UTS TEORI BILANGAN - InNovATion Of I92 -...

Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. Hamka

Pendidikan Matematika Kelas 3 G

Copyright@ibnuediyuono_2010

UTS TEORI BILANGAN

IBNU EDIYUONO (0901125091)

KELAS 3G, PEND. MATEMATIKA

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF.DR.HAMKA




LAMBANG BILANGAN

&

SISTEM NUMERISASI




SEJARAH BILANGAN

Bilangan pada awalnya hanya dipergunakan untuk mengingat jumlah, namun dalam

perkembangannya setelah para pakar matematika menambahkan perbendaharaan simbol dan

kata- kata yang tepat untuk mendefenisikan bilangan maka matematika menjadi hal yang

sangat penting bagi kehidupan dan tak bisa kita pungkiri bahwa dalam kehidupan keseharian

kita akan selalu bertemu dengan yang namanya bilangan, karena bilangan selalu dibutuhkan

baik dalam teknologi, sains, ekonomi ataupun dalam dunia musik, filosofi dan hiburan serta

banyak aspek kehidupan lainnya.

Dulu perhitungan dengan bilangan dimulai dengan perbandingan, misalnya "milik si

ini lebih sedikit dari milik si itu" atau "milik si itu lebih banyak dari milik si ini" kemudian

seiring waktu cara perhitungan bilangan berkembang lagi, manusia tidak lagi menggunakan

cara perbandingan untuk menentukan jumlah sesuatu, tetapi mereka menggunakan kerikil,

simpul pada tali, jari-jemari atau menggunakan ranting untuk menentukan jumlah sesuatu

dengan tepat, misalnya jumlah ternak atau jumlah anggota keluarga yang tinggal bersamanya.

Inilah dasar pemahaman tentang konsep bilangan dan ketika seseorang berpikir tentang

bilangan dua maka dalam benaknya sudah tertanam pengertian terdapat benda sebanyak dua

buah. Misalnya "dua buah kelapa" atau "dua ekor sapi".

Karena menyatakan bilangan dengan menggunakan kerikil, ranting atau jemari

dirasakan tidak praktis, maka orang mulai berpikir untuk menggantikan bilangan itu dengan

simbol dan masing suku ataupun bangsa memiliki cara tersendiri untuk mengambarkan

bilangan dalam bentuk simbol-simbol yang unik seperti yang terlihat dalam gambar-gambar

berikut:




A. SISTEM BILANGAN

System bilangan (number system) adalah suatu cara untuk mewakili besaran dari

suatu item fisik. Sistem bilanan yang banyak dipergunakan oleh manusia adalah system

biilangan desimal, yaitu sisitem bilangan yang menggunakan 10 macam symbol untuk

mewakili suatu besaran.Sistem ini banyak digunakan karena manusia mempunyai sepuluh

jari untuk dapat membantu perhitungan. Lain halnya dengan komputer, logika di komputer

diwakili oleh bentuk elemen dua keadaan yaitu off (tidak ada arus) dan on (ada arus). Konsep

inilah yang dipakai dalam sistem bilangan binary yang mempunyai dua macam nilai untuk

mewakili suatu besaran nilai.

Dahulu perhitungan dengan bilangan dimulai dengan perbandingan, misalnya "milik

si ini lebih sedikit dari milik si itu" atau "milik si itu lebih banyak dari milik si ini" kemudian

seiring waktu cara perhitungan bilangan berkembang lagi, manusia tidak lagi menggunakan

cara perbandingan untuk menentukan jumlah sesuatu, tetapi mereka menggunakan kerikil,

simpul pada tali, jari-jemari atau menggunakan ranting untuk menentukan jumlah sesuatu

dengan tepat, misalnya jumlah ternak atau jumlah anggota keluarga yang tinggal bersamanya.

Inilah dasar pemahaman tentang konsep bilangan dan ketika seseorang berpikir tentang

bilangan dua maka dalam benaknya sudah tertanam pengertian terdapat benda sebanyak dua

buah. Misalnya "dua buah kelapa" atau "dua ekor sapi".

Karena menyatakan bilangan dengan menggunakan kerikil, ranting atau jemari

dirasakan tidak praktis, maka orang mulai berpikir untuk menggantikan bilangan itu dengan

simbol dan masing suku ataupun bangsa memiliki cara tersendiri untuk mengambarkan

bilangan dalam bentuk simbol-simbol yang unik seperti yang terlihat dalam gambar-gambar

berikut:

Simbol Bilangan Babilonia

Simbol bilangan bangsa Babylonia Lambang bilangan sudah dikenal manusia sejak

tahun 5000 SM yang disebut Cuneiform ditemukan sekitar sungai Eufrat dan Tigris (sekarang

Irak). Lambang ini digunakan oleh bangsa Babilonia




Simbol bilangan bangsa Maya di Amerika pada tahun 500 SM

Simbol bilangan menggunakan huruf Hieroglif yang dibuat bangsa Mesir Kuno:

Simbol bilangan bangsa Arab yang dibuat pada abad ke-11




Simbol bilangan bangsa Yunani Kuno

Simbol bilangan bangsa Romawi

Angka Romawi atau Bilangan Romawi adalah sistem penomoran yang berasal dari

Romawi kuno. Sistem penomoran ini memakai huruf alfabet untuk melambangkan angka

numerik :

1 I

5 V

10 X

50 L

100 C

500 D

1.000 M

5.000 V

10.000 X

50.000 L

100.000 C

Ketentuan dalam menulis lambang bilangan Romawi

1. Lambang yang sama hanya boleh ditulis berurutan sebanyak 3 kali.

Contoh :

3 = III

30 = XXX

40 tidak boleh ditulis XXXX




2. Nilai dari lambang yang di sebelah kanan lebih kecil dari lambang yang di sebelah

kiri berarti penjumlahan.

Contoh :

VIII = artinya 5 + 3 = 8

XV = artinya 10 + 5 = 15

LVII = artinya 50 + 5 + 2 = 57

CXXV = artinya 100 + 20 + 5 = 125

3. Nilai lambang yang di sebelah kiri lebih kecil dari lambang yang di sebelah kanan

berarti pengurangan.

Contoh :

IV = artinya 5 – 1 = 4

IX = artinya 10 - 1 = 9

XL = artinya 50 - 10 = 40

4. V dan X hanya boleh dikurangi oleh I satu kali.

Contoh :

IV = artinya 5 – 1 = 4

IX = artinya 10 – 1 = 9

Tidak boleh ditulis IIV atau IIX

5. L hanya dapat dikurangi oleh X satu kali.

Contoh

XL = artinya 50 - 10 = 40

Tidak boleh ditulis XXL atau XXXL




Simbol bilangan oleh bangsa Hindu-Arab Kuno

Awal mula lambang bilangan hindu

Kebudayaan Hindu terletak di tengah beberapa pusat kebudayaan kuno yang telah

mencapai peradaban yang cukup tinggi, pad saat itu disana terjadi pertukaran budaya.

Pertukaran kebudayaan itu mengakibatkan pengetahuan dari berbagai pusat kebudayaan

berpadu dan terjalin. Salah satu pengetahuan berhitung yang telah dipertahankan dan

disebarkan adalah lambang bilangan. Lambang bilangan hindu – arab kuno, Tahun 775

wilayah kekuasaan Arab terpecah dua yaitu: Kalifat Arab timur berpusat di Bagdad, Kalifat

Arab barat berpusat di Cordoba. Lambang bilangan Arab timur kemudian menjelma menjadi

lambang bilangan Arab sekarang ini lambang bilangan Arab barat dikenal dengan nama

lambang bilangan Gobar. Penerimaan lambang bilangan Hindu-Arab di Eropa tidak berjalan

lancar. Setelah abad kedua belas dan ketiga belas lambang bilangan Hindu-Arab mulai

dipergunakan di Eropa dan menyebar ke seluruh dunia.

HIEROGLYPHIC

Kata “hieroglyphic” berarti “pahatan suci”. Sebenarnya, itu bukanlah nama yang tepat

bagi tulisan kuno Mesir. Namanya seperti itu karena ketika orang Yunani pertama kali

melihat tulisan itu, mereka yakin bahwa itu ditulis oleh pendeta untuk maksud yang suci.

Hieroglyphic Mesir merupakan salah satu sistem penulisan yang paling tua yang dikenal

manusia. Beberapa dari tulisan itu berasal dari tahun 3000 sebelum Masehi, dan hieroglyphic

menjadi tulisan Mesir selama lebih dari 3000 tahun. Mulanya, orang Mesir menggunakan

bentuk gambar tulisan yang kasar, seperti yang digunakan oleh suku-suku primitif di seluruh

dunia. Hieroglyphic adalah gambar, masing-masing mewakili obyek alamiah. Matahari

digambarkan sebagai piringan, bulan oleh bulan sabit, air oleh garis bergelombang, orang

dengan bentuk orang dan seterusnya. Tapi tulisan gambar ini tidak dapat mewakili benda-

benda yang tidak dapat dilihat oleh mata seperti pikiran, cahaya dan hari. Jadi lambat laun

hieroglyphic lebih menjadi simbol ide daripada gambar obyek. Piringan dapat juga berarti




“hari” dan bukan hanya matahari. Simbol lain berarti “berbalik”. Ide-ide ini disebut

“ideogram”.

Hieroglyphic berkembang dengan menggunakan gambar untuk mewakili bunyi

daripada untuk obyek sesungguhnya. Misalnya, gambar lebah bisa bukan berarti serangga,

tetapi kata “lebah”. Daun dapat berarti kata “percaya”. Hieroglyphic yang digunakan sebagai

bunyi dikenal dengan nama “fonogram”. Belakangan, orang Mesir dapat menulis kata apa

saja yang mereka kenal, baik kata itu berarti sesuatu yang dapat mereka gambarkan atau

tidak. dari fonogram tersebut mereka kembangkan satu seri tanda, masing-masing mewakili

satu huruf. Dalam penulisan, orang Mesir hanya menggunakan konsonan (huruf mati). Orang

Mesir juga terus menggunakan tanda-tanda lama dalam penulisan mereka seperti ideogram,

fonogram dan picturegram yang semuanya digabungkan. Lambat laun, tulisannya menjadi

sangat rumit sehingga sulit dimengerti oleh orang awam.

PERKEMBANGAN BILANGAN DARI JAMAN HINDU-BUDHA INDIA SAMPAI

EROPA




SISTEM NUMERISASI

Sistem bilangan numerisaso adalah sebuah simbol atau kumpulan dari simbol yang

merepresentasikan sebuah angka. Numerisasi berbeda dengan angka. Simbol "11", "sebelas"

and "XI" adalah numerisasi yang berbeda, tetapi merepresentasikan angka yang sama yaitu

sebelas. Secara garis besar terdapat dua sistem numerisasi, yaitu sistem numerisasi

berdasarkan penambahan dan sistem numerik berdasarkan posisi.

Sistem Numerisasi Berdasarkan Penambahan

Sistem numerisasi yang paling sederhana adalah Sistem numerisasi. Sistem ini sering

dipakai untuk melakukan pemilihan pada suatu voting. Kerugiann penggunaan dari sistem

numerik adalah sistem ini membutuhkan tempat yang besar.

Selain sistem numerisasi, contoh lain dari sistem numerisasi berdasarkan penambahan

adalah :

I 1 D 500

V 5 M 1000

X 10

L 50

C 100

Angka Romawi dituliskan dengan simbol dari angka yang tersedia kemudian

ditambahkan atau dikurangkan. Sebagai contoh adalah '''1970''' disimbolkan dalam angka

romawi dengan '''MCMLXX'''. Simbol '''M''' merepresentasikan angka '''1000'''. Simbol '''CM'''

merepresentasikan '''900''', hal ini dikarenakan oleh peraturan dalam penulisan angka romawi,

yang tidak diperkenakan pengulangan suatu simbol lebih dari tiga kali. Jadi apabila '''900'''

dituliskan dengan simbol '''DCCCC''' maka penulisan tersebut salah. Simbol '''C''' disebelah

kiri atau sebelum '''M''' merupakan angka pengurang dari angka sesudahnya, jadi '''CM''' =

'''1000-100 = 900'''. Simbol selanjutnya adalah '''LXX''' yang melambangkan angka 70. Angka

Romawi ini digunakan di Eropa sampai dengan abad ke 15. Kekurangan dari sistem ini

adalah tidak adanya angka Nol.




Sistem Numerisasi Berdasarkan Posisi

Di dalam sistem numerisasi , penulisan angka berdasarkan posisi dan basis. Posisi

suatu angka dalam sistem ini menentukan nilai dari bilangan yang diwakilinya. Maka notasi

yang digunakan disebut notasi posisional. Sistem numerisasi berdasarkan posisi yang sangat

terkenal dan dipakai paling luas adalah sistem bilangan desimal. Sistem desimal ini

merupakan sistem numerisasi berdasarkan posisi yang berbasis 10. Simbol 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,

7, 8, 9 adalah bagian dari sistem desimal. Sebagai contoh 612, angka ini berarti:

2 × 100 = 2 × 1 = 2

1 × 101 = 1 × 10 = 10

6 × 102 = 6 × 100 = 600

Basis eksponen

Selain sistem desimal yang digunakan sehari-hari, terdapat pula sistem lainnya, yaitu:

Sistem biner, berbasis 2,

Sistem oktal, berbasis 8,

Sistem heksadesimal, berbasis 16,

Sistem seksagesimal, berbasis 60,

dan sistem numerik berbasis lainnya.

Seluruh sistem di atas menggunakan eksponen. Berarti setiap angka pada posisi

tertentu, nilainya adalah sebesar angka tersebut dikalikan basisnya dipangkatkan posisinya.




PENYAJIAN

BILANGAN KOMPLEKS




A. SEJARAH BILANGAN KOMPLEKS

Bilangan kompleks muncul pertama kali dalam mencoba untuk upaya memahami

pengertian formula CARDAN-TARTAGLIA untuk memecahkan masalah isi (volume)

dalam kubik. Sebagai contoh, CARDAN (1501-1576) untuk mengetahui (untuk alasan lain)

bahwa hanya satu jawaban positif untuk persamaan x3 = 15 x + 4 dan bahwa 4 ini dikerjakan

dengan secara langsung mensubsitusikan [64 = 64 atau 43 = 15.(4) + 4]. Bagaimanapun,

formula itu dikerjakan dengan baik untuk mendapatkan banyak persamaan, didapatkan x =

33 12121212 sebagai satu jawaban positif. Sejarahnya, Greeks kuno

memberikan ingkarannya (menyangkal = negasi) dari bilangan negatif (negative number)

secara eksistensi. Oleh Cardan’s pada waktu itu, bilangan negatif itu tidak cukup kuat

alasannya, lebih masuk akal dibuat lebih dahulu dengan garis bilangan. Cardan’s

menggunakan bilangan negatif yang dinyatakan oleh mereka dengan “numeri ficti = bilangan

khayal/imaginer)”. Akar dari bilangan negatif merupakan satuan imaginer atau

“unimaginable”. Beberapa tahun kemudian, ahli aljabar dari Italia yaitu RAFAEL

BOMBELLI (1526 – 1573) menyebutnya “wild idea = idea yang gila” dan menuliskan

jawaban adalah 33 11121112 , dan kemudian dia dapat memperlihatkan bahwa

2 + √–1 + 2 – √

–1 = 4. Bagaimanapun, √

–1 merupakan bentuk anggapan sebagai imaginer

untuk dua abad selanjutnya. Pada tahun 1797, CASPAR WESSEL (1745 – 1818)

menciptakan / menemukan rancangan bidang kompleks (Complex plane). Ini berjalan tanpa

notasi sampai 30 tahun terakhir di mana penggunaan secara ekstensif dengan CARL

FRIEDRICH GAUSS (1777 – 1855). Dalam interprestasi geometri memberikan rancangan

tentang akar dari suatu bilangan negatif, tapi digunakan kata yang cocok adalah “Imaginary

= Imaginer”.

B. Pengertian Bilangan Kompleks

Himpunan bilangan yang terbesar di dalam matematika adalah himpunan bilangan

komleks. Himpunan bilangan riil yang kita pakai sehari-hari merupakan himpunan bagian

dari himpunan bilangan kompleks ini.

Secara umum bilangan kompleks terdiri dari dua bagian : bagian riil dan bagian

imajener (khayal). Bagian khayal bercirikan hadirnya bilangan khayal i yang didefinisikan

sebagai :




……………………………………..(1)

System bilangan kompleks merupakan perluasan dari system bilangan riil. Misalkan,

saat kita memerlukan solusi dari persamaan x2 = - 25, tak ada bilangan riil yang memenuhi

persamaan tersebut. Oleh karena itu, kita perlu mendefinisikan bilangan kompleks. Bilangan

kompleks ditulis sebagai pasangan terurut dua bilangan riil, z = x + i y, dimana x = Re z

(bagian riil dari bilangan kompleks), y = Im z (bagian imajener dari bilangan kompleks).

Timbulnya bilangan kompleks dapat diikuti dari proses matematika yang sederhana,

yaitu dari persamaan kuadrat

……………………….(2)

Dimana cara penyelesaiannya dengan menggunakan rumus abc, yang menghasilkan

dua akar sekaligus

…………………….(3)

……………………..(4)

Untuk nilai diskriminan D≥0, tidak ada masalah, karena akar-akar persamaannya

bersifat riil menurut persamaan (3). Untuk kasus D<0, didalam matematika dasar dikatakan

bahwa persamaan kuadrat (2) tidak memiliki akar riil. Implikasi selanjutnya adalah bahwa

akar persamaannya termasuk bilangan kompleks. Bilangan diskriminana negative dituliskan

D = - d2, maka akar kompleksnya adalah :

………………………..(5)




Dalam himpunan bilangan kompleks, x1, x2 dikatkan sebagai conjugat (sekawan) satu

terhadap yang lain, karena perkalian antara mereka akan menghasilkan bilangan riil.

Setiap bilangan kompleks memiliki konjugat. Hasil kali antara suatu bilangan

kompleks dengan konjugatnya dinamakan modulus. Misalkan, konjugat dari z = x + iy

diberikan oleh iyxz

maka modulus dari z adalah :

…………………..(6)

Untuk setiap bilangan kompleks z ≠ 0 maka modulus z adalah positif.

Suatu bilangan kompleks z memiliki konjugat z* yang didefinisikan dan ditulis

sebagai :

…………………….(7)

Sehingga perkaliannya dengan z menghasilkan bilangan riil

………………………….(8)

Sifaf ini dimanfaatkan untuk meriilkan penyebut dalam pecahan bilangan kompleks :




…………………………(9)

Sifat lain bilangan konjugat ini adalah distribusi terhadap penjumlahan maupun

perkalian :

…………………………(10)

Tentukan modulus dari 2

43

i

iz = …… ?

Misalkan z1 dan z2 merupakan bilangan kompleks, berlaku :

…………………….(11)

Misalakan z1, z2 dan z3 merupakan bilangan kompleks, beberapa sifat aritmatika dari

bilangan kompleks tersebut adalah sebagai berikut :




C. ALJABAR BILANGAN KOMPLEKS

Dengan menggunakan aturan bahwa bilangan imajener satuan i diperlakukan sebagai

suatu variabel riil, kita dapat membangun aturan aljabar bilangan kompleks, yakni :

penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian.

Misalkan z1 = x1 + iy1 dan z2 = x2 + iy2 dua bilangan kompleks, maka operasi

aljabar antara kedua bilangan kompleks ini didefinisikan memberikan pula suatu bilangan

kompleks baru z = x + iy.

1. Penjumlahan/pengurangan

z1 z2 = (x1 + iy1) (x2 + iy2) = (x1x2) + i (y1y2) ………

Jika z1 = a1 + b1i dan z2 = a2 + b2i, dua bilangan kompleks, maka jumlah keduanya

adalah;

z1 + z1 = (a1 + b1i) + (a2 + b2i).

= (a1 + a2)+ (b1 + b2)i.

Bagian dari jumlah dua bilangan kompleks sama dengan jumlah dari bagian real masing-

masing bilangan kompleks. Bagian imajiner dari jumlah dua bilangan kompleks sama dengan

jumlah dari bagian imajiner masing-masing bilangan kompleks. (Gambar di atas

penjumlahan)

2. Perlakian

z1.z2 = x1x2 + ix1y2 + iy1x2 + i2y1y2

= (x1x2 – y1y2) + i (x1y2 + x2y1) ……………….

Jika z1 = a1 + b1i dan z2 = a2 + b2i, dua bilangan kompleks, maka perkalian keduanya

adalah z1 . z1 = (a1 + b1i) . (a2 + b2i)

= a1.a2 + i.a1.b2 + i.a2.b1 + b1.b2.i2

= a1.a2 + i.a1.b2 + i.a2.b1 – b1.b2 (karena i2 = –1)

= (a1.a2 – b1.b2) + i.(a1.b2 + a2.b1)




Untuk perkalian, kita gambar beberapa kasus. Anda dapat menguji bahwa:

a). (4 + 3i).2 = (4 + 3i)(2 + 0i) = 8 + 6i

b). (4 + 3i).(2i) = (4 + 3i)(0 + 2i) = –6 + 8i

z1 . z1 = 2.z1 = 8+6i z1 . z1 = 2i.z1 = –6 + 8i

z1 = 4 + 3i

z1 = 4 + 3i z2 = 2i

Gambar perkalian dua bilangan kompleks (z1.z2)

Perhatikan bahwa himpunan bilangan real dapat disisipkan pada bilangan kompleks.

Bilangan real a dikenal sebagai a + 0i. Oleh karena itu kita sekarang akan selidiki sifat yang

ada di bilangan real apakah juga dapat didefinisikan pada bilangan kompleks.

Sebagai pengganti harga mutlak, pada bilangan kompleks modulus. Modulus dari

bilangan kompleks z = a + bi adalah bilangan real: | z | = a2 + b

2, yaitu menyatakan panjang

garis yang menghubungkan titik (0, 0) ke titik (a, b). Khususnya jika z = a bilangan real,

maka | z | = a2 = | a | yaitu harga mutlak dari bilangan real itu sendiri.

Andaikan pada bilangan kompleks dapat didefinisikan urutan sehingga pada bilangan

real urutan ini sesuai dengan urutan yang telah kita kenal.

Kemudian, andaikan bahwa

(1). i > 0 (positif), maka i2 > 0, tetapi i

2 =

–1 yang tidak mungkin lebih besar dari nol.

(2). i < 0 (negatif), maka i2 > 0 atau

–1 > 0. Sekali lagi ini bertentang dengan kenyataan yang

ada. Jadi, pada bilangan kompleks tak ada urutan.




3. Pembagian

)22)(22(

)22)(11(

2

1

iyxiyx

iyxiyx

z

z

…………………………….

)22(

)2121(

)22(

)2121(2222 yx

xyyxi

yx

yyxx

………………..

4. Perkalian dan pembagian dalam bentuk polar

………………

Contoh :

1. (2 + 5i) + (3 – 2i) = 5 + 3i

2. (4 – 7i) – (2 + 3i) = 2 – 10i

3. (1 + 3i)(5 – 4i) = 5 – (-4i) + 15i – 12 i2 = 17 + 11i, i

2 = -1

4. ii

i

i

i

i

i45

)31(

)31(.

)31(

)1117(

)31(

)1117(




D. PENYAJIAN BILANGAN KOMPLEKS

1. Bentuk rectangular

Z = x + iy

X = Re Z, bagian riil

Y = Im Z, bagian imajener

2. Bentuk polar

z = x+y dapat digambarkan dalam bidang kompleks. Artinya, kita dapat

menggambarkannya secara kartesius maupun polar!! Lihat gambar di bawah untuk lebih

jelasnya!

Jika titik z digambarkan secara kartesius tentunya kita akan mengatakan bahwa titik

itu berada di koordinat (x,y). Namun, jika berbicara di koordinat polar, kita akan mengatakan

bahwa titik z berada di (r, ), arah dengan panjang r. Di sini, adalah sudut yang dihitung

dari sumbu x positif berputar berlawanan dengan arah jarum jam (tentunya ini materi SMA

yang sebenarnya tidak perlu dijelaskan lagi). disebut sebagai argumen z,

sedangkan r disebut sebagai modulus (panjang) z. Notasi: mod.(z)= r arg.(z) =

Bilangan kompleks dapat

digambarkan pada bidang Argand

seperti pada gambar disamping.

Semua titik yang berda pada sumbu

Re(z) mewakili garis bilangan riil.




Kembali lihat gambar di atas.

Oleh karena itu, z_= x+y z_= z_= Disingkat

menjadi z = Dapat dikatakan juga: . Lihat kembali gambar

di atas, bilangan kompleks z = x+y secara geometris dapat dinyatakan cengan vektor

posisi.!! Operasi bilangan kompleks secara geometris dalam bentuk vektor dapat dilakukan

sebagai berikut (z1 dan z2 diketahui) :

3. menggambar z1+z2 (menggunakan

metode jajar genjang biasa

4.

5.

6.

7.

menggambar z1-z2 Ingat bahwa: z1-

z2 = z1+(-z1)

menggambar z1.z2 Perkalian ini sedikit

tricky. Gunakan metode perbandingan. misalkan

z = z1.z2

z1.z2 = z

z1.z2 = z.1

http://2.bp.blogspot.com/_2NtcJubvofY/SUKINlKb8II/AAAAAAAACPI/sPBqTDRkhQo/s1600-h/z1+z2.JPG

http://1.bp.blogspot.com/_2NtcJubvofY/SUKMo2X1MbI/AAAAAAAACPQ/87y9kiU4F_k/s1600-h/z1-z2.JPG

http://1.bp.blogspot.com/_2NtcJubvofY/SUKQC4Z5RaI/AAAAAAAACPY/RfSPwk9xMVc/s1600-h/z1.z2.JPG




menggambar z1:z2 Gunakan metode

perbandingan (seperti waktu kita mengalikan

z1.z2)

Catatan: penggambaran perkalian dan pembagian bilangan kompleks dengan vektor

tak ada hubungannya dengan arah vektor. Di sini, yang digunakan adalah panjang vektor itu..

(Ingat : pada vektor ada pengertian dot dan cross product).

Sebuah bilangan kompleks z = x + iy, bentuk polar dapat dilihat pada gambar di atas.

Dimana x = r cos dan y = r sin sehingga :

…………………………..(16)

Hubungannya dengan bentuk rectangular tampak dari gambar di bidang argand :

…………………….(17)

Contoh : jika i22

12

2

1 , hitunglah r, , dan nyatakan z dalam bentuk polar

http://4.bp.blogspot.com/_2NtcJubvofY/SUKUiaWaH2I/AAAAAAAACPo/FqzLhdFIR74/s1600-h/z1+bagi+z2.JPG




Penyelesaian :

22

1x dan 2

2

1y

22 yxr = 1

4tan 1

y

x

Contoh:

Tuliskan bilangan berikut dalam bentuk polar. (a). 3 + 4i; (b). –3 + 4i; (c), 3; (d). –4i.

Jawab:

(a). Untuk menuliskan bilangan kompleks di atas dalam bentuk polar

z = r (cos + i sin ) = 3 + 4i

maka kita harus mencari jawab persamaan: r cos = 3 dan r sin = 4.

Kuadratkan kedua ruas, diperoleh:

(r cos )2 + (r sin )

2 = 3

2 + 4

2.

r2 (cos

2 + sin

2 ) = 5

2.

r2 = 5

2

Karena r menyatakan panjang (modulus) maka r = 5. Selanjutnya, untuk mencari ,

kita gunakan persamaan: 5 cos = 3 dan 5 sin = 4.

Hasil pembagian kedua persamaan memberikan tan = 5 sin / 5 cos = 3 / 4.

Salah satu jawab persamaan ini = 0,9272952179 radian yaitu sudut positif yang

lebih kecil dari /2 atau sudut di kuadran I (satu). Karena sin dan cos positif, maka kita

tidak perlu mengadakan perubahan. Oleh karena itu penyajian bilangan kompleks di atas

dalam bentuk polar adalah




z = 5 (cos 0,92 + i sin 0,92) 3 + 4i

= 0,92rad

(b). Untuk khusus ini, persamaan yang kita miliki adalah

z = r (cos + i sin ) = –3 + 4i

dan persamaan yang berkaitan adalah : r cos = –3 dan r sin = 4.

Mudah dihitung bahwa diperoleh nilai r = 5, dan persamaan yang berkaitan dengan adalah:

: 5 cos = –3 dan 5 sin = 4.

Atau tan = sin / cos = 4 / –3.

Jawab utama persamaan ini adalah = –0,92. Ini adalah sudut di kuadran IV, tetapi

karena cos < 0 dan sin > 0, maka adalah sudut di kuadran II. Oleh karena itu, jawab

yang kita cari adalah: = –0,92 + (3,14..) = 2,22.

Bilangan kompleks yang diberikan dalam bentuk polar adalah –3+4i

z = 5 (cos 2,22 + i sin 2,22) r = 5

= 5 (cos [2,22 + 2.k.] + i sin [2,22 + 2.k.]), dengan k bilangan bulat

(c). Dengan cara serupa diperoleh: z = 3 (cos 0 + i sin 0) = 3 (cos 2k + i sin 2.k. )

Dengan k bilangan bulat.

(d). Dengan cara serupa diperoleh

z = 3 (cos 2

3 + i sin

2

3) = 3 ( cos [

2

3 + 2.k. ] + i sin [

2

3 + 2.k.]), dengan k

bilangan bulat.




3. Bentuk eksponen

Dari uraian fungsi dasar Maclaurin untuk sin x, cos x dan ex di peroleh hubungan :

ei

= cos + i sin ……………………..(18)

e-i

= cos - i sin ……………………..(19)

Kedua persamaan di atas disebut persamaan Euler. Selanjutnya bilangan kompleks

jika dinyatakan dalam bentuk eksponen sebagai :

Z = r (cos + i sin ) = r ei

…………………….(20a)

)sin(cos irz

= r e-i

………………………(20b)

Dengan mengingat hubungan fungsi trigonometri dengan eksponensial kompleks :

Sin = i

ee ii

2

……………………………..(21a)

Cos = 2

ii ee ……………………………(21b)

Bentuk ini banyak dipakai dalam operasi perkalian dan pemangkatan, juga pada

kasus-kasus yang melibatkan fungsi trigonometri seperti peristiwa perambatan gelombang,

getaran, dan lain-lain.

Contoh :

1. Hitunglah cos i!

Penyelesaian :

2cos

.. iiiiei

543,12

1

e

e

Catatan :

ab = e

b ln a

log 10 = 1

ln e = 1

ln ab = b ln a

Log (a.b) = log a + log b

Ln (a.b) = ln a + ln b

Ln a/b = ln a – ln b

e = 2,72




2. Nyatakan z = 2 +2 i dalam bentuk polar dan exponential

Penyelesaian

22 22 r = 22

= tan-1

2/2 = 450

Bentuk polarnya : z = 22 (cos 450 + i sin 45

0)

Bentuk exponentianya harus dirubah dalam bentuk radial (450 = 45 (/180) =

0,7854) maka z = 22 e0,7854 i

3. Nyatakan 4e0,6109 i

dalam bentuk polar dan rectangular

Penyelesaian

0,6109 = 180 (0,6190/) = 350

Bentuk polarnya : z = 4 (cos 350 + i sin 35

0)

x = 4 cos 350 = 3,277,y = 4 sin 35

0 = 2,294

sehingga bentuk rectangularnya : z = 3,277 + 2,294 i

E. PERSAMAAN KOMPLEKS

Suatu persamaan kompleks adalah suatu persamaan yang mengandung bilangan-

bilangan kompleks. Sebagai contoh, 2 + 2iy = x + 5i, adalah suatu persamaan kompleks

dengan x dan y sebagai variabel-variabel riil. Untuk menangani suatu persamaan kompleks

seperti ini perlu diterapkan difinisi berikut :

“dua bilangan kompleks adalah sama, jika dan hanya jika bagian riilnya sama dan

juga bagian imajenernya sama. Jadi, persamaan kompleks x + iy = p + iq, setara dengan

dua persamaan riil serempak x = p dan y = q”

x + iy = p + iq dimana x = p dan y = q ……………………

Contoh : Hitunglah x dan y jika (x + iy)2 = 2i




Penyelesaian :

x2 + 2ixy +i

2y

2 = 2i

x2 - y

2 + 2ixy = 2i

x2 - y

2 = 0, maka x = y

2ixy = 2i

x = 1 dan y = 1

F. FUNGSI LOGARITMA KOMPLEKS

Logaritma dari sebuah bilangan kompleks z :

Ln z = ln rei

= ln r + i ( + 2n) …………………………….(23)

Dimana n = 0, 1, 2, 3, … ln merupakan logarotma dari suatu bilangan riil. Untuk

harga n = 0, maka harga ln z disebut harga utama karena fungsi logaritma dalam himpunan

bilangan kompleks sebenarnya adalah fingsi bernilai jamak.

Contoh : Nyatakan ln (- 1) dalam bentuk rectangular

Penyelesaian

Z = – 1, maka r = z = 1 dan = sehingga

ln (- 1) = ln 1 + i ( + 2n)

ln (- 1) = 0 + i (, - , 3, - 3,… )

ln (- 1) = i (, - , 3, - 3,… )

G. PANGKAT DAN AKAR KOMPLEKS

Operasi pemangkatan juga memanfaatkan kemudahan yang dimiliki oleh bentuk

exponential :

Zn = re

in = r

ne

in = r

n (cos n + i sin n)………………………………..(24)

Z 1/n

= rei1/n

= r1/n

ei1/n

= r1/n

(cos /n + i sin /n)………………………(25)

= + 2n, dimana n = 0, 1, 2, 3, …




Contoh : Hitunglah 3 )1( i

Penyelesaian :

r = 2

= 5/4 2 n

3 )1( i = ( 2 )1/3

(cos (5/4)/3 + i sin (5/4)/3) ketika n = 0,

bagaimana jika n = 1, 2, 3

H. BILANGAN KOMPLEKS DI MATRIKS

Pada urutan di atas bahwa pendefinisian bilangan kompleks terlalu dibuat-buat, mulai

dari yang tak ada, yaitu i = –1. Pada bagian ini (imajiner) kita akan melihat bahwa sistem

seperti di atas ternyata telah muncul secara alamiah, yaitu pada subhimpunan matriks.

Perhatikan semua matriks berbentuk

ab

ba, dengan a, b bilangan real. Perhatikan

bahwa matriks tersebut ditulis sebagai :

ab

ba =

0

0

10

01

0

0

0

0

b

bba

b

b

a

a

kita mengetahui bahwa

(1).

10

01

10

01

10

01(matriks identitas), dan

ab

ba

ab

ba

10

01

(2).

10

01

10

01

01

10

01

10

Sekarang kita tulis: 110

01

(Real) dan i

01

10(Imajiner)

Untuk sebarang matrik z berukuran ordo 2 x 2, serta i2 =

–1.

Jadi sistem ini seperti yang kita inginkan. Nanti dapat kita lihat bahwa perkalian

bilangan kompleks z = a + bi dengan i menghasilkan iz = –b + ai, yaitu hasil rotasi z sebesar

900 dengan arah putaran jarum jam. Hal ini sesuai dengan matriks transformasi yang

bertindak seperti i sebagai matriks rotasi sebesar 900.




Untuk operasi bilangan kompleks, jika diketahui :

11

11

ab

baa1

10

01 + b1

01

10= a1 + b1i

22

22

ab

baa2

10

01 + b2

01

10= a2 + b2i

maka penjumlahan dan perkalian dilakukan seperti pada matriks, yaitu:

Untuk penjumlahan:

z1 + z1 = (a1 + b1i) + (a2 + b2i) =

11

11

ab

ba +

22

22

ab

ba =

2121

2121

aabb

bbaa

= (a1 + a2).

10

01 + (b1 + b2).

01

10

= (a1 + a2) + (b1 + b2)i

dan Untuk perkalian:

z1 . z1 = (a1 + b1i) . (a2 + b2i) =

11

11

ab

ba .

22

22

ab

ba

=

21211221

12212121

bbaababa

bababbaa

= (a1 a2 – b1 b2) .

10

01+ (a1 b2 + a2 b1) .

01

10

= (a1 a2 – b1 b2) + (a1 b2 – a2 b1)i




MACAM – MACAM

BILANGAN




A. PENGERTIAN

Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan

pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut

sebagai angka atau lambang bilangan. Dalam matematika, konsep bilangan selama bertahun-

tahun lamanya telah diperluas untuk meliputi bilangan nol, bilangan negatif, bilangan

rasional, bilangan irasional, dan bilangan kompleks.

Prosedur-prosedur tertentu yang mengambil bilangan sebagai masukan dan menghasil

bilangan lainnya sebagai keluran, disebut sebagai operasi numeris. Operasi uner mengambil

satu masukan bilangan dan menghasilkan satu keluaran bilangan. Operasi yang lebih

umumnya ditemukan adalah operasi biner, yang mengambil dua bilangan sebagai masukan

dan menghasilkan satu bilangan sebagai keluaran. Contoh operasi biner adalah penjumlahan,

pengurangan, perkalian, pembagian, dan perpangkatan. Bidang matematika yang mengkaji

operasi numeris disebut sebagai aritmetika.

1. Bilangan Kompleks

adalah bilangan yang berbentuk dimana a dan b adalah bilangan riil, dan i adalah

bilangan imajiner tertentu yang mempunyai sifat i 2 = −1. Bilangan riil a disebut juga bagian

riil dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu

bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan

bilangan real a. Sebagai contoh, 3 + 2i adalah bilangan kompleks dengan bagian riil 3 dan

bagian imajiner 2.

2. Bilangan Real atau Rill

adalah suatu bilangan yang terdiri dari bilangan rasional dan bilangan irasional.

bilangan riil atau bilangan real menyatakan angka yang bisa dituliskan dalam bentuk

desimal.

Menyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti

2,4871773339… atau 3.25678. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan

−23/129, dan bilangan irasional, seperti π dan sqrt2. Bilangan rasional direpresentasikan

dalam bentuk desimal berakhir, sedangkan bilangan irasional memiliki representasi desimal

tidak berakhir namun berulang. Bilangan riil juga dapat direpresentasikan sebagai salah satu

titik dalam garis bilangan. Definisi popular dari bilangan real meliputi klas ekivalen dari deret

Cauchy rasional, irisan Dedekind, dan deret Archimides. Bilangan riil ini berbeda dengan

bilangan kompleks yang termasuk di dalamnya adalah bilangan imajiner.

http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika

http://id.wikipedia.org/wiki/Pencacahan

http://id.wikipedia.org/wiki/Pengukuran

http://id.wikipedia.org/wiki/Angka

http://id.wikipedia.org/wiki/Nol

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan_negatif&action=edit&redlink=1

http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_rasional



http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_irasional

http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_kompleks

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Operasi_%28matematika&action=edit&redlink=1

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Operasi_uner&action=edit&redlink=1

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Operasi_biner&action=edit&redlink=1

http://id.wikipedia.org/wiki/Penjumlahan

http://id.wikipedia.org/wiki/Pengurangan

http://id.wikipedia.org/wiki/Perkalian

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pembagian&action=edit&redlink=1

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Perpangkatan&action=edit&redlink=1

http://id.wikipedia.org/wiki/Aritmetika

http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_riil

http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_imajiner

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bagian_riil&action=edit&redlink=1



http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bagian_imajiner&action=edit&redlink=1

http://id.wikipedia.org/wiki/Desimal


http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_irasional

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Deret_Cauchy&action=edit&redlink=1



http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Deret_Archimides&action=edit&redlink=1


http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_imajiner




3. Bilangan Rasional

Adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk dengan p dan q bilangan

bulat serta q ≠ 0. Bilangan rasional merupakan bentuk pembagian dua buah bilangan bulat

dengan desimal tak terbatas dan periodik. Bilangan tersebut adalah :

4. Bilangan Irasional

Adalah bilangan riil yang tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak pernah berhenti).

Dalam hal ini, bilangan irasional tidak bisa dinyatakan sebagai a/b, dengan a dan b sebagai

bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol. Jadi bilangan irasional bukan merupakan

bilangan rasional. Contoh yang paling populer dari bilangan irasional ini adalah bilangan π,

, dan bilangan e.

Bilangan π sebetulnya tidak tepat, yaitu kurang lebih 3.14, tetapi = 3,1415926535....

atau = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510...

Untuk bilangan : = 1,4142135623730950488016887242096....

atau = 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679

73798.. dan untuk bilangan e: = 2,7182818....

5. Bilangan pecahan

Adalah bilangan yang dapat dinyatakan dengan dengan a bilangan bulat dan b ≠ 0.

6. Bilangan bulat

biasanya dinyatakan dengan lambang Z. Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0,

1, 2, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...; -0 adalah sama dengan 0 dan tidak dimasukkan lagi

secara terpisah). Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan.

Himpunan semua bilangan bulat dalam matematika dilambangkan dengan Z (atau ), berasal

dari Zahlen (bahasa Jerman untuk "bilangan“). Di mulai dari …., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ….

http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_riil

http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_bulat


http://liendsy.student.fkip.uns.ac.id/files/2009/05/image0112.gif






7. Bilangan bulat negatif

Di mulai dari …., -5, -4, -3, -2, -1

8. Bilangan cacah

Adalah semua bilangan asli dan nol. Bilangan tersebut adalah 0, 1, 2, 3,….

9. Bilangan nol

Kata Nol atau “Zero” berasal dari bahasa latin Zephirum yang berarti kosong atau

hampa RATUSAN tahun yang lalu, manusia hanya mengenal 9 lambang bilangan yakni 1, 2,

3, 5, 6, 7, 8, dan 9. Kemudian, datang angka 0, sehingga jumlah lambang bilangan menjadi 10

buah. Nol telah digunakan dalam notasi posisi sejak 700 SM oleh orang-orang Babylon,

namun mereka mencopotnya bila menjadi lambang terakhir pada bilangan tersebut. Konsep

nol pada masa modern berasal dari matematikawan India Brahmagupta.

10. Bilangan asli

Biasanya dinyatakan dengan lambang N. Bilangan asli memiliki asal dari kata-kata

yang digunakan untuk menghitung benda-benda, dimulai dari bilangan satu. Bilangan asli

adalah bilangan bulat positif yang bukan nol, yaitu unsur himpunan {1, 2, 3, 4, ...}

Pada abad ke-19 dikembangkan definisi bilangan asli menggunakan teori himpunan.

Dengan definisi ini, dirasakan lebih mudah memasukkan nol (berkorespondensi dengan

himpunan kosong) sebagai bilangan asli, dan sekarang menjadi konvensi dalam bidang teori

himpunan, logika dan ilmu komputer. Matematikawan lain, seperti dalam bidang teori

bilangan, bertahan pada tradisi lama dan tetap menjadikan 1 sebagai bilangan asli pertama. Di

mulai dari 1, 2, 3, 4, 5, ….

11. Bilangan genap

Adalah bilangan cacah yang habis dibagi dua, seperti 2, 4, 6, 8, ….

12. Bilangan ganjil

Adalah bilangan cacah yang tidak genap. Bilangan tersebut adalah 1, 3, 5, 7, ….




13. Bilangan Prima

Bilangan prima adalah suatu bilangan yang dimulai dari 2 dan hanya dapat dibagi

oleh bilangan itu sendiri dan ± 1 P = {2,3,5,7,...}.

Coba perhatikan contoh beberapa bilangan berikut ini: 2,3,5,7

2 = 1 x 2

3 = 1 x 3

5 = 1 x 5

7 = 1 x 7

Ke empat factor tersebut mempunyai factor 1 dan dirinya sendiri, tidak mempunyai

factor yang lain. Bilangan semacam ini disebut bilangan prima. 11 = 1 x 11 tidak mempunyai

factor lain selain 11 dan 1, sehingga 11 adalah bilangan prima. Akan tetapi 4 adalah bukan

bilangan prima, sebab selain 1 x 4 = 4, 4 juga dapat dinyatakan dengan 2 x 2,yang berarti 4

mempunyai factor 1,2 dan 4. Walaupun 1= 1 x 1, yang berarti 1 mempunyai factor 1 dan

dirinya sendiri, akan tetapi 1 tidak digolongkan sebagai bilangan prima. Bilangan prima

adalah bilangan bulat yang lebih besar dari 1 yang mempunyai hanya dua factor yaitu 1 dan

dirinya sendiri.

14. Bilangan Komposit

Bilangan komposit adalah suatu bilangan yang dapat dibagi oleh bilangan yang lain

Komposit = {4,6,8,9,…

15. Bilangan Khayal / Imajiner

Bilangan khayal adalah suatu bilangan yang hanya bisa dikhayalkan dalam pikiran,

tetapi kenyataannya tidak ada. Contoh: −5 −2 −3




B. KONSEP DAN OPERASI BILANGAN

Konsep Bilangan cacah

Bilangan cacah dapat didefinisikan sebagai bilangan yang digunakan untuk

menyatakan cacah anggota atau kardinalitas suatu himpunan. Jika suatu himpunan yang

karena alasan tertentu tidak mempunyai anggota sama sekali, maka cacah anggota himpunan

itu dinyatakan dengan “ nol “ dan dinyatakan demgam lambang “0”. Jika anggota dari suatu

himpunan hanya terdiri atas satu anggota saja, maka cacah anggota himpunan tersebut adalah

“satu” dan dinyatakan dengan lambang “1”. Demikian seterusnya sehingga kita mengenal

barisan bilangan hasil pencacahan himpunan yang dinyatakan dengan lambang bilangan

berikut:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,…

Bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan cacah

OPERASI PADA BILANGAN CACAH

Ada beberapa operasi yang dikanakan pada bilangan-bilangan cacah. Operasi-operasi

tersebut adalah:

1. Penjumlahan

2. Pengurangan

3. Perkalian

4. Pembagian

Opersi-operasi tersebut mempunyai kaitan yang cukup kuat. Oleh karena itu,

pemahaman konsep dan keterampilan melakukan operasi yang satu akan mempengaruhi

pemahaman konsep dan keterampilan melakukan operasi yang lain.

Operasi Penjumlahan

Operasi penjumlahan pada bilangan cacah pada dasarnya merupakan suatu aturan

yang mengaitkankan setiap pasang bilangan cacah dengan suatu bilangan cacah yang lain.

Jika a dan b adalah bilangan cacah, maka jumlah dari kedua bilangan tersebut dilambangkan

dengan “ a + b “. Jumlah dari a dan b diperoleh dengan menentukan cacah gabungan

himpunan yang mempunyai sebanyak a anggota dengan himpunan yang mempunyai




sebanyak b anggota, asalkan kedua himpunan tersebut tidak mempunyai unsure persekutuan.

Selanjutnya. System bilangan cacah terhadap operasi penjumlahan ini mempunyai beberapa

sifat, yaitu sifat pertukaran, sifat identitas, dan sifat pengelompokkan

Operasi Pengurangan

Operasi pengurangan pada dasarnya merupakan kebalikan daripada operasi

penjumlahan. Jika dalam situasi penjumlahan,jumlahnya dan salah satu unsurnya sudah

diketahui, maka proses penentuan unsure penjumlahan yang lainnya menuntut operasi

pengurangan. Oleh karena itu, dalam prakteknya jika sebuah bilangan cacah a dikurangi

dengan bilangan cacah b menghasilkan bilangan cacah c (dilambangkan dengan a – b = c),

maka operasi penjumlahan yang terkait adalah b + c = a. Namun demikian, operasi

pengurangan tidak memenuhi sifat-sifat yang dimiliki oleh operasi penjumlahan di atas.

Operasi pengurangan tidak memenuhi sifat pertukaran,sebab tidak setiap a dan b

berlaku a – b = b – a. operasi pengurangan juga tidak memenuhi sifat identitas, sebab bisa

ditemukan adanya bilangan cacah a sehingga a – 0 0 – a. Operasi pengurangan juga tidak

memenuhi sifat pengelompokan, sebab bisa diperoleh bilangan cacah a,b,c sehingga (a – b) –

c a – (b – c)

Operasi perkalian

Operasi perkalian bilangan cacah pada dasarnya dapat di definisikan sebagai hasil

penjumlahan berulang bilangan-bilangan cacah. Jika a dan b bilangan cacah, maka a x b

dapat didefinisikan sebagai b + b + b +… + b (sebanyak a kali). Jadi secara konseptual a x b

tidak sama dengan b x a, akan tetapi kalau mau dilihat hasil kalinya saja maka a x b = b x a.

dengan demikian operasi perkalian memenuhi sifat pertukaran.

Operasi perkalian juga memenuhi sifat identitas. Ada sebuah bilangan cacah yang

kalau dikalikan dengan setiap bilangan cacah a maka hasil kalinya adalah tetap a. bilangan

cacah tersebut adalah bilangan 1. Jadi a x 1 = 1 x a untuk setiap bilangan cacah a

Operasi perkalian juga memenuhi sifat pengelompokan, yaitu : untuk setiap bilangan

cacah a,b,c berlaku (a x b)x c = a x (b x c). disamping itu, perkalian bilangan cacah masih

mempunyai satu sifat dalam kaitannya dengan operasi penjumlahan. Sifat ini menyatakan

bahwa: setiap bilangan cacah a,b,c berlaku a x (b+c) = ( a x b) + ( a x c ). Sifat ini disebut

sifat penyebaran




Operasi pembagian

Operasi pembagian pada dasarnya merupakan kebalikan dari operasi perkalian. Jika

sebuah bilangan cacah a dibagi bilangan cacah b menghasilkan bilangan cacah c

(dilambangkan dengan a : b = c), maka konsep perkalian yang bersangkutan adalah c x b = a.

sebagaimana operasi pengurangan, maka operasi pembagian juga tidak memenuhi sifat

pertukaran, sifat identitas, sifat pengelompokan, dan sifat penyebaran.

Konsep Bilangan Bulat

Pengertian Bilangan Bulat

Di atas telah dikemukakan artinya, hanya dengan memiliki pengetahuan bilangan

cacah saja kita belum mampu menjawab masalah baik dalam matematika maupun masalah

komputasi dalam kehidupan sehari- hari. Dengan kata lain, himpunan bilangan cacah

memiliki beberapa kekurangan. Sebagai contoh, tidak ada bilangan cacah yang membuat

kalimat “ 7 + x = 5” menjadi pernyataan yang bernilai benar. Oleh sebab itu, ahli matematika

mengkontruksikan atau menciptakan bilangan dengan nama bilangan bulat.

Bilangan bulat diciptakan dengan cara berikut. Untuk setiap bilangan cacah, misalnya

3, kita menciptakan dua symbol yaitu +3 dan -3. Symbol bilangan yang diawali dengan tanda

plus kecil yang terletak agak ke atas mewwakili positif. Biasanya bilangan plus ini

dihilangkan dalam menyatakan bilangan positif, sehingga +3 juga berarti 3. Selanjutnya

untuk menyatakan suatu bilangan positif kita hanya menulis symbol saja tanpa awalan tanda

plus

Symbol bilangan diawali dengan tanda minus kecil ditempatkan agak di atas mewakili

bilangan negative. Misalnya -3 mewakili bilangan negative 3. Perlu diperhatikan bahwa 0

bukan bilangan positif maupun bilangan negative, sehingga dalam penulisan symbol bilangan

nol kita tidak perlu membubuhi tanda plus atau tanda minus di depannya.

Nampaknya bahwa setiap bilangan cacah n ada bilangan positif –n. untuk setiap

bilangan cacah ada -1, 2 ada -2,3 ada -3, 4 ada -4. Dengan demikian untuk masing-masing

bilangan cacah positif berturut-turut ada bilangan negative sebagai pasangannya. Bilangan

cacah maupun bilangan negative disebut bilangan bulat. Gabungan dari himpunan bilangan

cacah dan himpunan bilangan bulat negative disebut himpunan bilangan bulat. Dengan kata

lain, himpunan semua bilangan bulat terdiri atas :




1. Himpunan bilangan bulat positif atau bilangan asli

2. Bilangan bulat nol

3. Bilangan bulat negative

Seperti halnya pada bilangan cacah, pada bilangan bulat juga terkenal adanya relasi

sama dengan dan relasi urutan. Pada relasi sama dengan berlaku sifat-sifat sebagai berikut:

1. Sifat reflektif, yaitu untuk sebarang bilangan bulat a berlaku a = a.

2. Sifat simetris, yaitu untuk sebarang bilangan bulat a dan b berlaku: jika a = b maka b

= a

3. Sifat transitif, yaitu untuk sebarang bilangan bulat a,b,c berlaku: jika a = b, b = c

maka akan sama a = c

Relasi urutan untuk bilangan bulat dapat di definisikan dengan menggunakan uruta

letak titik – titik pada garis bilangan.

OPERASI PADA BILANGAN BULAT

Seperti halnya pada bilangan cacah, ada 4 macam operasi utama yang berlaku pada

bilangan bulat. Operasi yang dimaksu adalah:

1. Penjumlahan

2. Pengurangan

3. Perkalian

4. Pembagian

Keempat operasi pada bilangan bulat ini sangat erat kaitannya dengan hubugan

operasi bilangan cacah.

Operasi penjumlahan

Penjumlahan bilangan bulat mempunyai beberapa sifat:

1. Sifat tertutup

Jika a dan b bilangan bulat, maka a + b juga bilangan bulat

2. Sifat pertukaran

Jika a dan b bilangan bulat, maka a + b = b + a

3. Sifat penggelompokan

Jika a,b,c bilangan bulat, maka ( a + b) + c = a + ( b + c )




4. Sifat adanya unsure identitas

Ada bilangan bulat 0 yang bersifat a + 0 = 0 + a = a untuk semua bilangan bulat a

5. Sifat adanya invers penjumlahan

Untuk setiap bilangan bulat a, ada bilangan bulat b sehingga a + b = b + a = 0.

Bilangan b ini disebut invers atau lawan dari a dan biasanya dilambangkan -a

6. Sifat ketertambahan

Jika a,b,c bilangan bulat, dan a = b, maka a + c = b + c

7. Sifat kanselasi

Jika a,b,c bilangan bulat, dan a + c = b + c maka a = b

Operasi pengurangan

Operasi pengurangan merupakan invers dari operasi penjumlahan. Misalkan lambang

a – b dapat diartikan bilangan yang jika ditambahkan kepada b menghasilkan a dan lambang

bilangan a- b dapat pula diartikan sebagai a + (-b)

Operasi perkalian

Ada beberapa sifat perkalian bilangan bulat, seperti ;

1. Sifat tertutup

Jika a dan b bilangan bulat, maka a. b juga bilangan bulat

2. Sifat pertukaran

Jika a dan b bilangan bulat, mka a.b = b.a

3. Sifat pengelompokan

Jika a,b,c bilangan bulat, maka (a.b) c = a( b.c )

4. Sifat adanya unsure identitas

Ada bilangan bulat 1, sehingga untuk setiap bilangan bulat a berlaku a. 1 = 1. a = a

Bilangan 1 disebut unsure identitas perkalian

5. Sifat penyebaran perkalian terhadap penjumlahan

Jika a,b,c bilangan bulat,maka :

a ( b + c ) = ab + ac, disebut penyebaran kiri, dan

(b + c ) = ba + ca, disebut penyebaran kanan

6. Sifat ketergandaan

Untuk setiap bilangan bulat a,b,c jika a = b, maka ac = bc

7. Sifat kanselasi

Untuk setiap bilangan bulat a,b,c jika ac = bc dan c ≠ 0 maka a= b




Disamping sifat-sifat yang telah disebutkan diatas, ada beberapa teorema yang terkait dengan

operasi perkalian bilangan bulat dan perlu dipahami. Teorema yang dimaksud antara lain:

1. Jika a bilangan bulat, maka ( -1 ) a = a

Bukti :

a.0 = 0 identitas

a.0 = a ( 1+ -1 ) invers

= a(1) + a( -1 ) penyebaran

= a +( -1 )a identitas pertukaran

Jadi a + (-1)a = 0 transitif

= a+ -a invers

Akhirnya (-1) a = - a kanselasi

2. Jika a bilangan bulat, maka –( -a) = a

Bukti :

-a( -a ) + ( -a ) = 0 invers

-(-a) + (-a) + a = 0 + a penjumlahan

-(-a) +((-a) + a) = a pengelompokkan dan identitas

-(-a) + 0 = a invers

-(-a) = a identitas

Operasi pembagian

Operasi pembagian pada bilangan bulat di definisikan sebagai berikut:

Jika a dan b bilangan bulat dengan b 0, maka a dibagi b, ditulis a:b, ialah bilangan

bulat x yang bersifat b. x = a

Untuk mendapatkan apakah hasil bagi positif atau negative, kita berpedoman pada

definisi perkalian dua bilangan bulat. Oleh karena a:b = x jika dan hanya jika b.x = a, maka

tanda dari bilangan bulat akan ditentukan sedemikian hingga hasil kali b.x sama dengan a.

jadi, hasil bagi dua bilangan bulat positif atau bilangan bulat negative, jika hasil bagi itu ada,

adalah bilangan bulat positif dan hasil bagi dua bilangan bulat yang berlainan tanda, jika hasil

bagi itu ada, adalah bilangan bulat negative.




Contoh:

15 : 3 = 5 sebab 3 . 5 = 15 ; (-15) : ( -3) = 5, sebab (-3) 5 = (-15) ; (-15) : 3 = -5 sebab 3. (-5)

= -15 ; dan 15 : ( -3 ) = -5 sebab -3 . -5 = 15

Perhatikan bahwa bilangan nol mempunyai sifat penting dalam pembagian, sifat itu adalah

sebagai berikut :

1. Jika a bilangan bulat yang bukan nol, maka 0 : a = 0

2. Jika a bilangan bulat, maka a : 0 tidak didefinisikan

Sebagai akibat dari sifat itu, maka 3 : 0 dan 0 : 0 semuanya tidak definisikan




SISTEM

BILANGAN




A. PENGERTIAN

Sistem bilangan atau dalam bahasa inggris disebut number system adalah suatu cara

untuk mewakili besaran dari suatu phisik. Sistem bilangan menggunakan suatu bilangan dasar

atau disebut juga basis (base / radix) yang tertentu. Dalam hubungannya dengan komputer,

ada 4 jenis sistem bilangan yang dikenal yaitu :

Sistem Bilangan Desimal (Decimal Number System)

Sistem Bilangan Binari (Binary Number System)

Sistem Bilangan Oktal (Octal Number System)

Sistem Bilangan Hexadesimal (Hexadecimal Number System)

B. Sistem Bilangan Desimal

Sistem bilangan desimal mempunyai sepuluh lambang dasar yang disebut angka

(digit), yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9. Sistem bilangan desimal menggunakan sistem nilai

tempat, artinya setiap angka pada sistem desimal menempati nilai tempat tertentu. Karena

setiap nilai tempat merupakan hasil perpangkatan bilangan 10, maka sistem bilangan desimal

disebut juga sistem bilangan basis 10 (100, 101, 102, ... ).

Misal bilangan 2569, angka “2” menempati “ribuan”, angka “5” menempati

“ratusan”, angka “6” menempati “puluhan” dan angka “9” menempati “satuan”. Bilangan

2569 dibaca “dua ribu lima ratus enam puluh sembilan” Tanda titik dituliskan pada tiap

hitungan tiga angka dari bilangan satuan. Dengan cara ini bilangan-bilangan yang besar

(mempunyai tulisan yang cukup panjang) akan lebih mudah dalam pembacaannya dan

terhindar dari kekeliruan (dalam buku-buku berbahasa asing, tanda titik diganti dengan tanda

koma). Misalkan bilangan 2569 ditulis 2.569. Bilangan dalam sistem desimal dapat ditulis

dalam bentuk panjang. Misal 2.569 = (2 x 103) + (5 x 102) + (6 x 100) + (9 x 100).




Integer desimal :

adalah nilai desimal yang bulat, misalnya 8598 dapat diartikan :

8 x 103 = 8000

5 x 102 = 500

9 x 101 = 90

8 x 100 = 8

8598 position value/palce value

absolute value

Absolue value merupakan nilai untuk masing-masing digit bilangan, sedangkan

position value adalah merupakan penimbang atau bobot dari masing-masing digit tergantung

dari letak posisinya, yaitu nernilai basis dipangkatkan dengan urutan posisinya.

Pecahan desimal :

Adalah nilai desimal yang mengandung nilai pecahan dibelakang koma, misalnya

nilai 183,75 adalah pecahan desimal yang dapat diartikan :

1 x 10 2 = 100

8 x 10 1 = 80

3 x 10 0 = 3

7 x 10 –1

= 0,7

5 x 10 –2

= 0,05

183,75




C. Sistem Bilangan Biner

Sistem bilangan biner mempunyai dua lambang dasar yang disebut angka (digit),

yaitu 0 dan 1. Sistem bilangan biner sama dengan sistem desimal menggunakan sistem nilai

tempat, artinya setiap angka pada sistem biner menempati nilai tempat tertentu.

Karena setiap nilai tempat merupakan hasil perpangkatan bilangan 2, maka sistem

bilangan desimal disebut juga sistem bilangan basis 2 (20, 21, 22, ... ). Misal bilangan

1001101, angka “1” menempati “enam puluh empatan”, angka “0” menempati “tiga puluh

duaan”, angka “0” menempati “enam belasan”, angka “1” menempati “delapanan”, angka “1”

menempati” “empatan”, angka “0” menempati “duaan”, dan angka “1” menempati “satuan”.

Bilangan dalam sistem biner dapat ditulis dalam bentuk panjang. Misal 1001101 = (1 x 26) +

(0 x 25) + (0 x 24) + (1 x 23) + (1 x 22) + (0 x 21) + (1 x 20).

Sistem bilangan biner menggunakan 2 macam symbol bilangan berbasis 2digit angka,

yaitu 0 dan 1.

Contoh bilangan 1001 dapat diartikan :

1 0 0 1

1 x 2 0 = 1

0 x 2 1 = 0

0 x 2 2 = 0

1 x 2 3 = 8

10 (10)

Operasi aritmetika pada bilangan Biner :

a. Penjumlahan

Dasar penujmlahan biner adalah :

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0 dengan carry of 1, yaitu 1 + 1 = 2, karena digit terbesar ninari

1, maka harus dikurangi dengan 2 (basis), jadi 2 – 2 = 0 dengan carry of 1

contoh : 1111

10100 +

100011




atau dengan langkah :

1 + 0 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0 dengan carry of 1

1 + 1 + 1 = 0

1 + 1 = 0 dengan carry of 1 1 0 0 0 1 1

b. Pengurangan

Bilangan biner dikurangkan dengan cara yang sama dengan pengurangan bilangan

desimal. Dasar pengurangan untuk masing-masing digit bilangan biner adalah :

0 - 0 = 0

1 - 0 = 1

1 - 1 = 0

0 – 1 = 1 dengan borrow of 1, (pijam 1 dari posisi sebelah kirinya).

Contoh :

11101

1011 -

10010

dengan langkah – langkah :

1 – 1 = 0

0 – 1 = 1 dengan borrow of 1

1 – 0 – 1 = 0

1 – 1 = 0

1 – 0 = 1

1 0 0 1 0




c. Perkalian

Dilakukan sama dengan cara perkalian pada bilangan desimal. Dasar perkalian

bilangan biner adalah :

0 x 0 = 0

1 x 0 = 0

0 x 1 = 0

1 x 1 = 1

contoh

Desimal Biner

14

12 x

28

14

+

168

1110

1100 x

0000

0000

1110

1110 +

10101000

d. pembagian

Pembagian biner dilakukan juga dengan cara yang sama dengan bilangan desimal.

Pembagian biner 0 tidak mempunyai arti, sehingga dasar pemagian biner adalah :

0 : 1 = 0

1 : 1 = 1

Desimal Biner

5 / 125 \ 25

10 -

25

25 -

0

101 / 1111101 \ 11001

101 -

101

101 -

0101

101 -

0




D. SISTEM BLANGAN OKTAL

Sistem bilangan Oktal menggunakan 8 macam symbol bilangan berbasis 8 digit

angka, yaitu 0 ,1,2,3,4,5,6,7.

Position value system bilangan octal adalah perpangkatan dari nilai 8.

Contoh :

12(8) = …… (10)

2 x 8 0 = 2

1 x 8 1 =8

10

Jadi 10 (10)

Operasi Aritmetika pada Bilangan Oktal

a. Penjumlahan

Langkah-langkah penjumlahan octal :

- tambahkan masing-masing kolom secara desimal

- rubah dari hasil desimal ke octal

- tuliskan hasil dari digit paling kanan dari hasil octal

- kalau hasil penjumlahan tiap-tiap kolom terdiri dari dua digit, maka digit

paling kiri merupakan carry of untuk penjumlahan kolom selanjutnya.

Contoh :

Desimal Oktal

21

87 +

108

25

127 +

154

5 10 + 7 10 = 12 10 = 14 8

2 10 + 2 10 + 1 10 = 5 10 = 5 8

1 10 = 1 10 = 1 8




b. Pengurangan

Pengurangan Oktal dapat dilaukan secara sama dengan pengurangan bilangan

desimal.

Contoh :

Desimal Oktal

108

87 -

21

154

127 -

25

4 8 - 7 8 + 8 8 (borrow of) = 5 8

5 8 - 2 8 - 1 8 = 2 8

1 8 - 1 8 = 0 8

c. Perkalian

Langkah – langkah :

- kalikan masing-masing kolom secara desimal



- kalau hasil perkalian tiap kolol terdiri dari 2 digit, maka digit paling kiri

merupakan carry of untuk ditambahkan pada hasil perkalian kolom

selanjutnya.




Contoh :

Desimal Oktal

14

12 x

28

14 +

168

16

14 x

70

4 10 x 6 10 = 24 10 = 30 8

4 10 x 1 10 + 3 10 = 7 10 = 7 8

16

14 x

70

16

1 10 x 6 10 = 6 10 = 6 8

1 10 x 1 10 = 1 10 = 1 8

16

14 x

70

16 +

250

7 10 + 6 10 = 13 10 = 15 8

1 10 + 1 10 = 2 10 = 2 8




d. Pembagian

Desimal Oktal

12 / 168 \ 14

12 -

48

48 –

0

14 / 250 \ 16

14 - 14 8 x 1 8 = 14 8

110

110 - 14 8 x 6 8 = 4 8 x 6 8 = 30 8

0 1 8 x 6 8 = 6 8 +

110 8

E. SISTEM BILANGAN HEXADESIMAL

Sistem bilangan Oktal menggunakan 16 macam symbol bilangan berbasis 8 digit

angka, yaitu 0 ,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,Edan F

Dimana A = 10, B = 11, C= 12, D = 13 , E = 14 dan F = 15

Position value system bilangan octal adalah perpangkatan dari nilai 16.

Contoh :

C7(16) = …… (10)

7 x 16 0 = 7

C x 16 1 = 192

199

Jadi 199 (10)

Operasi Aritmetika Pada Bilangan Hexadesimal

a. Penjumlahan

Penjumlahan bilangan hexadesimal dapat dilakukan secara sama dengan penjumlahan

bilangan octal, dengan langkah-langkah sebagai berikut :

Langkah-langkah penjumlahan hexadesimal :

- tambahkan masing-masing kolom secara desimal

- rubah dari hasil desimal ke hexadesimal

- tuliskan hasil dari digit paling kanan dari hasil hexadesimal

- kalau hasil penjumlahan tiap-tiap kolom terdiri dari dua digit, maka digit

paling kiri merupakan carry of untuk penjumlahan kolom selanjutnya.




Contoh :

Desimal hexadesimal

2989

1073 +

4062

BAD

431 +

FDE

D 16 + 1 16 = 13 10 + 110 = 14 10 = E 16

A 16 + 3 16 = 10 10 + 3 10 = 13 10 =D 16

B16 + 4 16 = 1110 + 4 10 = 15 10 = F 16

b. Pengurangan

Pengurangan bilangan hexadesimal dapat dilakukan secara sama dengan pengurangan

bilangan desimal.

Contoh :

Desimal hexadesimal

4833

1575 -

3258

12E1

627 -

CBA

16 10 (pinjam) + 1 10 - 710 = 10 10 = A 16

14 10 - 7 10 - - 1 10 (dipinjam) = 11 10 =B 16

1610 (pinjam) + 2 10 - 610 = 12 10 = C 16

1 10 – 1 10 (dipinjam) 0 10 = 0 16




c. Perkalian

Langkah – langkah :

- kalikan masing-masing kolom secara desimal



- kalau hasil perkalian tiap kolol terdiri dari 2 digit, maka digit paling kiri

merupakan carry of untuk ditambahkan pada hasil perkalian kolom

selanjutnya.

Contoh :

Desimal Hexadesimal

172

27 x

1204

344 +

4644

AC

1B x

764

C 16 x B 16 =12 10 x 1110= 84 16

A16 x B16 +816 = 1010 x 1110+810=7616

AC

1B x

764

AC

C16 x 116 = 1210 x 110 =1210=C16

A16 x 116 = 1010 x110 =1010=A 16

AC

1B x

764

AC +

1224

616 + C16 = 610 + 1210 = 1810 =12 16

716+A16 +116 = 710 x 1010 + 110=1810 = 1216




d. Pembagian

Contoh :

Desimal hexadesimal

27 / 4646 \ 172

27-

194

189 –

54

54 –

0

1B / 1214 \ AC

10E - 1B16xA16 = 2710x1010=27010= 10E16

144

144- 1B 16 x C16 = 2710 x 10 10 = 3240 10

0 =14416

KONVERSI BILANGAN

Konversi bilangan adalah suatu proses dimana satu system bilangan dengan basis

tertentu akan dijadikan bilangan dengan basis yang alian.

Konversi dari bilangan Desimal

1. Konversi dari bilangan Desimal ke biner

Yaitu dengan cara membagi bilangan desimal dengan dua kemudian diambil sisa

pembagiannya.

Contoh :

45 (10) = …..(2)

45 : 2 = 22 + sisa 1

22 : 2 = 11 + sisa 0

11 : 2 = 5 + sisa 1

5 : 2 = 2 + sisa 1

2 : 2 = 1 + sisa 0 101101(2) ditulis dari bawah ke atas




2. Konversi bilangan Desimal ke Oktal

Yaitu dengan cara membagi bilangan desimal dengan 8 kemudian diambil sisa

pembagiannya

Contoh :

385 ( 10 ) = ….(8)

385 : 8 = 48 + sisa 1

48 : 8 = 6 + sisa 0

601 (8)

3. Konversi bilangan Desimal ke Hexadesimal

Yaitu dengan cara membagi bilangan desimal dengan 16 kemudian diambil sisa

pembagiannya

Contoh :

1583 ( 10 ) = ….(16)

1583 : 16 = 98 + sisa 15

96 : 16 = 6 + sisa 2

62F (16)




Konversi dari system bilangan Biner

1. Konversi ke desimal

Yaitu dengan cara mengalikan masing-masing bit dalam bilangan dengan position

valuenya.

Contoh :

1 0 0 1

1 x 2 0 = 1

0 x 2 1 = 0

0 x 2 2 = 0

1 x 2 3 = 8

10 (10)

2. Konversi ke Oktal

Dapat dilakukan dengan mengkonversikan tiap-tiap tiga buah digit biner yang dimulai

dari bagian belakang.

Contoh :

11010100 (2) = ………(8)

11 010 100

3 2 4

diperjelas :

100 = 0 x 2 0 = 0

0 x 2 1 = 0




1 x 2 2 = 4

4

Begitu seterusnya untuk yang lain.

3. Konversi ke Hexademial

Dapat dilakukan dengan mengkonversikan tiap-tiap empat buah digit biner yang

dimulai dari bagian belakang.

Contoh :

11010100

1101 0100

D 4

Konversi dari system bilangan Oktal

1. Konversi ke Desimal


valuenya.

Contoh :

12(8) = …… (10)

2 x 8 0 = 2

1 x 8 1 =8

10

Jadi 10 (10)




2. Konversi ke Biner

Dilakukan dengan mengkonversikan masing-masing digit octal ke tiga digit biner.

Contoh :

6502 (8) ….. = (2)

2 = 010

0 = 000

5 = 101

6 = 110

jadi 110101000010

3. Konversi ke Hexadesimal

Dilakukan dengan cara merubah dari bilangan octal menjadi bilangan biner kemudian

dikonversikan ke hexadesimal.

Contoh :

2537 (8) = …..(16)

2537 (8) = 010101011111

010101010000(2) = 55F (16)

Konversi dari bilangan Hexadesimal

1. Konversi ke Desimal


valuenya.




Contoh :

C7(16) = …… (10)

7 x 16 0 = 7

C x 16 1 = 192

199

Jadi 199 (10)

2. Konversi ke Oktal

Dilakukan dengan cara merubah dari bilangan hexadesimal menjadi biner terlebih

dahulu kemudian dikonversikan ke octal.

Contoh :

55F (16) = …..(8)

55F(16) = 010101011111(2)

010101011111 (2) = 2537 (8)




SUMBER

file:///C:/Users/IBNU%20EDI%20YUONO/Documents/New%20folder/Sistem%20bilangan

%20-%20Wikipedia%20bahasa%20Indonesia,%20ensiklopedia%20bebas.htm

www.Scribd.com

www.google.com

http://loepies.wordpress.com/2010/10/29/tulisan-hieroglyph-hieroglyphic/

http://id.wikipedia.org/wiki/Angka_Romawi

http://kuliah.imadewira.com/tag/sistem-bilangan/

http://simplemathlesson.blogspot.com/2009/02/sejarah-bilangan-dan-

perkembangannya_20.html

http://Rangkuman-Pelajaran.Blogspot.com

www.yakuza.weebly.com

http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan


http://www.scribd.com/doc/18414911/modul-1-Sistem-Bilangan

http://id.wikipedia.org/wiki/Sistem_bilangan_desimal

http://kuliah.imadewira.com/sistem-bilangan-desimal/

http://blog.math.uny.ac.id/yulialinguistika/sistem-bilangan-hexadecimal/

http://kuliah.imadewira.com/sistem-bilangan-binari/

http://www.scribd.com/doc/20681002/3/BILANGAN-OKTAL

http://id.wikipedia.org/wiki/Angka_Romawi

http://simplemathlesson.blogspot.com/2009/02/sejarah-bilangan-dan-perkembangannya_20.html

http://simplemathlesson.blogspot.com/2009/02/sejarah-bilangan-dan-perkembangannya_20.html

http://rangkuman-pelajaran.blogspot.com/

http://www.yakuza.weebly.com/

http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan


http://www.scribd.com/doc/18414911/modul-1-Sistem-Bilangan

http://id.wikipedia.org/wiki/Sistem_bilangan_desimal

http://kuliah.imadewira.com/sistem-bilangan-desimal/

http://blog.math.uny.ac.id/yulialinguistika/sistem-bilangan-hexadecimal/

http://kuliah.imadewira.com/sistem-bilangan-binari/

http://www.scribd.com/doc/20681002/3/BILANGAN-OKTAL

UTS TEORI BILANGAN - InNovATion Of I92 -...

Documents

Transcript of UTS TEORI BILANGAN - InNovATion Of I92 -...