Trigo No Metri

NOTA: TRIGONOMETRI

Nota/Trigonometri/Jazz Janudin Muka 1

ISI KANDUNGAN

1. Nisbah Trigonometri

2. Graf Fungsi-Fungsi Trigonometri

3. Sudut Dongak dan Sudut Tunduk

4. Petua Sinus dan Petua Kosinus

5. Luas Segitiga

6. Sudut Istimewa dan Rumus Sudut Bercampur

7. Rumus Sudut Berganda

8. Identiti Trigonometri

OBJEKTIF PEMBELAJARAN

Pelajar boleh…… 1. Menentukan nisbah-nisbah trigonometri dan melukis graf-graf fungsinya.

2. Menyelesaikan segitiga bersudut tegak menggunakan nisbah trigonometri dan

teorem Pythagoras.

3. Menyelesaikan masalah-masalah melibatkan sudut dongak dan sudut tunduk.

4. Mengaplikasi petua sinus dan petua kosinus untuk menyelesaikan masalah-masalah trigonometri.

5. Mengaplikasikan rumus yang berkaitan menyelesaikan masalah luas segitiga.

6. Menggunakan sudut istimewa dan rumus sudut bercampur untuk mencari nisbah trigonometri.

7. Menggunakan rumus sudut berganda.

8. Membuktikan identiti trionometri

NOTA: TRIGONOMETRI


NISBAH-NISBAH TRIGONOMETRI

Trigonometri merupakan cabang matematik yang berkaitan dengan sudut, segitiga dan hubungannya. Definisi sinus, kosinus dan tangent hanya benar untuk segitiga bersudut tegak.

Katakan segitiga ABC mempunyai sudut tirus θ seperti di atas. Sisi-sisinya dinamakan Setentang (kerana bertentangan dengan sudut θ), Sebelah (kerana bersebelahan dengan sudut θ) dan Hipotenus. Oleh itu, nisbah-nisbah trigonometri boleh diperolehi seperti rumus berikut: Sinus:

hipotenus

setentangsin =θ � (SOH)

Kosinus:

hipotenus

sebelahcos =θ � (CAH)

Tangent:

sebelah

setentangtan =θ � (TOA)

NOTA: TRIGONOMETRI


Contoh: Cari nisbah-nisbah trigonometri θsin , θcos dan θtan dalam segitiga PQR di bawah. Kemudian tentukan berapakah nilai sudut θ.

3846.013

5

hipotenus

setentangsin ===θ

9231.013

12

hipotenus

sebelahcos ===θ

4167.012

5

sebelah

setentangtan ===θ

NOTA: TRIGONOMETRI


INTENSIVE EXERCISEINTENSIVE EXERCISEINTENSIVE EXERCISEINTENSIVE EXERCISE

1. Determine Asin , Acos and Atan from the figure below:

2. If 41

9cos =A , determine the other two basic trigonometric ratios.

3. In the figure below, find lengths of PQ and PR:

4. In the figure below, find xsin :

Answers: 1. sin A = 12/13, cos A = 5/13, tan A = 12/5 2. sin A= 40/41, tan A = 40/9 3. PQ = 5.86 cm, PR = 9.52 cm 4. sin x = 0.333

NOTA: TRIGONOMETRI


GRAF FUNGSI TRIGONOMETRI DARI 0° to 360°

Graf-graf θsin , θcos dan θtan boleh diplot seperti berikut:

i) θsin

NOTA: TRIGONOMETRI

Nota/Trigonometri/Jazz Janudin

ii) θcos

iii) θtan

Daripada graf-graf θsin dan

serupa. Ia bersifat berkala, yang bermaksud berulang Perhatikan pula graf θtan

dihampiri oleh graf fungsi tetapi tidak dapat melepasinya

OTA: TRIGONOMETRI

dan θcos di atas, perhatikan bahawa bentuk graf adalah

serupa. Ia bersifat berkala, yang bermaksud berulang-ulang.

yang mempunyai asimptot (Garis melintang yang

tetapi tidak dapat melepasinya).

Muka 6

di atas, perhatikan bahawa bentuk graf adalah

Garis melintang yang

NOTA: TRIGONOMETRI


SUDUT DONGAK DAN SUDUT TUNDUK

Sudut Dongak

Katakanlah satu titik A pada lantai rata 100 m jauhnya daripada sebuah tiang bendera, BC setinggi 30 m seperti rajah di bawah.

Sudut dongak pada hujung tiang C dari titik A adalah satu garis yang perlu didongakkan daripada garis AB.

°=

==

7.16

3.0100

30tan

θ

θ

Sudut Tunduk

Katakanlah satu titik D pada hujung benteng 50 m tingginya menghadap laut yang terbentang luas. Sebuah kapal terletak 120 m daripada benteng itu pada paras laut, pada titik F seperti dalam rajah di bawah.

Sudut tunduk pada kapal itu dari titik D adalah sudut yang mana satu garis lurus DF ditundukkan daripada satah melintangnya.

( )°=

==−

62.22

4.250

12090tan

α

α

NOTA: TRIGONOMETRI



1. In the figure below, E and F are two points on the ground. GF is a flag pole.

If the angle of elevation of point G from point E is 26.5°, find the height of the flag pole in meter.

2. An electricity pylon stands on horizontal ground. At a point of 80 m from the

base of the pylon, the angle of elevation of the top of the pylon is 23°. Calculate the height of the pylon to the nearest meter.

3. A surveyor measures the angle of elevation of the top of a perpendicular building as 19°. He moves 120 m nearer the building and finds the angle of elevation is now 47°. Determine the height of the building.

4. The angle of depression of a ship viewed at a particular instant from the top of a 75 m vertical cliff is 30°. Find the distance of the ship from the base of the cliff at this instance. The ship is sailing away from the cliff at constant speed and 1 minute later its angle of depression from the top of the cliff is 20°. Determine the speed of the ship in kmh-1.

Answers: 1. 10 m 2. 34 m 3. 128.68 m 4. 130 m, 4.6 km/h

NOTA: TRIGONOMETRI


PENYELESAIAN SEGITIGA

Petua Sinus

Biar ABC sebuah segitiga scalene, dan sisinya a, b dan c.

Petua sinus menyatakan bahawa C

cB

bA

asinsinsin

==

Contoh: Dalam segitiga ABC di bawah, °= 53A , °= 61B dan panjang cm60.12=a . Cari sisi-

sisi yang tidak diketahui dan sudut yang selebihnya.

( ) °°°° =+−=∠ 666153180C

( )

cm7991.13

8746.07986.0

60.12

53sin

60.12

61sin

sinsin

=

=

=

=

°°

b

b

b

Aa

Bb

( )

cm4136.14

9135.07986.0

60.12

53sin

60.12

66sin

sinsin

=

=

=

=

°°

c

c

c

Aa

Cc

NOTA: TRIGONOMETRI


Petua Kosinus

Biar ABC sebuah segitiga scalene, dan sisinya a, b dan c.

Petua kosinus menyatakan:

( )( )( )Cabbac

Baccab

Abccba

cos2

cos2

cos2

222

222

222

−+=

−+=

−+=

Contoh: Cari semua sudut dalam segitiga di bawah.

( )

( )( )( )

°

−

=

=

=−−

=

−=

−+=

−+=

74.81

1429.0cos

1429.070

7464cos

cos707464

cos572254964

cos2

1

222

A

A

A

A

A

Abccba

( )

( )( )( )

°

−

=

=

=−−

=

−=

−+=

−+=

60

5.0cos

5.080

8949cos

cos808949

cos582256449

cos2

1

222

B

B

B

B

B

Baccab

( ) °°°° =+−=∠∴ 26.386074.81180C

NOTA: TRIGONOMETRI


LUAS SEGITIGA

Luas segitiga diberikan oleh rumus ( )( )tinggitapakA2

1= .

Contoh: Cari luas segitiga ABC di bawah:

( )( )xA 52

1= dimana x adalah tinggi segitiga yang tidak diketahui.

( )

( ) cm321.115283.42

5

5283.4

67547.0

649sin

==

=

=

=°

A

x

x

x

NOTA: TRIGONOMETRI



1. Calculate the length of AC and BC in the figure below.

2. Find the labeled side, x in the figure below:

3. Find side c , and the rest of the angles in the triangle ABC below:

4. For all the three triangles above, find their areas, respectively.

Answers: 1. b = 6.4 cm, a = 4.3 cm 2. x = 4.2 cm 3. c = 16.03 cm, ∆A = 70.35°, ∆B = 42.65° 4. (1) 12.47 cm2 (2) 10.27 unit2 (3) 89 cm2

NOTA: TRIGONOMETRI


RUMUS SUDUT BERCAMPUR

( )

( )

( )

( )

( )

( )BABA

BA

BABA

BA

BABABA

BABABA

BABABA

BABABA

tantan1

tantantan.6

tantan1

tantantan.5

sinsincoscoscos.4

sinsincoscoscos.3

sincoscossinsin.2

sincoscossinsin.1

+−

=−

−+

=+

+=−

−=+

−=−

+=+

Rumus ini biasanya digunakan bersama-sama jadual Sudut Istimewa untuk mencari nisbah-nisbah trigonometri tanpa menggunakan kalkulator. Sudut Istimewa

Dua jenis sudut istimewa yang perlu diketahui adalah: i) Segitiga 30° – 60° – 90° :

ii) Segitiga 45° – 45° – 90° :

NOTA: TRIGONOMETRI


Daripada dua Sudut Istimewa di atas, kita boleh membina jadual trigonometri seperti berikut:

°30 °45 °60 °90

θsin 2

1

2

1

2

3 1

θcos 2

3

2

1

2

1 0

θtan 3

1 1 3 ∞

Contoh: 1. Cari °15sin tanpa menggunakan kalkulator. Tinggalkan jawapan dalam

bentuk ‘surd’.

( ) ( )

22

13

2

1

2

1

2

3

2

1

30sin45cos30cos45sin

sin3045sin15sin

−=

−

=

−=

−=−=

°°°°

°°° BA

2. Cari °105cos tanpa menggunakan kalkulator. Tinggalkan jawapan dalam

bentuk ‘surd’.

NOTA: TRIGONOMETRI


RUMUS SUDUT BERGANDA

A

AA

A

A

AAA

AAA

2

2

2

22

tan1

tan22tan.3

sin21

1cos2

sincos2cos.2

cossin22sin.1

−=

−=

−=

−=

=

Contoh:

Diberikan 13

12cos =β , di mana β adalah sudut tirus. Cari:

a) β2sin

b) β2cos

c) β2tan

Mengetahui 13

12cos =β , dan β adalah sudut tirus, kita boleh lukiskan rajah seperti

berikut:

Sisi yang tidak diketahui boleh dicari menggunakan Teorem Pythagoras:

5

25

1213 22

=

=

−=

x

x

x

NOTA: TRIGONOMETRI


a) β2sin

7101.0

169

120

13

12

13

52

cossin22sin

=

=

=

= βββ

b) β2cos

c) β2tan

NOTA: TRIGONOMETRI



1. Using the special angle triangle, evaluate the followings. Leave your answers

in surd form.

a) °105sin

b) °15cos

c) °75tan

2. Given that θ is acute, and 5

4sin =θ , evaluate the followings:

a) θ2cos

b) θ2tan

c) θ2sin

3. Given that θ is obtuse, and 2

1tan =θ , evaluate the followings:

a) θ2cos

b) θ2tan

c) θ2sin

Answers: 1. (a) (1+√3)/2√2 (b) (1+√3)/2√2 (c) (1+√3)/ √3 –1 2. (a) –0.28 (b) –3.43 (c) 0.96 3. (a) 0.6 (b) 1.333 (c) 0.8

NOTA: TRIGONOMETRI


IDENTITI TRIGONOMETRI

3 identiti asas trigonometri adalah seperti berikut:

AA

AA

AA

22

22

22

csccot1.3

sectan1.2

1cossin.1

=+

=+

=+

Identiti songsangan trigonometri (reciprocal) seperti berikut digunakan untuk pembuktian:

ry

=θsin rx

=θcos θθ

θcos

sintan ==

xy

θθ

sin

1csc =

θθ

cos

1sec =

θθ

θθ

sin

cos

tan

1cot ==

Contoh: Buktikan identiti xxx sectancsc =

x

xx

xx

xxx

seccos

1

cos

1tancsc

cos

sin

sin

1tancsc

sectancsc

=

=

=

=

θ

θ

θθ

θ

Trigo No Metri

Documents

Transcript of Trigo No Metri