TUGASAN 1 : OPERASI DAN PENGIRAAN

Pengenalan

Dalam tajuk ini, pelajar akan membina teknik-teknik untuk membuat

pengiraan mental dan penganggaran di samping meneroka kaedah kertas dan

pensil dalam pengiraan nombor bulat melibatkan empat operasi asas. Pengiraan

mental penganggaran memerlukan pemahaman yang mantap tentang nombor,

penguasaan fakta asas, celik nombor dan keupayaan menakluk matematik. Bab ini

membincangkan tentang penggunaan kalkulator dan computer sebagai alat

pengiraan dalam matematik.

Hasil daripada tugasan ini, para guru pelatih akan apat mengira

menggunakan kaedah-kaedah: pensil dan kertas yang mengandungi algoritma lazim

dan algoritma terkembang.

Tugasan ini menggunakan teknik algoritma iaitu satu prosedur langkah demi

langkah atau satu set peraturan untuk melakuakn pengiraan atau menyelesaikan

sesuatu masalah. Langkah atau peraturan ini sekiranya dilaksanakan dengan betul

akan membawa kepada jawapan yang betul setiap kali.

Algoritma lazim ( standard algorithm) ialah penambahan bermula dengan nilai

di tempat sa (unit) dan diteruskan (dengan pengumpulan semula ) dari kanan ke kiri.

Algoritma terkembang (Expanded Algorithm) pula ialah nilai-nilai pada setiap

tempat ditambah terlebih dahulu dan jumlahnya digabungkan kemudian. Urutan

nombor-nombor ditambah tidak penting.

Kaedah manipulatif menggunakan model. Model merupakan alat yang

penting untuk menerangkan algoritma. Blok asas-sepuluh dan batang aiskrim

merupakan yang berguna untuk menggambarkan (memodelkan) dan

memperkembangkan algoritma untuk pengiraan aritmetik menggunakan kertas dan

pensel.

Dalam tugasan ini, algoritma untuk operasi tambah dan tolak melibatkan

nombor bulat. Tumpuan tugasan ini menggunakan model dan logic untuk memahami

prosedur pengiraan dalam mencari hasil tambah dan tolak.Dalam kajian ini, kaedah

pensil dan kertas serta kaedah manipulative digunakan dalam pengiraan.

1.0 MEMBINA ALGORITMA UNTUK OPERASI TAMBAH

Algoritma untuk operasi enawarkan empat cara. Antaranya ialah kaedah

penambahan separa (partial sums), kaedah penambahan kolum (Column addition

method)

1.1Kaedah Penambahan Separa

Kaedah Penambahan separa mengandungi dua peringkat.

Dalam peringkat pertama, perlu diperhatiakn kolum demi kolum ( jalan pengiraan

daripada kiri ke kanan) dan melakukan proses penambahan mengikut nilai rumah

mengikut digit-digit di dalam kolum .

Dalam peringkat kedua pula, pecampuran separa ditambah semula.

Kaedah Penambahan

Separa (Partial Sums Method)

Kaedah Penambahan Lajur (Column Addition

Method)

Kaedah Pantas ( A Fast Method)

Peraturan Penukaran Setentang

( Opposie Change Rule)

Contohnya 156 + 23 +122. Jalan penyelesaiannya adalah seperti berikut :

1 5 6 + 2 3 + 1 2 2

2 0 0 + 9 0 + 1 1

3 0 1

Langkah pertama : rumah ratus ditambah dahulu di mana 100 + 100 = 200

Langkah kedua : rumah puluh ditambah 50+ 20+20 = 90

Langkah ketiga : rumah sa ditambah 6 +3 + 2= 11

Langkah keempat : hasil penambahan mengikut rumah kemudiaannya ditambah

sekaligus mendapatkan jawapan yang sebenar

Lazim masalah peringkat kedua akan "mudah" kerana ia boleh dilakukan satu

lajur pada bila-bila masa tanpa apa-apa membawa, seperti kes dalam contoh yang

pertama.Mungkin murid dijangka untuk menggunakan kaeadah penambahan separa

jika langkah kedua penambahan melibatkan pembawa.

Bagaimana jika soalan yang diberi melibatkan pembawa. Contohnya 678 + 67 +266.

6 7 8+ 6 7+2 6 6

8 0 0 + 1 9 0 + 2 1

9 0 0 + 1 1 0 + 1

Etc

1.2 Kaedah Penambahan Lajur

Kaedah ini merupakan proses dua peringkat. Kaedah Lajur Tambahan juga

merupakan prosesdua peringkat. Ia adalah disyorkan untuk menulis addend dalam

ruangan yang luas yangdipisahkan oleh garisan menegak. Di peringkat

pertama salahsatu menambah digit satulajurpadasatu-satu

masa dan menulis hasil (yang boleh menjadi nombor dua digit) dalam setiap lajur.

Dalam peringkat kedua, berfungsi dengan betul ke kiri, seseorang

itu yang membawa untukmendapatkan hasil dalam perwakilan standard

asas sepuluh

1 4 8

+ 6 7

2 6 6

3 16 21

3 18 1

4 8 1

1.3 Kaedah Pantas (Tradisional)

Ini adalah kaedah penambahan tradisional daripada kanan ke kiri .

  (Murid tradisionalyang lebih maju akan melakukan perkara yangmembawa mental.)

1 1

2 5 6

+ 7 8

+ 3 2 2

---------------

6 5 6

1.4 Peraturan Pertukaran Setentang

Kaedah ini adalah bukan kaedah algoritma lazim, ia hanya digunakan untum

memudahkan proses penambahan melibatkan sepasang nombor. Hasil tambah

kedua-dua nombor tidak berubah jika salah satu nombor ditolak daripada addend

kemudia ditambah kepada addend lain. Ini dapat memudahkan proses penambahan

bagi menjadikan salah satu daripada dua hujung addend menjadi digit kosong.

Contohnya:

3 4 2 4 0 0

+ 2 6 1 + 2 0 3

_________ ________

6 0 3

2.0 MEMBINA ALGORITMA UNTUK OPERASI TOLAK

Untuk penolakan ada lima kaedah yang digunakan. Antara kaedah-kaedah yang

digunakan adalah seperti rajah di bawah.

2.1 Trade First

‘Trade first merupakan kaedah tradisional. Ia adalah satu proses dua peringkat, jalan

kira dimulakan dari kanan ke kiri untuk melakukan proses pinjaman. Dimulakan

dengan rumah sa, jika nombor di atas lebih kecil daripada nombor yang di bawah.

Kaedah pinjaman daripada rumah puluh perlu dilakukan. Keputusan perataraan

nombor dua digit, jadi salah satu keperluan untuk menggunakan ruangan yang luas,

dan ia adalah disyorkan untuk memisahkan garisan yang jelas dan menegak.

4 3 2

- 4 5

3 8 7

Trade first Left to Right Substraction Counting Up Partial

DifferenceSame Change

Rule

2.2 Left to Right Substraction

Kaedah ini merupakan kaedah pengiraan mental tetapi dilakukan dengan

menggunakan kertan dan pensel. Di sinilah “kiri ke kanan” merujuk kepada

penguraian nombor yang kedua. Contoh dalam soalan berikut.

423- 65

di mana 65 diuraikan menjadi 60 + 5. Penolakan individu dilakukan secara

pengiraan mental.

3 12

4 2 3

- 6 0

3 6 3

- 5

3 5 8

2.3 Counting Up

Kaedah ketiga kaedah lazim ialah “ Counting up method”. Ia dilakukan melalui dua

peringkat. Conthnya soalan berikut

325 – 58 =

Permulaannya, kita membuat penambahan dari nombor yang kecil kenombor yang

besar. Bermula dengan nombor 2 seterusnya meningkat ke 40, 200. Penambahan

dilakukan sehinggalah mencapai angka terbesar dalam soalan. Setelah selesai,

nombor yang digunakan penambahan tersebut ditambah dan jawapan yang

diperolehi itulah merupakan baki hasil penolakan 325 dan 58.

58

+ 2

60 2

+ 40 + 40

100 + 200

+ 200 + 25

300

+ 25 267

325

2.4 Partial Difference

Kaedah keempat dalam kaedah lazim ialah kaedah “partial difference”. Ia turut

mempunyai dua peringkat kaedah.Jalan kira didahulukan pada setiap satu lajur ,

perlu berwaspada jika kaedah pinjaman perlu dilakukan , dan kemudian akan

digabungkan jawapan dengan menggunakan pengiraan aritmetik mental. Denagn

menggunakan kaedah ini untuk soalan

417 -68

Peringkat yang kedua akan menggunakan pengiraan aritmetik mental

400 – 50 - 1

4 1 7

- 6 8

4 0 0

- 5 0- 1

3 4 9

2.5 Same Change Rule

Kaedah kelima ialah “same change rule”. Ia adalah berdasarkan dikenalpasti

bahawa proses penolakan menjadi lebih mudah jika bilangan yang lebih kecil

berakhir dengan satu atau lebih digit 0. Kita boleh melakukan pengiraan tanpa

mengubah jawapan dengan membuat penukaran istilah dengan jumlah yang sama.

4 3 6 4 3 4

- 5 8 - 6 0

3 7 4

Untuk menyelesaikan masalah yang diberikan, terdapat dua cara kaedah pensel dan

kertas yang boleh digunakan.

Algoritma Terkembang ( Expanded Algorithm)

Bermula dengan nombor yang paling besar dan ditolak secara berulang

dengan mengeluarkan sebanyak mungkin secara mental sebelum bergerak

dari kiri ke kanan. Penolakan boleh bermula di mana-mana sebab urutan

penolakan tidak mengubah bezanya.

Algoritma Lazim ( Standard Algorithm)

Penolakan bermula di tempat sad an penolakan bergerak (dengan

pengumpulan semula) dari kanan ke kiri.

103 - 45 =

Algoritma yang dipilih ialah algoritma lazim

Penyelesaian

Kaedah : Untuk mencukupkan sa bagi menolak 5, tukarkan 1 puluh untuk 10

sa. Namun begitu, dirumah puluh tidak dapat diambil kerana nombor yang

tinggal adalah 0. Lalu tukarkan 0 tersebut menjadi 10 hasil pinjaman dari

rumah ratus. Setelah itu, rumah sa kini boleh pinjam di rumah puluh sebanyak

10 dan kini ia bernilai 13. Kemudian ambil 5 sa daripada 13 sa dan tinggalkan

8 sa. Selanjutnya, tolak 4 puluh daripada 9 puluh yang tinggal dan sekarang

kita ada 5 puluh.

Oleh kerana tiada nilai ratus yang perlu ditolak, maka hasil tolaknya ialah 58,

dan ini direkodkan.

9

0 10 13

1 0 3

- 4 5

5 8

Membina Algoritma untuk Operasi Tolak

Model boleh digunakan bagi menjelaskan algoritma untuk operasi tolak

sebagaimana yang telah digunakan dalam algoritma penambahan. Mula-mula,

gunakan model untuk menggambarkan prosedur untuk operasi tolak. Kemudian, kita

aplikasikan prosedur tersebut untuk mengembangkan algoritma tolak menggunakan

pensel dan kertas. Akhirnya, gunakan penaakulan matematik untuk membuktikan

algoritma penolakan.

Penggunaan Model sebagai Asas Algoritma Penolakan

103 - 45 =

Sebanyak 45 straw perlu dikeluarkan. 4 ikatan straw merah diasingkan termasuk 3 straw biru. Namun masih kekurangan 2 straw. Satu ikatan yang mewakili 1 puluh di tukar menjadi sa yang berjumlah 10 batang straw.

-Straw diikat menjadi satu ikatan yang mempunyai sepuluh straw. 10 ikatan bersamaan 100 penyedut. Kumpulan sa penyedut minuman berwarna biru. Hasil campur 10 ikatan straw merah dan 3 straw biru menjadi 103 straw kesemuanya.

2 batang straw merah diambil dan dikumpul semula dengan lagi 3 batang straw biru menjadikan

PENGHARGAAN

2 batang straw merah diambil dan dikumpul semula dengan lagi 3 batang straw biru menjadikan

Hasil daripada penukaran ikatan puluh menjadi sa. Kemudian dikumpulkan straw sa dengan sa. Maka baki yang tinggal adalah 45 batang straw.

Limpahan kesyukuran yang tidak terhingga kepada Allah SWT kerana dengan

izinNya tugasan individu, tugasan kerja kursus ini berjaya disiapkan. Selawat dan

salam kepada junjungan mulia Nabi Muhammad SAW.

Teristimewa buat ibu dan ayah yang tercinta, Halimah binti Hussain dan

Jamaludin bin Mustapa yang sentiasa memberi semangat kepada saya sepanjang

melaksanakan tugasan kerja kursus pendek ini.

Ucapan penghargaan yang tidak terhingga seterusnya didekasikan kepada

pensyarah matapelajaran yang amat dihormati dan disegani tidak lain dan tidak

bukan pada Pn. Mrs. Jong Cherng Meei atas sumbangan beliau dalam memberi

bimbingan yang amat berguna sepanjang kerja kursus pendek ini berlangsung.

Hanya Allah sahaja yang dapat membalas jasa beliau.

Tidak dilupakan pada sahabat-sahabat sekelas yang banyak membantu,

bekerjasama dalam memberi idea-idea bernas melalui perbincangan yang diadakan.

Penerangan daripada mereka mengenai soalan yang diberikan juga sedikit

sebanyak membantu saya menjalankan tugasan ini.

Kepada semua yang di atas, segala kerjasama dan layanan baik teramatla

saya hargai. Hanya Allah sahaja yang dapat membalasnya.

ISI KANDUNGAN

Bil Tajuk

1 Pengakuan hasil kerja

2 Akuan penerimaan tugasan

3 Soalan tugasan

4 Penghargaan

5 Objektif dan kepentingan kajian

6 Pengenalan

7 Huraian algoritma operasi tambah dan tolak

8 Prosedur kertas dan pensil serta bahan manipulatif

9 Refleksi

10 Lampiran

11 Rujukan

12 Borang Rekod Kolaborasi Kerja Kursus

PENGAKUAN HASIL KERJA

“Saya akui karya ini adalah hasil kerja saya sendiri kecuali

nukilan dan ringkasan yang tiap-tiap satunya telah saya

jelaskan sumbernya.”

Tandatangan :

Nama penulis : Hamidah binti Jamaludin

Tarikh : 26 Julai 2011

REFLEKSI

Syukur Alhamdulillah, saya memanjatkan kesyukuran kepada Allah SWT

kerana akhirnya saya dapat menyelesaikan tugasan kerja kursus pendek Literasi

Nombor tugasan 1 tepat pda masanya. Segala penat lelah melaksanakan tugasan

ini disamping tugasan-tugasan yang turut diberi pada masa yang sama rasa terbayar

dan tertebus sebaik sahaja melihat kembali hasil serta mengingati kembali

pengalaman yang cukup berharga sepanjang kajian dijalankan.

Saya berasa sangat gembira kerana berkesempatan mempelajari subjek

literasi nombor. Melalui kajian, saya telah mengetahui algoritma operasi tambah dan

tolak. Sememangnya kita boleh menggunakan pelbagai cara untuk mendapatkan

jawapan. Matematik bukanlah satu subjek yang bersifat objektif yang hanya

menumpukan pada satu-satu cara sahaja. Pelajar perlu menggunakan kepintaran

dan kreativiti dalam menyelesaikan masalah. Disinilah Kemahiran Berfikir secara

Kritis dan Kreatif diperlukan. Aplikasinya dalam proses pengajaran dan

pembelajaran, murid-murid tidak akan bosan ketika guru sedang mengajar. Para

murid boleh menggunakan cara yang termudah mengikut tahap pemikiran masing-

masing.hal ini boleh menarik minat pelajar menyukai subjek matematik.

Begitu juga dengan teknik manipulatif. Lumrah kebiasaan kanak-kanak

sukakan perkara yang bergerak dan bersifat maujud sesuai dengan perkembangan

kognitif mereka.Kaedah ini memudahkan lagi murid-murid memahami konsep-

konsep matematik yang diajar guru.Pendekatan guru dalam memilih bahan yang

sesuai digunakan dalam kaedah manipulatif amat penting agar murid-murid tidak

menghadapi masalah semasa proses PNP.

Secara keseluruhannya, sepanjang melakukan tugasan ini Alhamdulillah,

walaupunada beberapa kesulitan yang terpaksa ditempuhi, namun akhirnya

semuanya berjalan dengan lancar. Semoga hasil daripada kerja kursus ini dapat

membantu saya lebih mendalami ilmu berkaitan perkembangan kanak-kanak dan

pada masa yang sama meningkatkan minat dan kecintaan saya dalam bidang

keguruan. Insya Allah.

RUJUKAN

anonymous. (2011, Julai 23). Retrieved Julai 26, 2011, from http://en.wikipedia.org/wiki/Algorithm.

Anonymous. (2011, Julai 21). Retrieved Julai 26, 2011, from http://en.wikipedia.org/wiki/Introduction_to_Algorithms.

Braams, B. (2003, Februari 12). Retrieved Julai 21, 2011, from http://math.nyu.edu/~braams/links/em-arith.html.

Cormen, T. H. (1990). Algorithm. USA: MIT Press.