x0, tada su neprekidne u tocki x0 i slijedece funkcije:

( f + g)(x), ( f g)(x), ( f g)(x), fg

(x) uz g(x) , 0, te f (g(x))

22. Pojam i interpretacija derivacije funkcije jedne varijable


Funkcija f : D R je derivabilna u tocki x D ako postoji limes

limh0

f (x + h) f (x)h

Vrijednost tog limesa (ako postoji) oznacavamo izrazom f (x) ili d fdx (x) i zovemo ga derivacijom funkcije f u tocki x.

Osnovna interpretacija derivacije dolazi iz geometrije, gdje f (x0) predstavlja koeficjent smjera (nagib) tangente po-vucene na graf funkcije f (x) u tocki (x0, f (x0)).

16

Na slici je prikazana funkcija, s iskazanim dvijema tockama: A(x0, f (x0)

)i B

(x0 + h, f (x0 + h)

), te je istaknuta sekanta

AB. Kada tocka B tei ka tocki A (tj. kada h tei u nulu), sekanta AB postaje tangenta povucena kroz A. Jednadba tetangente dana je izrazom:

y f (x0) = f (x0) (x x0).

23. Derivacije elementarnih funkcija jedne varijable


Derivacije elementarnih funkcija jedne varijable dane su slijedecom tablicom:

f (x) f (x)

C 0

x 1

xn n xn1

x

12

xax ax ln aex ex

loga x1

x ln aln x

1x

f (x) f (x)

sin x cos x

cos x sin x

tg x1

cos2 x

ctg x 1sin2 x

arcsin x1

1 x2arccos x 1

1 x2arctg x

11 + x2

arcctg x 11 + x2

17

24. Pravila deriviranja funkcija jedne varijable


Pravila deriviranja funkcije jedne varijable su slijedeca:

a) Derivacija umnoka s konstantom:(C f (x)) = C f (x)

b) Derivacija zbroja i razlike:(f (x) g(x)) = f (x) g(x)

c) Derivacija umnoka:(f (x) g(x)) = f (x) g(x) + f (x) g(x)

d) Derivacija kvocjenta:(

f (x)g(x)

)=

f (x) g(x) f (x) g(x)g2(x)

25. Derivacija sloene funkcije


Derivacija sloene funkcije (ili kompozicije funkcije) dana je formulom:(f(g(x)

) )= f

(g(x)

) g(x)Pravilo nam kae da kod deriviranja sloene funkcije trebamo derivirati jedan po jedan dio kompozicije. Primjerice,derivacija sloene funkcije f (x) = sin(x2) nece biti f (x) = cos(2x), vec f (x) = cos(x2) (x2) = cos(x2) 2x

26. Derivacija inverzne funkcije


Derivacija inverzne funkcije dana je formulom (f 1

)(y) =

1f (x)

gdje je y = f (x).

Uvijek vrijedi da se funkcija f i njoj inverzna funkcija f 1 ponitavaju:

f 1(f (x)

)= x

Derivirajmo tu jednadbu (po pravilu za deriviranje sloene funkcije):(f 1

(f (x)

))= (x)(

f 1) (

f (x)) f (x) = 1 : f (x)(

f 1) (

f (x))

=1

f (x)Uz oznaku y = f (x) slijedi formula.

18

27. Diferencijal funkcije jedne varijable


Diferencijal funkcije y = f (x) dan je izrazomdy = f (x) 4x

Tim izrazom elimo ocijeniti (aproksimirati) promjenu vrijednosti funkcije y = f (x), odnosno prirast funkcije, kojioznacavamo s 4y, kada znamo da se vrijednost varijable x promijenila za 4x. Dakle, vrijedi:

dy 4yAproksimacija je tocnija za male vrijednosti 4x. Na slici su prikazani prirast (4y) i diferencijal (dy) funkcije za neki4x. Prirast je u grafickoj interpretaciji stvarna promjena vrijednosti funkcije (pri promjeni vrijednosti varijable za 4x),dok je diferencijal promjena vrijednosti na tangenti.

28. Derivacije vieg reda funkcija jedne varijable


Derivacije vieg reda funkcije jedne varijable, y = f (x) oznacavamo s y, y, y... odnosno s y(n) ukoliko se radi oderivaciji vieg reda. Primjerice, y(5) oznacava petu derivaciju funkcije y. Derivacija n-tog reda se dobija deriviranjemderivacije (n 1)-og reda (ukoliko ta derivacija postoji), tj. vrijedi:

y(n) =(y(n1)

)Laplaceova oznaka za derivacije vieg reda je

y(n) =dnydxn

19

29. Teoremi o srednjoj vrijednosti


Osnovni teorem srednje vrijednosti u diferencijalnom racunu je Lagrangeov teorem srednje vrijednosti koji glasi:

Neka je f funkcija neprekidna na [a, b] i derivabilna na intervalu a, b .Tada postoji vrijednost c a, b takva da je f (c) = f (b) f (a)

b a

Geometrijska interpretacija Lagrangeovog teorema srednje vrijednosti dana je na slici njime se tvrdi da postoji tockaC(c, f (c)) takva da je tangenta povucena na krivulju u tocki C paralelna sa pravcem AB (vidi sliku).

Jednostavnija verzija Lagrangeovog teorema srednje vrijednosi je Rolleov teorem srednje vrijednosti. Kod njega suvrijednosti funkcije f u tockama a i b jednake, tj vrijedi f (a) = f (b), pa je tvrdnja da tada postoji tocka c a, b takvada je f (c) = 0.

30. Funkcije f : D Rn R


Izrazom f : D Rn R obiljeavamo realnu funkciju vie (n) varijabli, definiranu na nekoj domeni D. To je funkcijakoja pridruuje realnu vrijednost nekom skupu varijabli, tj. za cije racunanje koristimo vrijednosti vie realnih varijabli.Primjerice, realna funkcija tri varijable f : R3 R je funkcija f (x, y, z) = x2 yz.

Skup D u ovom zapisu predstavlja domenu funkcije, tj. podskup skupa Rn na kojemu je funkcija f definirana. Pri-mjerice, funkciju dviju varijabli f (x, y) = y2 + ln x ne moemo racunati u tockama kojima je x-koordinata negativna,pa je domena te funkcije skup tocaka (x, y) kojima su x-koordinate pozitivna. Piemo D( f ) = {(x, y); x > 0, y R}.

31. Homogene funkcije


Kaemo da je funkcija f : Rn R homogena stupnja ako i samo ako vrijedif (x1, x2, , xn) = f (x1, x2, , xn).

Navedenim se kriterijem ispituje homogenost funkcije na nacin da se u funkciju uvrste varijable pomnoene sa . Uko-liko se uspije izluciti u potpunosti iz zadane funkcije (sa nekim eksponentom ), tada je zadana funkcije homogena(stupnja ).

Primjerice, ispitajmo homogenost funkcije f (x, y, z) = x2 + yz. Umjesto x, y i z u funkciju redom uvrtavamo x, yi z:

f (x, y, z) = (x)2 + y z = 2x2 + 2yz = 2(x2 + yz) = 2 f (x, y, z),pa je zadana funkcija homogena stupnja = 2.

20

32. Konveksne funkcije


Funkcija f : R R je konveksna na intervalu a, b, ako je za svake dvije vrijednosti x1, x2 a, b, duina koja spajatocake P (x1, f (x1)) i Q (x2, f (x2)) iznad grafa funkcije f (x), kao to je prikazano na slijedecoj slici.

Matematicki, to zapisujemo

f (x) 0. Analogno, funkcija je konkavna ukoliko je u svim tockama intervalaf (x) < 0. Tocke u kojima funkcija mijenja zakrivljenost iz konveksne u konkavnu, ili obrnuto, zovemo tockamainfleksije, i u njima je druga derivacija funkcije jednaka nuli.

33. Parcijalne derivacije


Funkciju vie varijabli, f : Rn R moguce je derivirati po svakoj od njezinih varijabli, ukoliko odgovrajuce derivacijepostoje. Za funkciju kaemo da je derivabilna u tocki T Rn po varijabli xi ako postoji limes

limh0

f (x1, , xi + h, , xn) f (x1, , xi, , xn)h

Taj limes, ukoliko postoji, obiljeavamo s fxi

(T ). Primjetimo da se u definiciji mijenja samo vrijednost varijable xi, dok

su vrijednosti ostalih varijabli konstantne tako i kod racunjanja parcijalnih derivacija, prilikom deriviranja po xi sveostale varijable tretiramo kao konstante. Za parcijalne derivacije vrijede sva pravila koja vrijede i za derivacije funkcijejedne varijable.

21

34. Totalni diferencijal


Totalni diferencijal funkcije vie varijabli f : Rn R dan je formulom:

d f = fx1 4x1 + + f

xn 4xn

Totalnim diferencijalom ocijenjujemo (aproksimiramo) promjenu vrijednosti funkcije f (x1, , xn) (prirast funkcije)kada se vrijednosti varijabla promijene za 4x1, , 4xn.

35. Eulerov teorem


Neka je f : Rn R homogena funkcija stupnja . Tada vrijedi:1. Zbroj svih koeficjenata elasticnosti funkcije f jednak je , tj.

E f ,x1 + + E f ,xn =

2.x1 f

x1+ + xn f

xn= f

36. Derivacije implicitnih funkcjia


Uobicajen nacin zapisivanja funkcija je tzv. eksplicitni oblik. Primjerice, y =

x + 1 je eksplicitno zapisana funkcija.Opcenito, piemo y = f (x). No osim tog oblika, postoji i implicitni zapis funkcije. Primjerice, ista ova funkcija bi uimplicitnom obliku bila nakon kvadriranja i prebacivanja na istu stranu zapisana kao y2 x 1 = 0. Opcenito,funkcija je u implicitnom obliku zapisana kao F(x, y) = 0.

Derivaciju implicitno zadane funkcije, y moguce je iskazati pomocu funkcije F(x, y), tocnije pomocu njezinih par-cijalnih derivacija:

y =FxFy

37. Parcijalne derivacije vieg reda


Parcijalnu derivaciju drugog reda dobijamo tako da parcijalno deriviramo parcijalnu derivaciju prvog reda. Primjerice,

kod funkcije dvije varijable f (x, y), imamo dvije parcijalne derivacije prvog reda, fx

i fy

. Svaku od tih parcijalnih

derivacija moemo opet derivirati po objema varijablama.

Kada, dakle deriviramo parcijalno po x parcijalnu derivaciju fx

dobivamo

x

( fx

)ili u kracem zapisu

2 fx2

. Kada

istu funkciju deriviramo po y dobivamo

y

( fx

)ili krace

2 fyx

. Analogno, deriviranjem druge parcijalne derivacije,

fy

dobivamo2 fxy

i2 fy2

.

22

Iako, naizgled imamo cetiri razlicite parcijalne derivacije drugog reda (za funkciju f (x, y)), u biti ih (u vecini sluca-jeva) samo tri. O tome nam govori Schwartzov teorem: Ukoliko funkcija f : R2 R ima neprekidne parcijalnederivacije drugog reda, tada vrijedi

2 fxy

=2 fyx

. Dakle, svejedno je kojim redom parcijalno deriviramo.

Opcenito, parcijalna derivacija vieg reda dobija se parcijalnim deriviranjem parcijalne derivacije (za jedan) nieg reda.elimo li dobiti parcijalnu derivaciju, npr. sedmog reda, trebamo parcijalno derivirati parcijalnu derivaciju estog reda.Sve tvrdnje iskazane za funkciju dvije varijable vrijede i za funkcije vie varijabli.

38. Hesseova matrica


Hesseova matrica je matrica ciji su elementi parcijalne derivacije drugog reda funkcije f : Rn R. Tocnije, elementiHesseove matrice ai j dani su formulom:

ai j =2 fxix j

,

pa Hesseova matrica izgleda

H =

2 fx21

2 fx1x2

2 fx1xn

2 fx2x1

2 fx22

2 fx2xn

......

. . ....

2 fxnx1

2 fxnx2

2 fx2n

Za funkciju dvije varijable, f (x, y) : R2 R, Hesseova matrica izgleda:

H =

2 fx2

2 fyx

2 fxy

2 fy2

Hesseova matrica daje nam dovoljan kriterij za egzistenciju lokalnog ekstrema funkcije vie varijabli: ukoliko je de-terminanta Hesseove matrice izracunate u stacionarnoj tocki T pozitivna, tada funkcija postie lokalni ekstrem u tojtocki.

39. Ukupne, granicne i prosjecne velicine


U ekonomiji se cesto susrecemo sa ukupne, granicne i prosjecne velicinama. Opiimo vezu izmedu njih. Neka je,primjerice, funkcija T (Q) funkcija ukupnih trokova (C) u ovisnosti o kolicini proizvodnje (Q). Tada za nju definiramo:

1. Funkciju prosjecnih trokova, u oznaci AT (Q), koju racunamo prema formuli:

AT (Q) =T (Q)

Q

2. Funkciju granicnih (marginalnih) trokova, u oznaci MT (Q), koju racunamo prema formuli:

MT (Q) =dTdQ

(Q) = T (Q)

Funkcija granicnih trokova se ponekad oznacava i malim slovom, dakle t(Q).

Ove su definicije ekvivalentne i za ostale funkcije koje opisuju ukupne, prosjecne i granicne velicine. Tako bi primjerice,prosjecna cijena (u ovisnosti o npr. potranji) izracunana iz funkcije ukupnih cijena p(q) bila Ap(q) = p(q)q . Vano jenapomenuti da podrazumijevamo da sve ekonomske velicine poprimaju samo pozitivne vrijednosti.

23

40. Koeficijent elasticnosti funkcija jedne varijable


Koeficjent elasticnosti funkcije jedne varijable f (x) dan je formulom:

E f ,x =xf f

Koeficjentom elasticnosti mjerimo stupanj promjene funkcije u odnosu na promjenu varijable.

Primjerice, ukoliko na nekoj zadanoj razini x0, koeficjent elasticnosti E f ,x poprimi pozitivnu vrijednost e > 0, inter-pretacija je slijedeca: na razini x0, kada varijabla x raste za 1% (x 1%), tada funkcija f raste za e% ( f e%).Analogno, ukoliko je e negativan, vrijednost funkcije f pada za e%.

Uz koeficjent elasticnosti su vezani slijedeci pojmovi:

Za funkciju f (x) kaemo da je elasticna u tocki x0 ukoliko jeE f ,x(x0) > 1

Za funkciju f (x) kaemo da je neelasticna u tocki x0 ukoliko jeE f ,x(x0) < 1

Za funkciju f (x) kaemo da je jedinicno elasticna u tocki x0 ukoliko jeE f ,x(x0) = 1

41. Koeficijenti parcijalne i ukrtene elasticnosti


Kod funkcije vie varijabli takoder moemo govoriti o koeficjentu elasticnosti, ali vezanom uz jednu varijablu. Ana-logno definiciji koefcjenta elasticnosti funkcije jedne varijable, za funkciju f (x1, , xn) definiramo n parcijalnih koefi-cjenata elasticnosti:

E f ,xi =xif fxi

, i = 1, , n

Prilikom interpretacije tih koeficjenata elasticnosti, potrebno je naglasiti da sve varijable, osim promatrane xi drimokonstantnima.

U ekonomskoj interpretaciji, kada promatramo vrijednost funkcije vezane uz neki proizvof, u ovisnosti o varijablamavezanim uz taj i neki drugi proizvod, koeficjenti parcijalne elasticnosti dobijaju novu interpretaciju. Primjerice, neka jeq1(p1, p2) funkcija potranje za prvim proizvodom (q1) koja ovisi o cijenama prvog proizvoda (p1) i drugog proizvoda(p2). Tada koeficjent elasticnosti Eq1,p1 koji nam daje informaciju o promjeni potranje za proizvodom u ovisnosti ocijeni istoga, i dalje zovemo parcijalnom elasticnocu. S druge strane, koeficjent elasticnosti Eq1,p2 koji nam daje infor-maciju o promjeni potranje za proizvodom u ovisnosti o cijeni drugog proizvoda (dakle koji kria informacije o prvomi drugom proizvodu) nazivamo krinom elasticnocu.

Proizvode prema vrijednostima parcijalne i krine elasticnosti grupiramo na slijedeci nacin:

Ukoliko je koeficjent parcijalne elasticnosti Eq1,p1 negativan, prvi proizvod nazivamo normalnim dobrom. U tomslucaju potranja za proizvodom pada kada mu cijena raste.

Ukoliko je koeficjent krine elasticnosti Eq1,p2 pozitivan, proizvode nazivamo supstitutima. U tom slucaju potra-nja za prvim proizvodom raste kada cijena drugog proizvoda raste.

Ukoliko je koeficjent krine elasticnosti Eq1,p2 negativan, proizvode nazivamo komplementima. U tom slucajupotranja za prvim proizvodom pada kada cijena drugog proizvoda raste.

42. Globalni i lokalni ekstremi


Opcenito, ekstrem je tocka u kojoj funkcija postie najvecu ili najmanju vrijednost. Govorimo o dvije vrste ekstrema:globalnima i lokalnima. Globalnim ekstremom zovemo tocku u kojoj funkcija postie najvecu, odnosno najmanju

24

vrijednost na zadanom segmentu. Ukoliko postoji globalni maksimum, sve ostale vrijednosti moraju biti manje ilijednake vrijednosti globalnog maksimuma. Isto tako, ukoliko postoji globalni minimum, sve ostale vrijednosti funkcijemoraju biti vece ili jednake vrijednosti globalnog minimuma.

S druge strane, lokalni ekstremi nemaju to svojstvo oni su ekstremi "lokalno", tj. samo na nekoj svojoj okolini. Tockatako moe biti lokalni minimum, ali da se ujedno ne radi o globalno najmanjoj vrijednosti funkcije. Isto vrijedi i zalokalni maksimum. Na slijedecoj su slici prikazani lokalni i globalni ekstremi:

43. Ekstremi funkcija jedne varijable (potrebni i dovoljni uvjeti)


Da bi tocka T (x0, f (x0)) bila lokalni ekstrem funkcije f (x), mora zadovoljiti nune i dovoljne uvjete. Nuan uvjet jeda je f (x0) = 0. Tocke koje ispunjavaju taj uvjet nazivamo stacionarnim tockama i predstavljaju kandidate za lokalneekstreme dakle, ukoliko lokalni ekstremi postoje, tada su to neke od stacionarnih tocaka. Dovoljan uvjet je pak da jef (x0) , 0. Tada funkcija u tocki T postie lokalni maksimum, ukoliko je f (x0) < 0, a minimum ako je f (x0) < 0

44. Ekstremi funkcija vie varijabli bez ogranicenja (potrebni i dovoljni uvjeti)


Funkcija vie varijabli, f (x1, , xn) takoder moe imati lokalne ekstreme. Kao i u slucaju funkcije jedne varijable,postoje nuni i dovoljni uvjeti koje mora ispunjavati tocka T (x1, , xn, f (x1, , xn)) kako bi bila lokalni ekstrem.

Nuan uvjet je, slicno kao i kod funkcije jedne varijable, taj da su parcijalne derivacije prvog reda izracunate u tocki Tjednake nuli, tj. da je

fxi

(T ) = 0, za svaki i = 1, , n

Dovoljan uvjet je, pak, da je determinanta Hesseove matrice veca od nule, tj. da je detH > 0. Prisjetimo se, Hesseovamatrica je matrica parcijalnih derivacija drugog reda, a pripadna determinanta se naziva Hessijanom. Ukoliko je taj

uvjet zadovoljen, tada se u tocki T postie minimum ukoliko je2 fx2

> 0, a maksimum ako je2 fx2

< 0.

25

45. Ekstremi funkcija vie varijabli sa jednim ogranicenjem u obliku jednadbe


Problem traenja ekstrema funkcije vie varijabli s jednim ogranicenjem formuliramo na slijedeci nacin: cilj je odreditiekstreme funkcije f (x1, , xn) uz uvjet oblika g(x1, , xn) = 0. Postoje dvije metode za rjeavanje tog problema.

Prva je metoda supstitucije. Tom metodom, cilj nam je iz jednadbe g(x1, , xn) = 0 izraziti jednu nepoznanicu,npr. xn = h(x1, , xn1), te ju uvrstiti u funkciju f , koja tada postaje funcija s n 1 varijablom:

f(x1, , xn1, h(x1, , xn1)

)Problem se tada svodi na odredivanje ekstrema funkcije vie (ili jedne) varijable bez dodatnih uvjeta.

Ponekad je, ipak, teko jednostavno izraziti jednu od varijabli iz jednadbe g(x1, , xn) = 0, tj. ponekad se na tajnacin viestruko komplicira daljnji racun. Na primjer, takav je uvjet x2 + y2 1 = 0. Tada umjesto metode supstitucijekoristimo metodu Lagrangeovog multiplikatora. Tom metodom konstruiramo novu funkciju F, ovoga puta sa n + 1varijablom, oblika:

F(x1, , xn, ) = f (x1, , xn) + g(x1, , xn)Sada se opet problem svodi na odredivanje ekstrema funkcije vie varijabli bez dodatnog uvjeta, buduci je traeni uvjet

g(x1, , xn) = 0 ispunjen zadovoljavanjem nunog uvjeta ekstrema funkcije vie varijabli, F

= 0.

26

4 Integralni racun i dinamicka analiza

46. Neodredeni integral (definicija i svojstva)


Neodredeni intgral funkcije f (x) oznacavamo s f (x) dx.

Rjeavanje neodredenog integrala zapravo je traenje funkcije F(x) cijim deriviranjem dobivamo funkciju f (x). Takvufunkciju F(x) nazivamo primitivnom funkcijom. Neodredeni integral funkcije f (x) je dakle, funkcija F(x) za koju vrijedida je F(x) = f (x).

Neka je F(x) primitivna funkcija funkcije f (x). Buduci da deriviranjem konstante dobivamo nulu, tako je onda i F(x)+C,gdje je C proizvoljna konstanta, takoder primitivna funkcija funkcije f (x). Stoga kao rjeenje neodredenog integralauvijek piemo:

f (x) dx = F(x) + C.

47. Osnovna pravila integriranja


Dva su osnovna pravila integriranja. Prvo se odnosi na integriranje funkcije koju mnoi konstanta:C f (x) dx = C

f (x) dx.

Dakle, konstanta koja mnoi neku funkciju, prilikom integriranja se samo prepisuje (slicno kao i kod deriviranja). Drugopravilo se odnosi na integriranje zbroja, odnosno razlike funkcija:

f (x) g(x) dx =

f (x) dx

g(x) dx.

Dakle, integriranjem zbroja ili razlike funkcija, svaki se clan integrira zasebno. Ne postoji posebna formula za integri-ranje umnoka ili kvocjenta, kao to npr. takve formule postoje kod deriviranja.

Navodimo i tablicu integrala osnovnih funkcija:A dx = A x + C sin x dx = cos x + Cx dx = x2 + C

cos x dx = sin x + C

xn dx = xn+1

n+1 + C

1cos2 x dx = tg x + C

1x dx = ln |x| + C

1

sin2 xdx = ctg x + C

ex dx = ex + C

1a2+x2 dx =

1a arctg x + C

ax dx = ax

ln a + C

1a2x2 dx = ln

xax+a + C

27

48. Osnovne metode integriranja


Tri su onovne metode integriranja: neposredno integriranje, metoda supstitucije i metoda parcijalne integracije.

Metoda neposredne integracije je svodenje podintegralne funkcije f (x) na tablicni oblik, te potom primjena tablicnihintegrala. Primjerice, slijedeci je integral rijeen na taj nacin, svodem razlomka na zapis pomcu potencije:

x dx =

x12 dx =

x32

32

+ C =23

x3 + C

Metodom supstitucije, jedan dio podintegralne funkcije f (x) zamijenimo (supstituiramo) novom varijablom, kako binakon toga dobili integral koji se moe rijeiti tablicno ili nekom drugom metodom. Uobicajeno je supstituirati izrazeunutar funkcija, kao i izraze pod korijenom ili u nazivniku. Prilikom supstituiranja, potrebno je supstituirati i diferncijal,tj dx. Izraz za dx dobivamo deriviranjem supstitucije. Primjerice, slijedeci je integral rijeen metodom supstitucije.

3x + 2 dx =

t = 3x + 2dt = 3 dx

dt3 = dx

=

tdt3

=13

t dt = ()

Time je dobiven integral, koji smo u prethodnom primjeru rjeili metodom neposredne integracije. Nakon to taj integralrijeimo po varijabli t, umjesto varijable t vratimo iz supstitucije izraz koji sadri varijablu x.

() = 13 2

3

t3 + C =29 (3x + 2) + C

Metoda parcijalne integracije je metoda koja koristi formulu izvedenu iz formule za derivaciju umnoka:u dv = u v

v dv

Metoda se provodi na nacin da se u integralu jedan dio podintegralne funkcije f (x) oznaci sa u, a dio (zajedno sa dx)oznaci sa dv. Potom dio oznacen sa u deriviramo, a dio oznacen s dv integiramo, te potom upotrijebimo formulu zaparcijalnu integraciju. Cilj je metode eliminirati dio podintegralne funkcije f (x) deriviranjem dijela oznacenog s u.Demonstrirajmo metodu primjerom:

x ex dx = u = x dv = ex dxdu = dx v = ex

= x ex

ex dx = x ex ex + C

49. Povrine, gornje i donje sume, odredeni integral


Prva motivacija za definiranje odredenih integrala bila je potreba odredivanja povrine izmedu funkcije f (x) i x-osi, nazadanom segmentu [a, b].

Kako bi se izracunala ta povrina, primjenjen je slijedeci pristup: segment [a, b] se podijeli na vie kracih podintervala(napravi se tzv. razdioba). Na svakom tom malom intervalu pronademo najmanju i najvecu vrijednost funkcije f (x), tese konstruiraju dva pravokutnika. Jedan od njih ima za stranicu maksimalnu, a drugi minimalnu vrijednost funkcije napodintervalu dakle, jedan pravokutnik ima povrinu vecu, a drugi manju od stvarne povrine ispod krivulje funkcijef (x). Gornja suma je zbroj povrina svih vecih pravokutnika, a donja suma je zbroj povrina svih manjih pravokutnika.Na slici su prikazane gornje i donje sume konstruirane za funkciju f (x) = x2 na segmentu [0, 1].

Ukolliko "profinimo" razdiobu, tj. segment [a, b] podijelimo na vie uih podintervala, gornja i donja suma ce bitiblie tocnoj vrijednosti povrine ispod grafa funkcije. Koncno, pustimo li broj podintervela da po limesu tei u besko-nacno, gornja i donja suma dati ce istu vrijednost povrinu ispod krivulje.

28

Opisani postupak uzima se kao definicija odredenog (Riemmanovog) integrala kojeg oznacavamo s

ba

f (x) dx

50. Osnovni teorem diferencijalnog i integralnog racuna


Osnovni teorem diferencijalnog i integralnog racuna poznat je jo i kao Newton-Leibnitzova formula, i glasi:

Neka je f : R R neprekidna funkcija na [a, b]. Tada vrijedib

a

f (x) dx = F(b) F(a),

gdje je F(x) primitivna funkcija funkcije f (x).

Tom je formulom dana veza izmedu odredenog integrala (kojeg definiramo kao povrinu ispod grafa funkcije) i neodre-denog integrala (kojeg definiramo kao "antiderivaciju"), i za kojeg imamo sastavljenu tablicu osnovnih integrala, te zakojega poznajemo pravila i metode integriranja.

51. Nepravi integral


Nepravi integral je odredeni integral kojemu je barem jedan od rubova integracije rub domene podintegralne funkcije.Primjerice, kod integrala

ba

1x2 dx, podintegralna je funkcija f (x) =

1x , kojoj je domena skup D( f ) = , 0 0,

(zato jer nazivnik ne smije biti jednak nuli), integral ce biti nepravi ukoliko je bar jedna od granica a ili b jednaka 0, ili. Tako bi, primjerice, nepravi integral bio 1 1x2 dx.Neprave integrale rjeavamo uvodenjem limesa umjesto granice koja nije u domeni, potom rjeavanjem odredenogintegrala, i konacno rjeavanjem limesa koji ostaje nakon uvrtavanja granica u rjeenje integrala. Pokaimo to primje-rom:

1

1x2

dx = limB

B1

1x2

dx = limB

B1

x2 dx = limB

(x1

1) B

1= lim

B

(1B

+11

)

29

Provjerom oblika limesa (uvrtavanjem B = ) dobivamo oblik 1 = 0, pa je rjeenje integrala 0 + 1 = 1.

52. Ekonomske primjene integrala


U ekonomiji integrali se primjenjuju prilikom racunanja ukupnih ekonomskih funkcija kada su zadane granicne (mar-ginalne) ekonomske funkcije. buduci je primjerice, granicna funkcija trokova jednaka MT (Q) = T (Q), tako je premadefiniciji neodredenog integrala T (Q) =

MT (Q) dQ. Prilikom rjeavanja integrala, pojavljuje nam se i neodredena

konstanta C, koju uobicajeno racunamo iz dodatnog pocetnog uvjeta, primjerice iz zadanih fiksnih trokova (ili pakinformacije o trokovima na bilo kojoj drugoj razini proizvodnje).

Slijedeca upotreba integrala su problemi u kojima treba odrediti funkciju ukoliko je poznat njen koeficjent elastic-nosti. Kako je koeficjent elasticnosti dan formulom E f ,x = xf f , tako je za odredivanje funkcije f (x) potrebno rijeitidiferencijalnu jednadbu, cije rjeavanje uvijek ukljucuje i integriranje.

Poslijednje, integrali se koriste za racunanje kumulativnih funkcija. Primjerice, moemo promatrati funkciju ukupnepotronje od jednog trenutka u vremenu nadalje, pri cemu nam je dana funkcija trenutne potronje u svakom trenutku.U diskretnom slucaju, ukupna potronja jes zbor svih dosadanjih (primjerice dnevnih) potronji (od nekog trenutkanadalje). No ukoliko ne elimo ukupnu potronju racunati na dnevnoj razini, vec nas zanima ukupna potronja u pro-izvoljnom trenutku, sa sume prelazimo na integral funkcije trenutne potronje. Opcenito kumulativne funkcije cijuvrijednost elimo znati kontinuirano, racunamo pomocu integrala.

53. Pojam i rjeenje diferencijalne jednadbe


Najkrace receno diferencijalna jednadba je jednadba u kojoj elimo odrediti funkciju y(x), a koja sadri derivaciju,ili vie stupnjeve derivacije, funkcije y(x). Opcenito diferencijalnu jednadbu zapisujemo

F(x, y, y, , y(n)) = 0.Uz diferencijalnu jednadbu obicno je zadan i pocetni uvjet (ili, tocnije, n pocetnih uvjeta, gdje je n najvii stu-panj derivacije koji se pojavljuje u diferencijalnoj jednadbi) oblika y(x0) = y0 (ako ih je vie, jo i y(x0) =y0, , y(n1)(x0) = y(n1)0 ). Diferencijalnu jednadbu, zajedno sa pocetnim uvjetima nazivamo Cauchyjev problem.

Opce rjeenje diferencijalne jednadbe je funkcija y(x), koja zadovoljava diferencijalnu jednadbu, tj. koja nakonderiviranja i uvrtavanja u diferencijalnu jednadbu zadovoljava jednakost. Opce rjeenje sadri i neodredene konstanteC1, ,Cn, koje nastaju prilikom rjeavanja neodredenih integrala kojima rjeavamo diferencijalnu jednadbu. Brojnepoznatih konstanti, n, jednak je stupnju diferencijalne jednadbe, tj. najvecem stupnju derivacije koji se pojavljujeu njoj. Tako ce primjerice rjeenje diferencijalne jednadbe u kojoj je najveci stupanj derivacije jednak y, imati dvijeneodredene konstante, C1 i C2.

Partikularno rjeenje diferencijalne jednadbe jest rjeenje kod kojeg smo izracunali sve nepoznate konstante C1, ,Cnuvrtavanjem zadanih pocetnih uvjeta u opce rkeenje diferencijalne jednadbe. Partikularno rjeenje je dakle, rjeenjeCauchyjevog problema.

54. Diferencijalne jednadbe prvog reda i metoda separacije varijabli


U programu matematike na EFZG-u je obrada separabilnih diferencijalnih jednadbi prvog reda. Da je diferencijalnajednadba "prvog reda" znaci da se u njoj pojavljuje najvie derivacija prvog stupnja, y(x), tj da se diferencijalna jed-nadba opcenito moe zapisati formulom F(x, y, y) = 0.

30

Separabilnom pak nazivamo diferencijalnu jednadbu koja se moe rijeiti metodom separacije varijabli. Opiimotu metodu i ilustrirajmo na primjeru 2xyy = 1.

Na pocetku, zapiemo dydx umjesto y, te separiramo jednadbu tj. sve y-one grupiramo na jednu stranu jednadbe,

a x-eve na drugu:

2xyy = 1 2xy dydx

= 1 2ydy = dxx

Nakon to je jednadba separirana,integriramo ju, te rijeimo integrale s obje strane jednakosti. Konacno jednadbuuredimo do eksplicitnog oblika, tj. zapisa u kojemu se s lijeve strane jednadbe nalazi samo y.

2ydy =

dxx

y2 = ln x + C y(x) = ln x + C

Tako smo dobili opce rjeenje, kojemu odredujemo iznos nepoznate konstante C uvrtavanjem pocetnog uvjeta.

55. Pojam i rjeenje diferencijske jednadbe


Diferencijske jednadbe (ili rekurzije) su jednadbe u kojima je n-ti clan niza, an, zadan jednadbom pomocu jednog ilivie prethodnih clanova. Primjer deferencijske jednadbe prvog reda bi bila jednadba

an = an1 n + 2Uz diferencijsku jednadbu, uobicajeno je zadati i pocetni uvjet, odnosno informaciju oblika a1 = 5. Prethodna dife-rencijska jednadba, zajedno sa pocetnim uvjetom generira slijedeci niz:

a1 = 5a2 = a1 2 + 2 = 5a3 = a2 3 + 2 = 4a4 = a3 4 + 2 = 2

...

Primjer diferencijske jednadbe drugog reda bi bio: an = an1 2an2.

Opcenito, diferencijske jednadbe dijelimo na homogene i nehomogene diferencijske jednadbe.

Homogene diferencijske jednadbe su one koje sadre samo elemente niza, i moemo ih zapisati F(an, , ank) = 0.Primjer homogene diferencijske jednadbe bila bi diferencijska jednadba drugog reda: an = an1 2an2.

Nehomogene diferencijske jednadbe, pak, sadre i slobodan clan, koji je funkcija koja ovisi o n. Njih opcenito mo-emo zapisati u formi F(an, , ank) = f (n). Primjer nehomogene diferencijske jednadbe jest prva jednadba kojusmo naveli: an = an1 n + 2.

Diferencijske jednadbe rjeavamo u dva koraka. Prvo rijeimo homogeni dio diferencijske jednadbe (dakle, na po-cetku slobodni clan, i ako ga ima, ignoriramo), te se dobije homogeno rjeenje. Taj se postupak obavlja formiranjemkarakteristicne jednadbe rekurzije. Karakteristicna jednadba prve diferencijske jednadbe koju smo naveli bila bik = 1, a druge k2 = k 2. Nakon to se odrede rjeenja te jednadbe, homogeno rjeenje je oblika an = C kn.

Potom se trai partikularno rjeenje diferencijske jednadbe, koje prvenstveno ovisi o obliku slobodnog clana, f (x).Konacno, rjeenje diferencijske jednadbe je zbroj homogenog i partikulrnog rjeenja, u koje na kraju uvrstimo pocetneuvjete kako bi izracunali preostale nepoznate konstante.

31

5 Financijska matematika

56. Jednostavni i sloeni kamatni racun


U jednostavnom kamatnom racunu, kamata se obracunava uvijek na istu pocetnu vrijednost u svakom periodu ukama-civanja. Iskazano kroz formulu, vrijedi:

In = C0 p100gdje je In kamata obracunata u n-tom periodu, C0 pocetna vrijednost, a p jednostavni kamatnjak. Konacna vrijednostnakon n obracunskih razdoblja tada je dana s

Cn = C0 (1 +

np100

)uz dekurzivni obracun kamata (i p dekurzivni kamatnjak), odnosno s

Cn = C0 100100 q nuz anticipativni obracun kamata (i q anticipativni kamatnjak).

Kod sloenog kamatnog racuna, kamata u n-tom periodu se obracunava na vrijednost na pocetku tog perioda (a ne napocetnu vrijednost), dakle na Cn1. Iskazano formulom:

In = Cn1 p100 .

Tu je pak konacna vrijednost dana formulom

Cn = C0 rn = C0 (1 +

p100

)n.

57. Dekurzivni i anticipativni nacin obracuna kamata


Anticipativni obracun kamata je nacin obracuna kamata u kojem se one obracunavaju pocetkom termina od konacne vri-jednosti glavnice. Dakle, kamata se obracunava na konacnu vrijednosti - pocetnu glavnicu uvecanu za ukupnu kamatu.Dekurzivni obracun kamata je, s druge strane, nacin obracuna kamata u kojem se kamata obracunava krajem termina odpocetne vrijednosti glavnice. Iz ovog je jasno da je efektivna kamata (dakle, stvarno placena kamata) u slucaju antici-pativnog obracuna nepovoljnija za dunika od dekurzivnog obracuna uz istu nominalnu kamatnu stopu.

Anticipativan obracun kamata cesto se koristi u kombinaciji sa jednostavnim kamatnim racunom. U tom slucaju, ko-nacna vrijednost Cn dana je formulom:

Cn = C0 100100 q ngdje je q anticipativan kamatnjak, n broj obracunskih razdoblja, a C0 pocetna vrijednost. Klasican primjer primjene(jednostavnog) anticipativnog kamatnog racuna je potroacki kredit, u cijoj formuli jo imamo korekciju za mjesecniobracun kamate. Inace, u hrvatskom bankarskom sustavu prevladava sloen i dekurzivan obracun kamate.

32

58. Relativna i konformna kamatna stopa


U slucaju kada se stvarni obracunski period ne poklapa sa periodom na koji se odnosi nominalna kamatna stopa, po-trebno je izvriti korekciju kamatne stope, i prilagoditi ju periodu u kojemu se kamata obracunava. Dva su nacina nakoji se moe izvesti ta prilagodba: relativna i konformna kamatna stopa. U oba sluacaja prvo racunamo indeks

m =d1d

gdje je d1 stvarni obracunski period, a d period na koji se odnosi nominalna kamatna stopa.

Relativnu kamatnu stopu tada racunamo formulom

pR =pm,

dok kod konformne kamatne stope kamatni faktor odredujemo formulom

rK =mr.

Kako je r = 1 + p100 , slijedi da je konformni kamatni faktor dan formulom

pK = 100 (rK 1) = 100 (

mr 1)

= 100 (

m

1 +

p100 1

).

59. Konacna vrijednost vie prenumerando iznosa


Prenumerando uplate (ili isplate) se uvijek vre pocetkom obracunskog razdoblja. Ukoliko imamo n obracunskih raz-doblja, a traimo konacnu vrijednost, tada svaku uplatu (ili isplatu) trebamo okamatiti redom faktorima rn, rn1, itd. svedo posljednje uplate (ili isplate) koja je ukamacena samo faktorom r.

Uz oznaku R za iznos svih prenumerando uplata (ili isplata), umiranjem svih velicina dobivamo:

S n = R rn + R rn1 + + R rS n = R r

(rn1 + + 1

)U zagradi imamo sumu geometrijskog niza koja iznosi

rn 1r 1 , pa je konacna vrijednost prenumerando iznosa jednaka:

S n = R r rn 1r 1

33

60. Sadanja vrijednost vie prenumerando iznosa


Pri racunanju sadanje vrijednosti prenumerando iznosa, svaki od iznosa kamatimo unazad, i to redom: R, Rr , pa sve doR

rn1 (vidi sliku).

Ukupna vrijednost svih pocetnih iznosa jednaka je sumi:

An = R +Rr

+ + Rrn1

Izlucivanjem Rrn1 slijedi:

An =R

rn1(rn1 + + 1) = R

rn1 r

n 1r 1

61. Model amortizacije zajma nominalno jednakim anuitetima


Kod amortizacije zajma nominalno jednakim anuitetima, ukupan iznos koji isprlacujemo krajem svakog otplatnog raz-doblja (anuitet) je jednak, dok se iznosi otplatnih kvota kojima otplacujemo glavnicu mijenjaju. Koristimo slijedeceoznake:

Ck neotplaceni dio glavnice (C0 je dakle iznos cijelog zajma)Ik iznos kamate u k-tom otplatnom razdobljuRk otplatna kvota (dio kojim otplacujemo glavnicu) u k-tom otplatnom razdobljua iznos jednakog anuitetar kamatni faktor, r = 1 + p100n broj otplata

Uz te oznake, pri sastavljanju otplatne tablice, prvo racunamo iznos jednakog anuiteta:

a = C rn (r 1)rn 1 .

Potom u svakom otplatnom razdoblju redom racunamo kamatu:

Ik = Ck1 p100 ,

pomocu iznosa glavnice iz prethodnog razdoblja, pomnoene s kamatnjakom, potom otplatnu kvotu:

Rk = a Ik,koja je iznos anuiteta umanjen za iznos kojim otplacujemo kamatu, te na kraju preostalu glavnicu:

Ck = Ck1 Rk,koju dobijemo tako da glavnicu iz prethodnog razdoblja umanjimo za iznos otplatne kvote. Postupak ponovimo n puta,tj. dok ne popunimo tablicu, a iznos neotplacene glavnice ne padne na nulu.

34

62. Model amortizacije zajma nominalno jednakim otplatnim kvotama


U modelu otplate zajma jednakim otplatnim kvotama u svakom otplatnom razdoblju otplacujemo jednak dio zajma(glavnice), kojemu se pak dodaje kamata, te se dobiva varijabilan iznos anuiteta. Uz oznake

Ck neotplaceni dio glavnice (C0 je dakle iznos cijelog zajma)Ik iznos kamate u k-tom otplatnom razdobljuR jednaka otplatna kvota (dio kojim otplacujemo glavnicu)ak iznos anuiteta u k-tom otplatnom razdobljur kamatni faktor, r = 1 + p100n broj otplata

prvo racunamo iznos jednake otplatne kvote

R =C0n


Ik = Ck1 p100 ,

pomocu iznosa glavnice iz prethodnog razdoblja pomnoene s kamatnjakom. Zatim racunamo iznos anuiteta:

ak = R + Ik,

koja je iznos otplatne kvote uvecane za iznos kojim otplacujemo kamatu, te na kraju preostalu glavnicu:

Ck = Ck1 R,koju dobijemo tako da glavnicu iz prethodnog razdoblja umanjimo za iznos otplatne kvote. Postupak ponovimo n puta,tj. dok ne popunimo tablicu, a iznos neotplacene glavnice ne padne na nulu.

63. Klasicni model potroackog kredita


Potroacki kredit je primjer kredita u kojemu je obracun kamata jednostavan i anticipativan. Anticipativnu godinjukamatnu stopu obiljeavamo s q. Otplata kredita je u m jednakih mjesecnih rata koje obiljeavamo s R. Iznos kreditaobiljeavamo s C, a postotak uceca u gotovini s p.

Za racunanje sa potroackim kreditom, prvo je potrebno izracunati kamatni faktor k:

k =(m + 1) q

24

Potom su velicine u potroackom kreditu vezane formulom:

R m = C (1 p

100

)(1 +

k100

)

35

64. Neprekidna kapitalizacija


Neprekidna kapitalizacija ili kontinuirano ukamacivanje je poseban obracun kamata, u kojem se kamate obracunavajusvakog trenutka i pribrajaju glavnici, tj. nema vremenskog diskontinuiteta izmedu dva obracuna kamata i njihovogpribrajanja glavnici unutar vremenskog trajanja kapitalizacije. Kontinuirana kapitalizacija se primjenjuje u odredivanjuprirodnog rasta (prirasta biljaka, ivotinja, stanovnitva) i u makroekonomskim istraivanjima.

Formula za racunanje konacne vrijednosti (Cn) dana je s

Cn = C0 e np100

gdje je C0 pocetna vrijednost, p godinja kontinuirana kamatna stopa (ili prirast), a n vrijeme ukamacivanja iskazanou godinama. Formula se izvodi tako da se u formuli za sloeni obracun kamate koja se obracuna m puta u n godina,vrijednost m limesom pusti u beskonacno. Tocnije, promatramo limes:

limmC0

(1 +

p100 m

)mnRjeavanjem tog limesa (tj. njegovim svodenjem na tablicni limes limx

(1 + kx

)x= ek), dobivamo gore navedenu

formulu.

65. Trajna renta


Kod odredivanja iznosa A koji je potrebno poloiti u banku kako bi se osigurala vjecna isplata u iznosu R, zapravose radi o odredivanju pocetne (sadanje) vrijednosti beskonacno mnogo postnumerando isplata velicine R (naravno, uzneki kamatni faktor r). Pocetna vrijednost n postnumerando isplata dana je formulom

A =Rrn r

n 1r 1

Ono to nas zanima jest to se dogada na limesu, kada n tei u beskonacno:

A = limn

(Rrn r

n 1r 1

)Uredimo izraz u limesu: podijelimo li brojnik drugog razlomka, rn 1, sa nazivnikom prvog, rn, dobivamo:

A = limn

R 1 1rnr 1

Sada izraz 1rn tei u 0 kada n tei u beskonacno (zato jer je r > 1, pa rn tei u beskonacno), pa je:

A =R

r 1Uvrstimo li vrijednost kamatnog faktora r = 1 + p100 slijedi:

A =R

1 + p100 1 A = 100 Rp .

Alternativno, ako elimo osigurati beskonacnu isplatu rente R, u banku moramo poloiti iznos A kojemu ce se obra-cunati kamata u visini R koja se potom isplacuje kao renta Dakle,

R = A p100 A =100 R

p.

36

6 Primjeri rijeenih ispitnih rokova

11. sijecnja 2010. (A grupa)

1. (12) Navedite potrebne i dovoljne uvjete da bi sustav linearnih jednadbi

AX = B

imao rjeenja, pri cemu je Amn matrica koeficjenata sustava, Xn1 vektor nepoznanica i Bm1 vektor slobodnih koefi-cjenata.

(8) Gauss-Jordanovom metodom provjerite ima li rjeenje sustav linearnih jednadbi

x1 + x2 + x3 = 22x1 3x2 + x3 = 7x1 + 6x2 + 2x3 = 13.

Ako sustav ima rjeenje, navedite sva njegova rjeenja.


Nuan i dovoljan uvjet da bi sustav AX = B imao rjeenje je da je rang matrice sustava A jednak rangu proirene matricesustava Ap, tj. da vrijedi r(A) = r(Ap). Proirenu matricu sustava dobijamo tako da matrici sustava A dodamo jojedan stupac, vektor B.

Za zadani sustav formiramo proirenu matricu sustava, te na njoj provodimo Gauss-Jordanove transformacije:

1 1 1 | 22 3 1 | 71 6 2 | 13 II 2 IIII I

1 1 1 | 20 5 1 | 110 5 1 | 11 : (5)III + II 1 1 1 | 20 1 15 | 1150 0 0 | 0

Na ovom mjestu vec vidimo da sustav ima rjeenja naime rang magtrice sustava A (matrica do okomite crtkane crtekoja predstavlja jednakost) ima rang jednak 2, ba kao i proirena matrica sustava Ap. Preostalo je od prvog reda oduzetidrugi i icitati rjeenja: 1 0

45 | 15

0 1 15 | 1150 0 0 | 0

Sada je x3 R parametar. Iz prvog retka citamo x1 = 45 x3

15

, a iz drugog x2 = 15 x3 +115

.

2. (12) Kada kaemo da je funkcija f : a, b R rastuca (strogo rastuca) na intervalu a, b? Kada kaemo da je funkcijaf : a, b R padajuca (strogo padajuca) na intervalu a, b?

(8) Za funkciju f (x) = 5x2 + 40x 6, x 1, 8 odredite intervale rasta i pada.


37

Za funkciju f : a, b R kaemo da je rastuca na intervalu a, b ukoliko za svake dvije tocke iz tog intervalax1, x2 a, b za koje je x1 < x2 vrijedi f (x1) f (x2), kao to je prikazano na slici. (Napomena za bolje razumjevanje:za svake dvije tocke, funkcijska vrijednost "lijeve" tocke biti ce manja ili jednaka od funkcijske vrijednosti "desne" tocke.)

Funkcija je strogo rastuca ukoliko je f (x1) < f (x2) dakle, u tom slucaju jednakost nije dozvoljena, nego vrijednostfunkcije mora stalno rasti.

Analogno, funkcija je padajuca (odnosno, strogo padajuca) na intervalu a, b ukoliko za svake dvije tocke iz tog inter-vala x1, x2 a, b za koje je x1 < x2 vrijedi f (x1) f (x2) (odnosno, f (x1) > f (x2)).

Kriterij pomocu kojega ispitujemo da li funkcija pada ili raste na zadanom intervalu provodimo pomocu prve deri-vacije f (x) (ukoliko ista postoji). Prema tom kriteriju, funkcija f (x) raste (odnosno, strogo raste) na intervalu a, bukoliko za svaki x a, b vrijedi da je f (x) 0 (odnosno, f (x) > 0) Upravo cemo taj kriterij upotrijebiti u drugomdijelu zadatka. Izracunajmo zato prvu derivaciju zadane funkcije:

f (x) = 10x + 40Odredimo sada kada je f (x) vece od nule:

f (x) > 0 10x + 40 > 0 x < 4Kako je funkcija zadana samo na intervalu 1, 8, zakljucujemo kako funkcija f (x) raste (moemo pisati i f (x) ) zax 1, 4. Analogno, iz nejednakosti f (x) < 0 slijedi x > 4, pa iz toga zakljucujemo kako f (x) pada ( f (x) ) zax 4, 8.

3. (12) Kada kaemo da je funkcijaf (x1, x2, , xn)

homogena stupnja homogeniteta ? Navedite interpretaciju stupnja homogeniteta .

(8) Je li funkcija

f (x, y, z) =2x + 3y

4z2

homogena? Ako jest, odredite stupanj homogeniteta i interpretirajte ga.


Kaemo da je funkcija f : Rn R homogena stupnja ako i samo ako vrijedif (x1, x2, , xn) = f (x1, x2, , xn).

Interpretacija je slijedeca: ukoliko sve varijable x1, x2, , xn rastu za 1% tada vrijednostu funkcije f raste za (odnosno,pada, ukoliko je dobivena vrijednost negativna) (1, 01 1) 100 posto. Kada se ta vrijednost izracuna (za male vrijed-nosti ) dobija se vrijednost priblino jednaka , pa se cesto izrice i (aproksimativna) interpretacija: kada sve varijablerastu za 1% tada vrijednost funkcije raste za %.

U drugom dijelu zadataka ispitujemo homogenost zadane funkcije:

f (x, y, z) =2 x + 3 y

4(z)2=

(2x + 3y)4 2 z2 =

1 2x + 3y

4z2= 1 f (x, y, z)

38

Dakle funkcija je homogena, stupnja homogeniteta = 1. Interpretacija je slijedeca: kada varijable x, y i z rastu za1%, tada vrijednost funkcije f (x, y, z) pada (zato jer je stupanj homogenosti negativan) za 1%.

4. (12) Objasnite metodu parcijalne integracije u integralnom racunu.

(8) Izracunajte neodredeni integral 8xexdx


Metoda parcijalne integracije je metoda koja koristi formulu izvedenu iz formule za derivaciju umnoka:u dv = u v

v dv

Metoda se provodi na nacin da se u integralu jedan dio podintegralne funkcije f (x) oznaci sa u, a dio (zajedno sa dx)oznaci sa dv. Potom dio oznacen sa u deriviramo, a dio oznacen s dv integiramo, te potom upotrijebimo formulu zaparcijalnu integraciju.

8xexdx =

u = 8x dv = ex dxdu = 8dx v = ex = 8x ex

ex 8dx = 8xex 8ex + C.

5. (12) Objasnite kako se otplacuje odobreni potroacki kredit u iznosu od C kn, ako je poznat rok otplate m mjeseci,postotak uceca p i anticipativni godinji kamatnjak q.

(8) Odobren je potroacki kredit od 120 000,00 kn, na 3 godine, uz 20% uceca u gotovini i 12% kamata. Izracu-najte ukupne kamate i mjesecnu ratu otplate kredita.


Potroacki kredit je primjer kredita u kojemu je obracun kamata jednostavan i anticipativan. Anticipativnu godinjukamatnu stopu obiljeavamo s q. Otplata kredita je u m jednakih mjesecnih rata koje obiljeavamo s R. Iznos kreditaobiljeavamo s C, a postotak uceca u gotovini s p.

Za racunanje sa potroackim kreditom, prvo je potrebno izracunati kamatni faktor k:

k =(m + 1) q

24=

(m + 1) q24

=(36 + 1) 12

24= 18.5

iznos rate racunamo:

R =Cm(1 p

100

)(1 +

k100

)R =

12000036

(1 20

100

)(1 +

18.5100

)= 3160

Dakle, slijedecih 36 mjeseci (3 godine) potrebno je vracati mjesecne rate u iznosu od 3160 kn.

39

11. sijecnja 2010. (A grupa)

1. (12) Definirajte algebarski komplement Ai j elementa ai j u determinanti detA, gdje je A =[ai j

], i = 1, 2, , n,

j = 1, 2, , n kvadratna matrica n-tog reda. Napiite Laplaceov razvoj te determinante po i-tom redu.

(8) Pomocu Laplaceovog razvoja i svojstava determinante izracunajte determinantu matrice

B =

3 1 4 02 1 5 13 0 4 22 0 5 3

.


Algebarski komplement Ai j elementa ai j u determinanti detA dobije se tako da iz matrice A uklonimo i-ti redak i j-tistupac. Razvoj po i-tom retku matrice A glasi:

detA = (1)i+1 ai1 det Ai1 + (1)i+2 ai2 det Ai2 + + (1)i+n ain det Ain =n

j=1

(1)i+ j ai j det Ai j

Prilikom raspisivanja determinante po nekom retku ili stupcu, poeljno je da u tom retku ili stupcu imamo cim vie nula(kako bi racun bio to kraci). Kod matrice B stoga biramo drugi stupac no i tada moemo olakati racun koritenjemsvostva determinanti. Jedno od tih svojstava kae da vrijednost determinante ostaje ista kada zbrojimo (ili oduzmemo)dva retka (ili stupca) zato cemo drugom retku pribrojiti prvi red kako bi element b2,2 sveli na nulu, te kako bi tako svielementi osim prvoga u drugom stupcu postali nule:

det B =

3 1 4 02 1 5 13 0 4 22 0 5 3

+I

=

3 1 4 05 0 9 13 0 4 22 0 5 3

=Sada determinantu razvijamo koristeci Laplaceov razvoj:

= (1)1+2 (1)

5 9 13 4 22 5 3

=

5 9 13 4 22 5 3

Na ovom mjestu bilo bi dobro uociti da se prvi red preostale determinante moe dobiti kao III-II. Jo jedno od svojstavadeterminanti kae da je vrijednost determinante jednaka nuli ukoliko se jedan red (ili supac) moe prikazati kao linearnakombinacija preostalih, a upravo smo to istaknuli: I=III-II. Stoga je vrijednost ove determinante jednaka nuli.

Ukoliko to ne uocimo, determinantu dalje raspisujemo pomocu Laplaceovog razvoja, primjerice, razvojem po trecemstupcu:

= (1)1+3 1 3 42 5

+ (1)2+3 2 5 92 5

+ (1)3+3 3 5 93 4

=

( 3 5 (4) 2

) 2

(5 5 9 2

)+ 3

(5 (4) 9 (3)

)= 7 14 + 21 = 0

40

2. (12) Kada kaemo da je funkcija f : a, b R konveksna (konkavna)?Navedite kriterij za ispitivanje konveksnosti (konkavnosti) funkcije f .

(8) Odredite intervale konveksnosti (konkavnosti) funkcije ukupnih trokova proizvodnje

T (Q) = Q3 30Q2 + 300Q + 500gdje je Q kolicina proizvoda.


Funkcija f : R R je konveksna na intervalu a, b, ako je za svake dvije vrijednosti x1, x2 a, b, duina koja spajatocake P (x1, f (x1)) i Q (x2, f (x2)) iznad grafa funkcije f (x), kao to je prikazano na slijedecoj slici.

Analogno, ukoliko je spojnica tocaka P i Q ispod grafa funkcije f (x), za svake dvije tocke P i Q iz zadanog intervala,tada za funkciju f (x) kaemo da je konkavna.

Matematicki, to zapisujemo

f (x) 0. Analogno, funkcija je konkavna ukoliko je u svim tockama intervalaf (x) < 0. Tocke u kojima funkcija mijenja zakrivljenost iz konveksne u konkavnu, ili obrnuto, zovemo tockama in-fleksije, i u njima je druga derivacija funkcije jednaka nuli.

Zato za zadanu funkciju proizvodnje racunamo drugu derivaciju:

T (Q) = 3Q2 60Q + 300 T (Q) = 6Q 60Ispitajmo sada konveksnost funkcije:

6Q 60 > 0 Q > 10pa je funkcija proizvodnje konveksna za Q 10,. Analogno, za konkavnost traimo da je T (Q) < 0 6Q 60 < 0 Q < 10, pa je T (Q) konkavna za Q [0, 10 (zbog toga to je Q ekonomska velicina pa ne moepoprimiti negativne vrijednosti).

41

3. (12) Navedite potrebne i dovoljne uvjete lokalnog minimuma (maksimuma) funkcije dviju varijabli z(x, y).

(8) Ispitajte ima li ekstrema funkcija

z(x, y) = 2x2 2y2 + xy + x 4y + 20.


Da bi tocka T (x, y, z(x, y)) bila lokalni ekstrem funkcije z(x, y) ona mora ispunjavti nune i dovoljne uvjete. Nuan uvjetje, slicno kao i kod funkcije jedne varijable, taj da su parcijalne derivacije prvog reda izracunate u tocki T jednake nuli,tj. da je

zx

(T ) = 0,zy

(T ) = 0.

Dovoljan uvjet je, pak, da je determinanta Hesseove matrice veca od nule, tj. da je2zx2

(T )2zyx

(T )

2zxy

(T )2zy2

(T )

> 0Za zadanu funkciju, odredimo pve parcijalne derivacije, te ih izjednacimo s nulom kako bi odredili stacionarnu tockuT :

zx

= 4x + y + 1 4x + y + 1 = 0zy

= 4y + x 4 4y + x 4 = 0

Rijeimo li sustav dvije jednadbe s dvije nepoznanice, dobijamo rjeenja x = 0, y = 1, tj. stacionarnu tocku T (0,1).Izracunajmo sad druge parcijalne derivacije, te uvrstimo tocku T .

2zx2

= 4, 2z

yx= 1,

2zy2

= 4

Odredimo vrijednost determinante Hesseove matrice:

det H =

4 11 4 = (4) (4) 1 1 = 15 > 0,

pa zakljucujemo kako se u tocki T postie ekstrem. Preostalo je odrediti karakter tog ekstrema. Kako je 2zx2 = 4 < 0

zakljucujemo kako se radi o maksimumum. Na kraju jo odredimo z koordinatu tocke T :

z(0,1) = 2 02 2 (1)2 + 0 (1) + 0 4 (1) + 20 = 22Dakle, funkcija z(x, y) postie maksimum u tocki T (0,1, 22).

4. (12) Navedite pravilo za integral zbroja funkcija f (x) i g(x).

(8) Izracunajte neodredeni integral (5x +

4x4x2 + 1

)dx


Pravilo za integral zbroja funkcija f (x) i g(x) glasi: (f (x) + g(x)

)dx =

f (x) dx +

g(x) dx

Pravilo upotreijebimo i kod zadanog integrala:

42

(5x +

4x4x2 + 1

)dx =

5x dx +

4x

4x2 + 1dx = ()

prvi integral je tablicni i iznosi 5 x2

2, dok drugi rjeavamo metodom supstitucije:

4x

4x2 + 1dx =

t = 4x2 + 1dt = 8x dx

dx = dt8x

=

4xt dt

8x=

12

dtt

=12

ln t + C =12

ln(4x2 + 1) + C

Dakle, ukupno rjeenje glasi

() = 52

x2 +12

ln(4x2 + 1) + C.

5. (12) Objasnite otplatu zajma u iznosu od C kn jednakim aunitetima krajem godine kroz n godina, uz godinji, sloen,dekurzivan obracun kamata i godinji kamatnjak p. Prikaite otplatnu tablicu!

(8) Odobren je zajam od 250 000,00 kn, na 10 godina, uz otplatu jednakim anuitetima krajem godine, godinji ka-matnjak p = 12, te godinji, sloen, dekurzivan obracun kamata. Nacinite otplatnu tablicu za prve dvije godine otplatetog zajma.


Kod amortizacije zajma nominalno jednakim anuitetima, ukupan iznos koji isprlacujemo krajem svakog otplatnog raz-doblja (anuitet) je jednak, dok se iznosi otplatnih kvota kojima otplacujemo glavnicu mijenjaju. Koristimo slijedeceoznake:

Ck neotplaceni dio glavnice (C0 je dakle iznos cijelog zajma)Ik iznos kamate u k-tom otplatnom razdobljuRk otplatna kvota (dio kojim otplacujemo glavnicu) u k-tom otplatnom razdobljua iznos jednakog anuitetar kamatni faktor, r = 1 + p100n broj otplata

Uz te oznake, pri sastavljanju otplatne tablice, prvo racunamo iznos jednakog anuiteta:

a = C rn (r 1)rn 1 .


Ik = Ck1 p100 ,

pomocu iznosa glavnice iz prethodnog razdoblja, pomnoene s kamatnjakom, potom otplatnu kvotu:

Rk = a Ik,koja je iznos anuiteta umanjen za iznos kojim otplacujemo kamatu, te na kraju preostalu glavnicu:

Ck = Ck1 Rk,koju dobijemo tako da glavnicu iz prethodnog razdoblja umanjimo za iznos otplatne kvote. Postupak ponovimo n puta,tj. dok ne popunimo tablicu, a iznos neotplacene glavnice ne padne na nulu.

43

U zadatku su zadani: C0 = 250000, n = 10, p = 12. Prvo racunamo iznos anuiteta:

a = 250000 1.1210 (1.12 1)1.1210 1 = 44246.04

Za prvu godinu otplate sada redom racunamo:

I1 = C0 p100 = 250000 0.12 = 30000

R1 = a I1 = 44246.04 30000 = 14246.04C1 = C0 R1 = 250000 14246.04 = 235753.96

Za drugu godinu imamo:I2 = C1 p100 = 235753.96 0.12 = 28290.48

R2 = a I2 = 44246.04 28290.48 = 15955.56C2 = C1 R2 = 235753.96 15955.56 = 219798.40

Time smo dobili podatke za popunjavanje prva dva reda otplatne tablice:

k a I R C0 250000.001 44246.04 30000.00 14246.04 235753.962 44246.04 28290.48 15955.56 219798.40...

......

......

44

UvodElementi linearne algebreDiferencijalni racun i primjeneIntegralni racun i dinamicka analizaFinancijska matematikaPrimjeri rijeenih ispitnih rokova

skripta_usmeni matematika

Documents

Transcript of skripta_usmeni matematika